复变函数与积分变换课件

傅裏葉變換

(TheFouriertransformation

)

第一講§8.1傅裏葉變換的概念8.1.1傅裏葉級數的指數形式

8.1.2傅裏葉積分積分變換，就是通過積分運算,把一個函數變成另一個函數的一種變換,這類積分一般是含參變量積分，具體形式可寫為

是要變換的函數，原像函數；是變換後的函數，像函數；是一個二元函數，稱為積分變換核，它的不同可以得到不同的積分變換.

8.1.1傅裏葉級數的指數形式

1829年,狄利克雷證明了如下定理，為傅裏葉級數建立了理論基礎.1804年，傅裏葉研究熱傳導時提出有限區間上任意函數可以表示為正弦和余弦的和;§8.1傅裏葉變換的概念(TheconceptionoftheFouriertransformation)51、連續或只有有限個第一類間斷點2、只有有限個極值點這兩個條件實際上就是要保證函數是可積函數.

在高等數學中學習傅裏葉級數時知道，研究週期函數實際上只須研究其中的一個週期內的情況即可,通常研究在閉區間[-T/2,T/2]內函數變化的情況.並非理論上的所有週期函數都可以用傅裏葉級數逼近,而是要滿足狄利克雷(Dirichlet)條件,即在區間[-T/2,T/2]上6因此,任何滿足狄氏條件的週期函數

,可表示為三角級數的形式如下:7而利用三角函數的指數形式可將級數表示為:其中8如圖所示:1-1otf(t)191-13T=4f4(t)t現以f(t)為基礎構造一週期為T的週期函數fT(t),令T=4,則10

定理8.1

設是以為週期的實函數，且在上滿足狄氏條件，即在一個週期上滿足:（1）連續或只有有限個第一類間斷點；（2）只有有限個極值點.

則在連續點處，有

根據工程上的習慣,引進複數形式：其中

在間斷點處

令則可以得到其中稱為傅裏葉級數的指數形式

傅裏葉級數的物理意義則，

如果代表信號,

那麼一個週期為可以分解成簡諧波的和.

的信號反映了頻率為的諧波在份額，稱為振幅

中所占的反映了頻率為的諧波沿時間軸移動的大小，稱為相位

稱為的離散頻譜稱為離散振幅譜

稱為離散相位譜

例8.1求以為週期的函數

的離散頻譜和它的傅裏葉級數的指數形式.解令，當時，

當時，

所以的傅裏葉級數的指數形式為

離散振幅譜

離散相位譜

任何一個非週期函數,都可看成是由某個8.1.2傅裏葉積分當時轉化而來的，即週期函數由是週期函數，可知，0<t<Tt為其他值可以得到

令則

令由定積分定義的積分定理8.2若在絕對可積是指收斂，則上述定理稱為傅氏積分定理.

在(-∞,+∞)上滿足條件:(1)

在任一有限區間上滿足狄氏條件；(2)在無限區間(-∞,+∞)上絕對可積,t為連續點t為間斷點t例8.2求函數

的

積分運算式,

其中

解

f(t)o這就是函數的積分運算式．因此此運算式可以用來計算一些廣義積分

例8.3求矩形脈衝函數的Fourier積分運算式.

解根據定義,有

時課後作業習題八1-3

§8.2傅裏葉積分變換和單位沖激函數一、傅裏葉積分變換二、單位沖激函數的概念和性質三、單位沖激函數的傅裏葉變換第二講(TheFouriertransformationandtheunitpulsefunctions)一、

傅裏葉積分變換已知稱為的傅裏葉積分變換記為稱為傅裏葉積分逆變換記為

Fourier積分存在定理的條件是Fourier變換存在的一種充分條件.在一定條件下,成立若則若則稱為原像函數稱為像函數

在頻譜分析中,傅氏變換F(w)又稱為f(t)的頻譜函數,而它的模|F(w)|稱為f(t)的振幅頻譜(亦簡稱為頻譜).由於w是連續變化的,我們稱之為連續頻譜,對一個時間函數f(t)作傅氏變換,就是求這個時間函數f(t)的頻譜.解：求，其中例8.4已知的頻譜為我們知道，傅裏葉積分變換就是建立以時間為引數的信號與以頻率為引數的頻譜函數之間的某種變換關係。所以，當引數時間或頻率取連續值或離散值的時候，就形成了不同的傅裏葉變換形式，列表如下：時域信號特性頻譜特性變換名稱非週期連續信號連續頻譜傅裏葉變換週期連續信號離散頻譜傅裏葉級數非週期離散信號連續頻譜序列傅裏葉變換週期離散信號週期離散性頻譜離散傅裏葉級數離散信號週期離散性頻譜離散傅裏葉變換二、單位沖激函數的概念和性質傅裏葉級數與傅裏葉變換以不同的形式反映了週期函數與非週期函數的頻譜特性，是否可以借助某種手段將它們統一起來呢？更具體地說，是否能夠將離散頻譜以連續頻譜的方式表現出來呢？這就需要介紹和引入單位脈衝函數和廣義傅裏葉積分變換，其中單位脈衝函數有很多實際背景，比如暫態衝擊力、脈衝電流、質點的品質等，這些物理量都不能用通常的函數形式表示和描述。研究質點的品質，可以假設長度為的均勻杆放在軸的上，其品質為，則有質點的密度函數為必須附加一個條件引入新的單位脈衝函數或狄拉克函數。再比如:在原來電流為零的電路中,某一瞬時(設為t=0)進入一單位電量的脈衝,現在要確定電路上的電流i(t).以q(t)表示上述電路中的電荷函數,則當t

