北京市朝阳区2022年中考数学模拟试题（含答案）

北京市朝阳区中考数学模拟试题

（含答案）

一、单选题

1.如图所示，△ABC中AB边上的高线是（）

A.线段AGB.线段BDC.线段BED.线段CF

2.下列全国各地地铁标志图中，既是轴对称图形又是中心对称图形

的是（）

3.如图，在RSA8C中，ZBAC=90°,AB=AC,点A,点C分别在

直线。，人上，且。〃江若Nl=60。，则N2的度数为（）

A.75°B.105°C.135°D.155°

4.如图，数轴上的四个点A、B、C、。位置如图所示，它们分别对

应四个实数a%、c、d,若q+c=0,A3<BC,则下列各式正确的是（）

b

A.bc>0B.b—d>0C.b+c>0D.时>同

5.如图在正方形网格中，若A(1,1),B(2,0),则C点的坐标

6.一次中学生田径运动会上，21名参加男子跳高项目的运动员成绩

统计如下：

成绩

1.501.551.601.651.70

（m）

人数■86■1

其中有两个数据被雨水淋混模不清了，则在这组数据中能确定的统计

量是（）

A.平均数B.中位数C.众数D.方差

7.某长方体的展开图中，P、A、B、C,。（均为格点）的位置如图所示，

一只蚂蚁从点P出发，沿着长方体表面爬行.若此蚂蚁分别沿最短路线

爬行到4B、C、。四点，则蚂蚁爬行距离最短的路线是（）

A.PfAB.PTBC.PfCD.PTD

8.程老师制作了如图1所示的学具，用来探究“边边角条件是否可确

定三角形的形状''问题.操作学具时，点。在轨道槽AM上运动，点尸既

能在以A为圆心、以8为半径的半圆轨道槽上运动，也能在轨道槽QN

上运动.图2是操作学具时，所对应某个位置的图形的示意图.

QM

图1图2

有以下结论：

①当ZPAQ=30。,PQ=6时，可得到形状唯一确定的△尸AQ；

②当ZPAQ=30。,PQ=9时，可得到形状唯一确定的△"。；

③当NPAQ=9（T,PQ=10时，可得到形状唯一确定的△P42；

④当4AQ=150,PQ=12时，可得到形状唯一确定的；

其中所有正确结论的序号是（）

A8M

备用图

A.①②④B.②③C.②③④D.③④

二、填空题

9.4的平方根是.

10.若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数

是.

11.我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：1（）。匹

马恰好拉了100片瓦，已知3匹小马能拉1片瓦，1匹大马能拉片3瓦，

求小马、大马各有多少匹.若设小马有X匹，大马有y匹，依题意，可

列方程组为.

12.如图，。。的弦AB=6,直径8为2,48_LCD于E,则的长

为（结果保留4）.

D

13.如果片+2。-1=0,那么代数式的值是

\a）a-2

14.如图，在△45。中，点M为3c的中点，AP平分々AC,且

于点延长8。交AC于点M若A5=12,AC=18,则MD=

BM

15.罚球是篮球比赛中得分的一个组成部分，罚球命中率的高低对篮

球比赛的结果影响很大.下图是对某球员罚球训练时命中情况的统计:

“罚球命中''的概率是0.822；②随着罚球次数的增加，“罚球命中””的

频率总在（）.812附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计该球员“罚

球命中”的概率是0.812；③由于该球员“罚球命中”的频率的平均值是

0.809,所以“罚球命中”的概率是0.809.其中合理的是

_______________________.（填序号）

16.一辆赛车在一个周长为36的封闭跑道上行驶，跑道由几段直道

和弯道组成，图1反映了赛车在“计时赛”整个第二圈的行驶速度与行

驶路程之间的关系.

根据图1,有以下四个说法：

①在这第二圈的26km到2.8m之间，赛车速度逐渐增加；

②在整个跑道中，最长的直线路程不超过0.6坳；

③大约在这第二圈的（）4m到06km之间，赛车开始了那段最长直线路

程的行驶；

④在图2的四条曲线（注：S为初始记录数据位置）中，曲线3最能

符合赛车的运动轨迹，其中，所有正确说法的序号是

三、解答题

17.计算：(―口-(V3-2)°+11-V2I+4co.v45°.

k3J

4(x-l)<3(x+2),

18.解不等式组x-l/并写出它的所有整数解.

