【中学校本教材及教案】校本教材《多彩数学漫步》八年级下

八年级下

o0

资料一

欧拉巧解“农妇卖蛋”问题

欧拉是瑞士人，世界闻名的大数学家，他从小喜欢数学，23岁就被俄国彼

得堡科学院聘任为教授，他工作勤奋，积劳成疾，59岁时双目失明，直到逝世

当天，他还兴致勃勃地与朋友们谈论着天王星运行轨道的计算问题。

欧拉被人们称为18世纪的数学巨星，他不仅在高等数学的许多领域作出了

巨大贡献，而且对初等数序的开拓与研究也付出了艰苦的劳动，欧拉巧解“农

妇卖蛋”问题就是一个真是的故事。

欧拉十分喜欢“农妇卖蛋”问题：一个农妇去市场卖鸡蛋，第一次卖出全

部鸡蛋的一半又半个；第二次又卖出剩下鸡蛋的一半又半个；第三次卖出前两

次卖后所剩下鸡蛋的一半又半个；最后又卖出所剩下鸡蛋的一半又半个，这时

鸡蛋恰好卖完。问农妇原有鸡蛋多少个？许多数学爱好者对这个经典问题十分

感兴趣，给出了不少解答方法，但大多数是按照常规思路，过程较为繁琐，数

学大师欧拉则别出心裁，给出一个别具一格的解法。

第三次卖完后所剩（即第四次卖去）的鸡蛋为1个；第二次卖完后所剩的

鸡蛋数为（1+-）X2=3（个）；第一次卖完后所剩的鸡蛋数为（3+1）X2

22

=7（个）；原有鸡蛋数为（7+1）X2=15（个）。

2

欧拉的解法通俗易懂，他提供的数学思维方法可解答与之类似的一系列问

题。

我国古代有这样一个有趣的数学题：礼拜无事街上走，手指提壶去买酒，

遇店加一倍，见花喝一斗，三遇店和花，喝光壶中酒，试问壶中原有多少酒？

还有这样一种拿球游戏：有一些球，甲、乙两人轮流取球，每人一次可随

意拿一个或两个球，但不准不拿，谁取得最后一个球谁为败者，如果甲先拿，

问甲的胜败情况如何？

以上两题，均可利用欧拉巧解“农妇卖蛋”问题的思维方法解答。

欧拉借“农妇卖蛋”问题，巧就巧在他别具匠心地采用逆向思维方式，提

出了一种有极大生命力的数学方法一一逆推法，对于有些数学问题，若按常规

思路，往往难以下手，此时，不妨从反面想一想，从结论开始，执果索因，逆

向推导，逐步还原，以求问题的解决。

资料二

制作某厂品有两种用料方案，方案1用4张A型钢板，8张B型钢板；方

案2用3张A型钢板，9张B型钢板。A型钢板的面积比B型钢板大，从省料

角度考虑，应选用哪种方案？

设A型钢板和B型钢板的面积分别为x和y。于是，两种方案，用料面积

分别为4x+8y和3x+9yo

现在需要比较上面两个数量的大小。

两个数量的大小可以通过它们的差别判断，如果两个数a和b比

较大小，那么

当a>b时，一定有a—b>0；当a=b时，一定有a—b=0；当a

Vb时，一定有a—bVO.

反过来也对，即当a—b>0时，一定有a>b；当a—b=0时，—

定有a=b；当a—b〈O时、一定有a<b。

因此，我们经常把两个要比较的对象先数学化，再求它们的差，根据差的

符号判断对象的大小。

用求差的方法，你能回答前面的用料问题吗？

爱因斯坦的妙喻

杰出的物理学家、相对论的创立者爱因斯坦，直到晚年仍然非常好学。他

经常谦逊地向别人请教。一天，他的一个学生十分不解地问他：“老师，您知识

如此渊博，为何总谦恭地求教别人问题，还有什么问题能难住您吗？”

“这要用个形象的比喻向你说明了。”爱因斯坦微笑着，用笔在学生面前的

一大张白纸上画了一个大圆圈和一个小圆圈，然后指着两个圆圈认真地对学生

说：“如果小圆代表你们学到的知识，大圆代表我学到的知道，看来我的确比你

们掌握的知识多，但是请注意，在这两个圆之外，却是无限的空白，这空白对

我们来说就意味着无知。同时，你们是否意识到，正因为大圆比小圆大，它的

圆周长也比小圆长，这就意味它与外界空白的接触面也比小圆大，所以，从这

个意义上来讲，我比你们感到不懂的东西更多！”

同学们，加入爱因斯坦所画的大圆的半径不小于他画的小圆的直径的

2

倍，那么你知道大圆的周长与外界的接触面比小圆的周长与外界的接触面至少

大多少倍吗？

最早的数学表

上数学课，计算时常常要用到一些数学表：平方表、对数表、三角函数……

有了数学表，就不要、用从头计算，而可以直接查表得到结果，打到方便了计

算，这些数学表，是在长期的逐步积累中发展、完善的。

在靠近幼发拉底河的古代巴比伦庙宇图书馆遗址，曾挖掘出大量的泥土板,

上面用楔形文字刻着乘法表、平方表、倒数表和平方根表等，这些都是人类最

古老的数学表，古巴比伦人就是用它们作为简化计算的工具的。

中国历史上最早的数学表，是“乘法九九表”，据说春秋时代霸主之一齐桓

公招聘咸菜，但无人应聘，一天，有一人前来求见，齐桓公说:“你有什么本领？”