0時,i(t)=0,由於q(t)是不連續的,從而在普通導數意義下,q(t)在這一點是不能求導數的.如果我們形式地計算這個導數,則得這表明在通常意義下的函數類中找不到一個函數能夠表示這樣的電流強度.為了確定這樣的電流強度,引進一稱為狄拉克(Dirac)的函數,簡單記成-函數:有了這種函數,對於許多集中於一點或一瞬時的量,例如點電荷,點熱源,集中於一點的品質及脈衝技術中的非常窄的脈衝等,就能夠象處理連續分佈的量那樣,以統一的方式加以解決.2.對於無窮次可微函數，如果滿足其中則稱的弱極限為狄拉克函數。,函數稱為單位脈函數：時當和定義單位脈衝函數：滿足如下連個條件的de(t)1/eeO（在極限與積分可交換意義下）工程上將d-函數稱為單位脈衝函數。3.用函數序列定義tO

(t)1

-函數有性質：可將-函數用一個長度等於1的有向線段表示,這個線段的長度表示-函數的積分值,稱為-函數的強度.是定義在實數域上的有界函數，且在處連續，則

一般地，有篩選性質設證明：同理2.偶函數

故3.相似性質設為實常數，則

這說明，如果將的尺度擴大倍，則倍。衝擊脈衝的衝擊強度相應的縮小為實常數，則證明：而由篩選性質可以知道，故成立。4、其中,稱為單位階躍函數.反之,有.Otu(t)5、狄拉克函數是單位階躍函數的導數

所以時，當時，故證明：，其中為單位階躍函數。三、單位沖激函數的傅裏葉變換根據篩選性質，，其中可以知道單位脈衝函數的傅裏葉積分變換為1，，同理有故1和狄拉克函數是一對傅裏葉變換。即所以-函數的傅氏變換為:於是d(t)與常數1構成了一傅氏變換對.證2：若F(w)=2pd(w),由傅氏逆變換可得例8.7(1)證明：1和2pd(w)構成傅氏變換對.證1：由上面兩個函數的變換可得例8.7(3)分別求函數和的傅裏葉積分變換。解：例8.8試證明單位階躍函數的傅裏葉變換為證明：

例8.9求的傅裏葉積分變換。

。解：這一點與傅裏葉級數展開時一致的，所不同的是，用沖激強度來表示各頻率分量的幅值的相對大小。週期函數也可進行傅氏變換，其頻譜是離散的，對於週期函數有如下的定理定理8.3設是以為週期的實值函數，且在上滿足狄氏條件，則和是一組傅氏變換，其中是的離散頻譜。證明：按傅裏葉級數展開有因此

8.2.3傅裏葉積分變換的基本性質

1、線性性質，為實數，則；課後作業習題八4-7§8.3傅氏變換的性質

一、傅裏葉積分變換的基本性質二、卷積定理三、綜合舉例第三講ThepropertyoftheFouriertransformation

一、傅裏葉積分變換的基本性質

1、線性性質，為實數，則；2、位移性質，為實數，則證明：做變數代換3、相似性質，為非零實數，則證明：令，則當時，當時，總之可以得到4、微分性質若，則；證明：，可以得到因而根據數學歸納法可以得到同理可以證明。5、積分性質設，若，則證明：由於根據微分性質，可以得到因此可以得到因此可以得到6、帕塞瓦爾等式設，則證明：由，所以7、對稱性證明：因為，所以所以解：為實常數，求例8.10已知解：因為的傅裏葉積分變換為令，則，被積函數是偶函數，例8.12求積分的值。所以的頻譜為例8.11已知抽樣信號求信號的頻譜二、卷積定理

1、卷積定義：設它們定義了一個函數，稱為與卷積，卷積的基本性質如下：都收斂，與在實數集上定義，若反常積分對任何實數例8.13求下列函數的卷積解：由定義當時，當時，其中，

所以2.卷積定理設，則有

例8.14求下列函數的卷積解：由定義當時，當時，當時，總之

例8.14求下列函數的卷積例8.15求下列函數的卷積其中，解：設，則根據卷積定理，可以得到其中，例8.15求下列函數的卷積其中，例8.16設，求解：由於

8.2.5綜合舉例例8.17設上滿足狄利克雷條件，證明證明：由題意有所以

。其中為的離散頻譜。的實值函數，且在是以週期為的實值函數，且在是以週期為的實值函數，且在是以週期為的實值函數，且在是以週期為例8.18設是定義在上的實值函數，且存在傅裏葉積分變換證明證明：，77f(t)單個矩形脈衝的頻譜函數為:tE-t/2t/2例8.19作如圖所示的單個矩形脈衝的頻譜圖78wEt|F(w)|O矩形脈衝的頻譜圖為

解析函數

(Analyticfunction)§2.1解析函數的概念§2.2解析函數與調和函數的關係§2.3初等函數

第一講§2.1解析函數的概念§2.2解析函數和調和函數的關係§2.1解析函數的概念

(Theconceptionofanalyticfunction)一、複變函數導數與微分二、解析函數的概念與求導法則三、函數解析的一個充分必要條件一、複變函數導數與微分定義2.1說明：例1二、解析函數的概念與求導法則定義2.21、解析函數的概念注1、“解析”有時也稱“全純”、“正則”.注2、若函數在一點解析，則一定在這個點可導，反之，在一個點的可導不能得到在這個點解析.但函數在區域內解析與在區域內處處可導是等價的。注3、閉區域上的解析函數是指在包含這個閉區域的一個更大的區域內解析.（1）四則運算法則2、求導法則（2）複合函數求導法則

（3）反函數求導法則

三、函數解析的一個充分必要條件定理2.1證明（必要性）（充分性）.說明:（1）函數的導數形式：（2）C-R條件是複變函數可導的必要條件而非充分條件.例296Augustin-LouisCauchyBorn:21Aug1789inParis,France

Died:23May1857inSceaux(nearParis),France97RiemannBorn:17Sept1826inBreselenz,Hanover(nowGermany)

Died:20July1866inSelasca,Italy.定理2.2推論例3討論下列函數的可導性和解析性（學生課堂討論）例4證明：

例5（學生課堂討論）本節重點掌握:

（1）複變函數解析與可導的關係。

（2）解析函數的實部和虛部不是完全獨立的，它們是C-R方程的一組解.