-----<x-4,•••

[2

19.已知关于％的一元二次方程f+2(m-1)x+m2-3=0有两个不

相等的实数根.

(1)求相的取值范围；

(2)若相为非负整数，且该方程的根都是无理数，求相的值.

20.下面是小东设计的“过圆外一点作圆的两条切线''的尺规作图过程.

己知：。。和。。外一点尸.

求作：。。的切线尸。，尸。.

作法：如图，

p

①连接OP；

②分别以。，点为圆心，大于;。P的相等的长为半径作弧，两弧交于

M”两点;

③作直线MN,交OP于点4.

④以点A为圆心，AP长为半径作圆，交。。于C。两点；

⑤作直线PC

则PC,就是所求作的。。的切线.

根据小东设计的尺规作图过程，

⑴使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）

（2）完成下面的证明.

证明：•••MN是线段OP的垂直平分线，

，点A是线段OP的中点.

•••是OA的直径.

ZPCO=ZPDO=90（）（填推理的依据）

半径OC±PC,半径OD1PD.

•••PCP。是。。的切线（）（填推理的依据）

21.如图，在AABC中，NAC3=90,C。是AB边上的中线，分别过点C,

点。作A氏8C的平行线交于£点，OE与AC交于点。，连接AE.

EC

ADB

⑴求证：四边形4在是菱形；

（2）若AC=2DE,求sinZCDB的值.

22.某学校八、九年级各有学生200人，为了提高学生的身体素质，

学校开展了主题为“快乐运动，健康成长”的系列体育健身活动.为了

了解学生的运动状况，从八、九年级各随机抽取40名学生进行了体

能测试，获得了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行了整

理、描述和分析.下面给出了部分信息.（说明：成绩80分及以上为

优秀，70-79分为良好，60-69分为合格，60分以下为不合格）

a.八年级学生成绩的频数分布直方图如下（数据分为五组：

50<x<60,60<x<70,70<x<80,80<x<90,90<x<100）

b.八年级学生成绩在704x<80这一组的是：

70717373737476777879

c.九年级学生成绩的平均数、中位数、众数、优秀率如下:

平均数中位数众数优秀率

79768440%

根据以上信息，回答下列问题：

(1)在此次测试中，小腾的成绩是74分，在年级排名是第17名，

由此可知他是年级的学生(填“八"，或'九")；

(2)根据上述信息，推断年级学生运动状况更好，理由

为;(至

少从两个不同的角度说明推断的合理性)

(3)假设八、九年级全体学生都参加了此次测试，

①预估九年级学生达到优秀的约有人；

②如果年级排名在前70名的学生可以被评选为“运动达人”，预估八

年级学生至少要达到分才可以入选.

23.已知函数y=1(x>0)的图象与一次函数y=ax-2(a#0)的图

象交于点A(3,n).

(1)求实数a的值；

(2)设一次函数y=ax-2(a#))的图象与y轴交于点B,若点C在

y轴上，且SAABC=2SAAOB,求点C的坐标.

24.在研究反比例函数尸:的图象与性质时、我们对函数解析式进行

了深入分析.

首先，确定自变量》的取值范围是全体非零实数，因此函数图象会被

y轴分成两部分；其次，分析解析式，得到y随X的变化趋势：当%>0

时，随着X值的增大，上的值减小，且逐渐接近于零，随着X值的减

X

小，工的值会越来越大…，由此，可以大致画出y=」在x〉o时的部分

XX

图象，如图所示：

利用同样的方法，我们可以研究函数y=看的图象与性质.通过分

析解析式画出部分函数图象如图所示.

(1)请沿此思路在图中完善函数图象的草图并标出此函数图象上横

坐标为。的点A；(画出网格区域内的部分即可)

(2)观察图象，写出该函数的一条性质：;

(3)若关于x的方程不匕=。(》-1)有两个不相等的实数根，结合图

象，直接写出实数。的取值范围：.

