北京二中学教育集团2022年中考数学模拟试卷含解析

2021-2022中考数学模拟试卷

考生请注意：

1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的

位置上。

3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

1.如图，点P是/AOB内任意一点，OP=5cm,点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，APMN周长的

最小值是5cm,则NAOB的度数是（）.

A.25°C.35°D.40°

2.轮船沿江从A港顺流行驶到B港，比从3港返回A港少用3小时，若船速为26千米/时，水速为2千米/时，求A港

和3港相距多少千米.设A港和8港相距“千米.根据题意，可列出的方程是（）.

XX

A.----=---------JB.---=------F3

28242824

x+2x—2x+2x-2.

C.+3D.------=---------3

~26~2626

3.二次函数y=a（x-mF-n的图象如图，则一次函数y=mx+n的图象经过（)

A.第一、二、三象限B.第一、二、四象限

C.第二、三、四象限D.第一、三、四象限

4.下面说法正确的个数有（）

①如果三角形三个内角的比是1：2：3,那么这个三角形是直角三角形;

②如果三角形的一个外角等于与它相邻的一个内角，则这么三角形是直角三角形;

③如果一个三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点，那么这个三角形是直角三角形;

④如果NA=NB=」NC,那么AABC是直角三角形;

⑤若三角形的一个内角等于另两个内角之差，那么这个三角形是直角三角形；

⑥在△ABC中，若NA+NB=NC,则此三角形是直角三角形.

A.3个B.4个C.5个D.6个

5.如图，点C、D是线段AB上的两点，点D是线段AC的中点.若AB=10cm,BC=4cm,则线段DB的长等于（）

I▲1_______________I

ADCB

A.2cmB.3cmC.6cmD.7cm

6.如果=2-a，那么（）

A.x<2B.x<2C.x>2D.x>2

7.中国幅员辽阔，陆地面积约为960万平方公里，“960万”用科学记数法表示为（）

A.0.96x107B.9.6x106C.96xl05D.9.6xl02

8.如图，四边形ABCD是菱形，AC=8,DB=6,DH_LAB于H,贝!IDH=（）

D,_____________,C

八H

2412

A.—C.12D.24

55

9.下列计算正确的是（）

A.a2,ai=a（,B.（a2）i=a6C.a6-a2=a4D.a5+a5=a10

10.抛物线y=ax2-4ax+4aT与x轴交于A,B两点，C（xi,m）和D（X2,n）也是抛物线上的点，且XI〈2<X2,

XI+X2<4,则下列判断正确的是（）

A.mVnB.m<nC.m>nD.m>n

11.如果1一二1=-二则a的取值范围是（)

A.a>0B.a>0C.a<0D.a<0

12.已知。O的半径为13,弦AB〃CD,AB=24,CD=10,则四边形ACDB的面积是（）

A.119B.289C.77或119D.119或289

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）

13.如图，△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，DE〃AC,若DB=4,AB=6,BE=3,则EC的长是.

D

B

14.利用1个axa的正方形，1个bxb的正方形和2个axb的矩形可拼成一个正方形（如图所示），从而可得到因式分

解的公式

15.如图，AABC中，AD是中线，AE是角平分线，CF_LAE于F,AB=10,AC=6,则DF的长为

16.如图放置的正方形ABC。，正方形OCGR，正方形RCG2,…都是边长为G的正方形，点A在＞轴上,

点民CG，C,…，都在直线y=3x上，则。的坐标是,，，的坐标是.

3

21

17.如图，直线x=2与反比例函数y二—和y=--的图象分别交于A、B两点，若点P是y轴上任意一点，则△PAB

xx

的面积是.

18.标号分别为1,2,3,4,……，n的n张标签（除标号外其它完全相同），任摸一张，若摸得奇数号标签的概率大

于0.5,则n可以是.

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19.（6分）尺规作图：用直尺和圆规作图，不写作法，保留痕迹.

已知：如图，线段a,h.

求作：AABC,使AB=AC,且NBAC=，Na,高AD=h.