（3）函數在哪一點不滿足C-R方程，函數在那一點不可微。函數在哪個區域不滿足C-R方程，函數在那個區域不解析。

§2.2解析函數與調和函數的關係

(Therelationofanalyticfunctionandharmonicfunction)二、解析函數與調和函數的關係一、調和函數的概念定義2.3一、調和函數的概念定理2.3證明：設f(z)=u(x,y)+i

v(x,y)在區域D內解析，則即u及v

在D內滿足拉普拉斯(Laplace)方程:二、解析函數與調和函數的關係現在研究反過來的問題：例如然後兩端積分得:例1、驗證

是

平面上的調和函數,並求以

為實部的解析函數

使合

解：故

在

平面上為調和函數.得要合，必

故

例2解1:解2:解3:

課後作業一、思考題：1、2、二、習題二：1-12

§2.3初等函數

(Elementaryfunction)一、指數函數二、對數函數三、冪函數四、三角函數五、反三角函數六、反雙曲函數第二講一、指數函數我們也重新得到歐拉公式

對於任意實數，定義2.5指數函數的性質二、對數函數定義2.6指數函數的反函數稱為對數函數。即故記作特別

對數函數的性質：因為131例1解三、冪函數定義2.7

設

是任何複數，則稱當

為正實數，且z=0時，還規定為的

次冪函數為冪函數的基本性質....在區域G內，由於Lnz的各個是解析的，因而相應分支地在G內解析，並且其中應當理解為對它求導數的那個分支，lnz應當理解為對數函數相應的分支。在區域G內，由於Lnz的各個是解析的，因而相應分支地在G內解析，並且四、三角函數

由於Euler公式，對任何實數x，我們有：因此，對任何複數z，定義余弦函數和正弦函數如下：余弦函數和正弦函數性質對任何複數z，Euler公式也成立：有下麵的基本性質：1、cosz和sinz是單值函數；2、cosz是偶函數，sinz是奇函數:.

3、cosz和sinz是以為週期的週期函數;

.注解：未必成立。例如z=2i時，有.6、cosz和sinz在整個複平面解析，並且有：證明：.8、同理可以定義其他三角函數：7、cosz和sinz在複平面的零點：cosz在複平面的零點是，sinz在複平面的零點是.反正切函數：由函數所定義的函數w稱為z的反正切函數，記作由於

五、反三角函數.所以同樣方法可定義其他反三角函數，並且有如下關係

六、雙曲函數與反雙曲函數複變數的雙曲正弦函數、雙曲余弦函數、雙曲正切函數的定義如下：雙曲正弦函數、雙曲余弦函數具有下述性質：（1）反雙曲正弦函數（2）反雙曲余弦函數（3）反雙曲正切函數（4）反雙曲餘切函數拉普拉斯變換（TheLaplacetransformation）

§9.1拉普拉斯變換的概念和性質

(TheconceptionandpropertyoftheLaplacetransformation)9.1.1拉普拉斯變換的定義9.1.2拉普拉斯變換存在條件9.1.3拉普拉斯變換的性質第一講Fourier變換的兩個限制：因此傅裏葉積分變換在處理這樣的問題時，有一定的局限性。下麵介紹一種新的積分變換拉普拉斯積分變換。9.1.1拉普拉斯變換的定義tf(t)Otf(t)u(t)e-btO1.定義：例9.1求單位階躍函數根據拉氏變換的定義,有這個積分在Re(s)>0時收斂,而且有例9.2求指數函數f(t)=ekt的拉氏變換.這個積分在Re(s)>k時收斂,而且有其實k為複數時上式也成立,只是收斂區間為Re(s)>Re(k)根據拉氏變換的定義,有9.1.2拉氏變換的存在定理

若函數f(t)滿足:

(1)在t

0的任一有限區間上分段連續;

(2)当t

時,f(t)的增長速度不超過某一指數函數,即存在常數M>0及c

0,使得

|f(t)|

Mect,0

t<

則f(t)的拉氏變換在半平面Re(s)>c上一定存在,並且在Re(s)>c的半平面內,F(s)為解析函數.MMectf(t)tO說明：由條件2可知,對於任何t值(0

t<

),

有

|f(t)est|=|f(t)|e-bt

Me-(b-c)t,Re(s)=b,

若令b-c

e>0(即b

c+e=c1>c),則

|f(t)e-st|

Me-et.注1:大部分常用函數的Laplace變換都存在注2：存在定理的條件是充分但非必要條件.9.1.3拉普拉斯變換的性質本講介紹拉氏變換的幾個性質,它們在拉氏變換的實際應用中都是很有用的.為方便起見,假定在這些性質中,凡是要求拉氏變換的函數都滿足拉氏變換存在定理中的條件,並且把這些函數的增長指數都統一地取為c.在證明性質時不再重述這些條件.例9.3求f(t)=sinkt(k為實數)的拉氏變換同理可得，例9.4已知求2、相似性質設，則對任意常數，有證明：令，則

