2023届河南省上蔡一高高考数学试题命题比赛模拟试卷

2023届河南省上蔡一高高考数学试题命题比赛模拟试卷（19）

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.博览会安排了分别标有序号为“1号”“2号”“3号”的三辆车，等可能随机顺序前往酒店接嘉宾.某嘉宾突发奇想，

设计两种乘车方案.方案一：不乘坐第一辆车，若第二辆车的车序号大于第一辆车的车序号，就乘坐此车，否则乘坐

第三辆车；方案二：直接乘坐第一辆车.记方案一与方案二坐到“3号”车的概率分别为P”P2,则（）

115

A.Pi«P2=-B.P（=P2=-C.Pi+P2=-D.Pi<P2

436

2.下列几何体的三视图中，恰好有两个视图相同的几何体是（）

A.正方体B.球体

C.圆锥D.长宽高互不相等的长方体

3.《九章算术》是我国古代数学名著，书中有如下问题：“今有勾六步，股八步，问勾中容圆，径几何？”其意思为：“已

知直角三角形两直角边长分别为6步和8步，问其内切圆的直径为多少步？”现从该三角形内随机取一点，则此点取自

内切圆的概率是（）

717tR式

A.—B.—C.—D.一

12369

4.下列函数中，既是奇函数，又在（0,1）上是增函数的是（）.

A./（x）=xlnxB.f（x）=ex-e~x

C./（%）=sin2xD.f（x）=x3-x

5.已知ae（0,;r）,且tana=2,贝！Jcos2a+cosa=（）

A275-3RV5-3「V5+3八2石+3

5555

6.以下四个命题：①两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近1；②在回归分析中，可用相关指数

R2的值判断拟合效果，店越小，模型的拟合效果越好；③若数据王,工2/3，，%的方差为1，则

2%+1,2々+1,2玉+1,,2x.+l的方差为4；④已知一组具有线性相关关系的数据（不y）,（占,%）,，（%，%），其线

性回归方程夕=良+4,则“（毛,%）满足线性回归方程歹=法+4”是“/=4+”-+之。，%="”

的充要条件；其中真命题的个数为（）

A.4B.3C.2D.1

7.据国家统计局发布的数据，2019年11月全国CH（居民消费价格指数），同比上涨4.5%,CP/上涨的主要因素是

猪肉价格的上涨，猪肉加上其他畜肉影响CP/上涨3.27个百分点.下图是2019年11月CP/一篮子商品权重，根据该

图，下列结论错误的是（）

敦行文化刖

娱乐8.5*

A.CP/一篮子商品中所占权重最大的是居住

B.CP1一篮子商品中吃穿住所占权重超过50%

C.猪肉在CP7一篮子商品中所占权重约为2.5%

D.猪肉与其他畜肉在CP/一篮子商品中所占权重约为0.18%

z—i

8.设复数二满足——=i,贝！|z=（）

z+i

A.1B.-1C.i-zD.1+z

9.设非零向量a,b，c,满足|6|=2,|a|=l,且b与。的夹角为。，则力一为=J?’是"。=（”的（）.

A.充分非必要条件B.必要非充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

10.已知点A&,y）,网々,%）是函数/（x）=a6+法2的函数图像上的任意两点，且y=/（x）在点

北丁））处的切线与直线A3平行，贝U（）

A.a=0,5为任意非零实数B.b=0,a为任意非零实数

C.a、b均为任意实数D.不存在满足条件的实数a,b

11.赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，

又称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的，如图（D）,

类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图（2）所示的图形，它是由6个全等的三角形与中间的一个小正六边形组成的一个

大正六边形，设4'产'=2产幺，若在大正六边形中随机取一点，则此点取自小正六边形的概率为（）

D

12.已知a,b是两条不同的直线，a,/?是两个不同的平面，且au£,a0=b,贝是“a/e”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.四面体A—88中，AB_L底面BCD,AB=BD=O，CB=CD=\,则四面体A-BCD的外接球的表面积为

14.若点N为点M在平面a上的正投影，则记N=A（M）.如图，在棱长为1的正方体ABC。—A4G2中，记平

面A8Q为夕，平面A3CD为/,点P是线段CC上一动点，。="力（P）］,Q=%［加P）］.给出下列四个结论:

①①为AgA的重心;

②QQ_L6。；

4

③当CP=g时，P。”平面£；

④当三棱锥2-APB］的体积最大时，三棱锥D「APg外接球的表面积为2冗.

其中，所有正确结论的序号是.

