概率论与数理统计课件

§1.1随机事件及其运算§1.2概率的定义及其确定方法§1.3概率的性质§1.4条件概率§1.5独立性

第一章随机事件与概率2.

随机现象1.1.1随机现象：自然界中的有两类现象1.

确定性现象

每天早晨太阳从东方升起;

水在标准大气压下加温到100oC沸腾;

掷一枚硬币，正面朝上？反面朝上？

一天内进入某超市的顾客数;

某种型号电视机的寿命;§1.1

随机事件及其运算1.1.1随机现象随机现象：在一定的条件下，并不总出现相同结果的现象称为随机现象.特点：1.结果不止一个;2.事先不知道哪一个会出现.随机现象的统计规律性：随机现象的各种结果会表现出一定的规律性，这种规律性称之为

统计规律性.1.

随机试验

(E)——

对随机现象进行的实验与观察.

它具有两个特点：随机性、重复性.2.

样本点

——随机试验的每一个可能结果.3.

样本空间(Ω)

——

随机试验的所有样本点构成的集合.

4.

两类样本空间：

离散样本空间

样本点的个数为有限个或可列个.

连续样本空间

样本点的个数为无限不可列个.（添加书本例子1.1.2）1.1.2样本空间1.

随机事件

——

某些样本点组成的集合,Ω的子集，常用A、B、C…表示.

3.

必然事件

(Ω)4.

不可能事件

(φ)——

空集（添加书本例子）1.1.2）.

5.

随机变量

表示随机现象结果的变量.

常用大写字母X、Y、Z…表示.2.

基本事件

——Ω的单点集.1.1.3随机事件表示随机现象结果的变量.常用大写字母X、Y、Z…表示.1.1.4随机变量在试验中，A中某个样本点出现了，就说A

出现了、发生了，记为A.维恩图

(Venn).事件的三种表示用语言、用集合、用随机变量（例子1.1.4）.事件的表示包含关系：

A

B,

A

发生必然导致

B

发生.相等关系:

A

=

B

A

B

而且

B

A.

互不相容：

A

和B不可能同时发生.1.1.5

事件间的关系解：1)显然，B发生必然导致A发生，所以B

A;.

2)又因为A发生必然导致B发生，所以A

B，由此得A=B.例1.1.1

口袋中有a个白球、b个黑球，从中一个一个不返回地取球。A=“取到最后一个是白球”，

B=“取到最后一段是白球”。问A

与B

的关系？并：

A

B

A

与

B

至少有一发生

交：

A

B=AB

A

与

B

同时发生

差：

A

B

A发生但

B不发生

对立：

A

不发生1.1.6

事件的运算事件运算的图示

A

B

A

B

A

B

德莫根公式

记号

概率论

集合论

Ω

样本空间,必然事件空间

φ

不可能事件空集

样本点

元素

A

B

A发生必然导致B发生A是B的子集

AB=φ

A与B互不相容A与B无相同元素

A

B

A与B至少有一发生A与B的并集

AB

A与B同时发生

A与B的交集

A

B

A发生且B不发生A与B的差集

A不发生、对立事件A的余集

基本事件互不相容，基本事件之并=Ω

注意点(1)注意点(2)

若A1，A2，……，An

有

1.Ai互不相容；

2.A1

A2

……

An=Ω

则称A1，A2，……，An

为Ω的一组分割.样本空间的分割1.若A是B的子事件，则

A

B=()，AB=()2.设

A与B同时出现时

C也出现，则(

)

①

A

B是

C的子事件；

②

C是

A

B的子事件；

③

AB是

C的子事件；

④

C是

AB的子事件.课堂练习③BA3.

设事件A=“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则A的对立事件为（）①甲种产品滞销，乙种产品畅销；②甲、乙两种产品均畅销；③甲种产品滞销；④甲种产品滞销或者乙种产品畅销.4.设x

表示一个沿数轴做随机运动的质点位置，试说明下列各对事件间的关系①A={|x

a|＜σ}，B={x

a＜σ}②A={x＞20}，B={x≤22}③A={x＞22}，B={x＜19}④A

B相容不相容5.试用A、B、C表示下列事件：①A出现；②仅A出现；③恰有一个出现；④至少有一个出现；⑤至多有一个出现；⑥都不出现；⑦不都出现；⑧至少有两个出现；

设Ω为样本空间，F

是由Ω的子集组成的集合类，若F满足以下三点,则称F为事件域1.1.7

事件域1.Ω

F;2.