25.如图，A3为。。的直径，如切。。于点C与班的延长线交于点

。，力EJ.PO交P。延长线于点E,连接PB,NEDB=NEPB.

⑴求证：PB是。。的切线.

(2)若依=3,08=4,求的长.

26.在平面直角坐标系My中，抛物线尸苏-4依("0)与x轴交于点

A,B(A在8的左侧).

yf

1­

.........................O\......................x

(1)求点的坐标及抛物线的对称轴；

(2)已知点P(2,2),Q(2+2a,5a),若抛物线与线段PQ有公共点，请结

合函数图象，求〃的取值范围.

27.如图，在用AABC中，ZABC=90,将C4绕点C顺时针旋转45。，

得到CP,点4关于直线CP的对称点为。，连接A。交直线CP于点£,

连接C"

A

BC

（1）根据题意补全图形；

（2）判断AACD的形状，并证明；

（3）连接用等式表示线段AB,BC,之间的数量关系，并证

明.

温馨提示：在解决第（3）问的过程中，如果你遇到困难，可以参考

下面几种解法的主要思路.

解法1的主要思路：

延长BC至点八使C尸=A3,连接所，可证再证△3所

是等腰直角三角形.

解法2的主要思路：

过点4作4加，8£于点可证是等腰直角三角形，再证

4ABCs4AME.

解法3的主要思路：

过点人作加7,踮于点M,过点C作CNJ.BE于点N,设BN=a,EN=b,

用含。或》的式子表示AB,BC.

28.对于平面直角坐标系中的点尸和图形M,给出如下定义：。

为图形M上任意一点，如果尸，。两点间的距离有最大值，那么称这个

最大值为点尸与图形M间的开距离，记作。（RM）.已知直线

y=，x+》S*O)与％轴交于点A,与y轴交于点8,O。的半径为1.

(1)若1=2,

①求”(8,00)的值；

②若点C在直线AB上，求d(C，OO)的最小值；

(2)以点A为中心，将线段A6顺时针旋转120。得到A。，点E在线

段组成的图形上，若对于任意点区总有2"(2。0)<6,直接

写出匕的取值范围.

答案

1.D

2.C

3.B

【解析】

・・,在RSABC中,NBAO90。，AB=AC,

AZB=ZACB=45°,

.•.Z3=180o-60°-45o=75°,

.,.Z2=180°-Z3=105°,

故选B.

4.C

【解析】

若〃+c=0,ABvBC,可知原点位置如图所示:

a^0cd

由数轴可知，a（b（O,d）c^Q且同>忖=时>网

：.hc<Q,故A错误；

b-d<0,故B错误；

b+c>0,故C正确；

同>14,故D错误.

故选C.

5.B

【详解】

••,点A的坐标是：（1,1）,点B的坐标是：（2,0）,

原点坐标如下图所示:

0(0

•••点C的坐标是：(3,-2).

故选B.

6.C

【详解】

解：•.•一共有21个数据，

.•".50m和1.65m的人数和为21-(8+6+1)=6<8,

这组数据的众数为1.55m,

故选：C.

7.D

【详解】

解：由图可得PA=5、PB=9,根据上下两个面的对称性和勾股定理可得PC=JI5、PD=V5

故选：D

8.C

【详解】

解：①当ZPAQ=30。，PQ=6时，以P为圆心，6为半径画弧，与射线AM有两个交点，

则4PAQ的形状不能唯一确定，故①错误；

②当/PAQ=30。，PQ=9时，以P为圆心，9为半径画弧，与射线AM有一个交点，Q点

位置唯一确定，则可得到形状唯一确定的APAQ,故②正确；

③当/PAQ=90。，PQ=10时，以P为圆心，10为半径画弧，与射线AM有一个交点，Q

点位置唯一确定，则可得到形状唯一确定的△PAQ,故③正确；

④当/PAQ=150。，PQ=12时，以P为圆心，12为半径画弧，与射线AM有一个交点，Q

点位置唯一确定，则可得到形状唯一确定的△PAQ,故④正确；

故选：C.

9.±2.

10.8

【详解】

解：设边数为n,由题意得，

180(n-2)=360x3

解得n=8.

