【校本课程】《中学数学思想与常用方法》校本教材

中学校本课程

中学数学思想

与常用方法

目录

前言..........................................0

波利亚的怎样解题表.............................1

第一章高中数学常用的数学思想................8

函数与方程的思想方法.................9

分类讨论的思想方法...................13

特殊与一般的思想方法.................15

数形结合的思想方法...................17

化归与转化的思想方法................21

或然与必然的思想方法................23

有限与无限的思想方法................25

第二章高中数学解题基本方法.................28

配方法.............................28

换元法.............................31

待定系数法.........................34

反证法.............................38

定义法..............................41

数学归纳法.........................44

序—

美国著名数学教育家波利亚说过，掌握数学就意味着要善于解题。而当我们

解题时遇到一个新问题，总想用熟悉的题型去“套”，这只是满足于解出来，只有

对数学思想、数学方法理解透彻及融会贯通时，才能提出新看法、巧解法。高考

试题十分重视对于数学思想方法的考查，特别是突出考查能力的试题，其解答过

程都蕴含着重要的数学思想方法。我们要有意识地应用数学思想方法去分析问题

解决问题，形成能力，提高数学素质，使自己具有数学头脑和眼光。

高考试题主要从以下几个方面对数学思想方法进行考查：

常用数学方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去

法等；

数学逻辑方法：分析法、综合法、反证法、归纳法、演绎法等；

数学思维方法：观察与分析、概括与抽象、分析与综合、特殊与一般、类比、

归纳和演绎等；

常用数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化（化

归）思想等。

数学思想方法与数学基础知识相比较，它有较高的地位和层次。数学知识是

数学内容，可以用文字和符号来记录和描述，随着时间的推移，记忆力的减退，

将来可能忘记。而数学思想方法则是一种数学意识，只能够领会和运用，属于思

维的范畴，用以对数学问题的认识、处理和解决，掌握数学思想方法，不是受用

一阵子，而是受用一辈子，即使数学知识忘记了，数学思想方法也还是对你起作

用。

数学思想方法中，数学基本方法是数学思想的体现，是数学的行为，具有模

式化与可操作性的特征，可以选用作为解题的具体手段。数学思想是数学的灵魂,

它与数学基本方法常常在学习、掌握数学知识的同时获得。

可以说，“知识”是基础，“方法”是手段，“思想”是深化，提高数学素质的核

心就是提高学生对数学思想方法的认识和运用，数学素质的综合体现就是“能

力

《高中数学思想与方法》课程纲要

一、基本项目

课程名称：《高中数学思想与方法》

课程类型:知识拓展类

授课教师：

授课对象：高二学生

二、课程目标

高中学生在学习数学知识的同时应当对数学的思想和方法有所了解和认识，

这不仅因为数学的发展为人类文明积累了大量宝贵的科学思想和科学方法，需要

学生去学习和掌握，更重要的是为学生将来能独立地开展科学探究、创新活动奠

定坚实的基础所必须具有的思想与方法。因此本课程旨在为学有余力的同学提供

知识拓展并形成系统而扎实的学科知识体系，加深对数学概念和规律的理解，达

到培养具有完备的学科思想和具有独立科学探究能力，掌握灵活应用学科知识进

行分析和解决问题的能力，为终身学习打下良好的基础，同时，也为全国奥林匹

克竞赛发现人才和选拔人才做准备。

1、知识与技能

A.系统学习和掌握高中数学知识，深刻理解数学的有关概念，掌握数学相

关规律。

B.掌握数学的科学思想和科学方法，初步能应用数学的思想和方法来分析

数学问题和解决教学问题。

2、过程与方法

A.经历学习过程，懂得如何进行科学探究的活动。

B.体会数学的科学思想和科学研究方法。

C.学会如何分析数学情景，学会如何进行建模，熟练掌握分析问题和解决

问题的常规和典型的方法与技巧。

3、情感态度及价值观

A.通过对数学思想和方法的学习，培养学生热爱数学、关注数学的发展和

数学为社会的发展所带来的巨大贡献。

B.树立热爱科学、崇尚科学的科学观和人生观。

三、课程简介