15.已知函数“X）是定义在R上的奇函数，其图象关于直线1=1对称，当xe（O,l］时，/（力=一*（其中e是自

然对数的底数，若/（2020-ln2）=8,则实数。的值为.

16.在ABC中，角ARC的对边分别为。也c,且抄cos6=acosC+ccosA,若ABC外接圆的半径为空，

3

则A6C面积的最大值是.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)已知等差数列｛%｝的前n项和为Sn，等比数列出｝的前n项和为1,且q=4=1,%=S3，4+d=15.

(1)求数列｛%｝与也｝的通项公式；

(2)求数列的前〃项和.

18.(12分)如图，在四棱锥尸一A3CD中，底面ABCD是矩形，M是Q4的中点，叨，平面ABC。，且

PD=CD=4>AD—2.

(1)求AP与平面CM3所成角的正弦.

(2)求二面角M——P的余弦值.

19.(12分)为提供市民的健身素质，某市把A8,C,。四个篮球馆全部转为免费民用

(1)在一次全民健身活动中，四个篮球馆的使用场数如图，用分层抽样的方法从A8,。,。四场馆的使用场数中依次

抽取％,4,%，区共25场，在4，%，。3，%中随机取两数，求这两数和4的分布列和数学期望；

〃场数

32

MABCDi检$

(2)设四个篮球馆一个月内各馆使用次数之和为X,其相应维修费用为丁元，根据统计，得到如下表的数据:

X10152025303540

y10000117611301013980147711544016020

y

Z=0.1/343+22.993.494.054.504.995.495.99

①用最小二乘法求Z与X的回归直线方程；

②_2_叫做篮球馆月惠值，根据①的结论，试估计这四个篮球馆月惠值最大时X的值

x+40

77Z(X,7)(Z,.一Z)

3

参考数据和公式：z=4.5,Z(x,-x)2=700,-x)(z：-z)=70,e=20b=上、-----------,a='z-bx

iIZa-万

i=l

20.(12分)将棱长为2的正方体ABC。-A4G。截去三棱锥R-AC。后得到如图所示几何体，。为AG的中点.

(1)求证：OB〃平面AC"；

(2)求二面角C-A"-G的正弦值.

21.(12分)已知函数/(x)=|x-2|,g(x)=a|x|-l.

(1)若不等式g(x—3)2—3的解集为[2,4],求"的值.

(2)若当xeR时，/(x)Ng(x),求。的取值范围.

22.(10分)如图，已知四棱锥P—ABCD,B4_L平面ABCD,底面A8CZ)为矩形，AB=3,AP=4,E为PD的

中点，AE1PC.

(1)求线段AO的长.

(2)若M为线段BC上一点，且8例=1，求二面角的余弦值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、C

【解析】

将三辆车的出车可能顺序一一列出，找出符合条件的即可.

【详解】

三辆车的出车顺序可能为：123、132、213、231、312、321

3

方案一坐车可能：132、213、231,所以，Pi=-；

6

2

方案二坐车可能：312、321,所以，Pi=-;

6

所以Pl+P2=—

6

故选C.

【点睛】

本题考查了古典概型的概率的求法，常用列举法得到各种情况下基本事件的个数，属于基础题.

2、C

【解析】

根据基本几何体的三视图确定.

【详解】

正方体的三个三视图都是相等的正方形，球的三个三视图都是相等的圆，圆锥的三个三视图有一个是圆，另外两个是

全等的等腰三角形，长宽高互不相等的长方体的三视图是三个两两不全等的矩形.

故选：C.

【点睛】

本题考查基本几何体的三视图，掌握基本几何体的三视图是解题关键.

3、C

【解析】

利用直角三角形三边与内切圆半径的关系求出半径，再分别求出三角形和内切圆的面积，根据几何概型的概率计算公

式，即可求解.

【详解】

由题意，直角三角形的斜边长为,82+62=10,

利用等面积法，可得其内切圆的半径为「=—3—=2,

6+8+10

TCr_K

所以向次三角形内投掷豆子，则落在其内切圆内的概率为1=%.

—x6x8

2

故选：C.

【点睛】

本题主要考查了面积比的几何概型的概率的计算问题，其中解答中熟练应用直角三角形的性质，求得其内切圆的半径

是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.

4,B

【解析】

奇函数满足定义域关于原点对称且/(x)+/(-x)=0,在(0,1)上/(x)>0即可.