3.微分性質:此性質可以使我們有可能將f(t)的微分方程轉化為F(s)的代數方程.特別當時，有例9.5

求的拉氏變換（m為正整數）。象函數的微分性質:證明：可以用來求的拉普拉斯積分變換。例9.6求解微分方程解：對方程的兩邊做拉普拉斯積分變換，得到得到

例9.7求函數的拉普拉斯積分變換。解：例9.8求函數的拉普拉斯積分變換。3.積分性質:證明：設則，且利用微分性質可以得到所以用數學歸納法可以得到象函數積分性質:,則例9.9求函數的拉普拉斯積分變換。令，有，則解：由於由此可以知道利用拉普拉斯積分變換，可以計算一些反常積分。例9.10計算下列積分（1）（2）解：（1），（2）令，則函數f(t-t)與f(t)相比,f(t)從t=0開始有非零數值.而f(t-t)是從t=t開始才有非零數值.即延遲了一個時間t.從它的圖象講,f(t-t)是由f(t)沿t軸向右平移t而得,其拉氏變換也多一個因數e-st.Ottf(t)f(t-t)，求例9.11設解：例9.12求解：因為所以。§9.2拉普拉斯逆變換和綜合應用（一）9.2.1週期函數的像函數9.2.2卷積和卷積定理9.2.3反演積分公式9.2.4利用留數計算拉普拉斯逆變換第二講（TheLaplaceinversetransformationandcomprehensiveapplicationI）9.2.1週期函數的像函數是內以為週期的函數，且在一個週期內逐段光滑，則證明：由定義有為週期的函數，則故。對第二個積分令由於是內以9.2.2卷積和卷積定理卷積的定義:卷積定理：設，則有證明：由定義然後交換二重積分的次序，令結合率、交換律和分配率仍然成立。解：例9.15已知，求解：由於所以例9.14求函數與的卷積。例9.13求全波整流後的正弦波的像函數。解：的週期是，故9.2.3反演積分公式前面主要討論了由已知函數f(t)求它的象數F(s),但在實際應用中常會碰到與此相反的問題,即已知象函數F(s)求它的象原函數f(t).本節就來解決這個問題.由拉氏變換的概念可知,函數f(t)的拉氏變換,實際上就是f(t)u(t)e-bt的傅氏變換.因此,按傅氏積分公式,在f(t)的連續點就有等式兩邊同乘以ebt,則積分路線中的實部b有一些隨意,但必須滿足的條件就是e-btf(t)u(t)的0到正無窮的積分必須收斂.計算複變函數的積分通常比較困難,但是可以用留數方法計算.右端的積分稱為拉氏反演積分.9.2.4利用留數計算拉普拉斯逆變換RO實軸虛軸LCRb+jRb-jR為奇點b解析證明：令曲線在半平面內，是半徑為的半圓狐，當充分大，可以使都在內。由於除孤立奇點外是解析的，故由留數定理有即根據約當定理，可以知道因此有。例9.16已知，求解：由於是像函數的簡單極點和二階極點，所以另外還可以用部分分式和卷積的方法解答。課後作業習題九8-119.3拉普拉斯逆變換和綜合應用(二)9.3.1利用拉普拉斯變換求微分方程9.3.2綜合舉例第三講（TheLaplaceinversetransformationandcomprehensiveapplicationII）9.3.1利用拉普拉斯積分變換求微分方程許多工程實際問題可以用微分方程來描述，下麵舉例說明它在數學中的應用：用拉氏變換求解微分方程、積分方程.而拉普拉斯變換對於求解微分方程非常有效,首先通過拉普拉斯變換將微分方程化為像函數代數方程，由代數方程求出像函數，然後再用拉普拉斯逆變換，就得到微分方程的解。利用拉普拉斯變換可以比較方便地求解常係數線性微分方程（或方程組）的初值問題,其基本步驟如下:

（1）根據拉普拉斯變換的微分性質和線性性質,對微分方程（或方程組）兩端取拉普拉斯變換,把微分方程化為象函數的代數方程;

（2）從象函數的代數方程中解出象函數;

（3）對象函數求拉普拉斯逆變換,求得微分方程（或方程組）的解.例9.17求解微分方程解：令方程的兩邊取拉普拉斯積分變換，得解此方程得求拉普拉斯逆變換，可以得到例9.18求解微分方程組解：令對方程的兩邊取拉普拉斯積分變換，求解方程組可以得到因此並利用初始條件，得到例9.19品質為的物體靜止在原點，在時受到解：運動的微分方程初值問題為令在方程兩邊取拉普拉斯積分變換，可以得到即故物體的運動方程為軸方向的衝擊力，求物體的運動方程。9.3.2綜合舉例解：將函數寫為則例9.20求函數的像函數。例9.21已知，求解：由於是像函數的簡單極點和三階極點，所以例9.22求解微分方程組解：令對方程的兩邊取拉普拉斯積分變換，並利用初始條件，可以得到解得所以，取拉普拉斯變換的逆變換，可以得到例9.23求解積分方程解：由於所以原方程可以化為令，因而對原方程的兩邊取拉普拉斯積分變換，可以得到故取拉普拉斯逆變換，可以得到例9.24在RLC電路中。串接直流電源E(如圖).求回路電流解：根據基爾霍夫定律，有其中即電路問題的拉普拉斯變換解法而將它們代入上式可得兩邊取拉普拉斯變換，設，則有解出，得求的拉普拉斯逆變換，得ℒℒ特別地，若則查表得

共形映射§6.1共形映射的概念§6.2分式線性映射§6.3幾個初等函數構成的共形映射第一講§6.1共形映射的概念一.曲線的切線二.導數的幾何意義三.共形映射的概念

§6.1共形映射的概念(Theconceptionofconformalmapping)一.曲線的切線設連續曲線(z)(z)

切線隨切點的移動而連續轉動的有向曲線稱為有向光滑曲線.(z)二.導數的幾何意義則即(1)即(z)(w)~~~~~~~x(z)(w)——保角性由上述討論我們有(z)(w)三.共形映射的概念定義6.1定理6.1

若上述共形映射定義中，僅保持角度絕對值不變，而旋轉方向相反，此時稱第二類共形映射。課後作業習題六1-4一.分式線性映射的定義二.分式線性映射的性質

§6.2分式線性映射（Thefractionlinearitymapping）第二講一.分式線性映射的定義定義

分式線性映射(1)總可以分解成下述三種特殊映射的複合：

事實上:定義roxyP

規定無窮遠點的對稱點為圓心ooTP1ox,uy,vzw二.分式線性映射的性質（詳見P195）~~~~~~~~~定理1~~~~~~~定理2定理3在分式線性映射下，圓周或直線上沒有點趨於無窮點，則它映射成半徑為有限的圓周；若有一點映射成無窮遠點，它映射成直線。一.冪函數二.指數函數§6.3幾個初等函數構成的共形映射

(Conformalmappingcomposedofseveralelementaryfunctions)一.冪函數冪函數：xy(z)uv(w)xy(z)上岸下岸uv(w)冪函數所構成的映射特點：把以原點為頂點的角形域映射成以原點為頂點的角形域，但張角變成了原來的n倍，因此，xy(z)uv(w)i例1解:-ixy(z)i11uv(w)例2二.指數函數帶形區域角形區域xy(z)iauv(w)x

y(z)

