2023年新教材高中数学人教A版必修第二册7.1.2复数的几何意义（夯实基础+能力提升）

7.1.2复数的几何意义（夯实基础+能力提升）

【夯实基础】

一、单选题

1.（2022春•新疆阿克苏•高一校考期末）若复数z=4-2i,则z在复平面内对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】D

【分析】确定复数对应的点的坐标，根据复数的几何意义，可得答案.

【详解】由于复数z=4—2i,则z在复平面内对应的点为（4,-2）,

该点在第四象限，

2.（2022春・甘肃兰州•高一统考期末）复数z=+对应的点在函数y=x+2

图象上，则机=（）

A.2B.0C.1D.-1

【答案】D

【分析】由复数几何意义可得对应点的坐标，代入函数解析式即可求得结果.

【详解】z对应的点为=+解得：m=-\.

I22J22

3.（2022春・黑龙江•高一哈九中校考期中）已知i为虚数单位，复数z=l+i,则下列命题不

正确的是（）

A.z的共朝复数为2=i-iB.z的虚部为i

C.z在复平面内对应的点在第一象限D.|z|=>/2

【答案】B

【分析】根据复数的定义和几何意义解决即可.

【详解】由题知，复数z=l+i=（l,l）的共施复数为虚部为1,在复平面内对应的点

为（1』）在第一象限，|z|=0,故B错误

2

4.（2022春•湖南株洲•高一校联考期中）在复平面内，复数z=-2i+2i对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】C

【分析】根据给定条件，利用虚数单位i的意义求出复数z即可判断作答.

【详解】依题意，复数z=-2i+2x（-l）=-2-2i,所以复数z对应的点（-2,-2）在第三象限.

5.（2022春.河南.高一校联考期中）欧拉恒等式/+1=0（i为虚数单位，e为自然对数的

底数）被称为数学中最奇妙的公式.它是复分析中欧拉公式ehJcosx+isinx的特例：当自变量

工="时，e^cosi+isin乃=-1.得/+1=0.根据欧拉公式，复数z-e号在复平面上所对应的

4一V

点在（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

【答案】A

【分析】根据欧拉公式e号=cos^+isinX，再分析复数z的实部和虚部的符号即可.

77

【详解】由题意z=』=cos^+isin工，显然cos1>0,sinW>0,所以在复平面中对应的

7777

点在第一象限；

二、多选题

6.（2022春・广西贺州•高一平桂高中校考阶段练习）已知复数2=3-4i（其中i是虚数单位），

则下列命题中正确的为（）

A.|z|=5B.z的虚部是-4

C.z-3+4i是纯虚数D.z在复平面上对应点在第四象限

【答案】ABD

【分析】根据复数模的定义、复数虚部的定义，结合纯虚数的定义、复数在复平面对应点的

特征逐一判断即可.

【详解】A：复数z=3—4i,则忖=/2+（-4）2=5,故A正确；

B：z=3-4i的虚部是-4,故B正确；

C：z—3+4i=3-4i—3+4i=0,是实数，故C错误；

D：z在复平面上对应点的坐标为（3,Y）,在第四象限，故D正确.

三、填空题

7.（2023・高一课时练习）在复平面内，已知。为坐标原点，点Z1、4分别对应复数4=4+3"

z2=2a-3i（aeR）,若_LOZ2,则«=.

【答案】:9

O

【解析】根据复数的几何意义求出向量OZ1、龙2的坐标，然后由OZ|」OZ2,得出

OZ,OZ2=0,利用平面向量数量积的坐标运算可求出实数。的值.

【详解】因为4=4+3i,z2=2a-3i（aeR）,所以OZ；=（4,3）,OZ2=（2a-3）.

•9

因为。4，QZ2，则O4・OZ2=8a—9=0,即。=工.

8

8.（2023•高一单元测试）已知复数z在复平面内对应的点在第二、四象限的角平分线上，

且满足|z-l|=5,则2=.