本课程包括以下专题：（一）高考中常用数学基本方法：配方法、换元法、

待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法、反证法、分析与综合法、特殊与一

般法、类比与归纳法、观察与实验法；（二）高考中常用的数学思想：函数与方

程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想。每个专题都有所侧重,

均在课程模块学习的基础上进行拓展学习，必要时可以进行加深，以达到系统掌

握数学思想与方法。

四、课程实施

学时安排:每个专题安排时间约为2课时，总课时为20学时，学生每修完本

专题可获得1学分。每周开1课时，时间0.5学年。

教学方式：课内理论教授与课外实践相结合，要求课堂采用教师讲解法与学

生探讨法为主，贯彻新课改精神，采取启发式教学，同时要求学生课后积极实践，

即多想多练，课堂内外相结合,培养学生的基本数学素养。

五、课程评价

课程评价采用过程性评价和终结性评价相结的方式，以量化的形式体现：

1、过程性评价

考勤（10%）,课堂交流参与度（10%）；完成作业（任务）情况（20%）；同学

互评（10%）。

2、终结性评价

每个模块学习结束时，进行一次能力测试或完成一项研究报告（50%）。

3、最终评定成绩由上述二方面组成，每方面均不低于应得的60%,可获得相

应的学分。

波利亚的怎样解题表

1、乔治•波利亚

乔治・波利亚（GeorgePolya,1887〜1985）是美籍匈牙利数学家、数学教育

家.在解题方面，是数学启发法（指关于发现和发明的方法和规律，亦译为探索

法）现代研究的先驱.由于他在数学教育方面取得的成就和对世界数学教育所产

生的影响，在他93岁高龄时，还被ICME（国际数学教育大会）聘为名誉主

席.

作为一个数学家，波利亚在函数论、变分法、概率、数论、组合数学、计算

和应用数学等众多领域，都做出了开创性的贡献，留下了以"波利亚”命名的定理

或术语；他与其他数学家合著的《数学分析中的问题和定理》、《不等式》、《数学

物理中的等周问题》、《复变量》等书堪称经典；而以200多篇论文构成的四大卷

文集，在未来的许多年里，将是研究生攻读的内容.

作为一个数学教育家，波利亚的主要贡献集中体现在《怎样解题》（1945年）、

《数学与似真推理》（1954年）、《数学的发现》（1962年）三部世界名著上，涉及"解

题理论"、"解题教学"、"教师培训”三个领域.波利亚对数学解题理论的建设主要

是通过“怎样解题"表来实现的，而在尔后的著作中有所发展，也在“解题讲习班"

中对教师现身说法.他的著作把传统的单纯解题发展为通过解题获得新知识和新

技能的学习过程，他的目标不是找出可以机械地用于解决一切问题的“万能方

法"，而是希望通过对于解题过程的深入分析，特别是由已有的成功实践，总结

出一般的方法或模式，使得在以后的解题中可以起到启发的作用.他所总结的模

式和方法，包括笛卡儿模式、递归模式、叠加模式、分解与组合方法、一般化与

特殊化方法、从后往前推、设立次目标、归纳与类比、考虑相关辅助问题、对问

题进行变形等，都在解题中行之有效.尤其有特色的是，他将上述的模式与方法

设计在一张解题表中，并通过一系列的问句或建议表达出来，使得更有启发意

义.著名数学家互尔登在瑞士苏黎世大学的会议致词中说过："每个大学生、每

个学者、特别是每个教师都应该读这本引人入胜的书"（1952年2月2日）.

2、怎样解题表

波利亚是围绕“怎样解题"、"怎样学会解题"来开展数学启发法研究的，这首

先表明其对"问题解决"重要性的突出强调，同时也表明其对“问题解决"研究兴趣

集中在启发法上.波利亚在风靡世界的《怎样解题》（被译成14种文字）一书中

给出的"怎样解题表"，正是一部"启发法小词典”.

2.1"怎样解题”表的呈现

第一：弄清问题

未知是什么？已知是什么?条件是什么?满足条件是否可能？

要确定未知，条件是否充分?或者它是否不充分?或者是多余的?或者是矛

弄清问题盾的？

画张图，引入适当的符号.

把条件的各个部分分开.你能否把它们写下来？

第二：拟定计划

你以前见过它吗?你是否见过相同的问题而形式稍有不同？

你是否知道与此有关的问题?你是否知道一个可能用得上的定理？

看着未知数，试想出一个具有相同未知数或相似未知数的熟悉的问题.

这里有一个与你现在的问题有关，且早已解决的问题.

找出已知数

你能不能利用它?你能利用它的结果吗?你能利用它的方法吗?为了能利用

与未知数之间

它，你是否应该引入某些辅助元素？

的联系.如果

你能不能重新叙述这个问题?你能不能用不同的方法重新叙述它？

找不出直接的

回到定义去.

联系，你可能

如果你不能解决所提出的问题，可先解决一个与此有关的问题.你能

不得不考虑辅

不能想出一个更容易着手的有关问题?一个更普遍的问题?一个更特殊的问

助问题.

