统考版2024届高考数学二轮专项分层特训卷二主观题专练8概率与统计文

概率与统计(8)1．[2023·全国乙卷(文)]某厂为比较甲、乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率．甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为xi，yi(i＝1，2，…，10).试验结果如下：试验序号i12345678910伸缩率xi545533551522575544541568596548伸缩率yi536527543530560533522550576536记zi＝xi－yi(i＝1，2，…，10)，z1，z2，…，z10的样本平均数为eq\o(z,\s\up6(－))，样本方差为s2.(1)求eq\o(z,\s\up6(－))，s2；(2)判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高(如果eq\o(z,\s\up6(－))≥2eq\r(\f(s2,10))，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高).2．[2023·黑龙江齐齐哈尔三模(文)]某校从甲、乙两个班级所有学生中分别随机抽取8名，对他们的航天知识进行评分调查(满分100分)，被抽取的学生的评分结果如下茎叶图所示：(1)分别计算甲、乙两个班级被抽取的8名学生得分的平均值和方差，并估计两个班级学生航天知识的整体水平差异；(2)若从得分不低于85分的学生中随机抽取2人参观市教育局举办的航天摄影展，求这两名学生均来自乙班级的概率．3．[2023·四川石室中学三模(文)]某学校共有1000名学生参加知识竞赛，其中男生400人．为了了解该校学生在知识竞赛中的情况，采取按性别分层抽样，随机抽取了100名学生进行调查，分数分布在450～950分之间．将分数不低于750分的学生称为“高分选手”．根据调查的结果绘制的学生分数频率分布直方图如图所示．(1)求a的值，并估计该校学生分数的众数、平均数和中位数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)若样本中属于“高分选手”的女生有10人，完成下列2×2列联表，并判断是否有97.5%的把握认为该校学生属于“高分选手”与“性别”有关．属于“高分选手”不属于“高分选手”合计男生女生合计参考公式：K2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)，其中n＝a＋b＋c＋d.P(K2≥k0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.8284．[2023·贵州毕节三模(文)]为调查某地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的100个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取10个作为样区，调查得到样本数据(xi，yi)(i＝1，2，…，10)，其中xi和yi分别表示第i个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，据分析野生动物的数量y与植物覆盖面积x线性相关并计算得eq\i\su(i＝1,10,x)i＝30，eq\i\su(i＝1,10,y)i＝600，eq\i\su(i＝1,10,x)eq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(i))＝250，eq\i\su(i＝1,10,)(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))(yi－eq\o(y,\s\up6(－)))＝400.(1)求该地区植物覆盖面积和野生动物数量的回归直线方程；(2)根据上述方程，预计该地区一块植物覆盖面积为5公顷的地块中这种野生动物的数量．参考公式：回归直线方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(a,\s\up6(^))＋eq\o(b,\s\up6(^))x中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)（xi－\o(x,\s\up6(－))）（yi－\o(y,\s\up6(－))）,\i\su(i＝1,n,)（xi－\o(x,\s\up6(－))）2)＝eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\o(x,\s\up6(－))·\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,n,x)eq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(i))－n\o(x,\s\up6(－))2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－)).5．[2023·吉林模拟预测]北京于2022年2月成功地举办了第二十四届冬季奥林匹克运动会．共赴冰雪之约，共享冬奥机遇，“冰雪经济”逐渐升温，“带动三亿人参与冰雪运动”正在从愿景逐渐变为现实，某大型滑雪场为了了解“喜爱冰雪运动”是否与“性别”有关，用简单随机抽样的方法从不同地区进行调查统计，得到如下2×2列联表：男性女性合计喜欢冰雪运动80不喜欢冰雪运动40合计统计数据表明：男性喜欢冰雪运动的人数占男性人数的eq\f(4,5)；女性喜欢冰雪运动的人数占女性人数的eq\f(3,5).(1)完成2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为“喜欢冰雪运动”与“性别”有关系；(结果精确到0.001)(2)根据数据统计，在参与调查的人员中年龄在40岁以上的占总体的eq\f(1,5)，在20岁到40岁之间的占eq\f(3,5)，20岁以下的占eq\f(1,5).现利用分层抽样的方法，从参加调查的人员中随机抽取5人参与抽奖活动，奖项设置如下：一等奖，享受全雪季雪场全部项目五折优惠，名额2人；二等奖，享受全雪季雪场全部项目八折优惠，名额3人．求获得一等奖的两人年龄都在20岁到40岁之间的概率．参考公式：K2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)，其中n＝a＋b＋c＋d.P(K2≥k0)0.1000.0100.001k02.7066.63510.8286．[2023·云南昆明模拟预测(文)]《中共中央国务院关于深入打好污染防治攻坚战的意见》提出“构建智慧高效的生态环境管理信息化体系”，下一步，需加快推进5G、物联网、大数据、云计算等新信息技术在生态环境保护领域的建设与应用，实现生态环境管理信息化、数字化、智能化．某科技公司开发出一款生态环保产品，已知该环保产品每售出1件预计利润为0.4万元，当月未售出的环保产品，每件亏损0.2万元．根据市场调研，该环保产品的市场月需求量在[155，205]内取值，将月需求量区间平均分成5组，画出频率分布直方图如下．(1)请根据频率分布直方图，估计该环保产品的市场月需求量的平均值eq\o(x,\s\up6(－))和方差s2.