【答案】—3+3i或4-4i

【分析】根据题意可设z=n-5,再根据复数的几何意义可得J（a-l）2+（-a）2=5,计算即

可得解.

【详解】根据题意，

由复数,在复平面内对应的点在第二、四象限的角平分线上，

可知实部和虚部互为相反数，设2=。-5,

有痴―1）2+（一4）2=5,

整理可得4-a—12=0,

解得a=—3或a=4,

所以z=—3+3i或z=4—4i.

9.（2023,高一课时练习）设复数4=%+i,Z2=4-i对应的点分别为4,Z2,。为坐标原

点，若OZ|_LQZ2,则实数机的值为.

【答案】-##0.25

4

【分析】由复数的几何意义得。4=（九1）,。4=（4,-1）,结合向量数量积关于垂直的坐标

表示列方程求值即可.

【详解】复数Z1=M+i,22=4-1对应的点分别为4（〃[,1）,Z2（4,-l）,则

OZ2=（4,-1）.

由OZ\±OZ2得OZ.OZ,=4/77-1=0,解得〃?=；.

10.（2023•高一课时练习）复平面上，点（2,-1）对应的复数Z=.

【答案】2—i

【分析】根据复数的坐标表示写出答案.

【详解】由复数的几何意义知z=2-i

H.（2023・高一课时练习）在复平面上，。4对应的复数为T-2i,若点A关于实轴的对称

点为B,则OB对应的复数为.

【答案】—l+2i##2i—1

【分析】数形结合得到对应的坐标为（」,2）,从而写出答案.

【详解】点A关于实轴的对称点为B,OA对应的复数为-1-2i,坐标为（-1,-2）,

则08对应的坐标为（-1,2）,故对应的复数为-l+2i.

12.(2023・高一课时练习)在正方形OMNP中，若0M对应的复数为l+2i,则NP对应的

复数为.

【答案】—l—2i

【分析】在正方形OMNP中，NP=-OM，根据向量与复数的关系即可求出结果.

【详解】因为OM对应的复数为l+2i,所以OM=(1,2)

在正方形OMNP中，NP=-OM=(-1,-2)

则NP对应的复数为一1-2i

13.(2022春.河南信阳.高一信阳高中校考阶段练习)下面给出的几个关于复数的命题，

①若(x2-4)+(V+3x+2)i是纯虚数，则实数x=±2

②复数(〃+l)i(aeR)是纯虚数

③复数z=-sin100+icoslOO°在复平面内对应的点Z位于第三象限

④如果复数z满足|z+i|+|z-i|=2,则|z-2i-l|的最小值是2

以上命题中，正确命题的序号是.

【答案】②③

【分析】根据纯虚数的概念和复数的几何意义逐个检验可得

f—4=0

【详解】对于①，因为(1-4)+(/+3尤+2)1为纯虚数，所以2.-八，

.d+3x+2H0

解得x=2,故①错误；

对于②，因为awR,所以/+1*0,所以(M+l)i是纯虚数，故②正确；

对于③，因为一sinlOO'<0,cos100<0,所以z=—sin100°+icoslOO"在

复平面内对应的点在第三象限，故③正确；

对于④，由复数的几何意义知，|z+i|+|z-i|=2表示复数z对应的点Z到点40,-1)

和到点8(0,1)的距离之和，又因为|明=2,所以复数z对应的点Z在线段AB上，

而|z-2i-l|表示点Z到点P(l,2)的距离，

所以其最小值为伊川=J(1-0)2+(2-=血,故④错误.

14.(2023•高一课时练习)在复平面上的单位圆上有三个点4,Z2,Z”其对应的复数为Z-

Z「

Z2>3.若|ZZ2|=G|Z|+Z3|=百，则△ZZ2Z3的面积S=.