所以这个多边形的边数是8.

x+y=100

11.*x

1+3y=100

【详解】

•.•小马有x匹，大马有y匹，而一共有loo匹马，

/.x+y-100,

又；3匹小马能拉1片瓦，1匹大马能拉片3瓦，且一共拉了100片瓦，

Y

.•.±+3y=100,

x+y=100

•••最后可列方程组为：〈X

-+3^=100

y=100

x

1+3y=100

【详解】

解：如图，连接08,

：AB为。0的弦，C£>是。。的直径，ABLCD,AB=5

，AE=BE==AB=@,

22

•••直径8为2,

二半径OB=1,

.•.在RSBOE中，sinZBOE=—=-)

OB2

ZBOE=60°,

：.NBOC=1800-ZBOE=120°,

.A/iz120^-xl2

••BC的长为.A=三万•

IoilJ

2

故答案为：Q乃.

13.1

【详解】

5/4cCci"-4Q~(a+2)(。—2)矿/->

解:(a■一)•----二------------=------------------=a(a+2)x=a2+2a,

a。一2aa-2aa-2

Va2+2a-l=0,

a2+2a=1,

J原式二1,

故答案为：1.

14.3

【分析】

通过AO平分ZBAC,且BDLAD于点D，即可得^BD^AND(ASA),AB=AN=T2,

D为BN中点，DM为ABNC的中位线，即可通过NC求DM.

【详解】

解：•.•A£>平分N84C,且于点。，

•••在△ARD和△4V。中

"BAD=NNAD

<AD=AD

NADB=NADN

.♦.AA8OMAAND(AS4)

.,.△ABN为以BN为底边的等腰三角形，D为BN中点

/.AB=AN=12

又AC=18

，CN=6

在ABNC中,

D为BN中点、M为BC中点

.•.DVI为ABNC的中位线

:.DM」CN=3

2

故答案为：3.

【点睛】

本题考查全等三角形的判定定理及中位线定理，注意找到全等的条件是解题的关键，属于中

考常考题型.

15.②

【详解】

解：当罚球次数是500时，该球员命中次数是411,所以此时“罚球命中”的频率是：

411-500=0.822,但“罚球命中”的概率不一定是0.822,故①错误；

随着罚球次数的增加，“罚球命中”的频率总在0.812附近摆动，显示出一定的稳定性，可以

估计该球员"罚球命中''的概率是0.812.故②正确；

虽然该球员“罚球命中'’的频率的平均值是0.809,但是“罚球命中'’的概率不是0.809,故③错

误.

故答案为：②.

16.①④

【分析】

结合图像准确分析即可；

【详解】

由图1可知，2.6k〃到2.86之间，图象上升，故在这个第二圈的2.6加到2.8k〃之间，

赛车的速度逐渐增加，故①正确；

在整个跑道上，高速行驶时最长为(1.8,2.4)之间，但直道加减速也有过程，故最长的直

线路程有可能超过0.6km,故②不正确；

最长直线路程应在14至IJ1.8之间开始，故③不正确：

由图1可知，跑到应有3个弯道，且两长一短，故④正确；

故答案为：①④.

17.30-5

【详解】

解：原式=一3-1+后一l+4x«l

2

=372-5

18.它的整数解为7,8,9,10.

19.(1)m<2；(2)m=l.

【分析】

(1)利用方程有两个不相等的实数根，得A=[2(m-1)]2-4(m2-3)=-8m+l6>0,然后解

不等式即可；

(2)先利用m的范围得到m=0或m=l,再分别求出m=0和m=l时方程的根，然后根据根

的情况确定满足条件的m的值.

【详解】

(1)△=[2(m-1)]2-4(m2-3)=-8m+16.

•••方程有两个不相等的实数根，

.,.△>0.

即-8m+16>0.

解得m<2；

（2）Vm<2,且m为非负整数,

/.m=0或m=l,

当m=0时,原方程为x2-2x-3=0,

解得X|=3,X2=-1（不符合题意舍去），当

m=l时，原方程为x2-2=0,

解得X|=72，X2=-0,

综上所述，m=l.

