高等数学课件

導數與微分2.1導數的概念及基本初等函數導數公式2.2函數的四則運算的求導法則2.3複合函數的求導法則、高階導數2.4隱函數的導數、對數求導法2.5微分2.6微分的應用2.1.1導數的概念

引例

１導數的概念0

y

x

2.5.2微分的基本公式及微分的運算法則

導數的應用3.1羅比塔法則3.2拉格朗日中值定理及函數的單調性3.3函數的極值與最值3.4函數圖形的凹向與拐點100公里20公里ABCD

不定積分

4.1不定積分的概念和性質4.2不定積分的換元積分方法4.３不定積分的分部積分方法4.４簡易積分表的使用4.1不定積分的概念及性質4.1.1不定積分的概念

4.1.2不定積分的性質

4.1.3不定積分的基本積分公式

4.1.4內容小結

4.2不定積分的換元積分積分法4.2.1換元積分法4.2.3內容小結4.2.1第一換元積分法(湊微分法)4.2.2第二換元積分法(去根號法)4.3分部積分法

４．４簡易積分表的使用方法前面我們學習了多種求不定積分的方法，但還有許多不定積分的計算難度要更大，在實際工作中為了應用方便，把常用的積分公式彙集成表——積分表。一般積分表是按照被積函數的類型排列的，求積分時，可根據被積函數的類型直接地或經簡單變形後，在表中查得所需結果，下麵通過實例說明積分表的使用。1.以直接從表中查到結果的例1求。解本例屬於表中（一）類含有的積分，按公式6，當時，有

。例２求。解本例屬於表中（五）類含有的積分，按公式28，當，時，有於是

。2.進行變數替換，然後再查表求積分例３求。解表中不能直接查到，若令則可應用積分表（六）中的公式38，於是3.遞推公式在積分表中查到所求積分

例４求。解查表中（十一）類公式96，有

就本例而言，利用這個公式並不能求出最後結果，但用一次就可使被積函數的冪指數減少二次，重複使用這個公式直到求出結果，這種公式叫做遞推公式。運用公式96，得4.2.3內容小結

1．分部積分法

2．簡易積分表的使用方法

定積分及其應用5.1定積分的概念與性質5.2牛頓—萊布尼茨公式5.3定積分的換元法和分部積分法5.4廣義積分5.5定積分在幾何中的應用5.6定積分其他應用舉例

5.1定積分的概念與性質5.1.1兩個實例5.1.2定積分的概念5.1.3定積分的幾何意義5.1.4定積分的性質5.1.5內容小結5.1.1兩個實例圖5.1.1

圖5.1.2

5.1.2定積分的概念5.1.3定積分的幾何意義

5.1.4定積分的性質

5.1.5內容小結1.定積分的概念．

2.定積分的幾何意義．

3.定積分的性質．

5.2牛頓—萊布尼茨公式

5.2.1變上限的定積分

5.2.２牛頓—萊布尼茨公式

5.2.3內容小結5.2.1變上限的定積分

5.2.2牛頓—萊布尼茨公式5.2.3內

容

小

結5.3定積分的換元法和分部積分法

5.3.1定積分的換元積分法

5.3.2定積分的分部積分法

5.3.3內容小結５.3.1定積分的換元積分法

５.3.2

定積分的分部積分法

５.3.3內容小結５.4廣義積分

５.4.1無窮區間上的廣義積分

５.4.2被積函數有無窮間斷點的廣義積分

５.4.3內容小結５.4.1無窮區間上的廣義積分

５.4.2被積函數有無窮間斷點的廣義積分

５.4.3內容小結

1.無窮區間上的廣義積分

2.被積函數有無窮間斷點的廣義積分

５.５定積分在幾何中的應用５.５.1定積分應用的微元法５.５.2用定積分求平面圖形的面積５.５.3用定積分求平行截面面積為已知的立體的體積５.５.4用定積分求平面曲線的弧長５.５.5內容小結５.５.1定積分應用的微元法

