必修1-20届人教版高中数学讲义 2

第二章基本初等函数(1)

2.2对数函数

及知识

一、对数

i.对数的概念

(1)对数：一般地，如果优=N(a>0,且"1),那么数x叫做以a为底N的对数，记作,其

中a叫做对数的底数，N叫做真数.

(2)常用对数：通常我们将以为底的对数叫做常用对数，并把loggN记为IgN.

(3)自然对数：在科学技术中常使用以无理数e=2.71828……为底数的对数，以e为底的对数称为自

然对数，并把log,N记为InN.

2.对数与指数的关系

当a>0,且存1时，，/=Nob=log«N.即

a>0aWl匕

ab=N^N>0»“A7

3.对数的性质

根据对数的概念，知对数log,,N(a>0,且a工1)具有以下性质:

(1)负数和零没有对数，即N>0；

(2)1的对数等于0,即log11=0；

(3)底数的对数等于I,即log“a=l.

二、对数的运算

1.基本性质

若a>0,且“H1,N>0,则

(1)*"N=;

⑵log„ah=.

2.对数的运算性质

如果a>0,且aHl,M〉O,N〉O,那么：

(1)\og,a(M-N)=；

,八,M

(2)log”—=--------；

(3)10gM=(nGR).

三、换底公式及公式的推广

1.对数的换底公式

log,,N=iO^N(b>l；c>0,1;AT>0).

log,力

【注】速记口诀：

换底公式真神奇，换成新底可任意，

原底加底变分母，真数加底变分子.

2.公式的推广

(1)logflh--!—(其中。>0且QW1；比>0且bwl)；

log/

n

(2)log,b=\og(lb(其中a>0且aW1；h>0)；

IT!

(3)log„b'"=一logb(其中a>0且awl；Z»0)；

°nu

(4)log,Z?=-logu/?(其中〃>0且awl；b>0)；

(5)log^/j-logic-log,,J=log„J(其中a,b,c均大于。且不等于1,d>0).

四、对数函数

1.对数函数的概念

一般地，我们把函数丁=1。8“宜。>0,且。声1)叫做对数函数，其中尤是自变量，函数的定义域是

2.对数函数y=a'(a>0,且。工1)的结构特征

(1)对数符号前面的系数是1；

（2）对数的底数是不等于1的正实数（常数）；

（3）对数的真数仅有自变量x.

五、对数函数的图象与性质

1.一般地，对数函数丫=108“8（4>0,且。/1）的图象和性质如下表所示：

Q<a<\a>1

图象T"

yiX=11

1

1

1__.：/Tog/

oN%

1尸log/

定义域(0,+oo)

值域R

奇偶性非奇非偶函数

过定点过定点（1,0）,即x=l时，y=（）

单调性在（0,+o。）上是—函数在（0,+oo）上是___函数

函数值的当0cx<1时，y>0；当0<x<l时，y<0；

变化情况

当%>1时，y<0当x>l时，y>0

【注】速记口诀:

对数增减有思路，函数图象看底数；

底数只能大于0,等于1了可不行；

底数若是大于1,图象从下往上增；

底数0到I之间，图象从上往下减；

无论函数增和减，图象都过（1,0）点.

2.对数函数y=log“x（a>0,且a声1）中的底数对其图象的影响

在直线户1的右侧，当时，底数越大，图象越靠近X轴；当0<4<1时，底数越小，图象越靠近X轴,

即“底大图低”.

六、反函数

根据指数与对数的关系，将指数式y="(a〉O,且awl)(其中x是自变量，且xeR,y是x的函数,

yG(0,+8))化成对数式，即x=log“y,于是对于任意一个ye(0,+00),通过式子x=log4y都有唯

---个xeR与之对应，这样将y看成自变量，x是y的函数，这时我们就说x=log”y(ye(0,+8))是

函数y=R)的反函数.

由于习惯上将x看成自变量，而将y看成因变量，因此，我们将x=log〃y中的x,y互换，写成

y=lognx(xe(0,+00)),即对数函数y=log“e(0,+oo))是指数函数y=a'(xeR)的反函数，它

们的图象关于直线y=x对称.