题?一个类比的问题?你能否解决这个问题的一部分?仅仅保持条件的一部

你应该最终得

分而舍去其余部分.这样对于未知数能确定到什么程度?它会怎样变化?你

出一个求解的

能不能从已知数据导出某些有用的东西?你能不能想出适合于确定未知数

计划

的其他数据?如果需要的话，你能不能改变未知数或数据，或者二者都改变,

以使新未知数和新数据彼此更接近？

你是否利用了所有的已知数据?你是否利用了整个条件?你是否考虑了

包含在问题中的必要的概念？

第三：实现计划

实行你的计实现你的求解计划，检验每一步骤.

划你能否清楚地看出这一步骤是正确的?你能否证明这一步骤是正确的？

第四：回顾

你能否检验这个论证?你能否用别的方法导出这个结果?你能不能一下子

验算所得到

看出它来？

的解

你能不能把这一结果或方法用于其他的问题？

下面是实践波利亚解题表的一个示例，能够展示波利亚解题风格的心路历

程，娓娓道来，栩栩如生.

2.2"怎样解题"表的实践

例1给定正四棱台的高h,上底的一条边长a和下底的一条边长b,求正

四棱台的体积F.（学生已学过棱柱、棱锥的体积）

讲解第一，弄清问题.

问题1.你要求解的是什么？

要求解的是几何体的体积,在思维中的位置用一个单点F象征性地表示出来（图

问题2.你有些什么？

一方面是题目条件中给出的3个已知量a、b、h；另一方面是已学过棱柱、

棱锥的体积公式，并积累有求体积公式的初步经验.把已知的三个量添到图示处

（图2）,就得到新添的三个点a、b、h；它们与F之间有一条鸿沟，象征问题尚未

解决，我们的任务就是将未知量与已知量联系起来.

第二，拟定计划.

问题3.怎样才能求得F?

由于我们已经知道棱柱、棱锥的体积公式，而棱台的几何结构（棱台的定义）

告诉我们，棱台是"用一个平行于底面的平面去截棱锥"，从一个大棱锥中截去一

个小棱锥所生成的.如果知道了相应两棱锥的体积B和A,我们就能求出棱台的

体积

F=B-A.①

我们在图示上引进两个新的点A和B,用斜线把它们与F联结起来，以此表

示这三个量之间的联系（图3,即①式的几何图示）.这就把求F转化为求A、B.

问题4.怎样才能求得A与B?图形几何图示

依据棱锥的体积公式（V=；Sh）,底面积可由

已知条件直接求得，关键是如何求出两个棱锥的

高.并且，一旦求出小棱锥的高X,大棱锥的高也

就求出，为X+h.

我们在图示上引进一个新的点X,用斜线把A

与X、a连结起来,表示A能由a、X得出，A=-a2X；

3

类似地，用斜线把B与b、h、X连结起来，表示B

可由b、x、X得出，B=gb2（X+h）（图4）,这就把

求A、B转化为求X.

问题5.怎样才能求得X?

为了使未知数X与已知数a、b、h联系起来，

建立起一个等量关系.我们调动处理立体几何问题的基本经验，进行"平面化"

的思考.用一个通过高线以及底面一边上中点（图5中，点Q）的平面去截两个棱

锥，在这个截面上有两个相似三角形能把a、b、h、X联系起来（转化为平面几何

问题），由△VPOisavQCh得

上.=0图形儿何图示

x+hb②I，

这就将一个几何问题最终转化为代数方程的求/尸分^

解.解方程②，便可由a、b、h表示x,在图示中便可/\/\

用斜线将x与a、b、h连结起来.至此，我们己在F（必二0（*蒋

与已知数a、b、h之间建立起了一个不中断的联络网,

图5

解题思路全部沟通.

第三，实现计划.

xaah

作辅助线（过程略）如图5,由相似三角形的性质，得"工一各，解得x=F.

a，

进而得两锥体的体积为A=la2x=-二工,

33

Nh

B=-b2（x+h）=lb-a,

33

得棱台体积为

0-a3M

F=B—A=3.b-a=1（a2+ab+b2）h.③

3

第四，回顾.

⑴正面检验每一步，推理是有效的，演算是准确的.再作特殊性检验，令

a00,由③可得正四棱锥体的体积公式；令a9b,由③可得正四棱柱体的体积

公式.这既反映了新知识与原有知识的相容性，又显示出棱台体积公式的一般性;

这既沟通了三类几何体极限状态间的知识联系，又可增进三个体积公式的联系记

忆.

⑵回顾这个解题过程可以看到，解题首先要弄清题意，从中捕捉有用的信

息（如图1所示，有棱台，a、b、h、F共5条信息），同时又要及时提取记忆网络

中的有关信息（如回想：棱台的定义、棱锥的体积公式、相似三角形的性质定理、

反映几何结构的运算、调动求解立体几何问题的经验积累等不下6条信息），并

相应将两组信息资源作合乎逻辑的有效组合.这当中，起调控作用的关键是如何

去构思出一个成功的计划（包括解题策略）.由这一案例，每一个解题者还可以根

据自己的知识经验各自进一步领悟关于如何制定计划的普遍建议或模式.