【详解】

A：因为/(x)=xlnx定义域为x>(),所以不可能时奇函数，错误；

B：/(*)=/一e-'定义域关于原点对称，且/(x)+/(—x)=e*—e-x+er—炉=0

满足奇函数，又尸(x)=e'+er>0,所以在(0数上/'(x)NO,正确；

C：/(X)=sin2x定义域关于原点对称，且/(x)+/(—x)=sin2x+sin—2x=0

满足奇函数，尸(x)=2cos2x,在(0,1)上，因为尸(0)尸(1)=2X2COS2<0,所以在(0,1)上不是增函数，错误；

D:/(X)=/—x定义域关于原点对称，且/(x)+/(-x)=x3-%+(-X3+,=0,

满足奇函数，,尸(x)=3f-l在(0,1)上很明显存在变号零点，所以在(0,1)上不是增函数，错误；

故选：B

【点睛】

此题考查判断函数奇偶性和单调性，注意奇偶性的前提定义域关于原点对称，属于简单题目.

5、B

【解析】

分析：首先利用同角三角函数关系式，结合题中所给的角的范围，求得cosa的值，之后借助于倍角公式，将待求的

式子转化为关于cosa的式子，代入从而求得结果.

详解：根据题中的条件，可得a为锐角，

根据tancr=2,可求得cosa=如，

5

2_3

而cos2a+cosa=2cos2a+cosa-l=—+——1=-----，故选B.

555

点睛：该题考查的是有关同角三角函数关系式以及倍角公式的应用，在解题的过程中，需要对已知真切求余弦的方法

要明确，可以应用同角三角函数关系式求解，也可以结合三角函数的定义式求解.

6、C

【解析】

①根据线性相关性与r的关系进行判断，

②根据相关指数依的值的性质进行判断，

③根据方差关系进行判断，

④根据点(%,%)满足回归直线方程，但点(事,及))不一定就是这一组数据的中心点，而回归直线必过样本中心点，

可进行判断.

【详解】

①若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r的绝对值越接近于1,故①正确；

②用相关指数R2的值判断模型的拟合效果,R2越大,模型的拟合效果越好，故②错误；

③若统计数据册/3，，天的方差为1,贝112%+1,2々+1,2工+1,,2x„+l的方差为2?=4,故③正确；

④因为点(%,%)满足回归直线方程，但点(%,%)不一定就是这一组数据的中心点，即+%•,

%二%+)；；_‘地不一定成立，而回归直线必过样本中心点，所以当二二五土上［_+如2,%=也

时,点(通,%)必满足线性回归方程y=bx+at因此“(%,%)满足线性回归方程9=%+是

"%二百+\+内。,%=小七一皿"必要不充分条件.故④错误;所以正确的命题有①③.

故选：C.

【点睛】

本题考查两个随机变量的相关性，拟合性检验，两个线性相关的变量间的方差的关系，以及两个变量的线性回归方程,

注意理解每一个量的定义，属于基础题.

7、D

【解析】

A.从第一个图观察居住占23%,与其他比较即可.B.CP1一篮子商品中吃穿住所占23%+8%+19.9%=50.9%,再判断.C.

食品占19.9%,再看第二个图，分清2.5%是在CP/一篮子商品中，还是在食品中即可.D.易知猪肉与其他畜肉在CP/

一篮子商品中所占权重约为2.1%+2.5%=4.6%.

【详解】

A.CP/一篮子商品中居住占23%,所占权重最大的，故正确.

B.C77一篮子商品中吃穿住所占23%+8%+19.9%=50.9%,权重超过50%,故正确.

C.食品占中19.9%,分解后后可知猪肉是占在C"一篮子商品中所占权重约为2.5%,故正确.

D.猪肉与其他畜肉在CP/一篮子商品中所占权重约为2.1%+2.5%=4.6%,故错误.

故选：D

【点睛】

本题主要考查统计图的识别与应用，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.

8^B

【解析】

利用复数的四则运算即可求解.

【详解】

由-~~-=i=>z—i=i(z+z)=>(1—Z)z=i—1=>z=­1.

z+i

故选：B

【点睛】

本题考查了复数的四则运算，需掌握复数的运算法则，属于基础题.

9、C

【解析】

利用数量积的定义可得即可判断出结论.

【详解】

解：|b—5|=6，b2+a2-2a»b=3,22+1-2x2x1xcos0=3>

1Jr

解得cos0=—,6e[0,如，解得。=一，

23

•••是“。=?”的充分必要条件.

故选：C.

【点睛】

本题主要考查平面向量数量积的应用，考查推理能力与计算能力，属于基础题.