20.（6分）某超市开展早市促销活动，为早到的顾客准备一份简易早餐，餐品为四样A：菜包、B：面包、C：鸡蛋、

D：油条.超市约定：随机发放，早餐一人一份，一份两样，一样一个.按约定，“某顾客在该天早餐得到两个鸡蛋”

是事件（填“随机”、“必然”或“不可能”）；请用列表或画树状图的方法，求出某顾客该天早餐刚好得到菜包和

油条的概率.

21.（6分）如图，已知，等腰RtAOAB中，ZAOB=90°,等腰RSEOF中，ZEOF=90°,连结AE、BF.

求证：（1）AE=BF；（2）AE±BF.

（4、a-2

22.（8分）先化简，再求值：a----------------j—）其中a满足M+Za-1=1.

Iaja

23.（8分）如图，一次函数丫=1<1+1）（141邦）与反比例函数y=8（匕工0）的图象交于点A（-l,2）,B（m,-1）.求一次

x

函数与反比例函数的解析式；在x轴上是否存在点P（n,0）,使AABP为等腰三角形，请你直接写出P点的坐标.

24.（10分）如图，已知△ABC为等边三角形，点D、E分别在BC、AC边上，且AE=CD,AD与BE相交于点F.

求证：AABEgZiCAD；求NBFD的度数.

25.（10分）如图，点A在NMON的边ON上，A8_L0M于8,AE=OB,Z）E_LON于E,AD=AO,OCJ_OM于C.求

证：四边形A5C。是矩形；若OE=3,OE=9,求A8、4。的长.

OB

26.（12分）计算：-V45-|4sin30。-6|+（-g）

27.（12分）如图，AC是。O的直径，点P在线段AC的延长线上，且PC=CO,点B在。O上，且NCAB=30。.

（1）求证：PB是。。的切线；

（2）若D为圆O上任一动点，0O的半径为5cm时，当弧CD长为时，四边形ADPB为菱形，当弧CD长

为__________时，四边形ADCB为矩形.

参考答案

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1、B

【解析】

试题分析：作点P关于OA对称的点1>3,作点P关于OB对称的点P3,连接P3P3,与OA交于点M,与OB交于点N,此时

△PMN的周长最小.由线段垂直平分线性质可得出APMN的周长就是P3P3的长，•.,OP=3,...OP3=OP3=OP=3.又

•.,「3「3=3,,，0「3=0「3=「3「3,；.2^0「3「3是等边三角形，；./「30「3=60°,即3(ZAOP+ZBOP)=60°,

NAOP+NBOP=30。,即NAOB=30。，故选B.

考点：3.线段垂直平分线性质；3.轴对称作图.

2、A

【解析】

通过题意先计算顺流行驶的速度为26+2=28千米时，逆流行驶的速度为：26-2=24千米/时.根据“轮船沿江从A港顺

流行驶到B港，比从B港返回A港少用3小时”，得出等量关系，据此列出方程即可.

【详解】

解：设A港和B港相距x千米，可得方程：

XX„

—=---3

2824

故选：A.

【点睛】

本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，抓住关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键.顺水速度=水流速度

+静水速度，逆水速度=静水速度-水流速度.

3、A

【解析】

由抛物线的顶点坐标在第四象限可得出，">0,”>0,再利用一次函数图象与系数的关系，即可得出一次函数y=mx+〃

的图象经过第一、二、三象限.

【详解】

解：观察函数图象，可知：机>0,">0,

...一次函数y=，〃x+〃的图象经过第一、二、三象限.

故选A.

【点睛】

本题考查了二次函数的图象以及一次函数图象与系数的关系，牢记9>0,》>0付=依+方的图象在一、二、三象限”

是解题的关键.

4、C

【解析】

试题分析：①三角形三个内角的比是1：2：3,

二设三角形的三个内角分别为x,2x,3x,

.♦.x+2x+3x=180°,解得x=30°,

.•.3x=3x30°=90°,

...此三角形是直角三角形，故本小题正确；

②•.•三角形的一个外角与它相邻的一个内角的和是180°,

若三角形的一个外角等于与它相邻的一个内角，则此三角形是直角三角形，故本小题正确；

③：直角三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点，

若三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点，那么这个三角形是直角三角形，故本小题正确;