来者说：“我会九九歌。”齐桓公嘲笑他：“会背九九歌也算本领吗？”那人回答:

“背九九歌确实算不上什么大本领，但是如果您对我也能以礼相待，还怕比我

高明的贤士不来应聘吗？”齐桓公觉得有理，就款待了他，后来果然找到了很

多能人。

12345

112345

2246810

33691215

448121620

5510152025

这里的九九歌就是现代的乘法九九表，这个故事也说明，九九歌在我过很

早就已经普遍被人掌握了。在我国敦煌等地出土的西汉竹简（竹简是我国古代

人用来鞋子的竹片）上，都记载着不完整的“九九表”,例如：敦煌的汉简中的

“九九表”共十六句。即是

九九八H^一八八六十四五七卅五□□□□二三而六

八九七十二七八五十六四七廿八五五廿五二二而四

七九六十三六八册八三七廿一四五什

五八册三五十五

今天，人们可以用电子计算器来代替许多数学表，但在很多情况下，人们

还在习惯使用九九表，因为它方便易学，也很实用。

水位升高还是降低

装有石头的小船浮在一个能容下它的水槽里，水位离水槽上不还有一定距

离，在水槽的边画出水位线的标记，如果将石头全抛入水槽，水槽的水位会怎

样变化？你可能相当“乌鸦喝水”的故事，认为由于石头沉入水槽的底部，水

早在古代希腊，著名科学家阿基米德就发现浮力定律。由浮力定律可得，

浮在说转的物体排开的水的质量等于浮体的质量，设小船重石头重为G2,

当石头装载船里浮在水槽中时，排开的水的质量等于G,+G2O因为为水的密

度是1,所以排开的水的体积为VI=(G,+G2)4-1=G,+G2O

当石头从船里抛入水槽时，浮体只有小船，它排开的水的体积等于G1；沉

G2

入水滴的石头排开的水的体积等于石头的体积方(P是石头的密度)。因此

G2

排开的水的总体积为工=GI十万。

G.

比较上面两式，因为石头的密度P>1,所以G?>方，进而G1+G2>G,

G2

+方，于是V|>V2,这就说明，未抛石头比抛出石头时排开的水的体积大。

由此克制，未抛石头时比抛出石头时水槽的水位高。

在以上探究中，你看到不等式的作用了吗？

一枝数学名花一一弦图

我们已经了解了不等式，并能用代数方法解有关的一元一次不等式或不等

式组。随着学习的深入，研究不等式的方法也会越来越多，下面就让我们来见

识一下不等式的又一新的方法一一几何证法。

远在一千八百年前，我国三国时期的数学家赵君卿（赵爽）设计的弦图，

被人们誉为一枝数学名花，至今仍绚丽多彩地开放在广阔的数学园地里，在世

界数学史上写下了光辉的一页。

下面，我们用弦图来再现不等式色心2，茄的证明吧！

2

设a>0,b>0为两条线段，以a+b为正方形的边长,作弦图1—5—10（1）。

从图中可得到

（a+“=4"+（a-份2?（fl+/?）2>4ab=>a+h>2^^^^>y[^

当a>b时，（a—力）2>oJ2

当a,b差别不大时，弦图1一5—10（2）中阴影部分比（1）中要小。

当a=b时-，弦图1-5—10（3）中阴影部分没有了，此时（a+b）2=

4ab=>—=由此可知，—（a>0,b>0）

22o

(1)(3)

图1—5—10

这是一个极其重要的不等式，它在今后的学习中有着广泛的应用，同学们,

努力学习吧，说不定你也会创造出更奇妙的数学名花!

怎么选择广告上的优惠计划?

为满足客户不同的需要，我们设有以下优惠计划，以供阁下选择:

计戈A计划B

即时直接对话+自动数字传即时直接对话+自动数字传

呼呼

每月基本服务费

$98$168

免费通话时间首60min首500min

以后每分钟收费

$0.38$0.38

留言信箱服务（选择性项

$30$30

目）

想一想

若在这两个计划中做选择，何者为优?