10、A

【解析】

求得/(x)的导函数，结合两点斜率公式和两直线平行的条件：斜率相等，化简可得。=0,匕为任意非零实数.

【详解】

依题意f(x)=52+2bx,y=/(x)在点］土产，/［当±处的切线与直线A3平行，即有

aay/x^+叱--bx；

+/?(%+x2)

由于对任意5,w上式都成立，可得。=0，〃为非

=-J+3+沙所以也(\)=惠+石

零实数.

故选：A

【点睛】

本题考查导数的运用，求切线的斜率，考查两点的斜率公式，以及化简运算能力，属于中档题.

11、D

【解析】

设AF=a,则AN'=2a,小正六边形的边长为A'E'=〃，利用余弦定理可得大正六边形的边长为AB=J7a,再

利用面积之比可得结论.

【详解】

由题意，设AF=a,则A'户'=为，即小正六边形的边长为A'尸'=2a,

TT

所以，FF'=3a,ZAF'F=-,在AA尸户中，

3

由余弦定理得AF2=AF'2+FF'2-2AF'-FF''cosZAF'F，

即4尸-=4-+(3。)—2a-3cz-cos—,解得AF=■'J^a，

所以，大正六边形的边长为AF=J7a，

所以,小正六边形的面积为§=—x2ax2ax

12

大正六边形的面积为S?=；x。x缶xgx2+缶x伍==叵/,

S.4

所以，此点取自小正六边形的概率？n=亍=亍.

ij2/

故选：D.

【点睛】

本题考查概率的求法，考查余弦定理、几何概型等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题.

12、C

【解析】

根据线面平行的性质定理和判定定理判断alia与a/lb的关系即可得到答案.

【详解】

若alia,根据线面平行的性质定理，可得a〃b；

若“〃》，根据线面平行的判定定理，可得。〃a.

故选：C.

【点睛】

本题主要考查了线面平行的性质定理和判定定理，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、4万

【解析】

由题意画出图形，补形为长方体，求其对角线长，可得四面体外接球的半径，则表面积可求.

【详解】

解：如图，在四面体A-3CD中，底面BCD,AB=BD=41，CB=CD=\,

可得/BCD=90。,补形为长方体，则过一个顶点的三条棱长分别为1,1,J5,

则长方体的对角线长为正元互丁=2,则三棱锥A-38的外接球的半径为1.

其表面积为4;rxF=4万.

故答案为：4万.

【点睛】

本题考查多面体外接球表面积的求法，补形是关键，属于中档题.

14、（D©③

【解析】

①点P在平面ABC。内的正投影为点C,而正方体的体对角线与和它不相交的的面对角线垂直，所以直线垂直于

平面Agp,而乙442为正三角形，可得。2为正三角形A44。的重心，所以①是正确的；

②取的中点£,连接则点P在平面AAR的正投影在上，记为。，而如，平面ACGA.Qr&e平

面AC£A，所以所以②正确；

4

③若设AEQCC^M,则由PQtAE可得RtAAMC^RtAMPg,然后对应边成比例，可解CP=<所以③正确;

④由于%「”用=匕>一物4，而A4BQ的面积是定值，所以当点P到平面A8Q的距离最大时，三棱锥，-AP用的

体积最大，而当点尸与点。重合时，点P到平面AgA的距离最大，此时P-为棱长为贬的正四面体，其外

接球半径/?=且，则S球=3%,所以④错误.

2

【详解】

因为力（P）=C,连接CA，则有C4,-L平面ABQ.CAc平面ABQ=Q2，C4=C4=C〃，为正三角形，

所以a为正三角形AA4。的中心，也是AA42的重心，所以①正确；

由CA，平面ABQ,可知平面AC&A，平面A3Q,记力（P）=Q,

由Br>J.AC,8D_LCG，可得3O_L平面ACC|4，G，Qe平面ACGA，则QQ^B。，所以②正确

2-t

若PQi平面/，则AE,设CP=r(W1),AEcCG=M由Rt_MACsRt_〃pQ得尸。=易得

石

t_2

Q\C=琮Q-t),由世AE,则NPQ]C=NMAC,由tan/PQ]C=tanNM4C得,V2y/29解得

T(2-/)

当P与。重合时，=%TBQ,最大，2-43|。为棱长为0的正四面体，其外接球半径R=等，则s球=3万,

所以④错误.

故答案为：①②③

【点睛】

此题考查立体几何中的垂直、平行关系，求几何体的体积，考查空间想象能力和推理能力，属于难题.

