第04讲 绝对值（解析版）

第04讲绝对值课程标准学习目标①绝对值的定义②绝对值的性质③求绝对值④有理数的大小比较掌握绝对值的定义。掌握绝对值的性质并解决相关题目。能够求数或者式子的绝对值。掌握有理数比较大小的方法，能够比较有理数大小。知识点01绝对值的定义与求法绝对值的定义：一般地，数轴上表示数的点到原点的距离就是数的绝对值。数的绝对值记作||，读作数的绝对值。绝对值的求法：求一个数的绝对值：由绝对值的定义可知，一个正数的绝对值是本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。【即学即练1】1．﹣的绝对值是（）A． B． C． D．【解答】解：﹣的绝对值是|﹣|＝；故选：C．【即学即练2】2．数轴上有A、B、C、D四个点，其中绝对值等于2的点是（）A．点A B．点B C．点C D．点D【解答】解：∵绝对值等于2的数是﹣2和2，∴绝对值等于2的点是点A．故选：A．【即学即练3】3．已知a＝﹣2，b＝1，则|a|+|﹣b|的值为（）A．3 B．1 C．0 D．﹣1【解答】解：∵a＝﹣2，b＝1，∴|a|+|﹣b|＝|﹣2|+|﹣1|＝2+1＝3，故选：A．知识点02绝对值的性质绝对值的非负性：由定义可知，绝对值表示到原点的距离，所以不能为负数。所以绝对值是一个非负数，所以绝对值具有非负性。即若||≥0。几个非负数的和等于0，这几个非负数一定分别等于0。即：若||＋||＋...＋||＝0，则一定有＝＝...＝＝0。题型考点：根据绝对值的非负性求值。【即学即练1】4．已知|x﹣2|+|y﹣1|＝0，则x﹣y的相反数为（）A．﹣1 B．1 C．3 D．﹣3【解答】解：根据题意得：x﹣2＝0，y﹣1＝0，解得：x＝2，y＝1，则x﹣y＝2﹣1＝1，所以x﹣y的相反数为﹣1．故选：A．【即学即练2】5．若|a|+|b|＝0，则a与b的大小关系是（）A．a＝b＝0 B．a与b互为倒数 C．a与b异号 D．a与b不相等【解答】解：∵|a|+|b|＝0，|a|≥0，|b|≥0，∴|a|＝0，|b|＝0，∴a＝0，b＝0．故选：A．知识点03绝对值与数轴绝对值与数轴：在数轴上，一个数离原点越近，绝对值就越小，一个数离原点越远，绝对值越大。题型考点：根据绝对值与数轴进行求解判断。【即学即练1】6．一个数的绝对值越小，则该数在数轴上所对应的点，离原点越．【解答】解：一个数的绝对值实际上就是该点与原点间的距离，因而一个数的绝对值越小，则该数在数轴上所对应的点，离原点越近．故答案为近．【即学即练2】7．如图，四个有理数m，n，p，q在数轴上对应的点分别为M，N，P，Q，若n+q＝0，则m，n，p，q四个有理数中，绝对值最小的一个是（）A．p B．q C．m D．n【解答】解：∵n+q＝0，∴n和q互为相反数，0在线段NQ的中点处，∴绝对值最小的点M表示的数m，故选：C．知识点04绝对值与相反数绝对值与相反数：①数轴上互为相反数的两个数在原点的两侧，且到原点的距离相等，所以互为相反数的两个数他们的绝对值相等。即若与互为相反数，则||＝||。②绝对值等于某个正数的数一定有两个，它们互为相反数。即若||=，则＝＋或﹣。③绝对值相等的两个数要么相等，要么互为相反数。即若||＝||，则有＝或＝﹣。题型考点：根据相反数的绝对值进行求解。【即学即练1】8．若|x|＝5，则x＝．【解答】解：|x|＝5，则x＝±5．故答案为：±5．【即学即练2】9．