20.（1）详见解析；（2）OP,直径所对的圆周角是直角；经过半径外端并且垂直于这条半

径的直线是圆的切线.

【详解】

解：（1）补全图形如图.

证明：：MN是线段OP的垂直平分线，

点A是线段OP的中点.

•'.OP是。A的直径

ZPCO=NPDO=90（直径所对的圆周角是直角）,

半径OC±PC,半径ODVPD.

PC,P0是。。的切线（经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线）.

【点睛】

本题考查了作图-复杂作图，线段的垂直平分线，圆周角定理，切线的判定等知识，解题的

关键是熟练掌握基本知识.

4

21.(1)详见解析；(2)sinNCDB=^

【分析】

(1)由DE〃BC,CE〃AB,可证得四边形DBCE是平行四边形，又由△ABC中，ZBCA

=90°,CD是边AB上的中线，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可得CD=AD

=BD=CE,然后由CE〃AB,证得四边形ADCE平行四边形的性质，继而证得四边形ADCE

是菱形；

(2)首先过点C作CFLAB于点F,由(1)可知，BC=DE,设BC=x,则AC=2x,然

后由勾股定理求得AB,再由三角形的面积，求得CF的长，由勾股定理即可求得CD的长，

继而求得答案.

【详解】

(1)证明：；。£7/8。,。£：//8。，

二四边形8DEC是平行四边形.

:.CE=BD,

是AB边上的中线，

/.AD=BD,

:.CE=AD,

•••四边形ADCE是平行四边形.

•;NACB=90,DE//BC,

:.ZAOD=ZACB=90°,

：.AC±DE,

二四边形ADCE是菱形.

(2)解：过点于

EC

:.DE=BC,

AC=2DE,

AC=2BC,

设BC=x,

则AC=2x,

在aAACB中，ZAC5=90;

AB=ylAC2+BC2=y/5x-

-,•ZACB=90a,CF±AB,

：.S.BC=-ACBC=-ABCF,

「口2石

/.Cr=-----x，

5

・・・44。3=90;。。是245边上的中线，

：.CD=-AB=—x>

22

在Rt^CDF中，NCFD=90，

CF4

sinZ.CDB=-=-.

CD5

【点睛】

此题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质以及勾股定理.注意准确作出辅助

线是解此题的关键.

22.（1）八；（2）九，理由见解析；（3）①80；②78.

【分析】

(1)计算出八年级学生成绩的中位数，结合九年级学生成绩的中位数可得到结论；(2)分别从

优秀率，中位数，平均数的角度分析可得到结论；(3)利用样本所占的百分率估计总体即可

得到答案.

【详解】

71+73

解：(1)八年级学生成绩的中位数为：------^=72分，九年级学生成绩的中位数为：76

2

分，小腾的成绩是74分，在年级排名是第17名，

二小腾在八年级排在前20名，在九年级排在第20名后，

，小腾是八年级的学生.

故答案为：A.

(2)九；

理由：①九年级优秀率40%,八年级优秀率30%,说明九年级体能测试优秀人数更多；

②九年级中位数为76,八年级为72,说明九年级一半的同学测试成绩高于76分，而八年级

一半同学的测试成绩仅高于72分.

③通过图表，估计八年级成绩平均数为73.25,低于九年级的79分，说明九年级整体水平高

于八年级.

综合以上三个两个理由，说明九年级学生的运动状况更好.

故答案为：九，①九年级优秀率40%,八年级优秀率30%,说明九年级体能测试优秀人数

更多；②九年级中位数为76,八年级为72,说明九年级一半的同学测试成绩高于76分，而

八年级一半同学的测试成绩仅高于72分.③通过图表，估计八年级成绩平均数为73.25,低

于九年级的79分，说明九年级整体水平高于八年级.

(3)①200x40%=80人;

12

②•••80分含80分的学生约有：—x200=60A,

40

78,79分的学生约有工*200=10人，

40

•••年级排名在前70名的学生可以被评选为“运动达人”，预估八年级学生至少要达到78分才

可以入选.

【点睛】

本题考查的是统计初步中的中位数，平均数，众数的概念及用样本估计总体，掌握以上知识

是解题的关键.