广告商在两个计划里提供了一式一样的传呼服务，并以每分钟计算收取相

同的服务费，但仔细一看便发现其优惠的性质并不相同:

计划A的每月比计划B的少，而计戈UB比计划A所给予客户

首段免费通话的时I'

从表面看，多用传呼服务的人会认为选择B计划有较大的优惠，但若想深

一层，你怎样解答下面的两个问题:

（一）究竟通话时间超过多少分钟，计划B才会较计划A为优？

（二）若用户真的决定选择计划B,最多可以比采用计划A省多少？

要解决这两个问题，我们可以设t（分钟）为通话时间，而（$）C则是所

需付出的费用。在这里t是自变量而C为因变量。若没有“免费通话时间”

的优惠并且不考虑“每月基本服务费”，不难将两者的关系以C=0.38t表

示。因此当考虑这些条件，并假设客户使用该传呼服务皆超过免费通话的

时限，对于计划A来说，便可讲数式改写为C=0.38t—0.38X60+98,即

C=0.38（t-60）+98；对于计划B则是C=0.38（t—500）+168。当然，

若未超越免费服务通话的时限，采用计划A的客户只需付出$98,而选择

计划B者则要付出$168。现在，我们将以上的讨论利用数学的表达方式归

纳如下：

「98（0<Z<60）,

计划A：C=1

I0.38Q-60）+98（t>60）

168（0<z<500）

计划B：C=[r

L0.38Q-500）+168（t>500）

要解决问题（一），我们需要知道当客户用了多少通话时间，计划A与计

划B皆同时提供相同的优惠。当t=60,选择计划A的客户会比采用计划B的

便宜$70（168-98=70）；当t=500,选择后者则较前者便宜达$97.2（[0.38

（500-60）+98]-168=97.2）,这正是问题（二）所需要找寻的答案。因此，

我们可以推断问题（一）的答案会介乎t=60与t=500之间。至此，我们从一下

的运算找出问题（一）的答案：

0.38(t-60)+98=168,

t=244.210

由此我们得知客户若考虑是有该传呼服务的时间超过244min或4h多些，

便应选择计划Bo

其实，以上的讨论和运算，大可以利用图像表达，让我们更清楚、更直接

地去理解这问题：

由图1—5—11,我们可以清楚看到，起初计划A比计划B便宜$70（当0

WW60）；当使用的时间超过60min,则两者的差距缩小；直至Q点，两者已

无差距，即表示两个计划皆给予相同的优惠。图中更表示出当客户通话的时间

超过“OT”，计划B便会显露其较计划A为优越之处，而“RS”正好显示出采

用计划B,最多可以比选择计划A便宜约达$97之多。

惊人的数学头脑

卡尔•费里德里希•高斯1977年尚在现位于德国的不伦瑞克市。他的父亲

是名瓦匠，希望儿子成为他的帮手，又能干活又能算账。年轻的高斯看来很适

合记账，在3岁时就层改正过父亲计算工资时的错误。掌权的公爵很快听说了

这个孩子的天才，便安排他接收正规教育。15岁那年，高斯的能力已大大超出

了他的老师，于是进了卡罗琳学院。在三年的学院生活期间，那里的教授也不

得不承认高斯的超过了他们。

1796年，高斯还是个大学生，他对涉及希腊几何和费马教的一个问题作了

令人注目的研究，其成果写进了他的巨著《算术研究》的第七节和最后一节。

这本书于1801年出版，那年高斯仅24岁；此书成为今日数论之基础（数论是

数学中研究自然数性质的一个分支学科，本章的内容只涉及其一小部分）。

古希腊数学家最喜爱的问题之一是使用直尺（不带刻度，只适合画直线）

和圆规（只能用来画圆的弧，不能用于在纸上移动而量出等长线段）画出平面

图形（圆，三角形，平行四边形等）。通过常靠着相当巧妙的设计，人们禁用那

两种最初等的工具就能进行许多几何图形的作图（直到本世纪60年代中期以

前，这类作图是全世界学生的数学课中的重要内容）。希腊人已经知道如何去画

正n边形，此处n=3,4,5,6,8,10,12,15,16（一个多边形称为正多边

形，是指它所有的边都等长，所有的内角都相等）。

19岁时高斯证明了：一个正n边形可仅用直尺和圆规作图，当且仅当或者

n=2"（k是某个数）或者n=2*a…4（k是某个数），其中8，p2,…，幺是

不同的费马素教。特别地，对任一费马素教「，你能画出正0边形。对于第一

个费马素教F0=3,你能画出等边三角形，这很容易做到对下一个F,=5,你可

画出正五边形。因为巳=17也是费马素教，所以高斯的结论说明正17边形是

可以用直尺和圆规作图的。这是自希腊时代以来在正多边形作图问题上的第一

个（也是唯一的）进展。高斯对此发现十分自豪，曾请求在他的墓碑上刻上一

个正17边形。这一要求虽未实现，但在他家乡不伦瑞克为他竖立的纪念碑上雕

了这样的多边形。

握手的学问

握手是社交常见的礼仪，与人初次见面，往往以握手示礼。在心理上，与

人握手时，适当的接触时间与力度，会给予别人较舒服的感觉。

小思还记得升上初一时，参加迎新生的场面。负责迎新的老师，为了让同

班的新同学互相认识，要求出席的40位同学以互相握手为礼，并同时彼此介绍

自己。热闹一番后，同学们已完成这项使命。老师随即提出了一个问题：

有谁知道，全体同学共握手多少次？

想一想：出席聚会的人若互相握手，怎样计算全体握手的次数？

小思记忆犹新，因为她在回答这个问题时获奖。虽然她800次的答案并不

正确，但其他同学回答的数目离正确答案较她的相差更远呢。

要解决握手的问题，我们可以作以下的分析：

假若以两点代表两个人，连接两点的线的数目则可表示出握手的次数。

握手示意图握手人数握手次数

Ac-------------------------3B21

33(=1+2)