运.♦。运°-g。.♦运.«莪富冬,•:缆—运入<。.♦运培.：：延­,.<

K知识参考答案:

一、1.(1)x=loguN(2)10

二、1.(1)N(2)b

2.(1)log“M+k)g“N(2)log“MTog“N(3)〃k)g“M

四、1.(0,+OO)

五、1.减增

运♦.:%:运。.♦电.««：•,<•

底重点

1.对数，对数的运算性质，换底公式；

K一重点

2.对数函数的概念、对数函数的图象与性质.

1.对数的运算性质；

K—难点

2.对数型复合函数的性质及其应用.

1.对于对数运算，不仅要注意“真数大于0”这一隐含条件，还

K一易错

应准确掌握对数的运算法则，保证对数运算的每一步都是等价

的；

2.关于对数函数常见的易错点有三个：

(1)忽略对数函数定义域的限制；

(2)对于字母为底数的对数函数不加讨论；

(3)解有关对数函数的不等式时，忽略真数大于0这一基本条

件，使解集扩大.

1.对数的概念

解决使对数式有意义的参数问题，只要注意满足底数和真数的条件，然后解不等式(组)即可.对数的

概念是对数式和指数式互化的依据，在互化过程中应注意对数式和指数式之间的对应关系.

【例1】在对数式log(i)(3-x)中，实数x的取值范围应该是

A.l<x<3B.x>l且在2

C.x>3D.l<x<3且在2

【答案】D

3-x>0

【解析】要使对数式log：xf(3—x)有意义，需，x-l>0,解得l<x<3且/2.

x-1^1

【名师点睛】本题极易忽略底数的限制范围，底数*-1需大于0且不等于1.

2.对数运算性质的应用

对数的运算性质是进行对数运算和化简的基础，所以要熟记对数的运算性质以及对数恒等式，化简的原

则是：

(1)尽量将真数化为“底数”一致的形式；

(2)将同底的多个对数的和(差)合成积(商)的对数；

(3)将积(商)的对数分成若干个对数的和(差).运算时要灵活运用对数的相关公式求解，如bg“a=

1(。〉0,且aHl),log,/•log}a=1等.

【例2】计算：⑴log凤小凤扬-2*:(2)(Ig5)2+lg2xlg5+lg2.

【答案】(1)-1-V3；(2)1.

【解析】(1)因为log<_.(6-遮)=log/<丁;=-1,

、73+72

2崛9=2卬=26检石=出,

所以log7qSf郃-即产;=7-忑.

(2)(lg5)2+lg2xlg5+lg2=lgXlg5+lg2)+lg2=lg(2x5)=l.

］

【名师点睛】在计算log亚+石（6-&）的值H寸，注意将由-J5化为即可求解.在求解（2）

6+应

时，注意提取公因式，利用Ig2+lg5=l求解.

3.换底公式的应用

换底公式即将底数不同的对数转化为底数相同的对数，进而进行化简、计算或证明.换底公式应用时究

竟换成什么为底，由已知条件来确定，一般换成以10为底的常用对数或以e为底的自然对数.

【例3】已知=1,log74=£>,试用a/表示log4948.

【答案】log4948=为^.

(1V1123

【解析】-=±,;.a=生士.

⑺31g7

Vlog74=b,：.b=畀.

怆7

,..1g48lg4lg3,a2b+a

则nlog4948o=-^—=工+-^=人+—=------

49lg49lg721g722

【名师点睛】在解题的方向还不清楚的情况下，一般统一为常用对数（当然也可以换成其他非1的正数

为底）.

4.对数方程的求解

解对数方程时，（1）等号两边为底数相同的对数式，则真数相等；（2）化简后得到关于简单对数式的

一元二次方程，再由对数式与指数式的互化求解.

［例4］方程log2(9i-5)=log2(3i-2)+2的解为

【答案】x=2

[解析]..Tog式9小—5)=log式—2)+2,

I1x1

.•.log2(9--5)=log2[(3--2)x4],

xx

-9x-i_5=4(3x-i-2),即(3*)2-12x3*+27=0,g[l(3-3X3-9)=0,解得3"=3或3'=9,

则x=l或x=2.