上岸下岸u

v

(w)xy(z)u

v(w)i例3解xy(z)ab1例4解uv(w)xy(z)uv(w)EABDC例5解答：xy(z)uv(w)xy(z)-11例6uv(w)解例7課後作業習題六:5-9解析函數在平面場中的應用Analysisfunctionapplyingintheplanefield第一講§7.1複勢的概念§7.2複勢的應用§7.3用共形映射方法研究平面場§7.1複勢的概念

(TheConceptionofthecomplexpotential)

物理中有許多不同的穩定平面場，都可以用解析函數來描述，這種平面場的物理現象，可以用相應的解析函數的性質來描述。如果平面平行向量場不隨時間變化，我們稱為平面定常向量場。我們設，對平面上的任意點，可以用一個解析函數來表示

例如：一個平面定常流速場可以用複變函數表示為定義7.1曲線積分如果，則存在函數，使那麼稱為向量場的流函數。其中稱為向量場通過曲線的流量。定義7.2曲線積分如果，則存在函數使那麼稱為向量場的勢函數。稱為向量場沿曲線的環量。§7.2複勢的應用(Theapplicationofthecomplexpotential)例7.1試研究一平面流速場的複勢為解：在整個複平面上解析，，說明場中任意點的流速方向為勢函數為，所以等勢線為的速度、流函數和勢函數。流函數為，所以流線為軸正向；可以得到例7.2試研究以解：在任意處，流函數是所以流線為勢函數為等勢線為。為複勢的平面定常流速場。在熱力學的熱傳導理論中，已經證明，介質的熱量與溫度梯度稱正比，我們也可以構造熱流場的複勢：稱為溫度函數（或勢函數），稱為等溫線；稱為熱流函數，是熱量流動所沿的曲線。熱流場可以用複變函數。在空間靜電場中，我們也可以構造複勢，其中稱為力函數，稱為靜電場的複勢，是一個解析函數。§7.3用共形映射方法研究平面場在速度場、熱流場和靜電場等平面場中，常用共形映

射的方法求得複勢函數，方法是將已給的平面區域映照為典型區域。而這些典型區域各自對應著所考慮問題的類型。如速度場映射為上半平面或帶形

區域，靜電場映射為圓形區域或帶形區域等。(TostudytheplanefieldinConformalmapping)例7.3求解：等勢線是，電力線方程為為。它們都是雙曲線組。表示的電場。§7.3用共形映射方法研究平面場在速度場、熱流場和靜電場等平面場中，常用共形映

射的方法求得複勢函數，方法是將已給的平面區域映照為典型區域。而這些典型區域各自對應著所考慮問題的類型。如速度場映射為上半平面或帶形

區域，靜電場映射為圓形區域或帶形區域等。例7.4設曲線由射線，中心在點半徑為上的半圓周以及射線所組成，不可壓縮流體（無源也無匯）在域內作無旋流動，又設無窮遠點的速度為給定的，解：求流速場的複勢，就要把區域的邊界映射為實軸，把區域映射為上半平面，可通過下述映射方法來完成。由於，，可以知道，所以

令，可以知道故流線方程為。，求所產生的流速場。例7.5設在射線上的電勢為解：求靜電場的複勢，就是找函數，使已知區域共形映射為平面上的帶形區域，而使射線、實軸分別與對應，所以為所求的複勢，它是區域內的單值函數，用它可以求出靜電場中的各量。而在實軸上為零，求所產生的靜電勢。

複變函數的積分

(Lntegrationoffunctionofthecomplexvariable)§3.1複積分的概念§3.2柯西積分定理§3.3柯西積分公式§3.4解析函數的高階導數

§3.1複積分的概念第一講§3.2柯西積分定理§3.1複積分的概念(Theconceptionofcomplexintegration)一、複變函數積分的定義二、複變函數積分的計算三、複變函數積分的性質一、複變函數積分的定義定義3.1DBxyo.二、複變函數積分的計算定理3.1證明:複變函數積分由曲線積分的計算法得oxyoxyrC

解：此直線方程可寫作例3、計算其中為從原點到點的直線段.或由積分公式得：三、複變函數積分的性質設f(z)及g(z)在簡單曲線C上連續，則有（1）（2）（3）其中曲線C是由光滑的曲線連接而成；（4）.如果C是一條簡單閉曲線，那麼可取C上任意一點作為取積分的起點，而且積分當沿C取積分的方向改變時，所得積分相應變號。（5）如果在C上，|f(z)|<M，而L是曲線C的長度，其中M及L都是有限的正數，那麼有，證明：因為兩邊取極限即可得結論。276例4解根據估值不等式知解277學生課堂練習§3.2柯西積分定理

（Cauchyintegraltheorem)柯西積分定理定理3.2設f(z)是單連通區域D內的解析函數，

C是D內任一條簡單閉曲線，那麼其中，沿曲線C的積分是按反時針方向取的。證明定理3.3設f(z)在單連通區域D內解析，則對任意兩點z0,z∈D,積分不依賴於連接起點z0與終點z的曲線，即積分與路徑無關。284例6解根據柯西定理,有由柯西定理,285由柯西定理,由上節例2可知,286根據柯西定理得287288根據本章第一節例2可知,將基本定理推廣到多連連通域中.289

定理3.4（閉路變形原理）290︵︵︵︵︵︵︵︵291得︵︵︵︵此式說明：解析函數沿閉曲線的積分,不因閉曲線在區域內作連續變形而改變它的值.。292推論(複合閉路定理).解顯然函數

在複平面有兩個奇點0和1,例9計算積分其中C為包含0與1在內的簡單閉曲線.其中均取逆時針方向

在C內部作兩個互不包含也互不相交的正向圓周C1和C2,使得C1只包含奇點0,C2

只包含奇點1.據複合閉路定理有295例10解:圓環域的邊界構成一條複合閉路,根據閉路複合定理,296解：例11求，其中為含的任意簡單閉曲線，為整數由複合閉路定理原函數與不定積分的概念定理3.5