A

yc

______________KD

AK6(=1+2+3)

4

B一

A_.E

BL510(=1+2+3+4)

¥：

JPn(=l+2+3+…+(P-1))

以“示意图”显示握手人数与次数的关系。

上表显示出，当握手人数为p时，握手次数n则等于1+2+3+…+(p-l)o

这数式正是等差级数(arithmeticprogression)由首项"1”加到末项(p—1)的

总和，根据等差级数总和的公式可得n=必曰。因此，当p="0=78O.若小

22

思是用直觉答出握手800次，其实已是很不错了。

等差级数(1+2+3+…+n)的总和，公式是2(n+1),即是将首项加上末项

2

后，再乘以项数的一半。据说计算这类数是数学神童高斯(Gause)年幼时的拿

手好戏呢？

猴王的难题

一天，猴王为了犒赏众猴，决定讲1600颗花生分给100只猴子，为了显示

等级的不同，猴王要求负责分花生的猴子在分的过程中不能有四只猴子分得一

样多。可是，一会儿负责分花生的猴子来说：大王，我无论怎么分都会有四只

猴子分得的花生一样多。猴王大笑，说：我就知道你完成不了这个任务。众猴

面面相觑，心想他怎么知道的？

同学们，你知道猴王是怎么知道的吗？

其实，猴王是很聪明的，我们来看猴王是怎么知道的。

如果猴王希望没有四只猴子分得的花生一样多，显然，最省花生的分配办

法是给三只猴子各0颗花生，给三只猴子各1颗花生，给三只猴子各2课花生,

给三只猴子各3颗花生，…，给三只猴子各32课花生，给最后一只猴子33颗

花生。这相当于我们把这100只猴子中的99只平均分成33组，每组中的每只

猴子各得0〜32颗花生，最后一只猴子分得33颗花生。

如果这种分配方法所需的花生总数恰好是1600颗，那正符合猴王的心意，

恰好把1600颗花生分给100只猴子，没有四只猴子分得一样多的花生。

如果这种分配方法所需的花生总数少于1600颗，而前面99只猴子得到了

按方案应分得的数量，剩下的花生数有多于最后一只应分得的数量，那么，我

们可以把剩下的花生都给最后的那只猴子的时候，这样就可以保证没有四只猴

子得到一样多的花生。

如果这种分配方法所需的花生总数少于1600颗，而前面99只猴子也得到

了按方案应分得的数量，剩下的花卉僧数又少于最后一只应分得的数量，那么

当我们把剩下的花生都给最后的那只猴子的时候，这样就必定有四只猴子得到

了相同多的花生。

如果这种分配方法所需的花生总数多于1600颗，而猴王仅有1600颗花生,

则这个方案将实现不了，那时必然会有猴子实际得到的花生比按这种方案规定

它应该得到的花生少，于是它实际上相当于落入它前面的某一组。这样就有四

只猴子得到了相同多的花生。

我们看到，现在问题的关键是按把100只猴子分成34组的这种方案所需要

的花生数量到底是多于还是不多于1600颗。

我们有(0+1+2+3+…+32)X3+33=1617>1600o

因而，无论怎样分，也必然有四只猴子分得的花生一样多。

好聪明的猴王！

数学活动生活水平调查

下表是反映居民家庭生活水平的恩格尔系数表。

家庭类型贫困家庭温饱家庭小康家庭富裕家庭最富裕家

庭

恩格尔系数0.60<n0.50WnW0.600.40—490.30WnW0.39n<0.30

其中恩格尔系数n=家号晚里?支。

它被经济学家用来测量居民生活水平。一般地说，恩格尔系数越小，生活

水平越高。

⑴了解某一家庭每月的饮食开支和总支出，计算恩格尔系数。看看这个家

庭达到什么生活水平。

⑵某户的恩格尔系数是0.55,如果随着收入的增加，饮食开支也提高10%,

那么要达到小康水平，这架的总支出需增加百分之几？

《孙子算经》简介

著作年代没有确实的记载，据《夏侯阳算经》里说：《王曹》、《孙子》述作

多甄鸾、刘微为之解释。刘微是公元3世纪时人，所以估计《孙子算经》一书

不会迟于3世纪。《孙子算经》内容显浅，多为日常生活中的应用题，可以说是

一本启蒙的算术入门书。

《孙子算经》全书分三卷，卷上详尽讨论了度量衡的单位、筹算的制度和

方法，筹算法是书中最有价值的部分。书中说：“凡算之法，先识其位，一纵十

横，百立千僵，千、十相望，万、百相当。”大意是说：用筹算记数和运算，首

先要识别筹的位置，算筹有竖、横两种格式，十位用横式，百位用纵式，千位

用横式，万位用纵式，其余纵横相间。同时书中详细讲了筹算乘除法的步骤和

开平方的方法。

《孙子算经》中关于分数部分的应用题包括面积、体积、等比数列方面的

计算，但范围不比《九章算术》大。

卷下第31题为鸡兔同笼问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十

四足，问鸡、兔各几何。答曰：鸡二十三，兔二十一。”