若A

F

，则

F;3.若An

F

，n=1,2,…,

则

F.直观定义

——

事件A出现的可能性大小.统计定义

——

事件A在大量重复试验下出现的频率的稳定值称为该事件的概率.古典定义；几何定义.§1.2

概率的定义及其确定方法非负性公理：

P(A)0;正则性公理：

P(Ω)=1;可列可加性公理：若A1,A2,……,An

……

互不相容，则1.2.1

概率的公理化定义从n

个元素中任取r

个，求取法数.排列讲次序，组合不讲次序.全排列：Pn=n!0!=1.重复排列：nr选排列：1.2.2

排列与组合公式组合组合：重复组合：

求排列、组合时，要掌握和注意：加法原则、乘法原则.注意加法原理

完成某件事情有n类途径，在第一类途径中有m1种方法，在第二类途径中有m2种方法，依次类推，在第n

类途径中有mn种方法，则完成这件事共有m1+m2+…+mn种不同的方法.乘法原理

完成某件事情需先后分成n

个步骤，做第一步有m1种方法，第二步有m2种方法，依次类推，第n

步有mn种方法，则完成这件事共有m1×m2×…×mn种不同的方法.随机试验可大量重复进行.1.2.3

确定概率的频率方法进行n次重复试验，记n(A)为事件A的频数，称为事件A的频率.频率fn(A)会稳定于某一常数(稳定值).用频率的稳定值作为该事件的概率.

古典概型若一个随机试验(Ω,F,P)具有以下两个特征：

(1)有限性。样本空间的元素(基本事件)只有为有限个，即Ω={ω1，ω2，…，ωn}；

(2)等可能性。每个基本事件发生的可能性是相等的，即P(ω1)=P(ω2)=…=P(ωn)。

则称这类随机试验的数学模型为古典概型。则事件A的概率为:P(A)=A中样本点的个数/样本点总数1.2.4

确定概率的古典方法抛一枚硬币三次

抛三枚硬币一次Ω1={(正正正),(反正正),(正反正),(正正反),(正反反),(反正反),(反反正),(反反反)}

此样本空间中的样本点等可能.Ω2={(三正),(二正一反),(二反一正),(三反)}

此样本空间中的样本点不等可能.注意例1.2.1

六根草，头两两相接、尾两两相接。求成环的概率.解：用乘法原则直接计算所求概率为n个人围一圆桌坐，求甲、乙两人相邻而坐的概率.解：考虑甲先坐好，则乙有n-1个位置可坐，而“甲乙相邻”只有两种情况，所以P(A)=2/(n-1)。例1.2.2n个人坐成一排，求甲、乙两人相邻而坐的概率.(注意：请与上一题作比较)解：1)先考虑样本空间的样本点数：甲先坐、乙后坐，则共有n(n

1)种可能.2)甲在两端，则乙与甲相邻共有2种可能.3)甲在中间(n

2)个位置上，则乙左右都可坐，所以共有2(n

2)种可能。由此得所求概率为：例1.2.31.2.5

确定概率的几何方法几何概型若①可度量性。样本空间充满某个区域，其度量(长度、面积、体积)为S

；

②等可能性。落在中的任一子区域A的概率，只与子区域的度量SA有关，而与子区域的位置无关则事件A的概率为:P(A)=SA

/S

几何概型的例子

例1.2.3

蒲丰投针问题平面上画有间隔为d的等距平行线，向平面任意投掷一枚长为l的针，求针与平行线相交的概率.蒲丰投针问题(续1)解：以x表示针的中点与最近一条平行线的距离，又以

表示针与此直线间的交角.

易知样本空间

满足：0

x

d/2;0

.

形成x-

平面上的一个矩形，其面积为：S

=d(

/2).

蒲丰投针问题(续2)

A=“针与平行线相交”的充要条件是:

x

l

sin(

/2).

针是任意投掷的，所以这个问题可用几何方法求解得由蒲丰投针问题知：长为l的针与平行线相交的概率为:2l/d.而实际去做N次试验，得n次针与平行线相交，则频率为:n/N.用频率代替概率得：

2lN/(dn).历史上有一些实验数据.

的随机模拟蒲丰投针问题的推广平面上画有间隔为d的等距平行线，向平面任意投掷一个边长为a,b,c(均小于d)的三角形，求三角形与平行线相交的概率．分析：三角形与平行线相交有以下三种情况：

1)

一个顶点在平行线上;

2)

一条边与平行线重合;

3)

两条边与平行线相交.前两种情况出现的概率为零.所以只要去确定两条边与平行线相交的概率.解：记Pab,Pac,Pbc,Pa,Pb,Pc分别为边ab,ac,bc,

a,b,c与平行线相交的概率，则所求概率为

p=P(三角形与平行线相交)=Pab+Pac+Pbc.

由蒲丰投针问题知Pa=2a/(d

),Pb=2b/(d

),Pc=2c/(d).

因为Pa=Pab+Pac,Pb=Pab+Pbc,Pc=Pac+Pbc

所以Pa+

Pb+

Pc=2(Pab+Pac+Pbc),

由此得

p=Pab+Pac+Pbc=(Pa+

Pb+

Pc)/2

=(a+b+c)/(d

).

性质1.3.1

P(φ)=0.