15、3

【解析】

先推导出函数y=/(x)的周期为4,可得出/(2020—ln2)=/(—In2)=—〃ln2)=8,代值计算，即可求出实数。

的值.

【详解】

由于函数y=/(x)是定义在R上的奇函数，则/(-%)=—/(力,

又该函数的图象关于直线x=l对称，则/(l-x)=/(l+x),

所以，.y(2+x)=/[l—(l+x)]=〃—x)=—〃x),贝!|〃4+x)=—/(x+2)=/(x),

所以，函数y=/(x)是周期为4的周期函数，

所以/(2020—In2)=/(―In2)=-/(In2)=ea,n2=(eln2)"=2"=8,解得a=3.

故答案为：3.

【点睛】

本题考查利用函数的对称性计算函数值，解题的关键就是结合函数的奇偶性与对称轴推导出函数的周期，考查推理能

力与计算能力，属于中等题.

16、6

【解析】

由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式，结合范围Be(0,万)可求B的值，利用正弦定理可求〃的值，

进而根据余弦定理，基本不等式可求ac的最大值，进而根据三角形的面积公式即可求解.

【详解】

解：2Z?cosB=acosC+ccosA,

/.由正弦定理可得：2sinBcosB=sinAcosC+sinCcosA=sin(A+C),

A+B+C=7T,

/.sin(A+C)=sin3,

1JI

又86(0,万)，.F出台。。，...2cos3=l,即cosB=-,可得：B=—，

23

■：^ABC外接圆的半径为空,

3

.b\2一

一.乃一x3,解得8=2,由余弦定理="+/-2accos3，可得a?+c?一4=4,又

sin—

2

/.4=a2+c2-ac..2ac-ac=ac(当且仅当。=c时取等号)，即4c最大值为4,

：.^ABC面积的最大值为；x4sin8=6.

故答案为：百.

【点睛】

本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，余弦定理，基本不等式，三角形的面积公式在解三角形中的应

用，考查了转化思想，属于中档题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

，1

17、(1)=hn=2"(2)2

【解析】

3x2

⑴设数列｛«„｝的公差为4由%=S3可得,q+4d=3q+-yd,由4=4=1即可解得d=2,故％=2〃-1油

%+%=15，即可解得q=2，进而求得a=2"-'.

(2)由(1)得，S，七="O''利用分组求和及错位相减法即可求得结果.

nn

【详解】

(1)设数列｛%｝的公差为乙数列也｝的公比为g,

3x2,

由％=$3可得,q+4d=3q+-----a

整理得2q=d,即d=2,

故4=2〃-1,

由%+2=15可得％=8,则如3=8,即4=2,

故—

(2)由⑴得，S“=〃2,C=2"-l,

+1,8-Tn2(2"-1)

n

故出土=_!-----L=n.2-n>

nn

所以，数列的前〃项和为(ixT+2x2?++〃x2")—(l+2++n),

设匕=1x2+2x2?+.-1)X2"T+〃X2"①,

则2月=1x22+2*23+..+(〃-1)X2"+〃X2"+I②，

(2)-0#/^,=«X2,,+'-(2+22+23+.+2,,)=(n-l)x2H+l+2,

综上，数列｛号的前”项和为(〃—1)x2e_〃(；1)+2.

【点睛】

本题考查求等差等比的通项公式，考试分组求和及错位相减法求数列的和，考查学生的计算能力，难度一般.

4

18、（1）

5

⑵酒.

10

【解析】

分析：（1）直接建立空间直角坐标系，然后求出面的法向量和已知线的向量，再结合向量的夹角公式求解即可；（2）

先分别得出两个面的法向量，然后根据向量交角公式求解即可.

详解:

（I）VABC。是矩形，

:.ADLCD,

APD±AD,PDLCD,即PD,AD,CO两两垂直，

二以。为原点，DA,DC,。尸分别为％轴，＞轴，z轴建立如图空间直角坐标系，

由PD=C£＞=4,AD=2,得4（2,0,0）,8（2,4,0）,C（0,4,0）,£＞（0,0,0）,尸（0,0,4）,A/（1,0,2）,

则AP=(-2,0,4),fiC=(-2,0,0),MS=(1,4,-2),

设平面CMS的一个法向量为勺=（X],y,zJ,

BCn,=0—2%=0

则即,令x=1,得玉=0,4=2,

MB•%=0'%+4y]-2Z[=0

**•%=（0,1,2）,

•••8S（AP，*赢=寻南高

4

故AP与平面CMB所成角的正弦值为y.