当x=l时，9^-5<0,3i—2<0,故舍去.

从而x=2.

【名师点睛】本题所给方程的底数相同，若底数不同，则还需化为同底数再求解.另外，解对数方程必

须把所求得的解代入原方程进行检验，以确保所有的真数都大于零，这是必不可少的步骤.

5.与对数函数有关的函数的定义域和值域

定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合，求与对数函数有关的定义域问题时，要注意对数函数的

概念，若自变量在真数上，则必须保证真数大于0;若自变量在底数上，应保证底数大于0且不等于1.同

时还要注意偶次方根的被开方数非负，分母不能为零等.

求值域时，一方面要抓住对数函数的定义域和单调性，另一方面，若是复合函数，则要抓住中间变量的

取值范围.

【例5】已知函数f(x)=log3(2-x)+log3(x+6).

(1)求函数/(X)的定义域；

(2)求函数/(x)的最大值.

【答案】(1)(-6,2)；(2)410g32.

2—x>0

【解析】(1)由题意得1，解得-6<x<2,

x+6>0

故函数/(x)的定义域是(一6,2).

(2)/(x)=log3(2-x)+k)g3(x+6)=log3(-x2-4x+12),xe(-6,2).

令，=一%2-4x+i2=-(x+2)2+i6,则fG(0,16].

又y=log3，在fe(0,16]上为增函数，

:.fM的最大值是/(—2)=log316=410g32.

【名师点睛】求函数的最值，一定要坚持“定义域优先”的原则.由对数函数组成的复合函数的最值问

题，可利用换元法求解，但要注意中间变量的取值范围.

6.对数函数的图象

对数函数y=log〃x(a>0,且的图象过定点(1,0),所以讨论与对数函数有关的函数的图象过定点

的问题，只需令真数为1,解出相应的x,y,即可得到定点的坐标.

当底数。〉1时，对数函数/(x)=logaX是(0,+oo)上的增函数，当x>l时，底数a的值越小，函数图

象越“陡”，其函数值增长得越快；当底数0<。<1时，对数函数/(x)=log“x是(0,+oo)上的减函数，

当0<x<l时，底数。的值越大，函数图象越“陡”，其函数值减小得越快.也可作直线y=l与所给图

象相交，交点的横坐标即为各个底数，依据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐

变大，可比较底数的大小.

【例6】设a>0,且awl,函数y=2+log〃(x+2)的图象恒过定点P,则P点的坐标是

A.(―1,2)B.(2,-1)

C.(3,-2)D.(3,2)

【答案】A

【解析】当x+2=l,即x=T时，j=2+log[x+2)=2恒成立，故函数y=2+log)(x+2)的图象恒

过定点P(-L2),故选A.

【名师点睛】本题求定点坐标的依据是对数函数、=1。8/(4>0,且。工1)的图象过定点(1，0),不必分

a>1和0<a<1两种情况讨论.

7.对数函数单调性的应用

(1)比较对数式的大小：若比较同底数的两个对数式的大小，可直接利用对数函数的单调性；若比较

底数不同、真数相同的两个对数式的大小，可以先用换底公式化为同底后，再进行比较，也可以利用顺

时针方向底数增大画出对数函数的图象，再进行比较；若比较底数与真数都不同的两个对数式的大小，

常借助1,0等中间量进行比较.

(2)解简单的对数不等式：形如log,,尤>log“。的不等式，常借助y=log“x的单调性求解，如果。的取

值不确定，需分a>l与0<。<1两种情况进行讨论；形如log“x>人的不等式，应将人化为以a为底数

的对数式的形式，再借助y=log“x的单调性求解.

,11

【例7】已知a=23,/?=k)g2—,c=log1—，贝ij

3g3

A.a>b>cB.a>c>b

C.c>a>bD.c>h>a

【答案】C

,A

【解析】Q<a=2-<2=1.6=log2—<Iog,l=0,c=log1—=log23>log22=1,：.c>a>b,

353

故选C.

【名师点睛】本题中既有指数式，又有对数式，无法直接比较大小，可借助中间量1，0来进行比较.