⑶在解题方法上，这个案例是分析法的一次成功应用，从结论出发由后往

前找成立的充分条件.为了求F,我们只需求A、B（由棱台体积到棱锥体积的转

化一一由未知到已知，化归）；为了求A、B,我们只需求x（由体积计算到线段计

算的转化一一由复杂到简单，降维）；为了求x,我们只需建立关于x的方程（由几

何到代数的转化一一数形结合）；最后，解方程求x,解题的思路就畅通了，在当

初各自孤立而空旷的画面上（图1）,形成了一个联接未知与已知间的不中断网络

（图5）,书写只不过是循相反次序将网络图作一叙述.这个过程显示了分析与综

合的关系，"分析自然先行，综合后继；分析是创造，综合是执行；分析是制定

一个计划，综合是执行这个计划

（4）在思维策略上，这个案例是“三层次解决”的一次成功应用.首先是一般性

解决（策略水平上的解决），把F转化为A,B的求解（F=A—B）,就明确了解题

的总体方向；其次是功能性解决（方法水平的解决），发挥组合与分解、相似形、

解方程等方法的解题功能；最后是特殊性解决（技能水平的解决），比如按照棱台

的几何结构作图、添辅助线找出相似三角形、求出方程的解、具体演算体积公式

等，是对推理步骤和运算细节作实际完成.

⑸在心理机制上，这个案例呈现出"激活一一扩散"的基本过程.首先在正四

棱台（条件）求体积（结论）的启引下，激活了记忆网络中棱台的几何结构和棱锥的

体积公式，然后，沿着体积计算的接线向外扩散，依次激活截面知识、相似三角

形知识、解方程知识（参见图1〜图5）,......直到条件与结论之间的网络沟通.这

种"扩散一一激活”的观点，正是数学证明思维中心理过程的一种解释.

（6）在立体几何学科方法上，这是"组合与分解"的一次成功应用.首先把棱台

补充（组合）为棱锥，然后再把棱锥截成（分解）棱台并作出截面，这种做法在求棱

锥体积时曾经用过（先组合成一个棱柱、再分解为三个棱锥），它又一次向我们展

示"能割善补”是解决立体几何问题的一个诀窍，而“平面化”的思考则是沟通立体

几何与平面几何联系的一座重要桥梁.这些都可以用于求解其他立体几何问题，

并且作为一般化的思想（化归、降维）还可以用于其他学科.

（7）"你能否用别的方法导出这个结果?”在信念上我们应该永远而坚定地做出

肯定的回答，操作上未实现只是能力问题或暂时现象.对于本例，按照化棱台为

棱锥的同样想法，可以有下面的解法.

如图6,正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，连结DAI,DB1,DCl,DB,

将其分成三个四棱锥D-A1B1C1D1,D-AA1B1B,D-BB1C1C,其中

图6图7

为了求力-仪电，我们连结AB1,将其分为两个三棱锥D-ABBl与D-A

bh

A1B1(图7),因SAMB,=AS*BB\,故%-A4//=aV"AB四,

1

但力-ABB,="、-ABD=3.2a2-h=6a2h,

1L11

故%一"即=%_.阴=%a2h+a.%a2h=d(a2+ab)h.

从而“BCO-A&GA=%-A414b_|_%-5"iGC+

=3(a2+ab+b2)h.

⑻〃你能不能把这一结果或方法用于其他问题?〃

能，至少我们可以由正四棱台体积公式一般化为棱台体积公式(方法是一

样的).注意到

a2=Sl,b2=S2,ab=4sls2,

可一般化猜想棱台的体积公式为

丫台=；(si+V^+S2)h.

第一章高中数学基本思想

第一：函数与方程思想

函数思想是对函数内容在更高层次上的抽象、概括与提炼；在研究方程、

不等式、数列、解析几何等其他内容时起着重要作用；

方程思想是解决各类计算问题的基本思想，是运算能力的基础；

高考把函数与方程思想作为七种重要思想方法重点来考查；

第二：数形结合思想

数学研究的对象是数量关系和空间形式，即数与形两个方面，在一维空间,

实数与数轴上的点建立一一对应关系，在二维空间，实数对与坐标平面上的点建

立---1对应关系；

数形结合中，选择、填空侧重突出考查数到形的转化，在解答题中，考虑

推理论证严密性，突出形到数的转化；

第三：分类与整合思想

分类是自然科学乃至社会科学研究中的基本逻辑方法，从具体出发，选取

适当的分类标准，

划分只是手段，分类研究才是目的；

有分有合，先分后合，是分类整合思想的本质属性；

含字母参数数学问题进行分类与整合的研究，重点考查学生思维严谨性与

周密性；

第四：化归与转化思想

将复杂问题化归为简单问题，将较难问题化为较易问题，将未解决问题化

归为已解决问题，灵活性、多样性，无统一模式，利用动态思维，去寻找有利于

问题解决的变换途径与方法；

高考重视常用变换方法：一般与特殊的转化、繁与简的转化、构造转化、

命题的等价转化；

第五：特殊与一般思想

通过对个例认识与研究，形成对事物的认识，由浅入深，由现象到本质、

由局部到整体、由实践到理论，由特殊到一般，再由一般到特殊的反复认识过程;