（2）由（1）可得PC=（O,4,T）,

设平面PBC的一个法向量为%=(x2,y2,z2),

BCn=0—2X=0

则〈2即《2令%=1，得/=。，22=1>

PCn2=Q4y2-4Z2=0

:.建2=(0,1,1),

.•.36用=3=亚,

'/V5-x/210

故二面角M-CB-P的余弦值为上叵.

10

点睛：考查空间立体几何的线面角，二面角问题，一般直接建立坐标系，结合向量夹角公式求解即可，但要注意坐标

的正确性，坐标错则结果必错，务必细心，属于中档题.

19、(1)见解析，12.5(2)①3=0.支+2②20

【解析】

(1)运用分层抽样，结合总场次为100,可求得4，%，。3，。4的值，再运用古典概型的概率计算公式可求解果;

7_7__

(2)①由公式可计算Z(七一%)2,2(七一工)(4-2)的值，进而可求z与X的回归直线方程;

/=|1=\

②求出g(x),再对函数求导，结合单调性，可估计这四个篮球馆月惠值最大时X的值.

【详解】

251

解：(1)抽样比为益=a，所以。|，。2，。3，。4分别是，6,7,8,5

所以两数之和所有可能取值是：10,12,13,15

P(4=10)=g，P(4=12)=；,p(J=13)=；,p(4=15)=:

所以分布列为

*910121315

I

P

136

期望为E(^)=10x1+12x1+13x1+15x1=12.5

6336

7_7__

(2)因为Z(七一%)2=700,Z(x,—x)(z,.-z)=70,

/=1f=l

7__

E(Xj—x)(z,.—z)

701

所以-----=————=——，〃=4.5-0.1x25=2,

£(Xj—x)270010

/=1

z=0.1x+2；

②z=0.1善+2=。卜+2,

,40,

1+-----Inx

43431nx

设g(x)y,g'(x)=4343x_____

x+40x+40(x+40)2

所以当xe[0,20],g'(x)>0,g(x)递增，当xe[20,+s),g'(x)<0,g(x)递减

所以约惠值最大值时的x值为20

【点睛】

本题考查直方图的实际应用，涉及求概率，平均数、拟合直线和导数等问题，关键是要读懂题意，属于中档题.

20、(1)见解析；(2)昱.

3

【解析】

(1)取AC的中点加，连接BM、DtM,连接4A，证明出四边形M80A为平行四边形，可得出，然

后利用线面平行的判定定理可证得结论；

(2)以点A为坐标原点，AA、4耳、4A所在直线分别为X、丁、z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可

求得二面角c-AA-G的余弦值，进而可求得其正弦值.

【详解】

(1)取AC中点”，连接MO、BM、RM,

441〃(7。|且411=。。1,，四边形想。|。为平行四边形，二4。〃4。|且4。=4。1，

O、M分别为4G、AC中点，・•・A例〃4。且AM=4。，

则四边形AA.OM为平行四边形，二OM//AA,且OV=,

A4,//BBf且蝴=BB、,：.OMHBB、且OM=BBt,

所以，四边形为平行四边形，且6M=。。，

四边形MBOB、为平行四边形，.1OB//D.M,

"Au平面AC",08.平面AC。，.•.08〃平面AC"

（2）以点a为坐标原点，49、44、4A所在直线分别为X、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系4一孙z,

则C（2,2,2）、A（0,0,2）、C,（2,2,0）,D,（2,0,0）,

AD,=（2,0,-2）,AC=（2,2,0）,=（0,2,0）,

设平面ACD,的法向量为,zJ,

m-AC=02%j+2y=0

由13八'得、ct，取$=1,则％^=1,=

m•A。=0[2xl-2z1=0

设平面AQG的法向量为〃=（超,%;2）,

n•D£=02y2二0八

由<,得ccZ取工2=1，则22=1,H=（1,0,1）,

77•02X2—2Z9=0

m-n2yJ6t--------------------

cos</n-n>=p-^=-^--/==—,...sm<九〃>=Jl-cos?<也〃>=与,

因此，二面角。一AQ-G的正弦值为

3

【点睛】

本题考查线面平行的证明，同时也考查了利用空间向量法求解二面角，考查推理能力与计算能力，属于中等题.

21、(1)a——2；(2)(—co,—]

2

【解析】

试题分析：(1)求得g(x-3)2-3的解集，根据集合相等，列出方程组，即可求解4的值;

(2)①当X=O时，k一2|2。|乂一1恒成立，②当XHO时，