５.５.2用定積分求平面圖形的面積

圖５.５.1

圖５.５.2

圖５.５.3圖５.５.4

圖５.５.5

圖５.５.6

圖５.５.7

５.５.3用定積分求平行截面面積為已知的立體的體積

圖５.５.8

圖５.５.9５.５.4用定積分求平面曲線的弧長

圖５.５.10

上式稱為弧微分公式,於是所求的弧長為圖５.５.11

５.５.5內容小結

５.６定積分其他應用舉例５.６.1定積分物理應用５.６.2定積分經濟應用問題舉例５.６.3定積分在工程上的應用

５.６.4內容小結

５.６.1定積分物理應用圖5.6.1圖５．６.2

5.6.2定積分經濟應用問題舉例

5.6.3定積分在工程上的應用

5.6.4內容小結行列式、矩陣與線性方程組6.1.1二階行列式

利用消元法求解：（當時)

=二元線性方程組(Ⅰ)的解中，分母都是

注意到在。為了便於記憶，引入一個新的記號

來表示，即

定義1我們稱為二階行列式，其中橫排稱為行，縱排稱為列，第列的元素。稱為二階行列式的展開式。二階行列式可按下列方法展開(如圖)：

二階行列式是一個確定的數，這個數稱為行列式的值。根據上述定義，我們記：

方程組（Ⅰ）的解可表示為:稱為二階行列式第行實對角線上兩元素之積取正號，虛對角線上兩元素之積取負號，然後相加就是行列式的展開式。這就是行列式的對角線展開法.⑴

⑵

解：

⑴⑵例1計算下列二階行列式的值：練習P1061(1)(2)解：方程組化為一般形式：因為

所以，方程組的解為：例2解方程組6.1.2三階行列式三元線性方程組的一般形式為：

（Ⅱ）

用消元法同樣可以求解，但解出來的式子較為複雜，現在的電腦數學工具（如MATLAB）有專門用於解線性方程組的軟體，這裏我們就不再列出（Ⅱ）解的式子。我們仿照二階行式，記：

左邊叫做三階行列式，右邊叫做這個三階行列式的展開式。三階行列式同樣可以用對角線法展開

實線上三數之積取正號，虛線上三數之積取負號，然後相加。例3計算行列式的值．

解：

例4展開行列式解：

與二階行列式相似，可用三階行列式來求解三元線性方程組。

引入記號

，其中行列式D是由方程組(Ⅱ)中未知數的係數按原來的順序排列而成，叫做方程組的係數行列式，行列式是以

一列、第二列、第三列的元素所得到．因此，當D≠0時，方程組(Ⅱ)的解可表示為：分別分別替換行列式D中的第

例5解方程組解：方程組化為一般形式：因為所以，根據(6-4)式，方程組的解為：練習P1065（3）所以，方程組的解是6.1.3n階行列式注意：（1）餘子式仍是行列式；（2）餘子式是比原行列式低一階的行列式.中，

例如，在行列式定義1

將行列式中第i行第j列的元素所在的行和列的各元素劃去，其餘元素按原來的相對位置次序排成一個新的行列式，這個新的行列式稱為元素的餘子式，記作

。稱為

的代數餘子式，記作即

有了代數餘子式的概念，我們容易得到三階行列式按第一行元素展開為（＊）若規定一階行列式

則二階行列式按第一行元素展開為（＊＊）依照上述（＊）、（＊＊）式來定義n階行列式：稱為n階行列式.定義2將

個數

排成一個正方形數表，並在它的兩旁各加一條豎線，即當時，規定一階行列式

；當時，規定n階行列式

例6計算行列式的值．

解：根據定義，在n階行列式中，有一類特殊的行列式，它們形如(6-8)

或（6-9）

我們都稱它們為三角形行列式，其中式(6-8)稱為下三角形行列式，式(6-9)稱為上三角形行列式．三角形行列式的值等於主對角線上各元素的乘積，即四階和四階以上的行列式稱為高階行列式．6.1.4n階行列式的性質按定義計算行列式是一種較複雜的運算方法，下麵學習的n階行列式性質，能簡化行列式的計算．

