数字信号处理第三章图像信号分析基础

第三章图像信号分析基础3.1图像信号的数学表示3.1.1信号的采样3.1.2信号的量化3.1.3图像信号的采样3.1.4图像信号的量化3.1.5灰度直方图对一时间t为自变量的实数值域内的连续函数f(t)（信号）以dt为采样周期进行采样，得到一个数列，即采样值：…,f(-dt),f(0),f(dt),f(2dt),…,f(ndt),…3.1.1信号的采样3.1.1信号的采样理想采样器是指闭合时间趋向于0的采样器。理想采样后的数列（采样值）可以记为…,f(-2),f(-1),f(0),f(1),f(2),…,f(n),…或f(n),n=…,-2,-1,0,1,2,…,n,…称这个数列为信号f(t)的离散时间信号（或离散时间序列、采样数据序列）。因果系统。3.1.1信号的采样3.1.1信号的采样对一个连续信号进行采样，即让该连续信号与一个等间隔的脉冲序列共同作用。

任意一个一维序列可以表示成一维单位冲激的移位加权和。x(nT)为x(t)信号在nT时刻的值，即权。采样前后的信号之间的关系为3.1.1信号的采样其中，Dirac函数定义为：且3.1.1信号的采样3.1.1信号的采样一般取T1=T2任意一个二维序列可以表示成二维单位冲激的移位加权和。对于二维系统，则有3.1.1信号的采样二维采样矩阵对模拟信号采样使它离散化的程度取决于采样器的采样周期T。采样周期越小，得到的采样序列就越接近原来的信号，数据量越大。采样周期大于某个限制时，不能从采样序列恢复原来的信号。明文空间vs密文空间3.1.1信号的采样3.1.1信号的采样采样定理：对一个频谱有限（）的连续信号f(t)进行采样，当采样频率满足条件时，采样序列便能无失真地恢复原来的连续信号。3.1.2信号的量化连续信号的采样常用A/D转换实现。A/D转换器包括采样器和量化器两部分组成。量化器的作用是将离散的模拟量x(n)按照一定的规则转换为数字量x’(n)，即把采样信号的幅值范围按照一定的精度要求分成若干（一般为偶数）段[pk,pk+1]，使落入某段中的采样值使用单一的幅值来表示。从模拟量到数字量的转换误差的大小由量化的精度要求所决定。若采样值f(nT)落在[pk,pk+1]，常取(pk+pk+1)/2为其量化值。3.1.3图像信号的采样图像信号是二维空间的信号，是以平面上的点作为独立变量的函数。对于黑白或灰度图像可直接采样，彩色图像则可对其三基色分别采样。二维图像信号的采样也要遵循采样定理。图像信号的采样定理：二维采样频率均要大于各自的最高频率。各维一般采用相同的采样频率。3.1.4图像信号的量化幅度分布密度函数h(p)：幅度（亮度）为p的像素点的个数。h(p)通常是非均匀分布的，所以通常取不等间隔的分段，对于较常出现的幅度值范围，建议把量化间隔取得小一些。3.1.5灰度直方图（histogram