注意:

逆不一定成立.§1.3

概率的性质性质1.3.2(有限可加性)

若AB=φ，则P(A

B)=P(A)+P(B).

可推广到n个互不相容事件.性质1.3.3(对立事件公式)

P()=1

P(A).1.3.1

概率的可加性性质1.3.4

若A

B，则P(A

B)=P(A)

P(B)；若A

B，则P(A)

P(B).性质1.3.5

P(A

B)=P(A)

P(AB).1.3.2

概率的单调性(6)P(A

B)=P(A)+P(B)

P(AB)

P(A

B

C)=P(A)+P(B)+P(C)

P(AB)

P(AC)

P(BC)+P(ABC)1.3.3

概率的加法公式

AB=φ，P(A)=0.6，P(A

B)=0.8，求B

的对立事件的概率。解：由P(A

B)=P(A)+P(B)

P(AB)=P(A)+P(B)例1.3.1

得P(B)=P(A

B)

P(A)=0.8

0.6=0.2，

所以P()=1

0.2=0.8.例1.3.2解：因为P(A

B)=P(A)

P(AB)，所以先求P(AB)

由加法公式得P(AB)=P(A)+P(B)

P(A

B)=0.4+0.3

0.6=0.1

所以P(A

B)=P(A)

P(AB)=0.3P(A)=0.4，P(B)=0.3，P(A

B)=0.6，求

P(A

B).

例1.3.3解：因为A、B、C

都不出现的概率为=1

P(A)

P(B)

P(C)+P(AB)+P(AC)+P(BC)

P(ABC)=1

1/4

1/4

1/4+0+1/6+1/6

0=15/12=7/12P(A)=P(B)=P(C)=1/4,P(AB)=0,P(AC)=P(BC)=1/6,求A、B、C

都不出现的概率.口袋中有n

1个黑球、1个白球，每次从口袋中随机地摸出一球，并换入一只黑球.求第k次取到黑球的概率.利用对立事件解：记A为“第k次取到黑球”，则A的对立事件为“第k次取到白球”.而“第k次取到白球”意味着：“第1次……第k

1次取到黑球，而第k次取到白球”思考题

口袋中有2个白球，每次从口袋中随机地摸出一球，并换入一只黑球.

求第k次取到黑球的概率.例1.3.4解：用对立事件进行计算,记A=“至少出现一次6点”，则所求概率为

一颗骰子掷4次，求至少出现一次6点的概率.例1.3.5解：记B=“至少出现一次双6点”，则所求概率为

两颗骰子掷24次，求至少出现一次双6点的概率.从1,2,……,9中返回取n次，求取出的n个数的乘积能被10整除的概率.利用对立事件和加法公式解：因为“乘积能被10整除”意味着：

“取到过5”(记为A)且“取到过偶数”(记为B)。因此所求概率为P(AB).利用对立事件公式、德莫根公式和加法公式甲掷硬币n+1次，乙掷n次.(习题1.3第10题)求甲掷出的正面数比乙掷出的正面数多的概率.

利用对称性解：记甲正=甲掷出的正面数，乙正=乙掷出的正面数.

甲反=甲掷出的反面数，乙反=乙掷出的反面数.因为

P(甲正>乙正)=P(n+1-甲反>n-乙反)=P(甲反-1<乙反)=P(甲反

乙反)=1

P(甲正>乙正)(对称性)所以2P(甲正>乙正)=1,由此得P(甲正>乙正)=1/2N个产品，其中M个不合格品、N

M个合格品.(口袋中有M个白球，N

M个黑球)常见模型(1)

——

不返回抽样从中不返回任取n个,则此n个中有m个不合格品的概率为：此模型又称超几何模型.

n

N,mM,

n

m

N

M.口袋中有5

个白球、7个黑球、4个红球.从中不返回任取3

个.求取出的3

个球为不同颜色的球的概率.思考题购买：从01，……，35中选7个号码.开奖：7个基本号码，1个特殊号码.

彩票问题——幸运35选7中奖规则

1)7个基本号码

2)6个基本号码+1个特殊号码

3)6个基本号码

4)5个基本号码+1个特殊号码

5)5个基本号码

6)4个基本号码+1个特殊号码

7)4个基本号码，或3个基本号码+1个特殊号码

中奖概率

中所含样本点个数：将35个号分成三类：

7个基本号码、1个特殊号码、27个无用号码记pi

为中i等奖的概率。利用抽样模型得：

中奖概率如下：不中奖的概率为：

p0=1

p1

p2

p3

p4

p5

p6

p7

N个产品，其中M个不合格品、N

M个合格品.