性質１行列式所有的行與相應的列互換，行列式的值不變，即這個性質說明，對於行列式的行成立的性質，對於列也一定成立，反之亦然．

我們把行列式D的行與列互換後所得行列式稱為D的轉置行列式，記作

性質2

行列式的任意兩行（列）互換，行列式僅改變符號．例如,

性質3

若行列式中某兩行（列）對應元素相同，則此行列式的值為零．例如,性質4

行列式中某行（列）的各元素有公因數時，可把公因數提到行列式符號外面．例如，

例7計算下列行列式的值：（１）（２）（２）解

(1)推論１若行列式有一行（列）各元素都是零，則此行列式等於零．推論２若行列式有二行（列）對應元素成比例，則此行列式等於零．例如，小結

1．二階行列式；

2．三階行列式；

3．n階行列式及其性質；

4．用行列式求解二（三）元線性方程組。

性質5若行列式某一行（列）的各元素均是兩項之和，則行列式可表示為兩個行列式之和，其中這兩個行列式的該行（列）元素分別為兩項中的一項，而其他元素不變．

例如，

性質6將行列式某一行（列）的所有元素同乘以數K後加到另一行對應位置的元素上，行列式的值變．例如，

性質5在行列式的計算中起著重要的作用．運用性質時選擇適當的數，可以使行列式的某些元素變為零．反複交替地使用行列式性質，將行列式化為三角形行列式，也是計算行列式的值的常用方法．例1計算下列行列式的值：（１）（２）解：

（１）=1×(-4)×5=-20（２）

在n階行列式的定義中，是將行列式按第一行展開的．事實上，n階行列式也可以按任何一行（列）展開．性質7（行列式展開性質）行列式等於它的任意一行（列）的各元素與其對應的代數餘子式乘積之和．例如,例2利用性質6計算行列式的值.解：

性質7行列式某一行（列）的各元素與另一行（列）對應元素的代數餘子式的乘積之和等於零．（這樣會有兩行（列）的元素相同）

例如，在三階行列式中，

或練習P1064(1)解法1解法2６．２克萊姆（Cramer）法則

在上一節的討論中我們知道，二元、三元線性方程組在係數行列式時方程組有唯一解，並且解可以表示為:二元線性方程組的解是三元線性方程組的解是一．n元線性方程組的解法n元線性方程組，其一般形式為有如下結論：定理（克萊姆法則）若n元線性方程組的係數行列式則n元線性方程組有且僅有一個解：例3解線性方程組解因為線性方程組的係數行列式所以,方程組有唯一解,又因為

其中Dj(j=1,2,…,n)是把D的第j列元素換成方程組的常數項b1,b2,…bn而得到的n階行列式.由克萊姆法則,得方程組的解為例4某企業一次投料生產能獲得產品及副產品共四種，每種產品的成本未單獨核算．現投料四次，得四批產品的總成本如下表所示．試求每種產品的單位成本.解：設Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四種產品的單位成本分別為依題意列方程組利用克萊姆法則解這個方程組,得方程組有唯一解:所以,四種產品的單位成本分別為10元,5元,3元,2元.二．齊次線性方程組的解的概念則當係數行列式D≠0時,方程組有唯一零解:

我們應該知道，解線性方程組，只有在方程組的未知數個數與方程個數相等以及方程組的係數行列式D≠0時，才能應用克萊姆法則．當D=0，或者未知數個數與方程個數不相等時，我們可以用矩陣的知識來解決．如果n元線性方程組的常數項均為零，即

三．小結四.課外作業P1081(1)2.行列式的應用——克萊姆法則若n元線性方程組的係數行列式對於６．３矩陣的概念、運算

前言行列式產生於線性方程組的求解，是線性代數中的基本概念之一．矩陣(matrix)是由英國數學家凱萊於1855年作為一個獨立的概念引入數學中的，矩陣不僅是解線性方程組的重要工具，而且在工程技術及經濟管理中應用廣泛．６．３矩陣的概念、運算矩陣(matrix)不僅是解線性方程組的重要工具，而且在工程技術及經濟管理中也有著極為廣泛的應用．引例某公司銷售四種商品Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ，它們在第一季度的銷售量分別如表6-1所示：

如果我們把這些數按原來的行列次序排出一張矩形數表：

這種矩形數表在數學上就叫做矩陣6.3.1矩陣的概念（6-12）

1.定義1由個數按一定順序排列成的一個行列的矩形數表:數稱為矩陣A的第行列元素.