④"A=NB=gNC,

.,.设NA=NB=x,则NC=2x,

/.x+x+2x=180°,解得x=45°,

，2x=2x45°=90°,

二此三角形是直角三角形，故本小题正确；

⑤•.•三角形的一个外角等于与它不相邻的两内角之和，三角形的一个内角等于另两个内角之差，

...三角形一个内角也等于另外两个内角的和，

这个三角形中有一个内角和它相邻的外角是相等的，且外角与它相邻的内角互补，

,有一个内角一定是90。，故这个三角形是直角三角形，故本小题正确；

⑥•••三角形的一个外角等于与它不相邻的两内角之和，又一个内角也等于另外两个内角的和，

由此可知这个三角形中有一个内角和它相邻的外角是相等的，且外角与它相邻的内角互补，

有一个内角一定是90。，故这个三角形是直角三角形，故本小题正确.

故选D.

考点：1.三角形内角和定理；2.三角形的外角性质.

5、D

【解析】

【分析】先求AC,再根据点D是线段AC的中点，求出CD,再求BD.

【详解】因为，AB=10cm,BC=4cm,

所以，AC=AB-BC=10-4=6(cm)

因为，点D是线段AC的中点，

所以，CD=3cm,

所以，BD=BC+CD=3+4=7(cm)

故选D

【点睛】本题考核知识点：线段的中点，和差.解题关键点：利用线段的中点求出线段长度.

6、B

【解析】

〃(。>0)

试题分析：根据二次根式的性质值=同=<。3=0)，由此可知2心0,解得它2.

-a(a<0)

故选B

a(a>0)

点睛：此题主要考查了二次根式的性质，解题关键是明确被开方数的符号，然后根据性质=|4=03=0)可求

-a(a<0)

解.

7、B

【解析】

试题分析：“960万”用科学记数法表示为9.6x106,故选夙

考点：科学记数法一表示较大的数.

8,A

【解析】

解：如图，设对角线相交于点O,

1111

VAC=8,DB=6,.,.AO=-AC=-x8=4,BO=-BD=-x6=3,

2222

由勾股定理的，AB=ylAO2+BO2=V42+32=5.

VDH±AB,ASABCD=AB»DH=-AC*BD,

2

124

即5DH=-x8x6,解得DH=——.

25

故选A.

【点睛】

本题考查菱形的性质.

9、B

【解析】

根据同底数幕乘法、塞的乘方的运算性质计算后利用排除法求解.

【详解】

A、a2»a3=as,错误；

B、(a2)3=a6,正确；

C、不是同类项，不能合并，错误；

D、as+a5=2as,错误；

故选B.

【点睛】

本题综合考查了整式运算的多个考点，包括同底数塞的乘法、塞的乘方、合并同类项，需熟练掌握且区分清楚，才不

容易出错.

10、C

【解析】

分析：将一般式配方成顶点式，得出对称轴方程x=2,根据抛物线y=+1与x轴交于两点，得出

-4ax(4a—1)>0,求得

a>0,距离对称轴越远，函数的值越大，根据玉<2</，玉+々<4,判断出它们与对称轴之间的关系即可判定.

详解：Vy-ax2-4ax+4a-l=—2)2—1,

二此抛物线对称轴为x=2,

•抛物线y=ax2-4"+4。-1与x轴交于A,8两点，

.••当ax?-4方+4。-1=0时，A=(-4a)~-4aX(4a-1)>0,得”>0,

VX,<2<x2,玉+9<4,

:.2—%)>/—2,

m>n,

故选C.

点睛：考查二次函数的图象以及性质，开口向上，距离对称轴越远的点，对应的函数值越大，

11,C

【解析】

根据绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，1的绝对值是L若卜a|=-a,则可

求得a的取值范围.注意1的相反数是1.

【详解】

因为卜aRL

所以-a",

那么a的取值范围是a<l.

故选C.

【点睛】

绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，1的绝对值是1.

12、D

【解析】

分两种情况进行讨论：①弦AB和CD在圆心同侧；②弦AB和CD在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理

和垂径定理，然后按梯形面积的求解即可.

【详解】

解：①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图1,

VAB=24cm,CD=10cm,

:.AE=12cm,CF=5cm,

:.OA=OC=13cm,

:.EO=5cm,OF=12cm,

:.EF=12-5=7cm；

:.四边形ACDB的面积1(24+10)x7=119

②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图2,

,.•AB=24cm,CD=10cm,

/•.AE=12cm,CF=5cm,

■:OA=OC=13cm,

EO=5cm,OF=12cm,

.*.EF=OF+OE=17cm.