从中有返回地任取n个.则此n个中有m个不合格品的概率为：常见模型(2)——返回抽样条件：

m

n,即

m=0,1,2,……,n.n个不同球放入N个不同的盒子中.每个盒子中所放球数不限.求恰有n个盒子中各有一球的概率(n

N)

常见模型(3)

——

盒子模型求n个人中至少有两人生日相同的概率.看成n个球放入N=365个盒子中.P(至少两人生日相同)=1

P(生日全不相同)用盒子模型得：pn=P(至少两人生日相同)=生日问题p20=0.4058,p30=0.6963,p50=0.9651,p60=0.9922

n个人、n顶帽子，任意取，至少一个人拿对自己帽子的概率.记Ai

=“第i

个人拿对自己的帽子”，i=1,…,n.求P(A1

A2

……

An)，不可用对立事件公式.用加法公式：常见模型(4)——

配对模型P(Ai)=1/n,P(AiAj)=1/n(n

1),P(AiAjAk)=1/n(n

1)(n

2),……P(A1A2……An)=1/n!P(A1

A2

……

An)=

配对模型(续)因为概率是事件(集合)的函数，所以先讨论事件(集合)的“极限”

.本节给出可列可加性的充要条件.1.3.4

概率的连续性若事件序列{Fn}满足：F1

F2

…

Fn

…

则称{Fn}为单调不减事件序列，其极限事件为事件序列的极限若事件序列{Fn}满足：F1

F2

…

Fn

…

则称{Fn}为单调不增事件序列，其极限事件为

设P(·)是一个集合函数，

(1)

若任对单调不减集合序列{Fn}，有

则称P(·)是下连续的.集合函数的连续性

(2)若任对单调不增集合序列{Fn}，有

则称P(·)是上连续的.

性质1.3.7

若P(·)是事件域F上的一个概率函数，

则P(·)既是下连续的，又是上连续的.概率的连续性性质1.3.8若P(·)是事件域F上满足：非负、正则的集合函数，则P(·)有可列可加性的充要条件是它具有有限可加性和下连续性.可列可加性的充要条件问题的提出：

1)10个人摸彩，有3张中彩.

问：第1个人中彩的概率为多少？第2个人中彩的概率为多少？

2)10个人摸彩，有3张中彩.

问：已知第l个人没摸中，第2个人中彩的概率为多少？§1.4

条件概率

定义1.4.1

对于事件A、B，若P(B)>0，则称P(A|B)=P(AB)/P(B)

为在B

出现的条件下，A

出现的条件概率.1.4.1

条件概率的定义

1)

缩减样本空间：将

缩减为

B=B.

2)

用定义：

P(A|B)=P(AB)/P(B).条件概率P(A|B)的计算10个产品中有7个正品、3个次品，从中不放回地抽取两个，已知第一个取到次品，求第二个又取到次品的概率.

P(B|A)=P(AB)/P(A)=(1/15)/(3/10)=2/9解：设A={第一个取到次品}，

B={第二个取到次品}，例1.4.1条件概率P(A|B)满足概率的三条公理.由此得：

P(A

B|C)=P(A|C)+P(B|C)

P(AB|C)；

若A与B互不相容，则P(A

B|C)=P(A|C)+P(B|C)；

P(|B)=1

P(A|B).条件概率是概率P(

|B)=1;P(B|

)

1;P(A|

)=P(A);P(A|A)=1.注意点(1)

设P(B)＞0，且A

B，则下列必然成立的是()①P(A)<P(A|B)②P(A)≤P(A|B)③P(A)>P(A|B)④P(A)≥P(A|B)(2)

P(A)=0.6,P(A

B)=0.84,P(

B|A)=0.4,

则P(B)=().课堂练习乘法公式;全概率公式；贝叶斯公式.条件概率的三大公式性质1.4.2

(1)若

P(B)>0，则P(AB)=P(B)P(A|B)；若P(A)>0，则P(AB)=P(A)P(B|A).(2)若

P(A1A2······An1)>0，则

P(A1A2······An)=P(A1)P(A2|A1)······P(An|A1A2······An1)1.4.2

乘法公式乘法公式主要用于求几个事件同时发生的概率.一批零件共有100个，其中10个不合格品。从中一个一个不返回取出，求第三次才取出不合格品的概率.解：记Ai=“第i次取出的是不合格品”

Bi=“第i次取出的是合格品”,目的求P(B1B2A3)

用乘法公式

P(B1B2A3)=P(B1)P(B2|B1)P(A3|B1B2)=乘法公式的应用性质1.4.3

若事件B1,B2,

······,Bn是样本空间的一组分割，且P(Bi)>0，则1.4.3

全概率公式全概率公式用于求复杂事件的概率.使用全概率公式关键在于寻找另一组事件来“分割”样本空间.全概率公式最简单的形式：注意点(1)若事件B1,B2,

······,Bn是互不相容的，且

P(Bi)>0，注意点(2)

则由可得

设10件产品中有3件不合格品，从中不放回地取两次，每次一件，求取出的第二件为不合格品的概率。解：设A=“第一次取得不合格品”，

B=“第二次取得不合格品”.由全概率公式得：=(3/10)×(2/9)+(7/10)×(3/9)

=3/10例1.4.2n张彩票中有一张中奖，从中不返回地摸取，记Ai为“第i次摸到中奖券”，则

(1)P(A1)=1/n.