构造特殊函数、特殊数列，寻找特殊点、确立特殊位置，利用特殊值、特

殊方程；

第六：有限与无限的思想

把对无限的研究转化为对有限的研究，是解决无限问题的必经之路；

积累的解决无限问题的经验，将有限问题转化为无限问题来解决是解决的

方向；

立体几何中求球的表面积与体积，采用分割的方法来解决，实际上是先进

行有限次分割，再求和求极限，是典型的有限与无限数学思想的应用；

第七：或然与必然的思想

随机现象两个最基本的特征，一是结果的随机性，二是频率的稳定性；

偶然中找必然，再用必然规律解决偶然；

等可能性事件的概率、互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发

生的概率、独立重复试验、随机事件的分布列、数学期望是考查的重点；

第一节函数与方程思想

一、函数与方程

函数与方程是两个不同的概念，但它们之间有着密切的联系，方程f(x)=O

的解就是函数y=f(x)的图像与x轴的交点的横坐标，函数y=f(x)也可以看作

二元方程f(x)-y=O通过方程进行研究。

就中学数学而言，函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助

有关初等函数的性质，解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值

范围等问题：二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所

研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的.许多

有关方程的问题可以用函数的方法解决，反之，许多函数问题也可以用方程的方

法来解决。函数与方程的思想是中学数学的基本思想，也是历年高考的重点。

1.函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关

系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图像和性质去分析问题、转化问

题，从而使问题获得解决。函数思想是对函数概念的本质认识，用于指导解

题就是善于利用函数知识或函数观点观察、分析和解决问题。

2.方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程

组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问

题，使问题获得解决。方程的数学是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是

善于利用方程或方程组的观点观察处理问题。方程思想是动中求静，研究运动中

的等量关系.

3.(1)函数和方程是密切相关的，对于函数y=f(x),当y=0时，就

转化为方程f(x)=0,也可以把函数式y=f(x)看做二元方程y-f(x)=0。

函数问题(例如求反函数，求函数的值域等)可以转化为方程问题来求解，

方程问题也可以转化为函数问题来求解，如解方程f(x)=0,就是求函数y

=f(x)的零点。

(2)函数与不等式也可以相互转化，对于函数y=f(x),当y>0时，就

转化为不等式f(x)>0,借助于函数图像与性质解决有关问题，而研究函数的

性质，也离不开解不等式。

(3)数列的通项或前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点处

理数列问题十分重要。

(4)函数f(x)=(ax+加"(nGN*)与二项式定理是密切相关的，利用这

个函数用赋值法和比较系数法可以解决很多二项式定理的问题。

(5)解析几何中的许多问题，例如直线和二次曲线的位置关系问题，需

要通过解二元方程组才能解决，涉及到二次方程与二次函数的有关理论。

(6)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用布列

方程或建立函数表达式的方法加以解决。

二、例题解析

I.运用函数与方程、表达式相互转化的观点解决函数、方程、表达式问题。

【例1】已知叵二^=1,(a、b、cWR),则有()

5a

2222

(A)b>4ac(B)b>4QC(C)h<4ac(D)h<4ac

解析法一：依题设有a•5—b•V5+C=0

石是实系数一元二次方程ox?+—+c=0的一个实根；

—4ac20/.h2>4ac故选(B)

法二：去分母，移项，两边平方得：

5b2=25a2+10ac+c2^10ac+2,5a,c=20ac

b2>4ac故选(B)

点评解法一通过简单转化，敏锐地抓住了数与式的特点，运用方程的思想使问

题得到解决；解法二转化为b2是a、c的函数，运用重要不等式，思路清晰，水

到渠成。

练习1已知关于x的方程x2—(2机-8)x+帆,-16=0的两个实根%,>

3

匕满足阳V—,则实数加的取值范围—

17

答案：｛m|--<m<—｝；

练习2已知函数=+4的图象如下，则()

(A)/?e(-oo,0)(B)〃€(O,1)

(C)Z?e(l,2)(D)be(2,+oo)

答案：A.