四边形ACDB的面积;(24+10)x17=289

:.四边形ACDB的面积为119或289.

故选：D.

【点睛】

本题考查了勾股定理和垂径定理的应用.此题难度适中，解题的关键是注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用，

小心别漏解.

二、填空题：(本大题共6个小题，每小题4分，共24分.)

3

13、一

2

【解析】

由4ABC中，点D、E分别在边AB、BC上,DE〃AC,根据平行线分线段成比例定理,可得DB：AB=BE：

BC,又由DB=4,AB=6,BE=3,即可求得答案.

【详解】

解：VDE/7AC,

ADB：AB=BE：BC,

VDB=4,AB=6,BE=3,

.\4：6=3：BC,

9

解得：BC=-,

93

/.EC=BC-BE=--3=-.

22

故答案为:3.

【点睛】

考查了平行线分线段成比例定理，解题时注意：平行于三角形的一边，并且和其他两边(或两边的延长

线)相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.

14、a'+lab+b^(a+b)1

【解析】

试题分析：两个正方形的面积分别为b',两个长方形的面积都为ab,组成的正方形的边长为a+d面积为(a+b)1

所以a'+lab+bl=(a+b)1.

点睛：本题考查了运用完全平方公式分解因式，关键是理解题中给出的各个图形之间的面积关系.

15、1

【解析】

试题分析：如图，延长CF交AB于点G,

:在AAFG和△AFC中，NGAF=NCAF,AF=AF,NAFG=NAFC,

.,.△AFG^AAFC(ASA).；.AC=AG,GF=CF.

又••,点D是BC中点，，DF是ACBG的中位线.

.,.DF=-BG=-(AB-AG)=-(AB-AC)=1.

222

3(33GG

、B+2一〃+一,——nd---+2

1625V(2222

77

【解析】

先求出OA的长度，然后利用含30。的直角三角形的性质得到点D的坐标，探索规律，从而得到。，的坐标即可.

【详解】

分别过点。㈤，4…作y轴的垂线交y轴于点旦昂当…,

m

tanZAOB

V3m

3

ZAOB=60°

•/AB=y/3

ABG

:.OA=2

sin60°-73

2

ZAOB+ZOAB=90°

:.ZOAB^30°

ZEAD+ZOAB=90°,ZEAD+NEDA=90°

..NEZM=N(M8=30°

同理，4AD\E\3AD°E「FADE,都是含30。的直角三角形

VED=-AD=-,AE=-AD=—

2222

:.OE=OA+AE=2+—

2

."(|，2+亭

同理，点。“的横坐标为x=E,,0,=走AO,=Y3(〃+1)・G=3(〃+1)

222

纵坐标为AO+AE=2+-AD=2+-(n+l).V3=2+—(n+1)

222

故点。”的坐标为="+],g〃+g+2

(2222J

故答案知仔多,仅^斗+斗力.

122yli2222)

【点睛】

本题主要考查含30。的直角三角形的性质，找到点的坐标规律是解题的关键.

【解析】

211

解：・•,把x=l分别代入丫=—、y=--,得尸1、y=--,

xx2

•・・P为y轴上的任意一点，，点P到直线BC的距离为1.

1133

:.△PAB的面积=—ABx2=—x—x2=—.

2222

故答案为：三3.

2

18、奇数.

【解析】

根据概率的意义，分«是偶数和奇数两种情况分析即可.

【详解】

若〃为偶数，则奇数与偶数个数相等，即摸得奇数号标签的概率为0.5,

若〃为奇数，则奇数比偶数多一个，此时摸得奇数号标签的概率大于0.5,

故答案为：奇数.

【点睛】

本题考查概率公式,一般方法为：如果一个事件有"种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件4出现，“种结果,

177

那么事件A的概率P（A）=一.

n

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19、见解析

【解析】

作NCAB=Na,再作NCAB的平分线，在角平分线上截取AD=h,可得点D,过点D作AD的垂线，从而得出AABC.

【详解】

解：如图所示，△ABC即为所求.