(2)可用全概率公式计算得P(A2)=1/n.

(3)可用归纳法计算得

P(Ai)=1/n,i=1,2,……,n.摸彩模型n张彩票中有k张中奖，从中不返回地摸取，记Ai

为“第i次摸到奖券”，则

P(Ai)=k/n,i=1,2,……,n结论：不论先后，中彩机会是一样的.摸彩模型(续)

口袋中有a只白球、b只黑球。在下列情况下，求第k次取出的是白球的概率：

(1)从中一只一只返回取球；

(2)从中一只一只不返回取球；

(3)从中一只一只返回取球，且返回的同时再加入一只同色球.思考题

罐中有b

个黑球、r

个红球，每次从中任取一个，取出后将球放回，再加入c

个同色球和d

个异色球.(1)当c=

1,d=0时，为不返回抽样.(2)当c=0,d=0时，为返回抽样.(3)当c>0,d=0时，为传染病模型.(4)当c=

0,d>0时，为安全模型.波利亚罐子模型

记

pk(b,r)为“口袋中有b个黑球、r个红球时，第k

次取出黑球”的概率，k=1,2,……(1)当c=

1,d=0时为不返回抽样，所以由摸彩模型得：pk(b,r)=b/(b+r)，k=1,2,……(2)当c=0,d=0时为返回抽样，所以

pk(b,r)=b/(b+r)，k=1,2,……(3)当c>0,d=0时，为传染病模型。此时pk(b,r)=b/(b+r)，k=1,2,……波利亚罐子模型(续)甲口袋有a只白球、b只黑球；乙口袋有n只白球、

m只黑球.从甲口袋任取一球放入乙口袋，然后从乙口袋中任取一球，求从乙口袋中取出的是白球的概率.概率为：全概率公式的例题甲口袋有a只白球、b只黑球；乙口袋有n只白球、m只黑球.从甲口袋任取两球放入乙口袋，然后从乙口袋中任取一球，求从乙口袋中取出的是白球的概率.以上是甲、乙两口袋的球数不同，如果两口袋装的黑、白球个数都相同，则情况又如何？思考题要调查“敏感性”问题中某种比例p；两个问题：A：生日是否在7月1日前？

B：是否考试作弊？抛硬币回答A或B.答题纸上只有：“是”、“否”.可用全概率公式分析“敏感性”问题.敏感性问题的调查乘法公式是求“几个事件同时发生”的概率；全概率公式是求“最后结果”的概率；贝叶斯公式是已知“最后结果”，求“原因”的概率.1.4.4

贝叶斯公式

某人从甲地到乙地，乘飞机、火车、汽车迟到的概率分别为0.1、0.2、0.3，他等可能地选择这三种交通工具。若已知他最后迟到了，求他分别是乘飞机、火车、汽车的概率.（1/6，2/6，3/6）已知“结果”

，求“原因”若事件B1,B2,

······,Bn是样本空间的一组分割，且P(A)>0,P(Bi)>0，则贝叶斯（Bayes）公式

1)B1,B2,...,Bn可以看作是导致A发生的原因;

2)

P(Bj|A)是在事件A发生的条件下,

某个原因Bj

发生的概率,

称为“后验概率”;

3)Bayes公式又称为“后验概率公式”或“逆概公式”;4)称P(Bj)为“先验概率”.注意点例1.4.3某商品由三个厂家供应，其供应量为：甲厂家是乙厂家的2倍；乙、丙两厂相等。各厂产品的次品率为2%,2%,4%.若从市场上随机抽取一件此种商品，发现是次品，求它是甲厂生产的概率?

解：用1、2、3分别记甲、乙、丙厂，设

Ai

=“取到第i

个工厂的产品”，B=“取到次品”，由题意得:P(A1)=0.5,P(A2)=P(A3)=0.25；

P(B|A1)=P(B|A2)=0.02,P(B|A3)=0.04.=0.4由Bayes公式得:

口袋中有一只球，不知它是黑的还是白的。现再往口袋中放入一只白球，然后从口袋中任意取出一只，发现是白球。试问口袋中原来的那只球是白球的可能性多大？课堂练习2/3

事件的独立性

直观说法：对于两事件，若其中任何一个事件的发生不影响另一个事件的发生，

则这两事件是独立的.