(2)若该环保产品的月产量为185件，x(单位：件，155≤x≤205，x∈N*)表示该产品一个月内的市场需求量，y(单位：万元)表示该公司生产该环保产品的月利润．①将y表示为x的函数；②以频率估计概率，标准差s精确到1，根据频率分布直方图估计x∈[eq\o(x,\s\up6(－))－s，eq\o(x,\s\up6(－))＋s]且y不少于68万元的概率．概率与统计（8）1．解析：（1）由题意，求出zi的值如表所示，试验序号i12345678910zi968－8151119182012则eq\x\to(z)＝eq\f(1,10)×（9＋6＋8－8＋15＋11＋19＋18＋20＋12）＝11，s2＝eq\f(1,10)×[（9－11）2＋（6－11）2＋（8－11）2＋（－8－11）2＋（15－11）2＋（11－11）2＋（19－11）2＋（18－11）2＋（20－11）2＋（12－11）2]＝61.（2）因为2eq\r(\f(s2,10))＝2eq\r(6.1)＝eq\r(24.4)，eq\x\to(z)＝11＝eq\r(121)>eq\r(24.4)，所以可认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高．2．解析：（1）eq\x\to(x)甲＝eq\f(1,8)（76＋79＋80＋81＋85＋88＋90＋93）＝84，eq\x\to(x)乙＝eq\f(1,8)（73＋80＋81＋82＋83＋89＋90＋94）＝84.seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(甲))＝eq\f(1,8)（64＋25＋16＋9＋1＋16＋36＋81）＝31，seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(乙))＝eq\f(1,8)（121＋16＋9＋4＋1＋25＋36＋100）＝39，因为两个班级学生得分的平均值相同，所以我们估计两个班级航天知识整体水平相差不大，又由于乙班级学生得分的方差比甲班大，所以我们估计甲班级学生航天知识水平更加均衡一些，乙班级学生航天知识水平差异略大．（2）甲班级得分不低于85分的有4名同学，记为A，B，C，D.乙班级得分不低于85分的有3名同学，记为a，b，c，从这7名同学中选取2人共有（A，B），（A，C），（A，D），（A，a），（A，b），（A，c），（B，C），（B，D），（B，a），（B，b），（B，c），（C，D），（C，a），（C，b），（C，c），（D，a），（D，b），（D，c），（a，b），（a，c），（b，c）共21个基本事件．其中两名学生均来自于乙班级的有（a，b），（a，c），（b，c）共3个基本事件，所以所求事件的概率P＝eq\f(3,21)＝eq\f(1,7).3．解析：（1）100×（0.0015＋a＋0.0025＋0.0015＋0.0010）＝1，解得a＝0.0035.众数估计值为600分．平均数估计值为500×0.15＋600×0.35＋700×0.25＋800×0.15＋900×0.1＝670（分），分数分布在450～650分之间时，频率为100×（0.0015＋0.0035）＝0.5，故中位数估计值为650分．（2）由题意可知，样本中男生有40人，女生有60人，属于“高分选手”的有25人，其中女生10人．因此，得到2×2列联表如下：属于高分选手不属于高分选手合计男生152540女生105060合计2575100因此，K2＝eq\f(100×（15×50－10×25）2,40×60×25×75)＝eq\f(50,9)≈5.556>5.024，所以有97.5%的把握认为该校学生属于“高分选手”与“性别”有关．4．解析：（1）由题意得eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,10)eq\i\su(i＝1,10,x)i＝3，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(1,10)eq\i\su(i＝1,10,y)i＝60，由于eq\i\su(i＝1,n,)（xi－eq\o(x,\s\up6(－))）2＝eq\i\su(i＝1,10,x)eq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(i))－2（x1＋x2＋…＋x10）eq\o(x,\s\up6(－))＋10eq\o(x,\s\up6(－))2＝eq\i\su(i＝1,10,x)eq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(i))－2×10eq\o(x,\s\up6(－))2＋10eq\o(x,\s\up6(－))2＝eq\i\su(i＝1,10,x)eq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(i))－10eq\o(x,\s\up6(－))2，∴eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,10,)（xi－\o(x,\s\up6(－))）（yi－\o(y,\s\up6(－))）,\i\su(i＝1,10,)（xi－\o(x,\s\up6(－))）2)＝eq\f(\i\su(i＝1,10,)（xi－\o(x,\s\up6(－))）（yi－\o(y,\s\up6(－))）,\i\su(i＝1,10,x)eq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(i))－10\o(x,\s\up6(－))2)＝eq\f(400,250－10×9)＝2.5，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－))＝60－2.5×3＝52.5，∴回归直线方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝2.5x＋52.5.（2）当x＝5时，eq\o(y,\s\up6(^))＝65，即预计这种野生动物的数量为65.5．解析：（1）参与调查的男性有80÷eq\f(4,5)＝100人，女性有40÷（1－eq\f(3,5)）＝100人，根据已知条件，可得列联表如下：男性女性合计喜欢冰雪运动8060140不喜欢冰雪运动204060合计100100200K2＝eq\f(200×（80×40－60×20）2,140×60×100×100)＝eq\f(200,21)≈9.524<10.828.所以不能在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“喜欢冰雪运动”与“性别”有关系．（2）设“获得一等奖的两人年龄都在20岁到40岁之间”为事件A，利用分层抽样的方法抽取，在40岁以上的人员中抽取1人，记其为a；在20岁到40岁之间的人员中抽取3人，记其为b，c，d；在20岁以下的人员中抽取1人，记其为e.在抽奖的5人中2人获得一等奖的基本事件为：ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de共10种，满足条件的基本事件为：bc，bd，cd共3种，所以P（A）＝eq\f(3,10).即获得一等奖的两人年龄都在20岁到40岁之间的概率为eq\f(3,