【答案】在或正

24

【分析】由题意可知团=区|=闾=1,根据复数的加减法法则的几何意义及余弦定理求出

ZZ,OZ2=120\ZZ,OZ3=60\进而分类讨论当。4与OZs反向、线段。在NZ0Z2的内部

时的面积，即可求解.

【详解】由题意知，团=阂=同=1,

由复数的加减法法则的几何意义及余弦定理，得

Z+Z2Z|Z2

cosZZ,OZ2=l'lII~I~I=_1,即NZQZ,=120°,

2印同2

cosZZ,OZ,=+用［W+Z3I=1即zzoz=60。，

2|讣㈤2-

当线段OZ3在的内部时，S=；x百x；=#,

所以△ZZzZ,的面积为理或立.

24

四、解答题

15.(2022.高一单元测试)已知复数z=(〃-2加-3)+(济-4利+3》(加€均在复平面上对

应的点为Z,

(1)求点Z在实轴上时，实数机的取值；

(2)求点Z在虚轴上时，实数机的取值；

(3)求点Z在第一象限时，实数机的取值范围.

【答案】⑴m=l或〃『3；

⑵加=3或，〃=-1；

⑶，〃>3或“<-1.

【分析】（1）由实轴上点对应的复数虚部为0求解；

（2）由虚轴上的点对应的实部为0求解；

（3）根据第一象限中点的坐标对应实部、虚部正负列不等式组求解.

【详解】（1）因为点Z在实轴上，所以虚部>-4帆+3=0,

解得加=1或m=3.

（2）点Z在虚轴上时,复数的实部为0,

所以川-2加-3=0,解得m=3或m=-1.

（3）点Z在第一象限，复数的实部与虚部都大于0,

cfw2-2/n-3>0j

即｛,“cc，解得机>3或机<-1.

16.（2022春•山东聊城•高一山东聊城一中校考期中）已知i为虚数单位.

⑴若复数z=（浮-2加-3）+52+^-6〉（〃?£均在复平面内对应的点在第三象限，求，”的范

围；

⑵若复数z满足|z|-z=l-3i,求复数z.

【答案】（D—1<m<2

（2）z=4+3i

【分析】（1）根据复数z在复平面内对应的点的特点，解不等式组得出，”的范围；

（2）根据复数相等以及模长公式得出复数z.

【详解】（1）因为复数z在复平面内对应的点在第三象限，

一,f/n2-2m-3<0

所以《,公八，

+m-6<0

得机的取值范围是：-\<m<2

（2）设复数z=a+bi（a,beR）,由条件得国—。一历=1—3i,

所以匕=3,」/+3?—«=1解得:a=4,所以z=4+3i

17.（2023・高一课时练习）已知复数4=4―3+（。+5>,z?=a-l+（〃+2a—l）i（aeR）分

别对应向量04、OZ2（。为原点），若向量Z22对应的复数为纯虚数，求。的值.

【答案】a=-\

【分析】求出向量ZZ2对应的复数，根据复数的概念可得出关于实数”的等式与不等式，即

可解得实数”的值.

【详解】解：因为zz=oz「,

由复数的几何意义可知，向量ZZ2对应的复数为Z2-ZI=(—/+a+2)+(/+a-6)i为纯虚数,

-。2+。+2=0

所以,解得a=_L

cr+。-6。0

【能力提升】

一、单选题

1.(2023・高一课时练习)复平面上复数z满足|z+i|+|z-i|=2,则复数z对应的点的轨迹是

().

A.抛物线B.直线C.线段D.圆

【答案】C

【分析】利用复数的模的运算与两点距离公式将问题转化为动点到两定点的距离之和，从而

得解.

【详解】设z=x+)4(x,yeR),

因为iz+i|+|z-i|=2,所以旧彳7^7+尸V=2，

该式表示动点(x,y)到定点(0,-1),(0,1)的距离之和为2(与两定点间的距离相等)，

所以复数z对应的点的轨迹为以(0,-1),(0,1)为端点的线段.