P(A|B)=P(A)

P(AB)/P(B)=P(A)

P(AB)

=P(A)P(B)§1.5

独立性定义1.5.1

若事件A

与B

满足：P(AB)=P(A)P(B),

则称A与B相互独立，简称A与B独立.结论

A、B为两个事件，若P(A)>0,则

A与B

独立等价于

P(B|A)=P(B).性质1.5.1

若事件A与B独立，则

A与独立、与B独立、与独立.1.5.1

两个事件的独立性

实际应用中，往往根据经验来判断两个事件的独立性：例如

返回抽样、甲乙两人分别工作、重复试验等.事件独立性的判断1.5.2

多个事件的相互独立性对于A、B、C三个事件，称满足：

P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C)

为A、B、C两两独立.称满足：P(ABC)=P(A)P(B)P(C)

为A、B、C三三独立.定义1.5.3

若事件A1,A2,……,An满足：两两独立、三三独立、……、n

n独立则称A1,A2,……,An

相互独立.

若A、B、C相互独立，则A

B与C独立,A

B与C独立,A

B与C独立.一些结论

例1.5.1

两射手独立地向同一目标射击一次，其命中率分别为0.9和0.8，求目标被击中的概率.解:

设A=“甲中”,B=“乙中”,C=“目标被击中”,所以解法i)

P(C)=P(A

B)=P(A)+P(B)

P(A)P(B)=0.9+0.8

0.9

0.8=0.98.解法ii)

用对立事件公式

P(C)=P(A

B)=1(10.9)(10.8)=1

0.02=0.98.

例1.5.2

甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.7，现已知目标被击中，求它是甲击中的概率.。解:设A=“甲中”,B=“乙中”,C=“目标被击中”,所以

P(A|C)=P(AC)/P(C)=P(A)/[P(A)+P(B)

P(A)P(B)]=0.6/0.88=15/22

例1.5.3

两射手轮流对同一目标进行射击，甲先射，谁先击中则得胜。每次射击中，甲、乙命中目标的概率分别为

和

，求甲得胜的概率。解:

因为P(甲胜)=

+(1

)(1

)P(甲胜)所以P(甲胜)=

/[1(1

)(1

)].

例1.5.4

口袋中有3个白球、5个黑球，甲、乙两人轮流从口袋中有返回地取一球，甲先取.

谁先取到白球为胜，求甲胜的概率.解：P(甲胜)=3/8+(5/8)(5/8)P(甲胜)所以P(甲胜)=8/13.

例1.5.5

元件工作独立，求系统正常工作的概率.

记Ai=“第i个元件正常工作”，pi=P(Ai).(1)两个元件的串联系统：P(A1A2)=p1p2(2)两个元件的并联系统：

P(A1

A2)=p1+

p2

p1p2=1

(1

p1)(1

p2)(3)五个元件的桥式系统：用全概率公式

p3(p1+

p4

p1p4)(p2+

p5

p2p5)+(1

p3)(p1p2+

p4p5

p1p2p4p5)

若试验E1的任一结果与试验E2的任一结果都是相互独立的事件，则称这两个

试验相互独立，或称独立试验.1.5.3

试验的独立性

伯努里试验：

若某种试验只有两个结果

(成功、失败；黑球、白球；正面、反面)，则称这个试验为伯努里试验.

在伯努里试验中，一般记“成功”的概率为p.

n重伯努里试验：

n次独立重复的伯努里试验.n

重伯努里试验§2.1

随机变量及其分布(1)

掷一颗骰子，出现的点数X1，2，……，6.(2)n个产品中的不合格品个数Y0，1，2，……，n(3)某商场一天内来的顾客数Z0，1，2，……(4)某种型号电视机的寿命T:

[0,+)2.1.1随机变量的定义定义2.1.1

设

={}为某随机现象的样本空间，称定义在上的实值函数X=X()为随机变量.注意点(1)(1)随机变量X()是样本点的函数，

其定义域为，其值域为R=(，)若X表示掷一颗骰子出现的点数，则{X=1.5}

是不可能事件.

(2)若X

为随机变量，则

{X=k}、{a

<

X

b}、……

均为随机事件.即{a

<

X

b}={

；a

<

X()b

}

注意点(2)(3)注意以下一些表达式：

{X=k}={X

k}

{X<k}；{a

<

X

b}={X

b}

{X

a}；{X>b}=

{X

b}.(4)同一样本空间可以定义不同的随机变量.若随机变量X可能取值的个数为有限个或

可列个，则称X为离散随机变量.若随机变量X的可能取值充满某个区间

[a,b]，则称X为连续随机变量.前例中的X,Y,Z为离散随机变量；而T为连续随机变量.两类随机变量定义2.1.2

设X为一个随机变量，对任意实数

x，称F(x)=P(X

x)为

X的分布函数.基本性质：

(1)F(x)

单调不降；

(2)有界：0

F(x)

1，F(

)=0，F(+)=1；

(3)右连续.2.1.2

随机变量的分布函数2.1.3

离散随机变量的分布列设离散随机变量X的可能取值为：x1，x2，……，xn，……

称pi=P(X=xi)，i=1,2,……

为X的分布列.分布列也可用表格形式表示：X

x1

x2

……

xn

……

P

p1

p2

……

pn

……

分布列的基本性质(1)pi

0，

(2)(正则性)(非负性)注意点(1)求离散随机变量的分布列应注意：

(1)确定随机变量的所有可能取值;

(2)计算每个取值点的概率.