）对于灰度图象，从最暗（黑）到最亮（白）通常被分为256个灰度级别。灰度直方图是灰度级的函数，也就是图像中具有某个灰度级的像素点的个数，其函数图像的横坐标是灰度级，纵坐标为该灰度级出现的频率。对于连续图像，定义阈值面积函数A(F)为具有灰度级F的所有轮廓线所包围的面积。对于数字图像，任一灰度级F的面积函数A(F)即大于或等于灰度值F的像素点的个数。设D(X,Y)表示平滑地从中心的高灰度级变化到边沿的低灰度级的连续图像。3.1.5灰度直方图（histogram）连续图像的灰度直方图可定义为：一幅连续图像的灰度直方图是其面积函数的导数的负值。若将图像看作一个二维随机变量，则面积函数相当于该随机变量的分布函数，而灰度直方图相当于其概率密度函数。随灰度级F的增加，对应的面积A(F)减小。对于灰度数字图像，任一灰度级F的面积函数A(F)的值也就是大于等于该灰度值的像素点的个数。3.1.5灰度直方图3.1.5灰度直方图设r代表图像中像素灰度级，作归一化处理后，r将被限定在［0,1］之内。在灰度级中，r=0代表黑，r=1代表白。对于一幅给定的图像来说，每一个像素取得［0,1］区间内的灰度级是随机的，也就是说r是一个随机变量。假定对每一瞬间，它们是连续的随机变量，那么就可以用概率密度函数pr(r)来表示原始图像的灰度分布。如果用直角坐标系的横轴代表灰度级r，用纵轴代表灰度级的概率密度函数pr(r)，这样就可以针对一幅图像在这个坐标系中作出一条曲线来。这条曲线在概率论中就是概率密度曲线。3.1.5灰度直方图3.1.5灰度直方图例图：图像灰度分布概率密度函数从图像灰度级的分布可以看出一幅图像的灰度分布特性。例如，从上图中(a)和(b)两个灰度分布概率密度函数中可以看出：(a)的大多数像素灰度值取在较暗的区域，所以这幅图像肯定较暗，一般在摄影过程中曝光偏弱就会造成这种结果；(b)图像的像素灰度值集中在亮区，因此，图像(b)将偏亮，一般在摄影中曝光偏强将导致这种结果。当然，从两幅图像的灰度分布来看图像的质量均不理想。曝光过强（过弱）会导致大片白色（黑色），丢失明暗、对比度、纹理等细节信息，即使采用插值算法，也难以准确恢复。此时将在直方图的一端或两端产生尖峰。3.1.5灰度直方图直方图是一幅图像中各像素灰度值出现次数（或频数）的统计结果，它只反映该图像中不同灰度值出现的次数（或频数），而未反映某一灰度值像素所在位置。也就是说，它只包含了该图像中某一灰度值的像素出现的概率，而丢失了其所在位置的信息。任一幅图像，都能惟一地确定出一幅与它对应的直方图，但不同的图像，可能有相同的直方图。也就是说，图像与直方图之间是多对一的映射关系。由于直方图是对具有相同灰度值的像素统计得到的，因此，一幅图像各子区的直方图之和就等于该图像全图的直方图。3.1.5灰度直方图3.1.5灰度直方图对于数字图像，灰度直方图可按如下方法计算其中，归一化操作并不是必须的。3.1.5灰度直方图轮廓线提供了一个确立图像中简单物体边界的有效方法，使用轮廓线作为边界的技术称为阈值法。假设有一图像的直方图如下，背景是浅色的，物体是深色的，则取双峰之间的谷底灰度作为阈值可以得到合理的边界。3.1.5灰度直方图直方图是面积函数的导数，在谷底附近，直方图的值相对较小，意味着面积函数随阈值灰度级的变化很缓慢，若选择谷底处的灰度作为阈值，将可以使其对物体边界的影响达到最小，使测量物体面积的误差最小。C#代码BitmapMyBitmap=newBitmap(500,500);intred=MyBitmap.GetPixel(1,1).R;intgreen=MyBitmap.GetPixel(1,1).G;intblue=MyBitmap.GetPixel(1,1).B;3.2图像运算3.2.1、点运算3.2.2、代数运算3.2.3、几何运算一、基本概念二、线性点运算三、非线性点运算四、点运算与灰度直方图的关系五、点运算的作用3.2.1点运算一、基本概念点运算（pointoperation）可简单理解为图像像素点的运算，即按照需要改变像素灰度值的运算，其输入和输出均为一幅数字图像，且输入像素和输出像素一一对应，不改变图像的空间关系对于一幅输入图像，将产生一幅输出图像，输出图像的每个像素点的灰度值由输入像素点决定。