2.(2023•高一课时练习)给出下列命题：①若zeC,则|z|w|Rez|；②若人为实数，且z=6i,

则因=d③若zeC,且|z|=-z,则z一定为实数.其中真命题的个数为()

A.1B.2C.3D.0

【答案】B

【分析】设2=“+次，a,beR,利用复数的模的公式结合复数的有个概念判断出结果.

【详解】设z=a+Z?i,a、bsR

：\z\=yla2+b2,|Rez|=|a|,则若zeC,则|z|、Rez|,正确；

：若匕为实数，且z=6i,则忖=打，错误；

：若zeC,且|z|=-z,贝。后存=_°—初，则％=0，贝I"一定为实数，正确；

综上，真命题的个数为2,

3.(2022春•吉林长春♦高一校考期中汜知i是虚数单位，复数z=a+bi(aeR,beR),且|z|=l,

则+“的最大值为()

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】首先由模等于1得/+〃=1,则点为圆V+y2=l上的点，

再结合|z-6+i|的几何意义即可求出最值.

【详解】若IZ|=I,即标+加=1,点（凡力为圆x2+y2=l上的点，

|z->/3+i|=|z-（V3-i）|,

则其几何意义为圆/+丁=1上的点到点（6,-1）之间的距离，

则上一百+“的最大值为4^+]=3

4.（2022•全国•高一假期作业）在复平面内，复数z="+历（“SeR）对应向量oz（。为坐标

原点），设|OZ|=r,以射线Qr为始边，OZ为终边旋转的角为凡则z=4cos夕+is加⑶.法

国数学家棣莫佛发现棣莫佛定理：z"=Ecose+isine）『=r"（cos〃，+isin/）,则

（-1+血）”>=（）

A.1024-104V3iB.-1024+1024石i

C.512-512>/3iD.-512+512疯

【答案】D

【分析】根据题目中棣莫佛定理，在根据三角函数的诱导公式，可得答案.

【详解】根据复数乘方公式z"=[”cosO+isin。）]"二/（cos/冶+isin/招），

得（-1+后严=21°cos（10x年）+isin（10x年）]

=1024fcos—+zsin—>|=1024f--+—-512+512>/3i.

I33）122）

5.（2022春・浙江•高一期中）已知复数4,4和z满足团=凶=1,若|4一2|=卜-1|=七一|,

则忖的最大值为（）

A.273B.3C.6D.1

【答案】B

【分析】先利用复数的模与加减法的几何意义，及三角形两边之和大于第三边得到目43,再

将国=3时各复数的取值取出，即可得到目的最大值.

【详解】根据题意，得|z|=|（z2-z）—22归用一目+闾=匕-1|+14团+1+1=3,

当Z|=-l,Z?=l,Z=3时，L-Z2RZ1-1|=E-Z|=2,此时|Z|=3,

所以tL=3.

6.（2022•高一课时练习）复数（8$2。+1$抽3。）«0$，+1$m，）的模为1,其中i为虚数单位，

。€[0,2可，则这样的e一共有（）个.

A.9B.10C.11D.无数

【答案】C

【分析】先根据复数（cos26+isin3，）・（cos6+isin。）的模为1及复数模的运算公式，求得

cos226»+sin230=l即cos22<9=cos230，接下来分cosM=cos3。与cos28=-cos3。两种情况进

行求解，结合夕«0,2句,求出〃的个数.