設f(z)在單連通區域D內解析，則F(z)在D內解析，且設f(z)在單連通區域D內解析，則對D中任意曲線C,只與起點和終點有關。

當起點固定在z0,終點z在D內變動,在B內就定義了一個的單值函數，記作定義3.2若函數F(z)在單連通區域D內的導數等於f(z)

，即

,稱F(z)為f(z)在D內的原函數.設H(z)與G(z)是f(z)的任何兩個原函數，這表明：f(z)的任何兩個原函數相差一個常數。

設F(z)是f(z)的一個原函數，稱F(z)+C(C為任意常數)為f(z)的不定積分，記作定理3.6設f(z)在單連通區域D內解析，F(z)是f(z)的一個原函數，則例12計算積分解:

第二講

§3.3柯西積分公式§3.4解析函數的高階導數§3.3柯西積分公式

（Cauchyintegralformula）其中曲線C是按逆時針方向取的，我們稱它為柯西公式。.定理3.7設f(z)在簡單閉曲線C所圍成的區域D內解析，是D內任一點，則有柯西積分公式.在滿足的點處解析。在上，挖去以Cr為邊界的圓盤，餘下的點集是一個閉區域。證明：函數以為心，作一個包含在D內的圓盤，設其半徑為r，邊界為圓Cr。.其中，沿曲線C的積分是按關於D的正向取的，沿Cr的積分是按反時針方向取的。如下圖在上，應用定理3.4有•.由於由f(z)在點z0的連續性，所以使得當.因此即當r趨近於0時，(*)右邊的有第二個積分趨近於0；而因此，結論成立。說明:1、有界閉區域上的解析函數，它在區域內任一點所取的值可以用它在邊界上的值表示出來。2、柯西公式是解析函數的最基本的性質之一，可以幫助我們研究解析函數的許多重要性質。推論1（平均值公式）設

說明：一個解析函數在圓心處的值等於它在圓周上的平均值.證明推論2設在由簡單閉曲線圍成的二連通區域並在曲線的內部，例1、求下列積分的值由平均值公式還可以推出解析函數的一個重要性質，即解析函數的最大模原理。解析函數的最大模原理，是解析函數的一個非常重要的原理，它說明了一個解析函數的模，在區域內部的任何一點都達不到最大值，除非這個函數恒等於常數。定理3.8(最大模原理)設則在區域推論1在區域若其模在區域內達到最大值，則此函數必恒等於常數.推論2設在有界區域連續，則必在區域的邊界上達到最大值。證明：若顯然成立，若有連續函數的性質及本定理即可得證。

§3.4解析函數的高階導數

(Thehigherorderderivativeofanalyticfunction)一個解析函數不僅有一階導數,而且有各高階導數,它的值也可用函數在邊界上的值通過積分來表示.這一點和實變函數完全不同.一個實變函數在某一區間上可導,它的導數在這區間上是否連續也不一定,更不要說它有高階導數存在了..定理3.9設f(z)在以簡單閉曲線C所圍成的區域D內解析。在上連續，則f(z)在D內有任意階導數，且.證明：先證明結論關於n=1時成立。設是D內另一點。只需證明，當h趨近於0時，下式也趨近於0

。現在估計上式右邊的積分。設以z為心，以2d為半徑的圓盤完全在D內，並且在這個圓盤內取z+h，使得0<|h|<d，那麼當時設|f(z)|在C上的一個上界是M，並且設C的長度是L，於是我們有因此當h趨近於0時，要證的積分趨於0。.現在用數學歸納法完成定理的證明。設n=k時，結論成立。取z及z+h同上，那麼有.由此證明，當h趨近於0時，上式的右邊趨於0，於是定理的結論當n=k+1時成立。證畢例13求下列積分的值,C為正向圓周:|z|=r>1.解:1)函數在C內的z=1處不解析,但cosлz在C內卻是處處解析的.柯西不等式與劉維爾定理定理3.10設函數f(z)在以內解析，又,則此式稱為柯西不等式.證明由導數公式，有其中，n=1,2,…

。說明:（1）此不等式稱為柯西不等式。（2）在C上解析的函數，我們稱它為一個整函數，例如都是整函數，關於整函數我們有下麵重要的劉維爾定理劉維爾定理定理3.11有界整函數一定恒等常數證明

f(z)是有界整函數，即存在使得f(z)在上解析。由柯西公式，有令，可見從而f(z)在C上恒等於常數。

應用解析函數有任意階導數，可以證明柯西定理的逆定理，莫勒拉定理：如果函數f(z)在區域D內連續，並且對於D內的任一條簡單閉曲線C，我們有那麼f(z)在區域D內解析。解析函數的級數表示(Therepresentationofpowerseriesofanalyticfunction)

§4.1複數項級數§4.2複變函數項級數§4.3泰勒（Taylor）級數§4.4洛朗(Laurent)級數第一講§4.1複數項級數§4.2複變函數項級數§4.1複數項級數一、複數序列的極限二、複數項級數(Seriesofcomplexnumber）記作就能找到一個正數N,從而有所以同理定理4.1那末對於任意給定證明反之,如果從而有[證畢]稱為複數項級數.稱為級數的部分和.若{sn}(n=1,2,…,)以有限複數s為極限,二、複數項級數即則稱複數項無窮級數(4.1)收斂於s,且稱s為(4.1)的和,寫成否則稱級數(4.1)為發散.