23.(1)a=l；(2)C(0,-4)或(0,0).

【分析】

3

(1)把A(3,n)代入y=—(x>0)求得n的值，即可得A点坐标，再把A点坐标代

x

入一次函数y=ax-2可得a的值；(2)先求出一次函数y=ax-2(a#))的图象与y轴交

点B的坐标，再分两种情况(①当C点在y轴的正半轴上或原点时；②当C点在y轴的负

半轴上时)求点C的坐标即可.

【详解】

3

(1)•・•函数y=—(x>0)的图象过(3,n),

x

/.3n=3,

n=l,

AA(3,1)

•.•一次函数y=ax-2(a^O)的图象过点A(3,1),

l=3a-1,解得a=l；

(2)•・•一次函数y=ax-2(a#))的图象与y轴交于点B,

AB(0,-2),

①当C点在y轴的正半轴上或原点时，设C(0,m),

•SAABC=2SAAOB,

—x(m+2)x3=2x—x3,解得：m=0,

22

②当C点在y轴的负半轴上时，设(0,h),

,**SAABC=2SAAOB,

A-x(-2-h)x3=2xlx3,解得：h=-4,

22

AC(0,-4)或(0,0).

【点睛】

本题主要考查了一次函数与反比例函数交点问题，解决第(2)问时要注意分类讨论，不要

漏解.

24.(1)见解析；(2)当%>1时，丁随工增大而减小；(3)a>\

【分析】

1

（i）先得出函数y=自变量x的取值范围，再分析解析式，得到y随x的变化趋势,

\[x—1

由此完善函数图象即可；令x=0求出y的值即可得出点A坐标;

（2）根据函数图象得出其增减性即可；

1

（3）将所求问题看成函数y=［口与一次函数>=办一。的交点问题，先找出一个临界

位置，再根据一次函数的性质即可得.

【详解】

x>0

（1）由二次根式的被开方数的非负性、分式的分母不能为0得：〈

V%-1丰o

解得：且

11,

令x=o得右=T

则点A坐标为A（0,-1）

1

分析解析式，得到y随工的变化趋势：当oWx<i时，随着工值的增大，不j的值会越

来越小；当X>1时，随着X值的增大，忑工的值会减小，且逐渐接近于零，由此，完善

函数图象如图所示:

（2）由（1）图象可知，当x>i时，y随％增大而减小；（注：答案不唯一）

1

(3)由题意得，函数丫二主力与一次函数丁=内一。有两个交点

一次函数>=依一。的图象经过定点(1,0)

要使两个函数有两个交点，一次函数丁="一。经过点4(0,-1)是一个临界位置，此时有

a-0—a——l>即a=l

因此，结合函数图象可知，当时，两个函数必有两个交点，即关于x的方程

国口=a(x-l)有两个不相等的实数根

故答案为：a>\.

【点睛】

本题考查了函数的图象特征及应用，读懂函数的图象特征是解题关键.

25.(1)详见解析；(2)DE=y/5

【分析】

(1)根据三角形的内角和定理可证NE=NPBO,然后根据垂直定义可得/E=90,从而得

出半径CB1PB,根据切线的判定定理即可证出结论：

(2)连接OC,利用勾股定理即可求出PD,根据切线长定理可得PC=PB=3,从而求出

CD,设。。的半径是「，利用勾股定理列出方程即可求出r,利用勾股定理求出PO,最后根

据sinZDPE=——=—即可求出结论.

PDPO

【详解】

解：(1)证明：•••NE£>5=NEP8,NO0E=NP08,

:"E=NPBO,

DE±PO,

：.NE=90',

ZPBO=90°,

/.半径CB±PB,

.•.依是。。的切线.

(2)解：连接。。

PB=3,DB=4,NPBO=90',

/.PD=y}PB-+DB~=5-

•.•PB和PC是oo的切线，

PC=PB=3,

:.CD=PD—PC=2,

设。。的半径是「，

则O£)=£)5-O8=4—r,

•.•P£>切。。于点C,

OC±PD,

：.CD2+OC2=OD2.

.•,22+r2=(4-r)2.