【详解】|（cos20+isin3^）-（cos0+isin0）|=|cos20+isin3^|-|cos0+isin0|=1,其中

|cos^+isin6>|=l,所以|cos26+isin3q=1,即8$22。+5"3，=I,cos226>=1-sin236>=cos230，

当cosM=cos30时,①26=36+2片式,kteZ,所以6=-2勺兀，kteZ,因为6e[0,2兀],所

以6=0或2兀；②2。=一3。+20t,&eZ,所以。=一，勾《Z,因为。句0,2可，所以。=0,

y,y,y,专或2兀；当cosR=—cos3。时,①26=36+（2&+1）兀，&eZ,即

6=—（2匕+1）兀，右eZ,因为ee[0,2可，所以6=兀，②26=—3。+（2&+1）兀，&eZ,即

夕=（2臼）兀,kAeZ,因为同0,2兀],所以9=3差，兀，V）综上：。=?兀，

55,555

"2=0,1,10,一共有11个.

二、多选题

7.（2022春.重庆沙坪坝.高一重庆一中校考期末）若复数z在复平面对应的点为Z,则下来

说法正确的有（）

A.若|z|=3,则Z在复平面内的轨迹为圆

B.若|z+4|+|z—4|=8,则Z在复平面内的轨迹为椭圆

C.不可能存在复数z同时满足|z|=3和|z+4|+|z-4|=10

D.若|z|=3,则|z+4|+|z-4|的取值范围为[8,10]

【答案】AD

【分析】设2=》+同，x,yeR,根据题中的条件得到相应的轨迹，再分析、判断、计算可

求解.

【详解】对于A,设2=》+人刀，yeR,则有|z|=4+/=3nx，+丁=9,可知Z在复平

面内的轨迹为圆，故A正确；

对于B,设2=》+吊/，yeR且卜+4|+卜-4|=8,所以J（x+4『+y2+J（x-4）2+y2=8=8,

所以Z在复平面内的轨迹是以(-4,0)和(4,0)为端点的线段，故B不正确；

对于C,设2=》+戊8"R且|z+4|+|z-4|=8,所以J(x+4)z+y2+J(x-4)Z+S=10>8,

22

所以z在复平面内的轨迹是以(T,o)和(4,0)为焦点，长轴为10的椭圆，其方程为+=

"-1

若|Z|=3,则有Y+y2=9,两者联立259,有一解x=0,y=±3,所以存在复数z同

%2+y2=9

时满足|z|=3和|z+4|+|z-4|=10,故C不正确;

对于D,设2=工+戊电ywR,若|z|=3,则有/+/=9,令

22

f=|z+4|+|z-4|=J(x+4)2+y2+^-4)+^

=商+9+16+8x+商+y2+16-8x

=j25+8x+j25-8x

则产=50+2,252-64/，(-3MXV3)

令y=252-64/,可得725y425、

所以644/4100,于是得8W10,故D正确.

8.(2022春.黑龙江齐齐哈尔.高一统考期末)设复数4=上+i,z2=x+yi(x,yeR),z,,z2

对应的向量分别为OZ^OZ2(0为坐标原点)，则()

A.|z,l=2B.若OZJ/OZ?,则>/Iv+y=O

C.若OZUOZ),则zv=0D.若|Z2+Z|区百，则|z2-2i|的最大值为36

【答案】AD

【分析】对A,根据模长公式求解即可；

对B,根据向量平行的坐标公式求解即可；

对C,根据向量垂直的坐标公式求解x，y的关系，再求解ZR2即可；

对D,根据复数的几何意义数形结合求解即可

【详解】对A,㈤=>/行+『=2;