II：构造函数或方程解决有关问题:

【例2】已知/(f)=log2'，tG[四，8],对于f(t)值域内的所有实数m,不等式

X2+/77X+4>2/72+4%恒成立，求X的取值范围。

解析[收，8],.•.f(t)e[L3]

2

原题转化为：相。-2)+。-2)2>0恒成立，为m的一次函数(这里思维的转化

很重要)

当x=2时，不等式不成立。

；.x#2。令g(m)=机(》一2)+(%-2)2,mW[；,3]

问题转化为g(m)在m£[L,3]上恒对于0,则：

2[g⑶>。

解得:x>2或x<—1

评析首先明确本题是求x的取值范围，这里注意另一个变量m,不等式的

左边恰是m的一次函数，因此依据一次函数的特性得到解决。在多个字母变量

的问题中，选准“主元”往往是解题的关键。

m：运用函数与方程的思想解决数列问题

【例3】设等差数列｛an｝的前n项和为Sn，已知。3=12,S12>0,S”<0,

(1)求公差d的取值范围；

(2)指出跖、§2、S3…,S'中哪一个最大,并说明理由。

解析(1)由%=设得：6=12-24,

VS12=12^+441=144+42d>0513=136+78d=156+52d<0

/八。n(n-l),1,2八c5

(2)Sn—na、H-------d=—dn+(12—d)〃

512

Vd<0,S“是关于n的二次函数，对称轴方程为：x=--—

2d

2451213

V--<d<-3—<—.•.当n=6时，S”最大。

72d2”

三、强化练习

1.已知方程2x+/n)，一2x+〃)=0的四个根组成一个首项为工的等差数列,

4

则|加_〃|=()

3I

2.已知锐角三角形ABC中，sin(A+B)=：,sin(A—B)=g。

I.求证tanA=2tanB；

H.设A8=3,求AB边上的高。

3.甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是

一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为1，乙机床加工的零件是一等品

4

而丙机床加工的零件不是一等品的概率为甲、丙两台机床加工的零件都是

12

一等品的概率为4。

9

I.分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率；

H.从甲、乙、丙加工的零件中各取一个进行检验，求至少有一个是一等品的概率。

第二节分类讨论思想

在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类,

并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。所谓分类讨论，就是当问题所

给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准分类，然后对每一

类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答.实质上,

分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略.

引起分类讨论的原因主要是以下几个方面：

①问题所涉及到的数学概念是分类进行定义的。如|a|的定义分a>0、a=0、

a〈0三种情况。这种分类讨论题型可以称为概念型。

②问题中涉及到的数学定理、公式和运算性质、法则有范围或者条件限制，

或者是分类给出的。如等比数列的前n项和的公式，分q=l和qWl两种情况。

这种分类讨论题型可以称为性质型。

③解含有参数的题目时，必须根据参数的不同取值范围进行讨论。如解不等

式ax>2时分a>0、a=0和a<0三种情况讨论。这称为含参型。

另外，某些不确定的数量、不确定的图形的形状或位置、不确定的结论

等，都主要通过分类讨论，保证其完整性，使之具有确定性。

进行分类讨论时，我们要遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一

的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论。其中最重要的一条

是“不漏不重”。

解答分类讨论问题时，我们的基本方法和步骤是：首先要确定讨论对象以及

所讨论对象的全体的范围；其次确定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一、

不漏不重、分类互斥(没有重复)；再对所分类逐步进行讨论，分级进行，获取

阶段性结果；最后进行归纳小结，综合得出结论。

不等式的分类讨论

［例1］解关于“的不等式：ax?-(a+l)x+l<0.

分析：这是一个含参数a的不等式，一定是二次不等式吗？不一定，故首先

对二次项系数a分类：(1)a#)(2)a=0,对于(2),不等式易解；对于(1),

又需再次分类：a>0或a<0,因为这两种情形下，不等式解集形式是不同的；不

2

等式的解是在两根之外，还是在两根之间。而确定这一点之后，又会遇到1与£

谁大谁小的问题，因而又需作一次分类讨论。故而解题时，需要作三级分类.

解：(1)当a=0时，原不等式化为-x+l<0：.x>11

(2)当aw0时，原不等式化为心-1)。-［)

a.

①若a<0,则原不等式化为(x-l)(x-1)>0

a

②若a>0,则原不等式化为(x-

a

G)当a>l时，1<1,不等式解为

aa

(ii)当a=l时，-=1,不等式解为xC0

a

(iii)当0<a<1时，—>1,不等式解为l<x<1

aa

综上所述，得原不等式的解集为

当a<0时，解集为<xx或x>1,

a

当a=0时，解集为

当0<a<l时，解集为<xl〈x〈L

a

当a=l时，解集为0.