已知a＝﹣5，|a|＝|b|，则b的值为（）A．±5 B．﹣5 C．+5 D．0【解答】解：|b|＝|a|＝|﹣5|＝5，则b＝±5．故选：A．【即学即练3】10．绝对值等于5的数是，它们互为．【解答】解：∵一个数的绝对值等于5，设这个数位a，则|a|＝5，∴a＝±5，∵5+（﹣5）＝0，∴它们互为相反数，故答案为：±5，相反数．知识点05求式子的绝对值求式子的绝对值：先判断式子与0的大小关系，再对式子进行求绝对值。若式子大于等于0，则去掉绝对值符号等于它本身，若式子小于等于0，去掉绝对值符号等于它的相反数。即：。反之，若一个数的绝对值等于它本身，则这个数大于等于0，解||=，则≥0，若一个数的绝对值等于它的相反数，则这个数小于等于0。||=﹣，则≤0。题型考点：①根据绝对值求范围。【即学即练1】11．若|x|＝x，则x的取值范围是（）A．x＞0 B．x≤0 C．x≥0 D．x＜0【解答】解：∵|x|＝x，∴x的取值范围是：x≥0．故选：C．【即学即练2】若不为零的有理数a满足|a|＝﹣a，则a的值可以是（）A．6 B．4 C．2 D．﹣2【解答】解：∵|a|＝﹣a，a≠0，∴a＜0．故选：D．【即学即练3】13．已知|a|＝a，|b|＝﹣b，|a|＞|b|，用数轴上的点来表示a、b，正确的是（）A． B． C． D．【解答】解：∵|a|＝a，|b|＝﹣b，∴a≥0，b≤0，∵|a|＞|b|，∴a＞﹣b．．故选：C．知识点06有理数的大小比较有理数的大小比较：①定义法：正数＞0，0＞负数，所以正数＞负数。负数与负数进行比较时，绝对值大的负数反而小。②数轴比较法：数轴上右边所表示的数一定＞数轴上左边所表示的数。③两个负数进行比较时，绝对值大的数反而小。题型考点：①根据绝对值求范围。【即学即练1】14．画一条数轴，然后在数轴上画出表示下列各数的点；并比较大小．﹣1，2，3，﹣2.7，1，﹣3，0．【解答】解：画出数轴并在数轴上表示出各数：按照数轴的特点用小于号从左到右把各数连接起来为：﹣3＜﹣2.7＜﹣1＜0＜1＜2＜3．故答案为：﹣3＜﹣2.7＜﹣1＜0＜1＜2＜3．【即学即练2】15．a、b两数在数轴上位置如图所示，将a、b、﹣a、﹣b用“＜”连接，其中正确的是（）A．a＜﹣a＜b＜﹣b B．﹣b＜a＜﹣a＜b C．﹣a＜b＜﹣b＜a D．﹣b＜a＜b＜﹣a【解答】解：令a＝﹣0.8，b＝1.5，则﹣a＝0.8，﹣b＝﹣1.5，则可得：﹣b＜a＜﹣a＜b．故选：B．题型01根据绝对值的性质求取值范围【典例1】若|a|＝﹣a，a一定是（）A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数【解答】解：∵非正数的绝对值等于他的相反数，|a|＝﹣a，a一定是非正数，故选：C．【典例2】若|1﹣a|＝a﹣1，则a的取值范围是（）A．a＞1 B．a≥1 C．a＜1 D．a≤1【解答】解：∵|1﹣a|＝a﹣1，∴1﹣a≤0，∴a≥1，故选：B．【典例3】若|a﹣5|＝a﹣5，则a的取值范围为（）A．a≤5 B．a＜5 C．a≥5 D．a＞5【解答】解：∵|a﹣5|＝a﹣5，∴a﹣5≥0，∴a≥5，故选：C．题型02利用绝对值求值【典例1】若ab≠0，那么+的取值不可能是（）A．﹣2 B．0 C．1 D．