对B,4=6+i对应的坐标为％=(6,1),Z2=x+”对应的坐标为(x,y),因为OZJ/OZ2,

故x/5y-x=0,即x="y,故B错误；

对C,若。乙LOZ2，则Gx+y=0,即y=-6v,因为OZ|1OZ2，故岛+y=0,即y=-岳，

故z—=(G+i)(x-75xi)=2Gx-2xi片0,故C错误；

对D,若IZ2+ZJ4G即卜+⑹+(y+l)i|vG,其几何意义为(x,y)到卜石,-1)的距离小

于等于6,又Iz?-2i|的几何意义为（x,y）到（0,2）的距离，故|z?-2i|的最大值为

9.（2022春♦广东广州•高一广东实验中学校考期中）设复数z在复平面上对应的点为Z,i

为虚数单位，则下列说法正确的是（）

A.满足|z|=l,且=l的点Z有且仅有一个

B.若|z—1|=1,则z=2或0或1+i或1—i

c.2<|z|<3,则点Z构成的图形面积为57c

D.非零复数z，z2,对应的点分别为Z-Z2,O为坐标原点，若4=iz2，则AOZZz为等

腰直角三角形

【答案】ACD

【分析】根据已知条件找出Z的轨迹，从而判断A,B;找出复数Z表示的区域计算面积，从而

判断C;

22

Z,=a+bi,Z2=c+"i,分别计算|OZJ2,\OZ21,|Z,Z2|,从而判断D.

【详解】解：对于A,因为|z|=l,所以Z的轨迹是以原点为圆心，1为半径的圆；而

卜-夜-"卜1表示到点（正,&）的距离为1的复数z,此时对应点Z的轨迹是以（"灰）为

圆心，1为半径的圆，两圆外切于点（《，孝），所以此时2=孝+等i,只有一个，故正确；

对于B,由|z-l|=l可知Z的轨迹是以（1,0）为圆心，1为半径的圆，此时Z有无数个，故错

误；

对于C,由24忸<3可知Z的轨迹是以（0,0）为圆心，3为半径的圆中去掉一个以2为半径的

同心圆后的圆环,所以S=（9-4）兀=5冗，故正确;

222

对于D,设Z]=〃+历，Z2=c+di,因为Z1=iz2，所以a=-d,b=c,^]^\OZX|=a+Z?,

12222222222

\OZ2\=c+d=a+h=\OZt|,|Z,Z21=(a-c)+(b-d)=(a-b)+(b+a)=

2222

2(a+b)=\OZt\+\OZ21,所以AOZZ2为等腰直角三角形，故正确.

三、填空题

10.(2023•高一课时练习)复平面上给定四个点O,A8,C可以构成一个平行四边形，其中

四个点对应的复数分别为z0=0,zA=l+i,Zc=3+2i,则Z"=.

【答案】4+3i或一2-i或2+i

【分析】根据复数求对应点,再应用OA,aC构成平行四边形，分情况计算即可.

【详解】因为％=0,z4=l+i,Zc=3+2i,又因为O,A,8,C可以构成一个平行四边形，分情

况可得

当Q4BC为平行四边形，则zB=zA+zc=l+i+3+2i=4+3i；

当OB4C为平行四边形，则z.=zp+zc,即4=ZA—Zc=1+i—(3+2i)=-2—i

当O8C4为平行四边形，则ZC=Z"+ZA,即Zs=Zc-ZA=3+2i-(l+i)=2+i

故答案为：4+3i或-2-i或2+i

11.(2023・高一单元测试)设复数4，的满足团=1,Z2=2-i,iz,-z2\=2,则

z+z

Ii2|=--------------

【答案】2&

【分析】设Z1=a+bi(a,beR),进而根据复数的模的公式计算求解即可.

【详解】设4=a+玩(a,-wR),

2

则《a+i>2=]，zi—z2—a—2+(b+\^i,4+z?=a+2+(b—l)i,

由于z?=2-i,IZ]-z?I=2,

所以(a-2)?+(〃+1)2=4,整理得：2=4a-见

所以|Z[+zJ=J(a+2/+(6-1)。=\la2+4a+4+b2-2b+\

=>Ja2+b2+4a-2b+5=我=2"

故答案为：2夜.

12.(2022春•湖北恩施・高一恩施土家族苗族高中校考期末)在复平面中，已知点

A(-l,0),B(0,3),复数Z/2对应的点分别为Z.Z2,且满足闾=|Z2|=Z|Z「Z2|=4,则

BZ2的最大值为.