定理4.2複級數(4.1)收斂於s=a+ib(a,b為實數)的充要條件為:

證明（留給學生課堂討論）解（1）（2）例3

解

定理4.3級數收斂的必要條件是證明因為級數收斂的充分必要條件是都收斂，再由實級數收斂的必要條件是定理4.4若級數收斂，則級數也收斂。若級數收斂,則稱絕對收斂.若級數收斂,發散，則稱為條件收斂。為條件收斂。為條件收斂。為條件收斂。為條件收斂。例4故原級數收斂,且為絕對收斂.所以由正項級數的比值判別法知:因為解故原級數收斂.所以原級數條件收斂。例5解§4.2複變函數項級數一、複變函數項級數二、冪級數

(Seriesoffunctionofcomplexvariable)設複變函數項級數

f1(z)+f2(z)+f3(z)+…+fn(z)+…(4.2)的各項均在區域D內有定義,且在D內存在一個函數f(z),對於D內的每一點z,級數（4.2）均收斂於f(z),則稱f(z)為級數(4.2)的和函數,記為:一、複變函數項級數的復函數項級數稱為冪級數,其中a,c0,c1,c2,…,

都是複常數.二、冪級數形如：以上冪級數還可以寫成如下形式定理4.5(阿貝爾)如果冪級數(4.3)在某點z1(≠a)收斂,則它必在圓K:|z-a|<|z1-a|(即以a為圓心圓周通過z1的圓)內絕對收斂.

a•收斂,它的各項必然有界,即有正數M,使(n=0,1,2,…),因為|z-a|<|z1-a|,故級數收斂證明設z是所述圓內任意點.因為在圓K內絕對收斂.

推論

若冪級數(4.3)在某點z2(≠a)發散,則滿足|z-a|>|z2-a|的點z都是冪級數(4.3)發散.

az1z2當

z≠a有以下三種情況:(1)對所有的複數z冪級數（4.3）均收斂.冪級數,首先它在z=a點處總是收斂的，例如,級數對任意固定的z,從某個n開始,總有於是有故該級數對任意的z均收斂.(2)對於任意z≠a冪級數（4.3）都發散.例如,級數通項不趨於零,故級數發散.

(3)存在一點z1≠a,使級數收斂(此時,根據定理4.5的第一部分知,它必在圓周|z-a|=|z1-a|內部絕對收斂),另外又存在一點z2,使冪級數（4.3）發散.(肯定|z2-a|≥|z1-a|);根據推論知,它必在圓周|z-a|=|z2-a|外部發散.)在這種情況下,可以證明,存在一個有限正數R,使得級數(4.3)在圓周|z-a|=R內部絕對收斂,在圓周|z-a|=R外部發散.R稱為此冪級數的收斂半徑;圓|z-a|<R和圓周|z-a|=R分別稱為它的收斂圓和收斂圓周.在第一情形約定R=+∞;在第二情形,約定,並也稱它們為收斂半徑.R=0..收斂圓收斂半徑冪級數的收斂範圍是以a點為中心的圓域.收斂圓周

一個冪級數在其圓周上的斂散性有三種可能:(1)處處發散.(2)處處收斂.(2)既有收斂點,又有發散點.

冪級數的收斂半徑的求法則冪級數的收斂半徑為:R=1/l(l≠0,l≠+∞);0(l=+∞);+∞(l=0).(4.4)

冪級數的和函數的解析性:例1求下列冪級數的收斂半徑:(1)(並討論在收斂圓周上的情形)(2)(並討論時的情形)解(1)因為所以收斂半徑即原級數在圓內收斂,在圓外發散,

在圓周上,級數所以例2求的收斂半徑.解例3求級數的收斂半徑與和函數.利用逐項積分,得:解所以例4計算解

(1)冪級數的和函數f(z)在其收斂圓K:|z-a|<R(0<R≤+∞)內解析.說明：同實變函數冪級數一樣，我們有可以逐項求導至任意階。可以逐項求積分。

(2)在收斂圓K內,冪級數

(3)在收斂圓K內,冪級數

課後作業

一、思考題：1、2

二、習題四：1-5

第二講§4.3泰勒（Taylor）級數§4.4洛朗(Laurent)級數一、解析函數泰勒定理二、一些初等函數的泰勒展式

§4.3泰勒（Taylor）級數

(Taylor’sseries)

一、解析函數泰勒定理冪級數的和函數在它的收斂圓內部是一個解析函數.反過來，解析函數能否展開成冪級數?定理4.6此式稱為在

的泰勒展開式,它右端的級數稱為在

處的泰勒級數.二、一些初等函數的泰勒展式例2、把下列函數展開成z的冪級數(3)解：因ln(1+z)在從z=-1向左沿負實軸剪開的平面內解析，ln(1+z)離原點最近的一個奇點是-1,

它的展開式的收斂範圍為

z

<1.因為§4.4洛朗(Laurent)級數

(Laurent’sseries)一、雙邊冪級數二、解析函數的洛朗展式一個以z0為中心的圓域內解析的函數f(z),可以在該圓域內展開成z-z0的冪級數.如果f(z)在z0處不解析,則在z0的鄰域內就不能用z-z0的冪級數來表示.本節將討論在以z0為中心的圓環域內的解析函數的級數表示法.形如一、雙邊冪級數

只有正冪項和負冪項都收斂才認為原級數收斂於它們的和.正冪項是一冪級數,設其收斂半徑為R2：的級數稱為雙邊冪級數，考慮如下兩部分：對負冪項,如果令,就得到：則當|z-z0|>R1時,即|z|<R,因此,只有在R1<|z-z0|<R2的圓環域,原級數才收斂.這是

的冪級數,設收斂半徑為Rz0R1R2在圓環域內解析的函數是否一定能夠展開成冪級數?

定理4.7設f(z)在圓環域R1<|z-z0|<R2內解析,則C為在圓環域內繞z0的任何一條正向簡單閉曲線..二、解析函數的洛朗展式Cz0R1R2稱為函數f(z)在以z0為中心的圓環域:

R1<|z-z0|<R2內的洛朗(Laurent)展開式,它右端的級數稱為f(z)在此圓環域內的洛朗級數.

一個在某圓環域內解析的函數展開為含有正,負冪項的級數是唯一的,這個級數就是f(z)的洛朗級數.

