重难点04 圆锥曲线三角形面积与四边形面积问题（六大题型）（原卷版）

重难点04圆锥曲线三角形面积与四边形面积问题【题型归纳目录】题型一：三角形的面积问题之底·高题型二：三角形的面积问题之分割法题型三：三角形的面积比问题题型四：四边形的面积问题之对角线垂直模型题型五：四边形的面积问题之一般四边形题型六：三角形、四边形的面积问题之面积坐标化【方法技巧与总结】1、三角形的面积处理方法（1）底·高（通常选弦长做底，点到直线的距离为高）（2）水平宽·铅锤高或（3）在平面直角坐标系中，已知的顶点分别为，，，三角形的面积为．2、三角形面积比处理方法（1）对顶角模型（2）等角、共角模型3、四边形面积处理方法（1）对角线垂直（2）一般四边形（3）分割两个三角形4、面积的最值问题或者取值范围问题一般都是利用面积公式表示面积，然后将面积转化为某个变量的一个函数，再求解函数的最值（一般处理方法有换元，基本不等式，建立函数模型，利用二次函数、三角函数的有界性求最值或利用导数法求最值，构造函数求导等等），在算面积的过程中，优先选择长度为定值的线段参与运算，灵活使用割补法计算面积.【典型例题】题型一：三角形的面积问题之底·高例1．（2023·全国·高三校联考阶段练习）已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点相同，且点在椭圆上．（1）求椭圆的标准方程；（2）设过点的直线与椭圆交于不同的两点，且与坐标原点构成三角形，求面积的最大值．例2．（2023·四川巴中·统考一模）已知椭圆左右焦点分别为，上顶点为，直线被椭圆截得的线段长为（1）求椭圆的方程；（2）设过的直线与椭圆交于两点，若，求三角形的面积.例3．（2023·福建漳州·高二福建省华安县第一中学校考期中）已知椭圆的半焦距为，原点到经过两点的直线的距离为，椭圆的长轴长为（1）求椭圆的方程；（2）直线与椭圆交于两点，线段的中点为，P为椭圆的左焦点，求三角形PAB的面积.变式1．（2023·江西南昌·高二江西师大附中校考阶段练习）已知椭圆短轴顶点与焦点所组成的四边形面积为2，离心率为．（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线l与椭圆相交于A、B两点，求三角形OAB面积的最大值．变式2．（2023上·浙江嘉兴·高二校联考期中）已知点到直线：的距离和它到定点的距离之比为常数．(1)求点的轨迹的方程；(2)若点是直线上一点，过作曲线的两条切线分别切于点与点，试求三角形面积的最小值．（二次曲线在其上一点处的切线为）题型二：三角形的面积问题之分割法例4．（2023·河南南阳·高二统考期末）已知抛物线：的焦点为，过轴正半轴上一点的直线与抛物线交于、两点，为坐标原点，且.(1)求点的坐标；(2)设点关于直线的对称点为，求四边形面积的最小值.例5．（2023·黑龙江哈尔滨·高二哈师大附中校考期末）已知椭圆，焦距为，且经过点．(1)求椭圆的方程；(2)设，是椭圆的左、右顶点，为直线上的动点，直线，分别交椭圆于M，N两点，求四边形面积的最大值．例6．（2023·浙江嘉兴·高三统考期末）已知抛物线上的任意一点到焦点的距离比到y轴的距离大.(1)求抛物线C的方程；(2)过抛物线外一点作抛物线的两条切线，切点分别为A，B，若三角形ABP的重心G在定直线上，求三角形ABP面积的最大值.变式3．（2023·四川成都·高二四川省成都市新都一中校联考期中）已知椭圆的离心率为．(1)点P是椭圆上异于左、右顶点的任意一点，A1（﹣a，0），A2（a，0），证明点P与A1，A2连线的斜率的乘积为定值，并求出该定值；(2)若椭圆的短轴长为2，动直线l与椭圆交于A，B两点，且坐标原点O在以AB为直径的圆上．①判断是否存在定圆与直线l恒相切，若存在，求定圆的方程，若不存在，请说明理由；②求三角形OAB的面积的取值范围．变式4．（2023·河南·高二校联考阶段练习）已知椭圆的离心率为，右焦点为F，上顶点为D，且三角形的面积为6，过点的直线交椭圆与A，B两点，点（1）证明：直线和直线关于y轴对称；（2）求三角形面积的最大值.题型三：三角形的面积比问题例7．（2023·天津·校联考二模）已知椭圆右焦点为，已知椭圆短轴长为4，离心率为.(1)求椭圆的方程；(2)若直线与椭圆相交于M、N两点，线段MN垂直平分线与直线及轴和y轴相交于点D、E、G，直线GF与直线相交于点，记三角形EFG与三角形GDH的面积分别为，，求的值.