【答案】2而-4##-4+2师

【分析】根据复数的几何意义，由闵=忆|=2,,匕-2|=4分析得Z1,Z?关于原点对称，所以

确定。4=-OZ?,再利用平面向量的三角形法则与数量积的运算性质，将所求问题转化为平

面向量数量积的最值问题.

【详解】因为复数ZN对应的点为Z1，4,且㈤=同=2,则可确定点在以。为圆心，

2为半径的圆上，又|Z「Z21=4,所以线段Z4为圆的直径，即Z「Z2关于原点对称，所以

OZ,=-OZ2,因为公I=AO+OZt,BZ2=BO+OZ2,所以

AZCBZ2=(^AO+OZ^\BO+OZ^=AO-BO+AOOZ.+%.BO+OZ,•OZ2

=(l,0)(0,3)-AOOZ1+OZ1BO+2x2xcos(-Jt)=^+OZlBA

X|BA|=Vl2+32=卜2,(04,84)e[0,n\,则cos(04，

所以o2；•B4=|。41•网COS(OZ；,网=2V10COS(OZ1,网

即OZ|.BA的最大值为2>/io,所以BZ?的最大值为2屈-4.

故答案为：2«J-4.

13.(2022春•全国•高一期中)设复数z?=3+3i,若

z=0sin，+i(夜cos〃+2),0&R,则Iz-zJ+Jz-z2]的最小值为.

【答案】4夜

【分析】根据题意，将|z-zj+1z-z|转化为两点间的距离公式,求得动点的轨迹方程，可知动点

的轨迹为一个圆.再由点到直线距离公式可判定圆与两个定点形成的直线相切,进而可知两点

间距离即为|z-zJ+|z-Z2|的最小值.

【详解】因为Z1=-l-i，z2=3+3bz=V2sin/9+z(V2cos61+2)

KlJlz-zJ+lz-zJ

=|(右5也6+1)+(&85。+3*+|(&$出0-3)+(也《«。-1计

=J(0sinO+l)+(亚cosd+3)+J(0sinO-3)+(0cosO-l)

设4(-1,-3),B(3,1),P(应sin。,及cos。),OwR,

由参数方程可知，动点P的轨迹方程为V+V=2

所以|z-z|+|z-z2|表示点A与点B到圆Y+V=2上任意一点的距离之和

设直线A3的方程为广区+牝代入A(T-3),3(3,1)可得

[-?>=-k+b伏=1

।八，解方程可得八。

[\=3k+b[b=-2

所以直线48的方程为x-3-2=0

圆心（0,0）到直线A3的距离为d=-y里卞=夜

V1+1

因为d=r=5/2

所以直线A8与圆相切，设切点为M

则当P与M重合时,|AP|+怛”取得最小值

所以Qz-zJ+lzfl）1nhi=|阳+网=|明

='（3+1）2+0+3）2=40

故答案为4夜

【点睛】本题考查了复数的几何意义，将模长转化为两点间距离公式，利用数形结合的思想解决

最短距离,属于中档题.

四、解答题

14.（2023•高一课时练习）求证：复平面内分别与复数4=1,Zz=-i,z3=cosl0°+isinl0°,

争对应的四点4、八一乙共圆.

【答案】证明见解析

【分析】由模长公式结合圆的定义证明即可.

o7

【详解】由复数4=1,z2=-i,z3=cosl0+iSinl0\z4oz,|=#7o=l,

2222

|OZ21=7o+(-l)=bIoz3bVcos10°+Sin10°=1,|OZ41==1,点Z］、

Z1、Z3、Z4在以原点为圆心,以1为半径的圆周上，即复数Z/2，Z3，Z4所对应的四点4、Z2,

Z4共圆.

15.（2023・高一课时练习）在复平面上，作出表示下列复数的向量:

z,=1+2/,z2=l-2i,z3=2i,z4=-4.