矩陣通常用大寫英文字母Ａ，Ｂ，C,…或,…表示,也可記為或.稱為行列矩陣.記作2.幾種特殊矩陣

當時，

稱為階方陣，簡稱方陣．

當時，稱為行矩陣．當時，稱為列矩陣．(1)方陣(2)行矩陣．(3)列矩陣

(4)零矩陣所有元素均為0的矩陣稱為零矩陣，記作O

方陣從左上角到右下角的對角線稱為主對角線．除了主對角線上的元素外，其餘元素均為零的方陣稱為對角矩陣，即(5)對角矩陣(6)單位矩陣

如果對角矩陣中主對角線上的元素均為1，其餘元素均為0，則稱之為單位矩陣，記作I，即例如，

00(6)三角矩陣

如果方陣中主對角線左下方的元素均為零，則稱為上三角矩陣，即或

如果方陣中主對角線右上方的各元素均為零,則稱為下三角形矩陣，即上三角矩陣和下三角矩陣統稱為三角矩陣.

兩個矩陣的行數相等、列數也相等時，就稱它們是同型矩陣．

如果是同型矩陣，並且它們的對應元素相等，即

則稱矩陣A與矩陣B相等，記作A=B．3.相關概念

例如,把矩陣Ａ的行換成相應的列所得的矩陣稱為矩陣Ａ的轉置矩陣,記作例如，矩陣

的行列式為

由方陣Ａ的元素按原來的次序所構成的行列式稱為矩陣Ａ的行列式．記作

思考題:行列式與矩陣有什麼區別?引例某運輸公司分兩次將某商品（單位：噸）從３個產地運往４個銷地，兩次調運方案分別用矩陣Ａ與矩陣Ｂ表示：

顯然所求商品運輸量用矩陣表示為

這個例子說明，在實際問題中有時需要把兩個矩陣的所有對應元素相加．這就是矩陣的加法．6.3.2矩陣的運算1.矩陣的加法與減法求該公司兩次從各產地運往各銷地的商品運輸量．銷地產地產地銷地定義2設矩陣則矩陣

稱為Ａ與Ｂ的和與差，記作

注意:兩個矩陣只有當它們的行數和列數都相同(即為同型矩陣)時，才能進行加減運算.

例1已知

求⑴

解:即即

２．數與矩陣相乘求例2已知矩陣定義3設矩陣則矩陣稱為數K矩陣Ａ相乘，簡稱數乘矩陣，記作kA,解：

例如,練習P1152數乘矩陣滿足：

⑴交換律：

⑶結合律：

(注意:k=0與A=0是不同的兩個概念.)⑵分配律：

其中為任意常數，Ａ、Ｂ均是m行n列矩陣。３．矩陣與矩陣相乘定義4設矩陣注意:其中稱矩陣

為矩陣A與矩陣B的乘積,記作1.積的元素是矩陣Ａ的第行的元素與矩陣Ｂ的第列對應位置元素乘積之和.2.只有當矩陣Ａ的列數等於矩陣Ｂ的行數時，Ａ才能與Ｂ相乘，並且所得結果的行數等於矩陣Ａ的行數，而列數等於矩陣Ｂ的列數．

例3已知

求AB.解例如,求AB,BA,AC.解

例4已知

由此可知：(1) 即矩陣乘法不滿足交換律．因此，矩陣Ａ與矩陣Ｂ的乘積常讀作“Ａ左乘Ｂ”或“Ｂ右乘Ａ”，這時我們稱矩陣Ａ為左矩陣，矩陣Ｂ為右矩陣．⑵由不能推出或(3)不能推出，即矩陣乘法不滿足消去律．

例5解

由此說明矩陣與單位矩陣的乘法滿足（注意：這裏兩個I不一樣）矩陣的乘法還滿足

練習

P1153(1)(4)⑴分配律：⑵結合律：

其中Ａ、Ｂ、Ｃ是矩陣，是k任意常數．例8某商店主要銷售甲、乙、丙三種商品，其銷售量如表1所示，每件商品銷售價格及銷售利潤如表2所示，試求該商店第二季度三個月的銷售額及銷售利潤各為多少？解：4月份的銷售額為同理可得：5月份的銷售額為28500元，