8.对数型复合函数的性质及其应用

(1)对数复合函数的单调性

复合函数y-J［g(x)］是由y-f(x)与y=g(x)复合而成，若f(x)与g(x)的单调性相同，则其复合

函数Hg(x)］为增函数；若/(x)与g(x)的单调性相反，则其复合函数/［g(x)］为减函数.

对于对数型复合函数y=logj(x)来说，函数y=log/(x)可看成是y=log«〃与(x)两个简单函数复

合而成的，由复合函数单调性“同增异减”的规律即可判断.另外，在求复合函数的单调性时，首先要

考虑函数的定义域.

(2)对于形如)=1ogJ(x)(a>0,且存1)的复合函数，其值域的求解步骤如下：

①分解成y=log“〃，(x)两个函数；

②求/(x)的定义域；

③求〃的取值范围；

④利用产1。&"的单调性求解.

2

【例8］讨论函数"X)=loga(3x-2x-l)的单调性.

【答案】答案详见解析.

【解析】由3f-21>0,得函数的定义域为{.很>1或x<—g}.

①当a>l时，

若%>1,,..”=3%2-2%-1为增函数，

：.f(x)=1og〃(3/—2x—l)为增函数.

x<--,W=3X2-2X-1为减函数，

3

.V(x)=loga(3r—2x-l)为减函数.

②当0<a<l时，

若x>l,则f(x)=log”(3f-2xT)为减函数，

若则/(x)=log«(3f-2x-l)为增函数.

【名师点睛】求复合函数单调性的具体步骤是：(1)求定义域；(2)拆分函数；(3)分别求>=/"(〃)，

u=(p(x)的单调性；(4)按“同增异减”得出复合函数的单调性.

9.K易错——忽略真数大于0

【例9】已知lgx+lgy=21g(2x-3y),求log^：的值.

【错解】因为Igx+lg.y=21g(2x—3y),

9

y

所以个=(2x—3y)2,即4》2—13刈+9y2=0,即(x—y)(4x—9y)=0,解得x=y或x4-

y-v-OQ

2

所以10g3—=10g31=0或log3—=log3-=log3(-)=2.

5y5"2422

【错因分析】错解中，lgx+lg>=21g(2x—3y)与孙=(2x-3y)2对的取值范围要求是不同的,

即求解过程不等价，因此，得出解后要代入原方程验证.

9

【正解】同错解，得到工二'或工=jy.

由Igx+lgy=2Ig(2x-3y)知，x>0,y>0,2x-3y>0,

当x=y时，2x-3y<0,此时lg(2x-3y)无意义，所以x=y,

x

B|Jlog,—=log31=0应舍去；

"2

9X9

og2

-3-=og3-

4y4

2-2-

【名师点睛】求解有关对数恒等式或不等式的过程中，经常需要将对数符号“脱掉”，此时很容易忽略

原式中对数的真数大于0这一隐性限制条件，从而导致求出的最终结果中产生增根或范围扩大，因此要

求我们对于此类题，一定要将求出的结果代入原式中进行检验.

10.K易错——忽略对底数的讨论

【例10］不等式log.(4-x)>-log|x的解集是.

【错解】v-log,x=log„X,

...原不等式等价于log"(4—x)>log“X,

A4-x>x,解得x<2.

二不等式log“(4-x)>-log,x的解集为(-o。,2).

【错因分析】错解中的底数。的值不确定，因此要分类讨论.另外，求解时要保证真数大于0.

CiEil]V-logjx=logax,

a

，原不等式等价于log<4-X)Alog^X,

x>0

当a>l时，<4-x>0,解得(Kx<2.

4-x>x

x>0

当0<a<l时，，4-x>0,解得2cx<4.

4-x<x

二不等式log<4-x)>-loglx的解集为(02)U(Z4).

【名师点睛】解对数不等式时，要防止定义域扩大，途径有两种：一是不同解变形，最后一定要检验；

二是解的过程中加上限制条件，如正解，使定义域保持不变，即进行同解变形，最后通过解不等式组得

到原不等式的解，这样得出的解就不用检验了.