卷下第26题是：“今有物，不知其数，三、三数之剩二，五、五数之剩三,

七、七数之剩二，问物几何。答曰：二十三。”

这就是后来驰名于世界的“大衍求一术”的起源，它是全部《算经十书》

甚至整个中国古代数学中最有独创性的成就之一。

这个问题属于不定方程问题，用普遍的代数方法列成的方程组是

[X=3Q+2,

Jx=5Z?+3,

[x=7c+2.

其中X是所求的数，a、b、c分别表示用3,5,7去除x所得的商，答案

有无穷多个，符合题意的正整数解有23,128,233,…，其中23是最小的正

整数解，其余的解可表示成

23+105n(n=l,2,3,…)

这里105是3,5,7的最小公倍数，知道一个解，就可以知道全部的解。

《孙子算经》的解法是：“术曰，三、三数之剩二，置一百四十；五、五数

之剩三，置六十三；七、七数之剩二，置三十，并之得二百三十三，以二百一

十减之即得。凡三。三数之剩一，则置七十；五、五数之剩一，则置二十一；

七、七数之剩一，则置十五；一百六以上，以一百零五减之即得。”

先记下70,21,15这三个数，为了叙述的简便，我们约定用3[M]表示3

的倍数，5[M]表示5的倍数等等。70是5与7的倍数，是3的倍数多1(被3

除余1);21是3与7的倍数，是5的倍数多1；15是3与5的倍数，是7的倍

数多1.以约定的符号来表示，得

70=3[M]4-l=5[M]=7[M],

21=3[M]=5[M]+1=7[M],

15=3[M]=5[M]=7[M]+1。

用3,5,7除后所得的余数2,3,2分别乘(1),(2),(3)式，便得

140=3[M]+2=5[M]=7[M],

63=3[M]=5[M]+3=7[M],

30=3[M]=5[M]=7[M]+2,

233=3[M]+2=5[M]+3=7[M]+2。

最后一行是三式相加的结果，它表明233是3的倍数多2,5的倍数多3,

7的倍数多2,这是所求的解，减去两个105,即得最小解23.

一般地说，需要用3,5,7除的余数rj2,c分别乘以70,21,45这三个

常数，然后相加，便得所求答案。

韩信点兵一一中国剩余定理

汉代大将韩信统率大军26641人，当部队集合后，他令兵士1〜3报数后于

1人，1〜5报数后余3人，1〜7报数后余4人，韩信就立刻知道了已到的兵士

数和不到的兵士数(设缺席士兵不超过100人)。这里面有什么秘密呢？

这种神机妙算的题目在世界上最早出现在我过东汉时期数学名著《孙子算

经》中，有类似的题目：“一数被3除余2,被5除余3,被7除余2,问该数

是多少？”这便是世界闻名的“孙子问题”。

设该数为X,按题意:

x=3m+2,x=5n+3,x=7n+2。

3、5、7的最小公倍数是105,

35x=105m+70,21x=105n+63,15x=105p+30o

故x=105k+23.

这数最小为23.同样的方法可算出韩信统率的大军实到26548人，缺席93

人。

后来人们用诗歌概括了这个问题的解法：

三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，

七子团圆月正半，除百零五便得知。

用现在的表示式可给出孙子问题的一般解法。如果所求数N用3除余a,

用5除余b,用7除余c,则所求之数N=70a+21b+15c+105k其中k表示任

意整数，弹药保证N>0。

1892年《孙子算经》传入欧洲，人们发现孙子的解法和欧洲大数学家高斯

的定理是一致的，而中国人的研究早了一千多年，于是特别称之为“中国剩余

定理二

“中国剩余定理”不仅有光辉的历史意义，直到现在还是一个非常重要的

定理。1970年钱苏联年轻的数学家尤里（22岁）解决了德国大数学家希尔伯特

在1900年巴黎数学家会议上提出的二十三个难题的第十题，轰动了数学界。他

解决这个问题时，用到的知识十分广泛，但关键的一个地方，竟用的是我们祖

先在一千多年前发现的这个“剩余定理二

连乘法

计算熟练的人往往利用一些简便的代数变化来减轻他们的工作。例如：

9882的计算可以这样做：

988X988=(988+12)X(988-12)+122=1000X976+144=976144。

很容易看出，这里利用的是下面代数变化：

a2=a2—b2+b2=(a+b)(a—b)+b20

实际上，我们可以成功地运用这个公式来进行计算。例如：

272=(27+3)(27-3)+32=729,

632=66X60+32=3969,

182=20X16+22=324,

372=40X34+32=1369,

482=50X46+22=2304,

542=58X50+42=2916.