5月份的利潤為4700元；

6月份的銷售額為35000元，

6月份的利潤為5800元.4月份的利潤為我們將上運算用矩陣表示：第二季度的銷售額第二季度的利潤小結1.矩陣的定義及性質；2.矩陣的運算.課外作業P1153(2),(5).復習：1.矩陣的概念及幾種特殊的矩陣同型矩陣相等矩陣轉置矩陣矩陣Ａ的行列式2.幾個概念3.矩陣的運算(1)矩陣的加減法(2)數與矩陣相乘(3)矩陣乘法其中６．４逆矩陣及初等變換6.4.1逆矩陣

6.4.2矩陣的初等變換

新課內容:6.4.1逆矩陣

根據矩陣與矩陣的乘積和矩陣相等的定義，n元線性方程組(6-10)可寫成矩陣形式1.線性方程組的矩陣形式記作式(6-13)稱為矩陣方程。

方程組的矩陣形式其中稱為方程組(6-10)的係數矩陣；稱為未知數矩陣；

稱為常數項矩陣．

定義1

設Ａ是n階方陣，如果存在一個n階方陣Ｃ，使得

否則稱Ａ是不可逆的（或奇異的）．2.逆矩陣的概念

則稱方陣Ａ是可逆的（或非奇異的），並稱Ｃ為Ａ的逆矩陣，簡稱逆陣，記作注意:(1)只有方陣才可能有逆矩陣;可逆矩陣具有如下性質：⑴若Ａ可逆，則其逆陣是唯一的．⑵A逆陣的逆陣是A,即

證明：∵

例1設

驗證

由逆矩陣的概念，對於下列矩陣方程，若Ａ,B可逆，則

3.用伴隨矩陣求逆矩陣其行列式

中各元素

的代數餘子式為即將

後轉置所得的方陣稱為方陣A的伴隨矩陣，記作按的順序排列成方陣，然定義2設n階方陣有了伴隨矩陣，我們就有了求逆陣的方法了。所以，有以下定理：

定理1（伴隨矩陣法求逆矩陣法）方陣A

可逆的充要條件是

當A可逆時有（1）因為所以Ａ不可逆．

例2判斷下列矩陣是否可逆？若可逆，求其逆陣．

解（2）因為所以Ａ可逆．所以，

又因為例3解矩陣方程

解：方程兩邊同時右乘得：

練習P1212(1)

練習P1212(1)例4利用逆矩陣解線性方程組

解：方程組的係數矩陣、未知數矩陣、常數項矩陣分別為則得到矩陣方程為因為

得到方程組的解為

所以，例4利用逆矩陣解線性方程組

解：方程組的係數矩陣、未知數矩陣、常數項矩陣分別為則得到矩陣方程為因為

所以，得到方程組的解為

回顧例4的求解步驟:6.4.2矩陣的初等變換1.矩陣的初等變換定義3(P119定義7)對矩陣的行(或列)作以下三種變換,稱為初等變換.

⑴換法變換:矩陣的任意兩行（或列）互換位置．（第i行（或列）與第j行（或列）互換，記作⑵倍法變換:用一個不為零的常數乘矩陣的某一行（或列）．（數k乘第i行（或列），記作

⑶消法變換:用一個常數乘矩陣的某一行（或列），再加到另一行（或列）上去.（數k乘第i行（或列），再加到第j行（或列）上去，記作例如,注意:矩陣在作初等變換時中間不能用等號.2.用初等變換求逆矩陣即

具體方法是將n階方陣Ａ與單位矩陣組成一個長方矩陣，再對這個長方矩陣施行行初等變換，使虛線左邊的Ａ變成單位矩陣，這時虛線右邊的就變成了（這是求逆陣最有效的方法），例5利用初等變換求矩陣的逆矩陣．

解：

所以,練習P1215(2)解所以,小結1.逆矩陣的定義；2.初等變換;3.逆矩陣的求法:(1)用伴隨矩陣求逆矩陣即課外作業P1213(2)(2)用初等變換求逆矩陣即定義1(P119定義5)若矩陣Ａ滿足：

⑴零行（即元素全為零的行）在下方，⑵首非零元（即非零行第一個不為零的元素）的列標號隨行標號的增加而嚴格遞增，則矩陣Ａ稱為階梯形矩陣．

例如，

都是階梯形矩陣．6.4.2矩陣的初等變換(續)1.階梯形矩陣、行簡化階梯形矩陣定義2(P119定義5)

若階梯形矩陣Ａ