点运算由灰度变换函数（gray-scaletransformation,GST）确定。二、线性点运算三、非线性点运算非线性点运算的设计思路：基本数学函数的运用与组合，如三角函数、指数函数、对数函数、分段函数。三、非线性点运算四、点运算与灰度直方图灰度直方图是目的点运算是使图像满足预期灰度直方图的过程与方法五、点运算的作用点运算常用于增强图像中感兴趣的那部分的对比度（对比度增强或对比度扩展）；也可以根据灰度的不同级把一幅图像划分成若干部连续的区域，以便进一步确定它们的边界，画出轮廓线。3.2.2代数运算一、基本概念二、加法运算三、减法运算四、乘除法运算一、基本概念代数运算指对两幅或多幅图像进行点对点的四则运算得到一幅新图像，其中四则运算一般是两幅或多幅图像的对应点的灰度值的代数运算。二、加法运算将多幅图像的对应点相加得到新图像。可以将一幅图像内容加到另一幅图像上，以达到二次暴光（doubleexposure）的要求。可以对同一场景的多幅图像求平均值，以降低加性（additive）随机噪声。定理：对M幅加性噪声图像进行平均，可以使图像的平方信噪比提高M倍。新图像的灰度直方图为两个原始图像灰度直方图的卷积。水印、验证码三、减法运算将多幅图像的对应点相减得到新图像。可去除图像中不需要的加性图案。可用于运动检测。可以用来计算物体边界位置的梯度。新图像的灰度直方图为两个原始图像灰度直方图的卷积。四、乘除法运算乘法运算可以用来去除原始图像中的一部分：首先构造一副掩膜图像，在需要保留区域，图像灰度值为1，而在被去除区域，图像灰度值为0；然后将掩膜图像乘原始图像。除法运算可用于多光谱遥感运算的比值计算。3.2.3几何运算一、基本概念二、空间变换算法三、灰度插值算法一、基本概念图像点运算和代数运算不改变图像中各部分的几何关系。图像几何运算会改变各部分的空间位置关系。图像几何运算的结果一般表现为场景中的物体在图像内的移动，如转动、扭曲、倾斜、拉伸、缩放、错切等等。几何运算可能会导致图像的断裂或支解等现象，因此需要灰度插值算法。二、空间变换算法几何运算的空间变换算法一般定义如下：其中分别表示在水平和垂直两个方向上的变换。二、空间变换算法若令则有即图像不发生任何空间变化。二、空间变换算法若令即则图像中的像素点进行了平移。二、空间变换算法若令则有即图像沿对角线旋转180度，图像转置。若令即图像水平翻转。二、空间变换算法二、空间变换算法若令即图像垂直翻转。二、空间变换算法二、空间变换算法二、空间变换算法三、灰度插值算法1、最近邻插值2、双线性插值3、高阶插值1、最近邻插值法令输出像素点的灰度值等于距离它最近的输入像素点的灰度值。该方法对于邻近像素点的灰度值有较大变化的细微结构是粗糙的，失真较大。数字图像中，只有整数位置（x,y）处定义了灰度值。2、双线性插值法根据目标像素点相邻的四个像素点灰度值进行插值计算得到目标点的灰度值。四点确定一个平面函数，属于过约束问题。问题描述：单位正方形顶点已知，求正方形内任一点的f(x,y)值。具有平滑灰度的作用，在某些细节发生变化的区域效果不好，尤其是图像放大时。插值函数导数不连续。2、双线性插值法方法12、双线性插值法2、双线性插值法方法23、高阶插值一般不用超过三次以上的插值方法，有时没必要，且计算量太大。