这一类的乘法，还有一中算法也很简单：

783X787=(785-2)(785+2)=7852-4=616225-4=616221

在这个例子里，我们得求785这个数的平方。

对于末位是5的数字平方，下面这方法很方便：

352：3X4=12。答数是1225o

652：6义7=42。答数是4225。

752：7X8=560答数是5625。

计算的规则是：先把十位数字和比它大1的数相乘，再在这乘积后面接着

写25就行了。

这个方法是这样的，如果十位数字是a,那全数可以写成：10a+5。

按二项式平方的公式，这数的平方等于100a2+100a+25=100a(a+l)+

25o

a(a+1)这式子就是十位数字和它后面一个数字的乘积，乘以100再加

25,这就和在它后面接写25一样。

整数后面带一个工的数，求平方也可以用上面这种方法。例如：

2

2222

(3-)=3.5=12.25=12^,(7-)=56-,(8-)=72-^0

242424

x2+(p+q)x+pq型式子的因式分解

将如图2—3—3中的1个正方形和3个长方形拼成一个大长方形，请观察

这四个图形的面积余拼成的大长方形的面积有什么关系。你能据此将x2+(p

+q)x+pq分解因式吗？

事实上，

x2+(p+q)x+pq

=x2+px+qx+pq

=(x2+px)+(qx+pq)(力口法结合律)

=x(x+p)+q(x+p)

=(x+p)(x+q).

这样，我们得到

x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q).

利用①式可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式。

图2—3—3

例把x?+3x+2分解因式。

【解析】x2+3x+2中的二次项系数是1,常数项2=1X2,一次项系数3

=1+2,这是一个X?+(p+q)x+pq型式子。

解：x2+3x+2

=(x+1)(x+2).

请利用①式将下列多项式分解因式。

⑴X2+7X+10；(2)X2—2x—8；

(3)y2-7y+12；(4)x2+7x-18o

方程在海湾战争中的应用

1991年海湾战争时，有一个问题放在美军计划人员面前，如果伊拉克把科

威特的油井全部烧掉，那么冲天的黑烟会造成严重的后果，这还不只是污染，

满天烟尘，阳光不能照到地面，就会引起气温下降，如果失去控制，早晨全球

性的气候变化，可能早晨不可挽回的生态与经济后果。五角大楼因此委托一家

公司研究这个问题，这个公司利用流体力学的基本方程以及热量传递的方程建

立数学模型，经过计算机仿真，得出结论，认为点燃所有的油井后果是很严重

的，但只会波及到海湾地区以至伊朗南部、印度和巴基斯坦北部，不至于产生

全球性的后果。这对美国军方计划海湾战争起了相当的作用，所以有人说：“第

一次世界大战是化学战争(炸药)，第二次世界大战是物理学战争(原子弹)，

而海湾战争是数学战争。”