K好题

2

1.Iog2§+10g26等于

A.1B.2C.5D.6

2.实数(—g)°+lg4+21g5的值为

A.1B.2C.3D.4

3.已知函数f(x)=log2(3+x)+log2(3-x),则/(I)=

A.1B.Iog26

C.3D.Iog29

4.^log2a+logl/?=2,则有

2

A.a=2bB.b=2a

C.a=4bD.h=4a

5.设〃log2O)=2*(x>0),则/⑶的值是

A.128B.256

C.512D.8

6.Iog5：+log53等于

A.0B.1

10

C.-1D.Iog5—

1331

7.若〃=(一)"b=(—)2,c=log23,则a,b,c大小关系是

24

A.a<b<cB.b<a<c

C.b<c<aD.c<b<a

8.若。=3°、/?=0.43,c-logo.43,则

A.b<a<cB.c<a<b

C.a<c<bD.c<b<a

c

9.若5a=2&=105且出存0,则£+-=

ah

A.2B.1C.3D.4

10.已知log/<log/,则下列不等式一定成立的是

22

A.')"<(¥11

B.—>—

ah

C.In(a-b)>0D.3a-b<l

11.函数y=Jlg(x+2)的定义域为.

12.函数y=lgi•的反函数是.

13.函数/(x)=yj\-\nx的定义域为

14.设2x=5y=m，且L+工=2,则m的值是.

%y

15.方程log2(2-X)+log2(3-X)=log212的解x=.

G犍力

16.已知/(无)=lg(10+x)+lg(10-x),则/(无)是

A./(x)是奇函数，且在(0,10)是增函数

B.f(x)是偶函数，且在(0,10)是增函数

C./(%)是奇函数，且在(0,10)是减函数

D.f(x)是偶函数,且在(0,10)是减函数

17.设正实数mb满足6〃=2”,则

b.b.

A.0<—<1B.lv—<2

aa

bb人

C.2<-<3oD.3<-<4

aa

18.根据有关资料•，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361,而可观测宇宙中普通物质的原子总数N为io8o,

则下列各数中与丝最接近的是

N

A.1()33B.1()53

C.IO73D.1093

19.若k>g2(logja)=log3(logM=log4(log2C)=1>则a,b,c的大小关系是

A.a>b>cB.b>a>c

C.a>c>hD.h>c>a

20.若正实数x,y满足log?(x+3y)=logu2+log2(2y),则1+3y的最小值是

A.12B.10

C.8D.6

21.对任意的正实数居y,下列等式不成立的是

y

A,lgy-lgr=lg—B.1g(x+y)=lgx+lgy

x

二Inx

C.1"=3*D.lgx=----

InlO

22.设函数产/'(X)的图象与)=log2(x+a)的图象关于直线产-x对称，且/(-2)+f(-1)=2,则。=

A.3B.1C.2D.4

23.已知函数/(x)=ln(—f—2x+3),则/(x)的增区间为

A.(-00,-1)B.(-3,-1)

C.[-1,+00)D.[-1,1)

24.已知函数/(x)=logI(J—©7),则函数/(X)的减区间是

2

A.(-00,2)B.(2,+00)

C.(5,+00)D.(y,-1)

25.已知R上的奇函数f(x)满足当KO时,f(x)=log2(IT),则/(/(D)=

A.-1B.-2

C.1D.2

2

26.若实数a,b满足。>b>l,优=loga(1og〃A),n=(loga/?),/=log尸，则m,n,/的大小关系为

A.m>l>nB.l>n>m

C.n>l>mD.l>in>n

27.函数fG)=log”(3-办)(a>0且存1)在区间(a-2,a)上单调递减，则a的取值范围为.

28.已知函数/(x)=〃・2工+3-a(a£R)的反函数为尸尸(x),则函数月[(x)的图象经过的定点的坐标

为.

29.若函数/(x)=log«(f-ax+l)(〃>0且存1)没有最小值，则。的取值范围是.

39

l08s3

30.(1)2log32-log3y+log38-25；

,og72

(2)log3+1g25+1g4+7.

31.求函数f(x)=logj(f-3)的单调区间.

3

32.已知函数f(x)=lg(x+1)-1g(1-x).