9

当白>1时，解集为

a

第三节特殊与一般思想

特殊与一般的思想是中学数学的重要思想之一，有些特殊问题的解决，需

要我们通过一般性规律的研究来处理；而对于具有一般性的问题，我们也常通过

考察其特殊情况(如特殊图形、特殊位置、特殊取值等)揭示其一般规律.这种

特殊与一般的辩证思想往往贯穿于解决数学问题的整个过程之中.下面结合有关

几何问题，谈谈特殊与一般思想的应用.

一、特殊与一般思想在几何中的应用

【例1】如图1,在多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长3的

正方形，EF〃AB,EF与面AC的距离为2,则该多面体的体积可能为().

B.5

C.6

D妥

解：本题的图形是多面体，需要对其进行必要的分割.连EB、EC,得四

棱锥E-ABCD和三棱锥E—BCF,这当中，四棱锥E—ABCD的体积易

求得V-ABCD=WX3x3x2=6,又因为一个几何体积的体积应大于它的部分

体积，所以不必计算三棱锥E—BCF的体积，就可以排除A,B,C,故选D.

【例2】如图2,三棱柱ABC—A।B।C।的侧棱AA।和BB।上各

有一动点P、Q满足A|P=BQ,过P、Q、C三点的截面把棱柱分成两部分,

则其体积之比为（）.

A.1；3B.1：2

C.1：3D.1：4

解：由题意可知动点P、Q满足的一般性条件是AiP=BQ,所以取点

P与点A,点Q与点Bi分别重合这一特殊位置，如图3,于是易得过P、Q、

C三点的截面把棱柱分成两部分体积之比为1：2,故选B.

二、用特殊与一般思想解函数和数列题

特殊化与一般化贯穿于整个解题过程之中.通过特殊化能使我们认识问题

更加全面，而将问题一般化能使我们认识问题更加深刻.“从特殊到一般，再由一

般到特殊”正是这一数学思想的具体体现.下面结合有关函数与数列的问题，谈谈

特殊与一般思想的应用.

%2

【例1】（1）已知函数f（X）=值,那么

/⑴短2）班!”⑶然于）欣4）+（为=

（2）设｛aj是首项为1的正项数列，且凡）,

则它的通项公式an=

解:

..所求=内)十[人2)短9)]+[/(3)+

人，)M火4)短:)1=；+3=彳.

(2)解法1：将所给等式左边分解因式，得(an+i+an)[(n+1)an+i-nan]

=0.

•an+i+an>0,••(n+1)an+i-nanu。.

1_

又a1=l,/.nan=(n-1)an-i=(n-2)an-2=.・・=2a2=ai=l.所以an二了.

解法2：(特例法)当n=l时，由所给等式得W-1+a2=0,即(2a2-l)

(32+1)=0.

1

•a2>0,••a2=2.

3j——+L的力艮[](3oi—1)(%+—)=0.

当n=2时，由所给等式得％22%网"八的2"

11_

/.H3=T........由此猜想an=£.

a.=].a,I=]

将出孔川71+1代入所给等式左边，得

1

(n+1)(-1-)2—M-L)2十——=-L^--L+=0

n+lnn(n+l)n+1nn(n+l),即原等式成立.

1

故an=n.

【例21在等差数列｛an｝和｛bn｝中，Sn与Tn分别为其前0项和，

若兀？i十3求bqbm

a1+f-（7i-1）d।

解法1:*=

Tnb（n—1）4

令会（孔-1）=8,则n=17,

所以0_=』2_=3x17+1=旦.

品Tn17+35

令）=m-l,则n=2雁-1,所以

=Srn-i二3m-1

bmT7/n~\m+1

解法2：0_=9_=皿虹=&L=旦.

bq2庆61+6177175

一一。1十电/»-1一一3?72-1

b6m,6|十/?2^一|^2/n-lIYL~^~1

第四节数形结合思想

谈起数形结合，不禁想起著名数学家华罗庚的诗句:

数形本是相倚依,焉能分作两边飞?

数缺形时少直觉,形少数时难入微,

数形结合百般好,隔离分家万事休,

几何代数统一体,永远联系莫分离.

数形结合的思想，其实质就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使

抽象思维和形象思维结合起来，通过对图形的处理，发挥直观对抽象的支柱作用，

实现抽象概念与具体形象、表象的联系和转化，化难为易，化抽象为直观.

数形结合的思想，其应用包含两点：

1.“形”中觅“数很多数学问题，已知图形已经作出或容易作出，要解

决这类问题，主要是寻找恰当表达问题的数量关系式，即将几何问题代数化，以

数助形，使问题获解.