2【解答】解：∵ab≠0，∴有四种情况：①a＞0，b＞0，②a＜0，b＜0，③a＞0，b＜0，④a＜0，b＞0；①当a＞0，b＞0时，+＝1+1＝2；②当a＜0，b＜0时，+＝﹣1﹣1＝﹣2；③当a＞0，b＜0时，+＝1﹣1＝0；④当a＜0，b＞0时，+＝﹣1+1＝0；综上所述，+的值为：±2或0．故选：C．【典例2】已知：有理数a，b，c满足abc≠0，则的值不可能为（）A．3 B．﹣3 C．1 D．2【解答】解：当a、b、c没有负数时，原式＝1+1+1＝3；当a、b、c有一个负数时，原式＝﹣1+1+1＝1；当a、b、c有两个负数时，原式＝﹣1﹣1+1＝﹣1；当a、b、c有三个负数时，原式＝﹣1﹣1﹣1＝﹣3．故选：D．【典例3】已知ab＞0，则++＝（）A．3 B．﹣3 C．3或﹣1 D．3或﹣3【解答】解：∵ab＞0，∴ab同号，①ab同为正数时，原式＝1+1+1＝3；②ab同为负数时，原式＝﹣1+（﹣1）+1＝1，故选：C．题型03绝对值的非负性【典例1】如果|a﹣1|+|b﹣2|＝0，求a+b的值．【解答】解：根据题意得，a﹣1＝0，b﹣2＝0，解得a＝1，b＝2，所以a+b＝3．【典例2】如果|a﹣|+|b﹣1|＝0，那么a+b等于（）A．﹣ B． C． D．1【解答】解：依题意得：|a﹣|＝0，|b﹣1|＝0，即a﹣＝0，b﹣1＝0，∴a＝，b＝1，∴a+b＝．故选：C．【典例3】若|x﹣3|+|y+2|＝0，则|x|+|y|＝．【解答】解：根据题意得，x﹣3＝0，y+2＝0，解得x＝3，y＝﹣2，∴|x|+|y|＝|3|+|﹣2|＝3+2＝5．故答案为：5．题型04绝对值与数轴【典例1】若有理数a、b在数轴的对应位置如图所示，则下列正确的是（）A．|b|＞﹣a B．|a|＞﹣b C．b＞a D．|a|＞|b|【解答】解：∵b＜a＜0，∴|b|＞|a|＝﹣a，故选：A．【典例2】如图，四个有理数在数轴上的对应点分别为M，P，N，Q．若点M，N表示的有理数互为相反数，则图中表示绝对值最大的数的点是（）A．点Q B．点N C．点M D．点P【解答】解：由数轴知，M＜P＜N＜Q，∵M＝﹣N，∴Q的绝对值最大，故选：A．【典例3】有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，若b+c＝0，则a，b，c三个数中绝对值最大的数是（）A．a B．b C．c D．无法确定【解答】解：∵b+c＝0，∴原点在b，c中间位置，∴a距离原点最远，∴a，b，c三个数中绝对值最大的数是a．故选：A．题型05绝对值与相反数【典例1】如果，那么x＝（）A． B．或2 C． D．2【解答】解：∵∴．故选：C．【典例2】若|a|＝|b|，则a和b的关系为（）A．a和b相等 B．a和b互为相反数 C．a和b相等或互为相反数 D．以上答案都不对【解答】解：∵|a|＝|b|，∴a和b的关系为：相等或互为相反数．故选：C．【典例3】已知2x﹣3的绝对值与x+6的绝对值相等，则x的相反数为（）A．9 B．1 C．1或﹣9 D．9或﹣1【解答】解：∵|2x﹣3|＝|x+6|，∴2x﹣3＝x+6，或2x﹣3＝﹣（x+6），∴x＝9或x＝﹣1，∴x的相反数是﹣9或1．故选：C．题型06绝对值的化简【典例1】如果1＜x＜2，化简|x﹣1|+|x﹣2|＝．【解答】解：∵1＜x＜2，∴x﹣1＞0，x﹣2＜0，∴|x﹣1|+|x﹣2|＝x﹣1+2﹣x＝1．故答案为：1．【典例2】如果a＜1，化简：|2﹣a|﹣|a﹣1|＝．