(1)求函数f(x)的定义域；

(2)判断函数/(x)的奇偶性.

33.已知函数f(x)=loga(1+x)-logfl(1-x)>其中a>0且aWL

(1)求函数/(x)的定义域；

(2)判断了(x)的奇偶性，并说明理由；

3

(3)若/(《)=2，求使f(X)>0成立的x的集合.

34.（2018•天津）已知a=log2e,8=ln2,c=log1,则a,b,c的大小关系为

23

A.a>b>cB.b>a>c

C.c>h>aD.c>a>b

71J

35.（2018•天津）已知a=log3—,b=（一>，c=logj—,则a,b,c的大小关系为

2435

A.a>b>cB.b>a>c

C.c>h>aD.c>a>b

36.（2018•新课标HI）设a=logo.20.3,ft=log20.3,则

A.a+b<ab<QB.ab<a+b<Q

C.a+b<0<abD.ab<0<a+b

37.（2018♦上海）设常数a£R,函数/（x）=log2（x+a）.若/（x）的反函数的图象经过点（3,1）,则

38.【2018年全国卷HI文】已知函数〃x）=ln（J=巨—x）+l,〃a）=4,则/（—a）=

K好题参考答宗

123456789101617

BCCCBAADAADC

181920212223242526343536

DDDBDBCCBDDB

1.【答案】B

【解析】原式=log2（|x6）=log222=2.故选B.

2.【答案】C

【解析】（-g）°+lg4+21g5=l+lg4+lg25=l+lg100=3.故选C.

3.【答案】C

【解析】/（1）=log24+log22=2+1=3.故选C.

4.【答案】C

【解析】log2a+log,/>=2,得log2(*]=2,即斫44故选C.

5.【答案】B

l28

【解析】设log2X=z,则x=2f所以/(Z)=22,即/(x)=2.则/(3)=2?=2=256.故选B.

6.【答案】A

【解析】原式=log5(gx3)=log51=0.故选A.

7.【答案】A

121131

【解析】•・•〃=(/)"<(])’<。=(])2，C=log23>l,则〃</?<(:,故选A.

8.【答案】D

【解析】。=3°*>1,nodG(0,j),c=iog043<0,则cy*a.故选D.

9.【答案】A

C

[解析]因为5a=2,=10工，取常用对数得：alg5=61g2=£,所以£+£=21g5-21g2=2(Ig5-lg2)=2.

2ab

选A.

10.【答案】A

【解析】•；log]a<log，，；.a>b>0,；.([)"<(§)"<(§)",—<—,In(.a—b)与0的大小关系不

确定，32>l.因此只有A正确.故选A.

11.【答案】(-1,+00)

fx+2>0

【解析】应该满足L小、八，即2+x>l,解得x>-l,所以函数的定义域为(-1,+oo).故答案

lg(2+x)>0

为：(-1,+oo).

12.【答案】)=10'

【解析】函数y=lgx,可得下10丫，所以函数y=lgx的反函数是产10，.故答案为：y=10'.

13.【答案】(0,e]

【解析】函数〃x)=S—Inx的定义域为:国\;[。卜解得0〈烂e.故答案为：(0,e].

14.【答案】回

【解析】由2A=5V=//7，得x=log2"7，)=log5M,由'+'=2,得一--十—-—=2,即log,〃2+log,〃5=2，

xylog27n\og5m

/.log/z/10=2,.\m=y/lQ.故答案为：A/TO.

15.【答案】一I

【解析】二.方程log:(2-x)-log：(3T)=logJ2,

2-x>0『,

.I3-X>0，即v2uQ解得X=-l.故答案为：-1.

,、，、x2-5x-6=0

[(2-x)(3-x)=12

16.【答案】D

flO+x>O

【解析】由1得：xW(-10,10),故函数F(x)的定义域为(-10,10),关于原点对称，

10-x>0

又由/(-x)=lg(10-A-)+lg(10+x)=fCx)，故函数/(x)为偶函数，而/(x)=lg(10+x)+lg(10-x)

=lg(100-x2),y=100-/在(0,10)递减，y=lgx在(0,10)递增，故函数/(x)在(0,10)递减，

故选D.