注意点(2)

对离散随机变量的分布函数应注意：

(1)F(x)是递增的阶梯函数;

(2)其间断点均为右连续的;(3)其间断点即为X的可能取值点;(4)其间断点的跳跃高度是对应的概率值.例2.1.1已知X的分布列如下：X012P1/31/61/2求X的分布函数.解：X012P0.40.40.2解：例2.1.2已知X的分布函数如下,求X的分布列.2.1.4

连续随机变量的密度函数连续随机变量X的可能取值充满某个区间(a,b).因为对连续随机变量X，有P(X=x)=0，所以无法仿离散随机变量用P(X=x)来描述连续随机变量X的分布.注意离散随机变量与连续随机变量的差别.定义2.1.4设随机变量X的分布函数为F(x),则称X为连续随机变量，若存在非负可积函数p(x)，满足：称p(x)为概率密度函数，简称密度函数.密度函数的基本性质满足(1)(2)的函数都可以看成某个连续随机变量的概率密度函数.(非负性)(正则性)注意点(1)

(1)

(2)F(x)是(

∞,+∞)上的连续函数;(3)P(X=x)=F(x)

F(x

0)=0;

(4)P{a<X≤b}=P{a<X<b}=P{a≤X<b}=P{a≤X≤b}=F(b)

F(a).注意点(2)(5)当F(x)在x点可导时,

p(x)=当F(x)在x点不可导时,

可令p(x)=0.连续型密度函数

X~p(x)

(不唯一

)2.4.P(X=a)=0离散型分布列:pn

=P(X=xn)

(唯一

)2.F(x)=3.

F(a+0)=F(a);P(a<X

b)=F(b)

F(a).4.点点计较5.F(x)为阶梯函数。

5.F(x)为连续函数。

F(a

0)=F(a).F(a

0)

F(a).例2.1.3设

X~求(1)常数k.(2)F(x).(1)k=3.(2)解：例2.1.4设

X~求

F(x).解：设X与Y同分布，X的密度为已知事件A={X>a}和B={Y>a}独立，解:

因为P(A)=P(B),P(A

B)=P(A)+P(B)

P(A)P(B)从中解得且P(A

B)=3/4,求常数a.且由A、B独立，得=2P(A)

[P(A)]2=3/4从中解得:P(A)=1/2,由此得0<a<2,因此1/2=P(A)=P(X>a)例2.1.5

设X~p(x)，且p(

x)=p(x)，F(x)是X的分布函数，则对任意实数a>0，有()

①F(

a)=1

②F(

a)=③F(

a)=F(a)④F(

a)=2F(a)

1课堂练习②§2.2

随机变量的数学期望分赌本问题(17世纪)甲乙两赌徒赌技相同，各出赌注50元.无平局，谁先赢3局，则获全部赌注.当甲赢2局、乙赢1局时，中止了赌博.问如何分赌本?两种分法

1.按已赌局数分：

则甲分总赌本的2/3、乙分总赌本的1/32.按已赌局数和再赌下去的“期望”分：

因为再赌两局必分胜负，共四种情况：甲甲、甲乙、乙甲、乙乙所以甲分总赌本的3/4、乙分总赌本的1/42.2.1数学期望的概念

若按已赌局数和再赌下去的“期望”分，

则甲的所得X是一个可能取值为0或100

的随机变量，其分布列为：

X0

100P1/4

3/4甲的“期望”所得是：01/4+1003/4=75.2.2.2

数学期望的定义定义2.2.1

设离散随机变量X的分布列为P(X=xn)=pn,n=1,2,...

若级数绝对收敛，则称该级数为X的数学期望，记为连续随机变量的数学期望定义2.2.2

设连续随机变量X的密度函数为p(x),

若积分绝对收敛，则称该积分为X的数学期望，记为例2.2.1则E(X)=

1×0.2+0×0.1+1×0.4+2×0.3=0.8.X

1012P0.20.10.40.3数学期望简称为期望.数学期望又称为均值.数学期望是一种加权平均.注意点2.2.3

数学期望的性质定理2.2.1

设Y=g(X)是随机变量X的函数，若E(g(X))存在，则例2.2.2

设随机变量X的概率分布为求E(X2+2).=(02+2)×1/2+(12+2)×1/4+(22+2)×1/4=1+3/4+6/4=13/4解:

E(X2+2)X012P1/21/41/4数学期望的性质(1)E(c)=c(2)E(aX)=aE(X)(3)E(g1(X)+g2(X))=E(g1(X))+E(g2(X))例2.2.3设X~

求下列X

的函数的数学期望.(1)2X

1,(2)(X

2)2解:(1)E(2X

1)=1/3,(2)E(X

2)2=11/6.§2.3

随机变量的方差与标准差数学期望反映了X取值的中心.方差反映了X取值的离散程度.2.3.1方差与标准差的定义定义2.3.1

若

E(X

E(X))2存在，则称

E(X

E(X))2为X的方差，记为Var(X)=D(X)=E(X

E(X))2(2)称注意点

X

=

(X)=(1)

方差反映了随机变量相对其均值的偏离程度.