分別在圓環域（1）0<|z|<1;（2）1<|z|<2;

（3）2<|z|<+

內展開成洛朗級數.xyO1xyO12xyO2yxo12解:(1)在(最大的)去心鄰域

(2)在(最大的)去心鄰域留數及其應用(Residueandapplication)§5.1孤立奇點§5.2留數§5.3留數在定積分中的應用§5.4對數留數與輻角原理第一講§5.1孤立奇點

(Isolatedsingularpoint)一、孤立奇點的分類二、各類奇點的特徵三、函數的零點與極點的關係四、解析函數在無窮遠點的性質一、孤立奇點的分類定義5.1如果函數雖在不解析,但在

的某一個去心鄰域

內處處解析,則稱為

的孤立奇點.

但是奇點而不是孤立奇點。換句話說,在不論怎樣小的去心領域內總有

的奇點存在.將函數

在它的孤立奇點

的去心鄰域內展開成洛朗級數.（1）可去奇點如果在洛朗級數中不含z-z0的負冪項,則孤立奇點z0稱為f(z)的可去奇點.有

f(z)=c0+c1(z-z0)+...+cn(z-z0)n+....0<|z-z0|<d,則|z-z0|<d內就有f(z)=c0+c1(z-z0)+...+cn(z-z0)n+...,

從而函數f(z)在z0就成為解析的了.所以z0稱為可去奇點.（3）本性奇點如果在洛朗級數中含有無窮多z-z0的負冪項,則孤立奇點z0稱為f(z)的本性奇點.（2）極點如果在洛朗級數中只有有限多個z-z0的負冪項,即

f(z)=c-m(z-z0)-m+...+c-2(z-z0)-2+c-1(z-z0)-1+c0+c1(z-z0)+...(m

1,c-m

0),則孤立奇點z0稱為函數f(z)的m階極點.二、各類奇點的特徵定理5.1函數f(z)在內解析，那麼是f(z)的可去奇點的必要與充分條件是存在著極限：其中是一個複數。證明：（必要性）由假設，在內，f(z)有洛朗級數展式：.因為上式右邊的冪級數的收斂半徑至少是R，所以它的和函數在內解析，於是顯然存在著：（充分性）設在內，f(z)的洛朗級數展式是由假設，存在著兩個正數M及，使得在內，.於是是f(z)的可去奇點。那麼取,使得,我們有當n<0時，在上式中令趨近於0，就得到.下麵研究極點的特徵。設函數f(z)在下麵研究極點的特徵。設函數f(z)在定理5.1′設f(z)在內解析，則是f(z)的可去奇點的充分必要條件是：f(z)在內有界。內解析,是f(z)的階極點，那麼，f(z)有洛朗展式：.在這裏。於是在內.在這裏是一個在內解析的函數，並且反之，如果函數f(z)在內可以表示成為上面的形狀，而是一個在內解析的函數，並且，那麼可以推出是f(z)的m階極點。於是我們就得到：是f(z)的m階極點的充分必要條件是其中在處解析且由此可以證明：.定理5.2設函數f(z)在內解析，那麼是f(z)的極點的充分必要條件是：是f(z)的m階極點的充分必要條件是：.關於解析函數的本性奇點，我們有下麵的結論：定理5.3函數f(z)在內解析，那麼是f(z)的本性奇點的充分必要條件是：不存在也不為綜上所述:我們可以利用上述極限的不同情形來判別孤立奇點的類型.例4研究函數的孤立奇點的類型。所以z=0是函數的可取奇點。例5研究函數的孤立奇點的類型。例6研究函數的孤立奇點的類型。三、函數的零點與極點的關係

定義5.2若f(z)=(z-z0)mj(z),其中j(z)在z0解析且j(z0)

0,m為某一正整數,則稱z0為f(z)的m階零點.例7當f(z)=z(z-1)3時,z=0與z=1是它的一階與三階零點.根據這個定義,我們可以得到以下結論:

定理5.4若f(z)在z0解析,則z0是f(z)的m階零點的充要條件是

f(n)(z0)=0,(n=0,1,2,...,m-1),f(m)(z0)

0.證明：如果f(z)在z0解析,就必能在z0的鄰域展開為泰勒級數:f(z)=c0+c1(z-z0)+...+cm(z-z0)m+…，

易证（学生自己证明）

z0是f(z)的m級零點的充要條件是前m項係數

c0=c1=...=cm-1=0,cm

0,這等價於

f(n)(z0)=0,(n=0,1,2,...,m-1),f(m)(z0)

0。

由於f(z)=(z-z0)mj(z)中的j(z)在z0解析,且(z0)

0,因而它在z0的鄰域內恒不為零.這是因為j(z)在z0解析,必在z0連續,即例8z=1是f(z)=z3-1的零點,由於

從而知z=1是f(z)的一階零點.所以f(z)=(z-z0)mj(z)在z0的去心鄰域內不為零,只在z0等於零。即不恒為零的解析函數的零點是孤立的.定理5.5

如果z0是f(z)的m階極點,則z0就是的m階零點,反過來也成立.證明:“

”若z0為ƒ(z)的m階極點證畢例9函數1/sinz

有些什麼奇點?如果是極點,指出它的階.

解:函數1/sinz的奇點顯然是使sinz=0的點.這些奇點是z=kπ(k=0,

1,

2,…).由於

(sinz)'|z=kπ

=cosz|z=kπ

=,所以z=kπ

是sinz的一階零點,也就是1/sinz的一階極點.例10課外練習題四、函數在無窮遠點的性態

定義5.3

設函數f(z)在無窮遠點區域內解析，那麼無窮遠點稱為f(z)的孤立奇點。在這個區域內，f(z)有洛朗級數展式：令,按照R>0或R=0，我們得到在.或內解析的函數根據w=0是的可去奇點、（m階）極點或本性奇點，定義是f(z)的可去奇點、（m階）極點或本性奇點。（2）、如果只有有限個（至少一個）整數n，使得，那麼是f(z)的極點。.（1）、如果當n=1,2,3,…，時，，那麼是f(z)的可去奇點。設對於正整數m，，而當n>m時，那麼我們稱是f(z)的m階極點。按照m=1或m>1，我們也稱是f(z)的單極點或m重極點。（3、如果有無限個整數n>0，使得，那麼我們說是f(z)的本性奇點。.定理5