17.【答案】C

,h

【解析】'.'6'=2,<jln6=/?ln2./.—==In2+ln3_|+j£3._|+|,/]<iog23<2.2<—<3,

aln2ln2In2-a

故选C.

18.【答案】D

【解析】由题意:M-336',心1。80,根据对数性质有：3=10lg3=10°-48,：.M~336'~(1O048)36|=10173,

故选D.

19.【答案】D

【解析】由log2(log36z)=1,可得log3a=2,lga=21g3,a=32=9,由log3(logM=1>可得log4b=3,

lgZ?=31g4,故匕=4，=64,由log4(log2C)=1,可得log2c=4,lgc=41g2,故c=24=16,b>c>a.故选D.

20.【答案】D

【解析】Vlog2(x+3y)=log^v+log?(2y),Iog2(x+3y)=log*+log2(2y),即x+3y=2yx.可得：

x+3>=|«3yx.A|(x+3y)〈(三包门，当且仅当x=3y时取等.令x+3y=f,(/>0),则6£巴解得:

仑6,即x+3y>6.故选D.

21.【答案】B

【解析树于A项,当Q0,y>0时,lgy-lgxMg｝，故A正确;对于B项，令户户1,则lg(x+y)=lg2>lgl=0,

x

而lgx-lgi=O,不成立，故B错误；对于C项，当Q0时，有=31gx,故C正确；对于D项，由对数的

换底公式得1g片”:，故D正确.故选B.

InlO

22.【答案】D

【解析】函数)『/(X)的图象与尸10g2(X+〃)的图象关于直线)口-4对称，设/(X)上任意一点为(X,

y),则(x,y)关于直线y—x对称的点为(-y,-x),把(-y,-x)代入y=log2(.x+a),得一x二log2

C-y+a),.*./(x)=2-*+。，V/(-2)+f(-1)=2,•\-21+a-2+a=2,解得〃=4.故选D.

23.【答案】B

【解析】由-f-2¥+3>0,解得：-3a<1,而产t2-2x+3的对称轴是x=-l,开口向下，故尸-/-21+3在

(-3,-1)递增，在(T,1)递减，由y=lnx递增，根据复合函数同增异减的原则，得f(x)在(-3,

-1)递增，故选B.

24.【答案】C

【解析】设t=x2-4x-5,由f>0可得大>5或则y=log]，在(0,+8)递减，由f=A2-4x-5在(5,+8)

2

递增，可得函数/(工)的减区间为(5,4-00).故选C.

25.【答案】C

【解析】设x>0,-x<0,f(X)为R匕的奇函数，且XV。时，/(x)=log2(1-x),则/'(-x)=log2(1+x)

=-f(x),.*./(x)—log2(1+x),.**/(1)=-L.*./(/(1))=f(-1)=log22=l.故选C.

26.【答案】B

2

【解析】•・,实数a,b满足a>b>1,m=log〃(logj?),n=(log/),/=log4,0=\oga1<logflZKlog«a=1,

22

.\m=\oga(log«fe)<log«l=0,0<〃=(log/)2<l,1>/=logflZ?=2\ogab>n=(logfl/?).:.m,n,/的大

小关系为/>心优.故选B.

27.【答案】｛a\l<a<y/3]

fa>\

【解析】•.,函数/(x)=logrt(3-ax)(〃>0且分1)在区间(。-2,a)上单调递减，<2，求

3—。>0

得1<«<>/3,故答案为：｛〃|1<日6｝.

28.【答案】（3,0）

【解析】V/（%）=。・2"+3-。="（2*-1）+3过定点（0,3）,/./（%）,的反函数尸尸（x）的图象经过

定点（3,0）.故答案为：（3,0）.

29.【答案】（0,1）U[2,+oo）

【解析】函数/（X）=loga（xJn-1）（d>0fia=l）没有最小值，当0<兴1时，没有最小值，当a>l

时，即xJzrXWO有解，视，解得a22,综上，a的取值范围是（0,1）U[2,-o）.故答案

为：（0,1）U[2,+oo）.

30.【答案】（1）-7：（2）—.

4

3?

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