Ox

【答案】见解析

【分析】根据复数的几何意义求解即可.

【详解】z,=l+2Z,z2=l-2i,23=2i,z,=-4对应复平面的坐标分别为

A(l,2),B(l,-2),C(0,2),D«0),其表示的复数的向量分别为：04,0B,0C,0A如下图所示:

16.(2023•高一单元测试)在复平面内复数4、Z2所对应的点为4、Z2IO为坐标原点，i

是虚数单位.

(1)Z1=l+2i,z2=3-4z,计算Z|-Z2与OZ|QZ?；

⑵设Z|=a+〃，z2=c+di(a,b,c,deR),求证：|04・％伯上「22|,并指出向量、

OZ2满足什么条件时该不等式取等号.

【答案】(1)4工=11+万，OZ,OZ2=-5；(2)证明详见解析，当日时.

【分析】(1)根据复数的乘法运算法则进行运算即可求出可知04=(1,2),

。乙=(3,—1),然后进行数量积的坐标运算即可；

(2)根据复数的乘法运算法则进行运算即可求出z「Z2，以及复数的几何意义表示出04、

成2计算其数量积，利用作差法比较区％2|2,|。4-。22F的大小，并得出何时取等号.

【详解】解：(1)z「Z2=(l+2，)(3—4i)=ll+2i

0Z；=(1,2),0Z；=(3,Y)

所以OZ/OZ2=-5

证明(2)「Z|=a+从，z2=c+di

:.zy-z2=(ac-bd)+(ad+be)i

2

:.\zt-z2|=(ac-bd)-+

OZ、=(a,》)，0Z2=(c,d)

2

,\OZlOZ2=ac+bd,\0Zc0Z^=(ac+bd)

22

:.\zx-Z2|-|OZI-OZ2|2=(ac-bd)~+(ad+bc^-(ac+bd)

=(ad+bc)--4ac-hd=(ad-cb7>0

所以JOZLOZ?卜区当且仅当4=劭时取“=”，此时04OZ2.

【点睛】本题考查了复数的乘法运算法则，向量坐标的数量积运算，复数的模长的计算公式,

考查了计算能力，属于基础题.

17.(2022•全国•高一假期作业)已知复数z=/n(m+2)+(m2+m-2)i.

⑴若z是纯虚数，求实数胆的值；

(2)若z在复平面内对应的点位于第四象限，求实数m的取值范围.

【答案］⑴》i=0

⑵(0,1)

【分析】(1)根据纯虚数的概念，让实部等于零，虚部不等于零，列方程求解即可；

(2)根据复数z在复平面内对应的点位于第四象限，得到实部大于零，虚部小于零，列不等

式求解即可.

【详解】(1)若复数是纯虚数，则解得加=0或机=-2且他wl,m^-2,

［加~+加一2w0

所以"7=0.

771("2+2)>0

(2)复数z在复平面内对应的点位于第四象限，则；解得0<相<1,故次的

取值范围为(0,1).

18.(2022.高一单元测试)已知复数z满足|z+2-2i|=2,且复数z在复平面内的对应点为M.

(1)确定点M的集合构成图形的形状；

(2)求lz-1+2”的最大值和最小值.

【答案】(1)点"的集合是以点尸为圆心，2为半径的圆

(2)最大值为7,最小值为3

【分析】(1)根据复数模的几何意义确定点”的集合构成图形的形状.

(2)根据复数模的几何意义，结合圆的几何性质求得正确答案.

(1)

设复数-2+2i在复平面内的对应点为尸(-2,2),

则|z+2—2i|=|z—(—2+2i)\^MP\=2,

故点M的集合是以点P为圆心，2为半径的圆，如下图所示.

%

(2)

设复数1-2i在复平面内的对应点为Q(L-2),则|z-l+2i|=|MQ|,如下图所示,

IPQ\=7(1+2)2+(-2-2)2=5,

则|z-l+2i|的最大