波利亚谜题

同学们喜欢猜谜吗？这可是考察一个人的智力水平和应变能力的有效途径

哟！因为谜语总是显示出曲折迂回，导人糊涂的特点，但揭示谜底后又让人有

眼前一亮，茅塞顿开的恍悟，所以才能引人入胜，回味其间。其实在数学题中

也有这样的类型，就是从题意表面判断，似乎缺少条件不好顺利解答，而一旦

从中深入挖掘并构造出条件，就能变不可能为可能，使问题迎刃而解，这与谜

语的巧思有异曲同工之妙。

下面就来介绍著名数学家波利亚设计的这样一道谜题。题目内容如下：某

人步行了5小时，先沿着平路走，然后上了山，最后又沿原路走回原地，假如

他在平路上每小时走4里，上山每小时走3里，下山每小时走6里，试求他5

小时共走了多少里。大家知道，如果某人匀速走路，知道了他的速度和走的时

间，则很容易求出他在这段时间内走过的路程。可这道题中叙述的是比较复杂

的情况，既有平路，又有上山，还有下山，更困难的是既不知他沿平路走了多

长时间，又不知道他上山或下山走了多长时间，按照常规思路，这道题因条件

不够无法解答。事实果真如此吗？波利亚的回答是否定的。

下面我们先来具体研究一下题目所给的各个条件。首先定性地说，上山比

在平地走得慢，下山比在平地走得快，因而上山比在平路上走同样的路程费时

间，下山比在平地上走过同样长的路程省时间。

其次我们定量地计算这个人上山比他在平地上走过同样长的路程费的时间

与他沿原路下山比他在平地上走过同样长的路程省的时间哪个多那个少。由于

上山的路程与下山的路程同样长，所以我们可以把上山、下山及在平地上走过

单位长（比如一里地）所需的时间作一比较。

上山走一里比平地走一里多用的时间为』一！='（小时），

3412

下山走一里比平地走一里少用的时间为！一'='（小时）。

4612

于是，我们发现，此人上山多费的时间与他沿原路下山所省的时间恰恰抵

消。也就是说，题意的转化理解为：相当于他一直在平地上行走了5小时，因

此他共走了4义5=20里。这种算数解法体现了巧妙独特的特点，连小学生也能

理解。

而更具有一般性和应用性的方法是运用方程的知识来思考分析。我们不妨

设这个人5小时走的路程共为x里，他上山及下山各走了y里，因为已知平地、

上山、下山的速度，则全部行程中平地、上山、下山、平地这四段的时间分别

XXXX

——y——y——y——y

为」，上，上，J,显然有：、+上+2+J=5成立，这个方程

43644364

表面上是一个不定方程，可只要对此式化简，在合并同类项后，y的系数变成

了0,方程就变为二=5,可以求出x=20里，与上面的结果完全相同。这样解

4

答的特点在于，把所有未知量都当作了已知量进行顺向分析，思考时没有障碍,

解答水到渠成，自然顺畅。

也许有的同学会对前面的算术解答情有独钟，那么必须指出的是：这道题

目具有一定的特定性，若是题意条件发生变化，即若此人上山费的时间与下山

的时间不是恰恰相反正好抵消，前面的解答就有待推敲了。为了更好地说明这

点，大家来看下面的这个问题：加入一只船在静水中航行的速度是每小时4里,

水流的速度是每小时3里。现在这只船先逆水由甲码头驶向乙码头，在顺水从

乙码头驶回甲码头，问：此船在甲乙两个码头间一个来回的平均速度是否等于

它在静水中的速度？

我们把船在静水中的速度称为“船速”，记为V静，把水流的速度记为V水，

则船在顺水行驶（往下游行驶）时的实际速度V顺=v^+v水，船在逆水行驶（往

上游行驶）时的实际速度V逆=丫静一v水，因而在本题中v顺=4+3=7（里/小时）,

v逆=4—3=1（里/小时）。

如果我们把两个码头间的距离当作1,把船在静水中行驶类比为人在平地

上行走，把船在逆水中行驶类比为人往山上走，把船在顺水中行驶类比为人往

山下走，则在本题中会不会得出工—,这个类似上例的结论呢？

V逆V静V静V顺

根据题意条件知：-L—，='一[=3，可见-L--L

u逆％144u静口顺4728u逆限

w_L-_L,因此此船在甲乙两个码头间一个来回的平均速度不等于它在静水

V静V顺

中的速度。你明白了么？也许还有同学接着问：那这两者究竟谁大谁小呢？好,

我们在求出本题的平均速度一。

V

设甲乙码头间相距S里，船从甲码头逆水而上驶至乙码头用的时间为ta,

回来用的时间为则_=」=3=><4,可见船在甲乙两个码头

“逆+顺）

丫t£+24

17

间一个来回的平均速度小于船在静水中的速度。

其实我们还可以从一般情形入手来进行综合判断。因为一=♦=

□（遂+t顺）

c222

2-------------=静，也就是说，无论什么情况，

[+]V静V静

V静v水v静।v水

只要船在流动的水面上行驶时，先逆水再顺水驶一个来回的平均速度，永远要

小于船在静水中的速度。也许有的同学会问：那在波利亚谜题中，怎么上下山

的平均速度恰好等于那个人在平地上走的速度呢？原因在于人上山、在平地及

下山的平均速度之间的关系，与船在逆水、静水及顺水行驶时速度之间的关系

有实质性的区别。后者三个速度构成一个等差数列，而波利亚谜题中的三个速

度没有构成等差数列，也就是说，如果那个人上山、在平地行走及下山的速度

构成了等差数列，则他上下山的平均速度就必定要小于他在平地上走的速度，

这下你明白了么？

解读”x±L=a”型条件求值题

X

含有“x±L=a”型条件的求值题，形式虽然简单，但其变化非常丰富,

X

相关的题目类型多、技巧性强。下面介绍几例，与同学们一起交流。

一、将代数式用“x±L"表示

X

例1已知x+^=3,x2=a,x3+^-=b,则a?—b?=()

XX'X

A.19B.94C.OD.无法计算

【解析】由x+'=3,得a=x2+2=(x+-)2—2=7.

XXX

b=x3+二=(x+-)(x2—1+)=3X(7—1)=18.

XXx~

所以a3—b2=73—182=19.

【答案】A

【点评】有如下重要的变形：

①x2+」=(x±-)2+2；

XX

22

②x3±4=(x±-)(x+1+(x±-)[(x±-)+3]0

XXXXX

例2如果x+'=3,则丁二一=_______o

XX+x+1

【解析】设s=4J2-，则1=x2+1+二=(x+L)2—1=8,故S=L

x+x+1sxx8

【答案】I

O

【点评】本题也可以将分子、分母都除以X2,把求值式化成一J一后，

(x+-)2-l

X

再把已知条件代入求值。

【练习】1.已知a—2=1,则a2+：等于o

aa”

二、结合“x±‘=a”的变形实施降次化简

X

例3已知x+'=3,则X，+3x3—16x2+3x—17的值等于。

X

【解析】由已知，得x?=3x—1,及3x=x?+l,则x，=(x2)2=9x2—6x

+1=7x2—1,x3-x2_Xo所以原式=7x?—1+9x2—3x—16x2—17=-18.