2.“数”上构“形”；很多数学问题，本身是代数方面的问题，但通过观察

可发现它具有某种几何特征.由这种几何特征可以发现数与形之间的新关系，将

代数问题化为几何问题，使问题获解。

但是这两点又不是彼此独立的，而是互相联系的，比如在解析几何中，虽然

研究的是用代数方法解决几何问题，但是由于我们在研究中得到某些代数表示式

具有明显的几何意义，因此对于某些代数问题，在确定合适的坐标系后，也司获

得几何解释，从而能借助几何加以解决.因此，运用代数方法研究几何问题或应

用几何方法研究代数问题，是数形结合思想在两个方面的应用.

在我们的中学教材中，数形结合的思想几乎渗透到每一章的内容之中.初中

教材把实数与数轴对应起来；高中教材把函数与其图象联系起来；解析几何把方

程与曲线联系起来；甚至等差(比)数列的通项也给予了几何说明等等，不胜枚举.

轴是x=2,所以画一个草图示意，可作出判断应选(A)。

评注：由图象比较函数值的大小，实质上就是看图象上的点

的位置的高低，当然具体的判断还需要充分注意函数本身的性质，

如单调性、周期性、奇偶性、对称性等。

【例2】已知函数f(x)=log,/x+l|在区间(T,0)上有f(x)〉0,那么f(x)

在(-8,-1)上是()

(A)减函数(B)增函数(C)增减随a变化(D)不能确定

分析：本例涉及对数函数基础知识的综合应用，如函数的对称性、单调性及

平移问题，因而用图象进行思考就容易判断。先考虑a>l时，f(x)图象是y

=logjx|的图象向左移一个单位，如图所示,这时在区间(-1,0)上不满足f(x)>0,

因而a>l不可能，从而只有0<aG,此时图象在(-1,0)上有f(x)>0,它又以x=T

为对称轴，在(-8,-1)上f(x)为增函数，故选(B)。

评注：函数与图象是紧密相连的，研究函数性质(在中学主要考虑单调性、

奇偶性、周期性、对称性等)时，既可用代数方法(如奇偶性考虑f(-x)与f(x)

是否相等或互为相反数)研究，也可用几何图形研究(如奇偶性考察其图象是否关

于原点对称或y轴对称)，在教学中，我们更倾向于用函数图象来理解和记忆，

比如一次函数、二次函数、指对数函数、三角函数等，观察图象，其性质是一目

了然的。

【例3】设对于任意实数xe卜2,2],函数〃x)=lg(34-歌一，)总有意义,

求实数a的取值范围。

解法1：函数」(乃有意义，贝7>0,即/+仍-3a<。在'e[-2,2]±

总成立。

设g(力=/+〃-玄,即当xe卜2,2]时，g(x)<0总成立。

fg(-2)<0

<

...依抛物线y=gS)的特征，将其定位，有匕⑵<°，如图1所示。

4-5a<0

解得a>4

4-a<0

解法2：对于不等式3a-"-->0,因为卜2,2],所以3-5],不

>3—xH------6

等式可化成“3-x

9

只要a>h(x)=3-----6

3-x的最大值即可。

Z=3-x,xel1,5|,6+%（乃=£+二、

设1Jz的图象如图2所示，可知6+%。）的最大

值为10,故力炽）最大值为4,则a>4。

图2

评注：解法1抓住了抛物线的特征，由实数a的不等式组，将抛物线定位，再求

解范围。另外，由于涉及到一元二次方程根的分布，所以又提供了一次数形结合

的机会。解法2将实数a从不等式中分离出来，对后边函数中3-x换元后，利

用典型函数图象直观地求其最大值，求得a的范围，体现数形结合的思想，不失

为好办法。

第五节化归与转化思想

“化归与转化”思想是处理数学问题的一种基本策略.转化和化归就是对原

问题换一个方式、换一个角度、换一个观点加以考虑，就是在数学研究中，把要

解决的问题通过某种转化，再转化，化归为一类已经解决或比较容易解决的问题,

从而使问题得到圆满解决的思维方法.

一、概念和载体之间的相互转化

依据题意，从定义、定理、公式、概念出发，化抽象为具体，化复杂为简单,

从纵向和横向进行联想转化.

hm］n

【例1】函数极限与f。二^的值为().

A.B.—C.4D.―--

2x02x02VXQ"

解：本题借用函数极限的具体形式，旨在考查学生对导数定义的正确理解,

因而转化为求函数y=lnxG"在x=xo处的导数，故选C.

二、特殊和一般之间的转化

_lr.__.L团£N+，财im、

［例1］数列｛aj中，ai=5,an+an+l5*…(ai+a2+...+an)

解：通过求歹必=亨'"=尹'猜想.k丁'从而达到解决问题的目

的.也可以利用数列极限的含义进行重组变形，可转化为无穷等比递缩数列的求

和，原式2222

,±-(四十的)

(a、)+**,=----1--------------------

n10,_1_4