3

r二­

2

：.PO="PB"

.…LDEOC

•：smZDPE=----=-----

PDPO

3

即DE丁景2

2

:.DE=>/5-

【点睛】

此题考查的是切线的判定及性质、切线长定理、勾股定理和锐角三角函数，掌握切线的判定

及性质、切线长定理、勾股定理和锐角三角函数是解决此题的关键.

313

26.(1)A(0,0),B(4,0),x=2；(2)a>-,或——<tz<0,或——

222

【分析】

(1)与x轴的交点纵坐标为0,然后计算y=()时的x值即可求出坐标;根据抛物线的对称

b

轴为X=--求解即可:

2a

(2)由抛物线的顶点坐标(2,Ta)和抛物线上两点〃(—1,5a),N(5,5a).分a>0,a<0

两种情形分别求解即可解决问题.

【详解】

解：(1)vy-ax1-4ax-ax(x-4),

当y=0时，ox(x-4)=0

••=0,x、—4

；•抛物线与x轴交于点A(0,0),8(4,0).

__zl/j

抛物线y=«x2—4ax对称轴为直线：x=-----=2.

2a

(2)y=ax2-4ax=a(x2-4xj=<z(x-2)2-4a,

抛物线的顶点坐标为：(2,-4。).

令y=5a,ax2—4ax—5a=0<

a(x-5)(x+l)=0,

解得x=-l,或x=5,

.•.当y=5a时，抛物线上两点M(-l,5a),N(5,5a).

①当a>0时，抛物线开口向上，顶点位于％轴下方，且Q(2+2a,5a)位于点P的右侧，如

图1,当点N位于点。左侧时，抛物线与线段PQ有公共点，

此时2+加之5,

3

解得a>—.

2

②当。<0时，抛物线开口向下，顶点位于x轴上方，点。(2+2a,5a)位于点2的左侧，

(i)如图2,当顶点位于点P下方时，抛物线与线段PQ有公共点，

此时』<2,

解得。之一］.

2

(ii)如图3,当顶点位于点尸上方，点M位于点。右侧时，抛物线与线段尸。有公共点,

此时2+2a4—1,

3

解得。4一二.

2

313

综上，。的取值范围是。之一，或一—<«<0,或一一.

222

【点睛】

本题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是理解题意利用不等式解决问题，属于二次

函数综合题，题目较难.

27.(1)见解析(2)AACZ)是等腰直角三角形；证明见解析.(3)AB+BC=&3E：

证明见解析.

【分析】

(1)根据题目意思补全图形即可；

(2)根据旋转的性质得到ZACP=45°，再根据点。与A关于直线CP对称得到

NACO=90"，即可证明AACD是等腰直角三角形：

(3)解法一：延长至点尸，使b=AB,连接EF，可证AA3E式ACFE,再证AB石尸

是等腰直角三角形，进而得到答案.

解法二：过点A作于点M，可证A4及0是等腰直角三角形，再证

AABCsAAME进而得到答案.

解法三：过点A作于点A7，过点C作。VLBE于点N,设&V=a,EN=b,

用含。或Z?的式子表示AB，BC进而得到答案.

【详解】

(1)正确补全图形：

(2)AACQ是等腰直角三角形；

证明：♦.•将C4绕点C顺时针旋转45。,

；•ZACP=45°，

•••点。与A关于直线CP对称，

ZDCP=ZACP=45°，AC^CD.

•••ZACD=90".

•••A4co是等腰直角三角形.

⑶AB+BC=y[2BE^

解法1证明：延长至点F，使Cr=A3,连接。尸，EF.

：AACZ）是等腰直角三角形，AE=DE，

:.AE=CE,ZAEC=90°.

•.•ZABC=90°，

ZBAE+ZBCE=180°.

,•*ZFCE+ZBCE^180^,

ZBAE=ZFCE,

；•AABE^ACFE,

:•BE=FE，Z1=Z2.

N2+N3=N1+N3=9O".

即NB£：F=90°.

/.ABM是等腰直角三角形.

BC+CF=42BE-

即AB+BC=yf2BE-

解法2证明：过点A作AMLBE于点M,取AC中点G,连接G8,GE.

RC.

设,ZGBE=a,ZABG=j3f

•・