方差越大,则随机变量的取值越分散.为X的标准差.标准差的量纲与随机变量的量纲相同.2.3.2

方差的性质(1)Var(c)=0.性质2.3.2(2)Var(aX+b)=a2Var(X).性质2.3.3(3)Var(X)=E(X2)

[E(X)]2.性质2.3.1例2.3.1

设X~,求E(X),Var(X).解:(1)E(X)==1(2)E(X2)==7/6所以,Var(X)=E(X2)

[E(X)2]=7/6

1=1/6课堂练习

设则方差

Var(X)=()。问题：Var(X)=1/6,为什么？随机变量的标准化

设Var(X)>0,令则有E(Y)=0,Var(Y)=1.称Y为X

的标准化.2.3.3

切比雪夫不等式

设随机变量X的方差存在(这时均值也存在),

则对任意正数ε，有下面不等式成立

例2.3.2设X~证明证明:E(X)==n+1E(X2)==(n+1)(n+2)所以,Var(X)=E(X2)

(EX)2=n+1,(这里,

=n+1)由此得定理2.3.2Var(X)=0P(X=a)=1§2.4

常用离散分布

2.4.1

二项分布记为X~b(n,p).X为n重伯努里试验中“成功”的次数,当n=1时，称b(1,p)为0-1分布.

试验次数为n=4,“成功”即取得合格品的概率为p=0.8,

所以,X~b(4,0.8)思考：

若Y为不合格品件数，Y

？Y~b(4,0.2)

一批产品的合格率为0.8,有放回地抽取4次,

每次一件,则取得合格品件数X服从二项分布.

例2.4.1设X~b(2,p)，Y~b(4,p)，已知P(X1)=8/9，求P(Y1).解:

由P(X1)=8/9

，知P(X=0)=1/9.

由此得：P(Y1)=1P(Y=0)所以1/9

=P(X=0)=(1p)2，从而解得:p=2/3.=1-(1p)4=80/81.若随机变量X的概率分布为则称X服从参数为

的泊松分布,

记为X~P(

).2.4.2泊松分布泊松定理定理2.4.1(二项分布的泊松近似)在n重伯努里试验中，记pn

为一次试验中成功的概率.若npn

，则记为X~h(n,N,M).超几何分布对应于不返回抽样模型

：N个产品中有M个不合格品，

从中抽取n个，不合格品的个数为X.2.4.3超几何分布记为X~Ge(p)

X为独立重复的伯努里试验中，“首次成功”时的试验次数.

几何分布具有无记忆性，即：

P(X>m+n|X>m)=P(X>n)2.4.4几何分布负二项分布(巴斯卡分布)记为X~Nb(r,p).X为独立重复的伯努里试验中，“第r次成功”时的试验次数.注意点

(1)二项随机变量是独立0-1随机变量之和.

(2)负二项随机变量是独立几何随机变量之和.常用离散分布的数学期望

几何分布Ge(p)的数学期望=1/p

0-1分布的数学期望=p

二项分布b(n,p)的数学期望=np

泊松分布P(

)的数学期望=

常用离散分布的方差

0-1分布的方差=p(1

p)

二项分布b(n,p)的方差=np(1

p)

泊松分布P(

)的方差=

几何分布Ge(p)的方差=(1

p)/p2§2.5

常用连续分布正态分布、均匀分布、指数分布、伽玛分布、贝塔分布。记为X~N(

,

2),其中

>0，

是任意实数.

是位置参数.

是尺度参数.2.5.1正态分布yxOμ正态分布的性质(1)

p(x)关于

是对称的.p(x)x0μ在

点p(x)取得最大值.(2)若

固定,

改变,(3)若

固定,

改变,σ小σ大p(x)左右移动,

形状保持不变.

越大曲线越平坦;

越小曲线越陡峭.p(x)x0x

x标准正态分布N(0,1)密度函数记为

(x),分布函数记为

(x).

(x)的计算(1)x

0时,查标准正态分布函数表.(2)x<0时,用若X~N(0,1),则

(1)P(X

a)=

(a);(2)P(X>a)=1

(a);(3)P(a<X<b)=

(b)

(a);(4)若a0,则

P(|X|<a)=P(

a<X<a)=

(a)

(

a)

=

(a)

[1

(a)]=2

(a)

1

例2.5.1

设X~N(0,1),求

P(X>

1.96),P(|X|<1.96)=1

(

1.96)=1

(1

(1.96))=0.975(查表得)=2

(1.96)

1=0.95=

(1.96)解:

P(X>

1.96)P(|X|<1.96)=20.97