二次拉格朗日插值二次埃特金插值三次样条插值3.3线性系统3.3.0基本概念3.3.1线性(linearity)系统的性质3.3.2线性(linearity)移不变(shiftinvariance)系统3.3.3二维线性移不变系统的频率响应3.3.0基本概念把能够对信息（信号）进行某种变换的功能体称为系统，从形式上看，系统的功能是实行一种运算，它把一个信号（输入）映射成另一个信号（输出）。当且仅当两个输入x1和x2的任意线性组合使系统的输出为它们各自输出y1和y2的相同线性组合时，这个系统称为线性的。3.3.1线性系统的性质一、线性叠加原理：如果输入信号是两个信号之和，则输出信号为两个对应的信号之和。3.3.1线性系统的性质二、齐次原理：若系统输入是某信号的倍数，则系统的输出是原信号输出的相同倍数。3.3.1线性系统的性质即：线性系统对于任意个信号的任意线性组合，得到原始信号输出的相同线性组合。一、移不变性（或时不变性）二、线性移不变系统三、线性移不变系统的性质3.3.2线性移不变系统一、移不变性/时不变性若输入序列进行移位，则输出序列进行同样的移位，而信号性质不变。对于二维移不变系统，若则有二、线性移不变系统同时满足线性和移不变性的系统称为线性移不变系统。系统的移不变性和线性是两个独立的特性，其中一个特性成立并不意味着另一个特性也成立。二、线性移不变系统图像描述：将其作为线性移不变系统的输入二、线性移不变系统由线性性质，可得其中为(m,n)点的单位冲激响应二、线性移不变系统一个线性移不变系统的输出就是该系统在原点处的单位冲激响应的加权和，而“权”为系统的输入。一个线性移不变系统完全可以用它原点处的单位冲激响应来表征。线性移不变系统的输出等于系统输入与系统原点处单位冲激响应的卷积。三、线性移不变系统的性质1、交换率h(n)x(n)y(n)x(n)h(n)y(n)2、结合率三、线性移不变系统的性质h1(n)x(n)h2(n)y(n)h2(n)x(n)h1(n)y(n)h1(n)*h2(n)x(n)y(n)3、对加法的分配率三、线性移不变系统的性质h1(n)+h2(n)x(n)y(n)h1(n)x(n)y(n)h2(n)三、线性移不变系统的性质4、线性移不变系统对于调谐信号的响应等于输入信号乘以一个依赖于频率的复数，一个调谐信号输入总是产生同样频率的调谐信号输出（幅度可能会变）。5、调谐信号输入的实部和虚部互相独立地通过线性移不变系统。若输入是一个余弦信号，则可以为其加上一个正弦虚部构成一个调谐信号输入，确定系统对此调谐信号输入的响应，并去掉复值输出的虚部而得到原始余弦信号输入的输出。3.3.3二维线性移不变系统的频率响应设线性移不变系统的输入为其中，u是水平频率分量，v是垂直频率分量3.3.3二维线性移不变系统的频率响应则输出为其中，频率响应（系统对某个频率的响应）为频率响应是单位冲激响应的傅立叶变换，是单位圆上的传递函数（单位冲激响应的Z变换）。频率响应在水平和垂直两个分量上的周期都是2π。线性移不变系统的输出信号与输入信号具有相同频率的复正弦，而幅度和相位则受频率响应的影响。对于特定的有序对（u,v），若|H(u,v)|近似等于1，则该频率的正弦信号可以无衰减的通过；若|H(u,v)|接近于0，则该频率的正弦信号将被抑制。对于线性移不变系统，输出信号的傅立叶变换等于输入信号的傅立叶变换与频率响应的乘积。3.3.3二维线性移不变系统的频率响应3.4图像的卷积计算3.4.1一维卷积3.4.2二维卷积3.4.3离散二维卷积的矩阵运算3.4.4卷积滤波3.4.1一维卷积积分一、卷积积分定义二、卷积积分的含义三、卷积积分的计算四、卷积积分的性质五、卷积定理六、一维离散卷积七、使用一维离散卷积计算大数相乘或多项式相乘一、卷积积分定义卷积（convolution）积分的定义式如下其中h(t)是系统的单位冲激响应，即系统的输入是单位冲激时的输出。二、卷积积分的含义线性移不变系统的输出可以通过输入信号与该系统的单位冲激响应的卷积得到。三、卷积积分的计算卷积积分计算步骤