D1

A

【点睛】

考查作图-复杂作图，掌握做一个角等于已知角、作角平分线及过直线上一点作已知直线的垂线的基本作图和等腰

三角形的性质是解题的关键.

20、(1)不可能；(2)

6

【解析】

(1)利用确定事件和随机事件的定义进行判断；

(2)画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出其中某顾客该天早餐刚好得到菜包和油条的结果数，然后根据

概率公式计算.

【详解】

(1)某顾客在该天早餐得到两个鸡蛋”是不可能事件;

故答案为不可能;

(2)画树状图：

ABCD

Zl\/T\/K/N

BCDACDABDABC

共有12种等可能的结果数，其中某顾客该天早餐刚好得到菜包和油条的结果数为2,

21

所以某顾客该天早餐刚好得到菜包和油条的概率.

126

【点睛】

本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n,再从中选出符合事件A或B的结果

数目m,然后利用概率公式以计算事件A或事件B的概率.

n

21,见解析

【解析】

(1)可以把要证明相等的线段AE,CF放到AAEO,ABFO中考虑全等的条件，由两个等腰直角三角形得AO=BO,

OE=OF,再找夹角相等，这两个夹角都是直角减去NBOE的结果，所以相等，由此可以证明AAEOgZ\BFO；

(2)由(1)知：ZOAC=ZOBF,.,.ZBDA=ZAOB=90°,由此可以证明AE_LBF

【详解】

解：(D证明：在AAEO与尸。中，

VRtAOAB与RtAEOf等腰直角三角形，

：.AO=OB,OE=OF,NAOE=9Q°-NBOE=NBOF,

:.△AEg/\BFO,

：.AE=BF；

(2)延长4E交3F于。，交。3于C,则N3CD=NAC。

由(知：

1)ZOAC=ZOBF9

:.ZBDA=ZAOB=90°9

：.AELBF.

22、a*2+2a,2

【解析】

根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后根据a?+2a-2=2,即可解答本题.

【详解】

_CT-4.2

aa-2

(a+2)(a—2)ci'"

aa-2

=a(〃+2)

2

=a+2a9

Va2+2a-2=2,

2

:.a+2a=29

：•原式=2.

【点睛】

本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法.

2

23、(1)反比例函数的解析式为丫=—-；一次函数的解析式为y=-x+l；(2)满足条件的P点的坐标为(-1+JM，0)

X

或(-1-V14»0)或(2+717,0)或(2-拒,0)或(0,0).

【解析】

(1)将A点代入求出k2,从而求出反比例函数方程，再联立将B点代入即可求出一次函数方程.

(2)令PA=PB,求出P.令AP=AB,求P.令BP=BA,求P.根据坐标距离公式计算即可.

【详解】

(1)把A(-1,2)代入尸包，得到k2=-2,

X

...反比例函数的解析式为尸-

X

VB(m,-1)在尸一2上，/.m=2,

由题意1上!不1,解得：(匕一1，二一次函数的解析式为y=-x+i.

(2)满足条件的P点的坐标为0)或(-1-V14»0)或(2+JF7,0)或(2-1万，0)或(0,0).

【点睛】

本题考查一次函数图像与性质和反比例函数的图像和性质，解题的关键是待定系数法，分三种情况讨论.

24、(1)证明见解析；(2)NBFD=60°.

【解析】

试题分析：(1)根据等边三角形的性质根据SAS即可证明△ABEgaCAD；

(2)由三角形全等可以得出NABE=NCAD,由外角与内角的关系就可以得出结论.

试题解析：(D•.,△ABC为等边三角形，

/.AB=BC=AC,ZABC=ZACB=ZBAC=60°.

在AABE^DACAD中，

AB=CA,NBAC=NC,AE=CD,

.".△ABE^ACAD(SAS),

(2)VAABE^ACAD,

，NABE=NCAD,

VZBAD+ZCAD=60°,

.,.ZBAD+ZEBA=60°,

■:NBFD=NABE+NBAD,

:.ZBFD=60°.

25、(1)证明见解析；(2)AB,A。的长分别为2和1.

【解析】

(1)UERtAABO^RtADEA(HL)^ZAOB=ZDAE,AD//BC.证四边形A8CZ)是平行四边形，