例8．（2023上·天津·高二天津市第一百中学校联考期中）设椭圆（）的左右焦点分别为，，左右顶点分别为A，B，，.(1)求椭圆的方程；(2)已知P为椭圆上一动点（不与端点重合），直线交y轴于点Q，O为坐标原点，若四边形与三角形的面积之比为，求点P坐标.例9．（2023·天津·统考高考真题）设椭圆的左右顶点分别为，右焦点为，已知．(1)求椭圆方程及其离心率；(2)已知点是椭圆上一动点（不与端点重合），直线交轴于点，若三角形的面积是三角形面积的二倍，求直线的方程．题型四：四边形的面积问题之对角线垂直模型例10．（2023·重庆沙坪坝·高二重庆南开中学校考期中）如图，双曲线，过原点O的直线与双曲线分别交于A、C、B、D四点，且．(1)若，P为双曲线的右顶点，记直线、、、的斜率分别为、、、，求的值；(2)求四边形面积的取值范围．例11．（2023·浙江·高二校联考期中）在平面直角坐标系中，已知点，，点满足.记的轨迹为.(1)求的方程；(2)直线交于，两点，，为上的两点，若四边形的对角线，求四边形面积的最大值.例12．（2023·安徽铜陵·高二校联考期中）已知圆的圆心在坐标原点，面积为．(1)求圆的方程；(2)若直线，都经过点，且，直线交圆于，两点，直线交圆于，两点，求四边形面积的最大值．变式5．（2023·江苏泰州·高二泰州中学校考阶段练习）已知椭圆的左右两个焦点为，且，椭圆上一动点满足．(1)求椭圆的标准方程及离心率；(2)如图，过点作直线与椭圆交于点，过点作直线，且与椭圆交于点，与交于点，试求四边形面积的最大值．变式6．（2023·河南周口·高二校联考阶段练习）已知椭圆的离心率为，点在椭圆上．(1)求椭圆的标准方程；(2)若椭圆过原点的弦相互垂直，求四边形面积的最大值．变式7．（2023·山西朔州·高三校联考开学考试）已知椭圆E：的左、右焦点分别为，，M为椭圆E的上顶点，，点在椭圆E上.(1)求椭圆E的标准方程；(2)设经过焦点的两条互相垂直的直线分别与椭圆E相交于A，B两点和C，D两点，求四边形ACBD的面积的最小值.题型五：四边形的面积问题之一般四边形例13．（2023·湖北武汉·高二校联考期中）如图所示，椭圆的上顶点和右顶点分别是和，离心率，，是椭圆上的两个动点，且.(1)求椭圆的标准方程；(2)求四边形面积的最大值；(3)试判断直线与的斜率之积是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由.例14．（2023·湖南长沙·高二长郡中学校考期中）已知椭圆C：的左、右焦点分别为、，焦距为2，上、下顶点分别为、，A为椭圆上的点，且满足.(1)求椭圆C的标准方程；(2)过、作两条相互平行的直线，交C于M，N和P，Q，顺次连接构成四边形PQNM，求四边形PQNM面积的取值范围.例15．（2023·新疆·高二校联考期中）动点P与定点的距离和它到直线的距离的比是常数，记点P的轨迹为E.(1)求E的方程；(2)已知，过点的直线与曲线E交于不同的两点A，B，点A在第二象限，点B在x轴的下方，直线，分别与x轴交于C，D两点，求四边形面积的最大值.变式8．（2023·山东青岛·高二青岛二中校考期中）椭圆与双曲线有相同的焦点，且过.(1)求椭圆的方程；(2)如图所示，记椭圆的左、右顶点分别为，，当动点在定直线上运动时，直线，分别交椭圆于两点，.（i）证明：点B在以为直径的圆内；（ii）求四边形面积的最大值.题型六：三角形、四边形的面积问题之面积坐标化例16．（2023·全国·高三专题练习）如图，已知双曲线的左右焦点分别为、，若点为双曲线在第一象限上的一点，且满足，过点分别作双曲线两条渐近线的平行线、与渐近线的交点分别是和.（1）求四边形的面积；（2）若对于更一般的双曲线，点为双曲线上任意一点，过点分别作双曲线两条渐近线的平行线、与渐近线的交点分别是和.请问四边形的面积为定值吗？若是定值，求出该定值（用、表示该定值）；若不是定值，请说明理由.例17．（2023·浙江·高三竞赛）已知直线与椭圆：交于、两点，直线不经过原点.（1）求面积的最大值；（2）设为线段的中点，延长交椭圆于点，若四边形为平行四边形，求四边形的面积.例18．（2023·全国·高三专题练习）分别是椭圆于的左、右焦点.(1)若Р是该椭圆上的一个动点，求的取值范围；(2)设是它的两个顶点，直线与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点.求四边形AE