【解答】解：∵a＜1，∴2﹣a＞0，∴|2﹣a|＝2﹣a，∵a＜1，∴a﹣1＜0，∴|a﹣1|＝﹣a+1，∴原式＝2﹣a﹣（﹣a+1）＝2﹣a+a﹣1＝1，故答案为1．1．绝对值是（）A． B． C． D．【解答】解：||＝，故选：B．2．在﹣5，0，﹣2，4这四个数中，最大的数是（）A．4 B．﹣5 C．0 D．﹣2【解答】解：根据有理数大小比较的法则，可得﹣5＜﹣2＜0＜4，所以在﹣5、﹣2、0、4这四个数中，最大的数是4．故选：A．3．计算|﹣2|的值是（）A．﹣2 B．﹣ C． D．2【解答】解：|﹣2|的值是2．故选：D．4．下列有理数大小关系判断正确的是（）A．﹣（﹣）＞﹣|﹣| B．0＞|﹣10| C．|﹣3|＜|+3| D．﹣1＞﹣0.01【解答】解：A、﹣（﹣）＝，﹣|﹣|＝﹣，所以﹣（﹣）＞﹣|﹣|；B、0＜|﹣10|＝10；C、|﹣3|＝3＝|+3|＝3；D、﹣1＜﹣0.01．所以选A．5．若|a﹣2|＝2﹣a，则a的取值范围是（）A．a＜2 B．a≤2 C．a＞2 D．a≥2【解答】解：∵|a﹣2|＝2﹣a，∴a﹣2≤0，∴a≤2．故选：B．6．若|a﹣5|+|b+6|＝0，则﹣b+a﹣1的值是（）A．﹣11 B．10 C．﹣2 D．2【解答】解：因为|a﹣5|+|b+6|＝0，所以a﹣5＝0，b+6＝0，即a＝5，b＝﹣6，所以﹣b+a﹣1＝﹣（﹣6）+5﹣1＝10．故选：B．7．若|a﹣1|与|b﹣2|互为相反数，则a+b的值为（）A．3 B．﹣3 C．0 D．3或﹣3【解答】解：∵|a﹣1|与|b﹣2|互为相反数，∴|a﹣1|+|b﹣2|＝0，又∵|a﹣1|≥0，|b﹣2|≥0，∴a﹣1＝0，b﹣2＝0，解得a＝1，b＝2，a+b＝1+2＝3．故选：A．8．已知实数a在数轴上的位置如图所示，则化简|a﹣1|+|a|的结果为（）A．1 B．﹣1 C．1﹣2a D．2a﹣1【解答】解：∵由数轴上a点的位置可知，0＜a＜1，∴a﹣1＜0，∴原式＝1﹣a+a＝1．故选：A．9．请举出一个反例说明等式“|a|＝a”不成立：．【解答】解：举出一个反例说明等式“|a|＝a”不成立：例如，a＝﹣2，则|a|＝﹣a（答案不唯一）．故答案为：a＝﹣2，则|a|＝﹣a（答案不唯一）．10．π﹣4的绝对值是．【解答】解：π﹣4的绝对值是|π﹣4|＝4﹣π，故答案为：4﹣π．11．若|a﹣1|与|b﹣2|互为相反数，则a+b的值为．【解答】解：由题意得：|a﹣1|+|b﹣2|＝0．∵|a﹣1|≥0，|b﹣2|≥0，∴a﹣1＝0，b﹣2＝0．∴a＝1，b＝2．∴a+b＝1+2＝3．故答案为：3．12．设y1＝|2+x|，y2＝2﹣|x|，当y1＝y2时，x的取值范围是．【解答】解：若y1＝y2，即|2+x|＝2﹣|x|，化简可得|x+2|+|x|＝2，根据绝对值的意义，即x表示的点到原点与﹣2表示的点的距离之和为2，观察数轴，分析可得必有﹣2≤x≤0，故答案为﹣2≤x≤0．13．补全数轴，并在数轴上表示下列各数，并用“＜”把它们连接起来．1.5，0，4，，﹣3．【解答】解：如图所示，由图可知，﹣3＜﹣＜0＜1.5＜4．14．为体现社会对教师的尊重，教师节这天上午，出租车司机小王在东西方向的公路上免费接送老师．如果规定向东为正，向西为负，出租车的行程如下（单位：千米）：+15，﹣4，+13，﹣10，﹣12，+3，﹣13，﹣17．（1）若出租车每行驶100千米耗油10升，这天上午汽车共耗油多少升？（2）如果每升汽油7元，则出租车司机今天上午的油费是