【答案】-18

【点评】x±L=a可以变形为X?—ax=q：l或X?=ax不1,用它可对代数式

X

实施降次。

【练习】2.已知a—，=-1,则a,+2a^+3a?+2a+1=.

a

三、条件等式可化为"x±'=a"

X

例4已知a2+4a+l=0,且二^£^!11_=3,试确定m的值。

2a3+ma2+2a

解：由a2+4a+l=0,易知a#0,则a+^=-4.所以a?+《*=(a+')

aaa

2—2=16—2=14.又由£+ma：+l=3,将左边分子、分母同除以a2,得

2a3+ma2+2a

/+▼+m..1

V—=3.所以将前面所得代入有一件一=3,解得m=19。

2(a+l)+m2x(-4)+m

a

【点评】对于ma?+na±m=O(m*0),两边都除以ma,可得a±'=-

a

n

-----o

m

【练习】3.若；=匕则的值是______(用m表不)。

x6—m3x3+l

糖水中的分式

一般来说，在水中加入的糖越多，糖溶解后，糖水就越甜，这是我们每个人

都知道的生活常识。将a千克白糖加水配制成b千克糖水(b>a>0),此时糖

水的含糖量为J若再加入m千克白糖(m>0),则糖水的含糖量变为中。

显然，加糖后糖水的含糖量增大，糖水更甜。根据这一生活常识我们可以得到

一个不等式：

a_<a+m(b>a>Q>m>0)o

bb+m

利用这个不等式，我们可以很容易地比较下面三个数的大小：

200020012002

------9------，-------------o

200120022003

生活中处处存在着数学问题，只要你留意，总会有收获的。

容器中的水能倒完吗

请看下面的问题：

一个容器装有1升水，按照如下要求把水倒出：第1次倒出,升水，第2次

2

倒出水量是工升水的工，第3次倒出水量是1升的L第4次倒出水量是，升的

23344

…，第n次倒出水量是1升的一一…按照这种倒水的方法。这1升水经多

5nn+1

少次可以倒完？

你可能会想到通过实验探寻问题的答案，但是实验中要精确地测量倒出水

量，当倒出水量很小时测量的难度非常大。我们能否用数学方法替代实验解决

上面的问题呢？

容易列出倒n次水的总倒出水量为

UL+,+,+T—+—。

22x33x44x5(〃-l)n"(〃+1)

根据分式的减法法则

1_1_n+1_n_1

--------------------------------------------------------------------------------o

nn+1n(n+1)n(«+l)

反过来，有

1_1_1

〃(〃+1)nn+1

利用②可以把①改写为

(---)+(1-i)+(!-1)H----F(---)+(-!--

2233445n~\nn

〃+1

合并③中的相反数，得1—」一，即到n次水的总倒出水量为1—_L=

n+1n+1n+1

(升)。可以发现，按这种方法倒水，随着倒水次数n的不断增加，总倒出水

量；也不断增加。然而，不论倒水次数n有多大，总到水量」L总小于1,

n+1n+1

因此，容器中的1升水是倒不完的。这样，我们就用数学的方法分析了上面的

问题。

橡皮几何学

早在18世纪及出现了一种奇异的几何学，到19世纪已正式形成了一门数学

分支一一拓扑学。在初期人们形象地给它起了个名字叫“橡皮几何”。

顾名思义，橡皮几何就是设想把几何图形画到橡皮薄膜上，然后把橡皮膜向

某个方向拉伸，使得薄膜上的几何图形发生各种不同形状的变化。看起来好像

一种儿童游戏，但它却开辟了几何学的新途径。

橡皮集合中的变换千奇百怪，妙趣横生。

一个圆可以变成椭圆、矩形、三角形和其他各种有趣的图形（图4—1-6）。

一把钥匙可以变成小鸟（图4—1—7）等。

上述变换也有一定的规则，在变换中图形的长度、面积、角度、线条的弯曲

状态等方面是可以改变的，其他特性如曲线的闭合性，两曲线的相交性等都没

有变化。例如从（®4-1-8）图形⑴到图形⑵的变换。在图形⑴的A、B、C、

D、O点，到图形⑵中都有唯一的对应点：Ai、Bi、C、Di、Ch。很显然,

图形⑴上有M、N相近两点，那么在图形⑵上也必有Mi、Ni相近两点，反之

也是如此。这种关系俗称“附贴”关系。凡是从一种图形到另一种的变换，图

形的点是一一对应的，其“附贴”关系没有改变，那么这种变换就称为拓扑变

换，两图形间可看作互为拓扑变换。

穿高跟鞋真的使人觉得美些吗？

美是一种感觉，本应没有什么客观的标准。但在自然界里，物体形状的比例

却提供了在匀称与协调上一种美感的参考。在数学上，这个比例称之为黄金分

害!]（goldensection）。

在线段AB上，若要找出黄金分割的位置，可以设分割点为G,则G点要符

合一下的特性：

AB：AG=AG：BG,

设AB=LAG=x,

则1:X=X:（1—X）,

x2+lx