1、沿y轴反转其中任意一个信号；

2、沿x轴向右平移反转后的信号，并计算重叠部分的面积；

3、重复步骤2，直至两信号再无重叠部分。卷积积分在任意时刻的值取决于此时刻两信号重叠部分的面积。三、卷积积分的计算三、卷积积分的计算三、卷积积分的计算卷积结果函数1函数2111课本46页图3-7三、卷积积分的计算#defineN6#defineM8#defineK10#include<conio.h>#include<stdlib.h>voidinitial(int

array[],intn){

while(n>=0)

array[n--]=random(K);}三、卷积积分的计算voidjuanji(int

x[],int

y[],intz[]){

int

i,j;

for(i=0;i<=N+M;i++){

intt=0;

for(j=0;j<=N;j++)

if(i-j>=0&&i-j<=M)t+=x[j]*y[i-j];

z[i]=t;}}三、卷积积分的计算voidoutput(int

array[],intn){

inti;

for(i=0;i<=n;i++)printf("%4d",array[i]);

printf("nn");}三、卷积积分的计算voidmain(){

intx[N+1],y[M+1],z[N+M+1];

initial(x,N);

initial(y,M);

juanji(x,y,z);

output(x,N);

output(y,M);

output(z,N+M);}三、卷积积分的计算四、卷积积分的性质1、交换律四、卷积积分的性质2、分配律四、卷积积分的性质3、结合律4、求导四、卷积积分的性质五、卷积定理两函数卷积的傅立叶变换等于两函数卷积的傅立叶变换之积。六、一维离散卷积七、一维离散卷积应用举例大整数相乘多项式相乘3.4.2二维卷积一、二维连续卷积二、二维离散卷积一、二维连续卷积一维卷积是面积，二维卷积的结果是一个体积二维连续卷积为二、二维离散卷积二维离散卷积定义为三、二维离散卷积计算过程1、由h(i,j)产生序列h(i-m,j-n)，首先把h(m,n)对m轴和n轴翻转，然后进行平移，使得采样h(0,0)处于(i,j)点上；2、计算f(m,n)h(i-m,j-n)乘积序列；3、将乘积序列的所有非零抽样值相加，得到卷积的一个值g(i,j)；4、变化m,n值，重复步骤2、3。3.4.3离散二维卷积的矩阵运算设计算3.4.3离散二维卷积的矩阵运算第一步扩展矩阵3.4.3离散二维卷积的矩阵运算第二步构造fp矩阵3.4.3离散二维卷积的矩阵运算第三步构造Hb矩阵3.4.3离散二维卷积的矩阵运算第四步将Hb与fb相乘整理得3.4.4卷积滤波去噪声（滤掉线性叠加在图像上的噪声信号），如估计未受噪声污染前的信号、检测噪声背景下是否存在已知特征、去除相干（周期）噪声。去卷积（消除另一个卷积的影响），图像恢复特征增强，以消弱景物中的其他为代价来增强指定特征（如边、点）的对比度。3.5图像的统计特性3.5.1图像振幅分布特性3.5.2差值信号的振幅分布特性3.5.3图像的自相关函数3.5.4图像的振幅谱3.5.5功率有限的图像空域功率谱与自相关函数3.5.6图像信息的信息量3.5.1图像的振幅分布特性图像的振幅分布特性使用图像信号的振幅分布函数表征，即图像信号g(x,y)的值小于某一给定值z的概率：其中，g(x,y)是二维图像信号，即二维图像在(x,y)点处的亮度幅值。3.5.1图像的振幅分布特性g(x,y)的值落在z1、z2之间的概率为3.5.1图像的振幅分布特性对振幅分布函数进行微分即可得到振幅密度函数，即3.5.2差值信号的振幅分布特性图像中相邻像素之间有较大的相关性，即：以较大概率落在0附近。3.5.2差值信号的振幅分布特性图像中相邻像素之间振幅差值的概率密度函数近似为负指数分布，其指数的衰减速度完全取决于图像类型与图像的细节结构。：其中，a是由图像性质决定的距离系数，而为像素之间的距离。对于动态视频来说，除了每一帧中相邻像素间的相关性，还有相邻帧之间的相关性。图像中的相关性为图像信号的预测编码提供了重要的理论依据。3.5.2差值信号的振幅分布特性3.5.3图像的自相关函数自相关函数：描述随机信号f(t)在任意两个不同时刻t1，t2的取值之间的相关程度。即：函数自卷积运算时不反转乘积中的一项3.5.3图像的自相关函数对于能量有限的图像信号g(x,y)，自相关函数（实偶函数，其傅立叶变换为信号的能量谱）定义如下：其近似于负指数分布：对于局部特写，a较小，群集的远景画面的a较大。3.5.4图像的振幅谱图像的振幅谱定义为图像信号的傅立叶变换即：傅立叶变换把空域中的g(x,y)变成频域中的G(u,v)。若已知图像的振幅谱G(u,v)，用傅立叶逆变换可以求得原来的图像信号3.5.4图像的振幅谱3.5.4图像的振幅谱图像信号g(x,y)