2022-2023学年秦淮区初三（上）期中数学试卷【解析版】

2022/2023学年度第一学期第一阶段学业质量检测试卷

九年级数学

(满分：120分考试时间：120分钟)

注意：

1.选择题答案请用23铅笔填涂在答题卡相应位置上.

2.非选择题答案必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卷上的指定位置，在其他位置答题一律无

效.

一、选择题(本大题共6小题，每小题2分，共12分.在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符

合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上.)

1.已知0。的半径是线段OP的长为4a",则点P()

A在00外8,在。。上C.在。。内D不能确定

【答案】C

【解析】由题意得：OP=4cm<r=5cm,所以点P在。。内.故选：C.

2.下列方程中，是一元二次方程的是()

A.%--=0B.3f=lC.2x-y=5D.y2+x+2=0

x

【答案】B

【解析】A项是分式方程，不是整式方程，故此选项错误：

C项是二元一次方程，故此选项错误；

O项是二元二次方程，故此选项错误.

故选：B.

3.一个圆锥的底面半径为3,母线长为4,其侧面积是()

A37tB.6万C.12兀D.24万

【答案】C

【解析】由题意得：圆锥底面半径r=3,母线长/=4,S1s=万”=12万.故选：C.

4.用配方法解方程V-8x+5=()时，原方程应变形为()

A.(x-8)2=21B.(x-8)2=11

C.(x-4)2=21D.(x-4)2=11

【答案】D

【解析】x2-8x+5=0=x2-8x=-5nx2-8x+16=-5+16n(x-4『=ll.故选：D.

5.如图，在00中，直径所与弦CD相交于点M,F为C。中点.若CD=2,EM=5,则00的

半径长为（）

A.4B.3

【答案】C

【解析】如图，连接OC,设OC=QE=OF=r,

•.•£F_LC£>,防是直径，：.CM=MD=\

913

在HACOM中，OC2=OMaCM"r2=l2+（5-r）-,■

故选：C.

6.以下列三边长度作出的三角形中，其外接圆半径最小的是（）

A8,8,8B.4,10,10C.4,8,

【答案】A

【解析】对于A,如图，设。是等边AABC外心，

/.BF=CF=4,AF±BC,BE平分ZABC

ZOBF=-ZABC^3>Q

2

设OB=x,则0尸=也，

2

22

.•.在R/AOM中，2+8尸2=0*即+4=X,解得：x=.

...08=巡，...AABC的外接圆半径为空.

33

对于如图，设0是外心，连接80,连接AO并延长交8C于点。，

•.♦AB=AC=1(),AB=AC,:.ZBAO=ZCAO,AD±BC.BD=CD=^BC=2

在用AABZ)中，AD=y/AB2-BD2=>/102-22=476

设。4=OB=x,则O£>=A£>-OA=46-X,

在Rt^BOD中，BD2+OD2=BO2即22+(476-=

.108=生色，；.A45C的外接圆半径为竺区.

1212

对于C,设。是AABC的外心，00半径为R,他=4,AC=8,8c=10,

过点A作AH,8c于点，，过点。作ONJ_AH交A”延长线于点N,取3c的中点。，连接

由垂径定理得：QDJ_5C,80=8=，=5,

2

设8〃=x,则a/=8C-8〃=10-x,

在Ri^ABH和Rt^ACH中，根据勾股定理得，

AB2-BH2=AH2,AC2-CH2=AH2,

AB2-BH2=AC2-CH2,即4?-V=8?-(10-x)2,

1313

解得：x=—,即

55

AH=xlAB2-BH2==^^~,ON=DH=BD-BH=5-=y

MQ1

设OD=HN=y,则AN=A，+”N=^—+y,

在Rt.AON和Rt^COD中，根据勾股定理得：

ON2+AN2=OA2=R2,OD2+CD2=OC2=R2

807231

t\—

231

对于O,如图，设O是AABC外心,

­.■62+82=102):.AC2+BC2=AB2,:.ZACB=90

.•.AB是。。的直径，.〔OO的半径0B=gAB=5.

综上所述，迎史＞空色＞5＞包1,所以外接圆半径最小的是A选项.

231123

故选：A.

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.请把答案直接填写在答题卷相应位置上）

7.方程Y=9的根是.

【答案】％=3,X2=-3

2

【解析】x=9nx=±3=>方程的根为：%]=3,X2=-3.

8.关于x的一元二次方程（x-2）2=a-l有实数根，则a的取值范围是.

【答案】«>1

【解析】由题意得：a-l>0=>a>l.

9.一个扇形的半径为2cm,弧长为3a初，则此扇形的面积为cm2.

【答案】3n

【解析】扇形半径R=2c/n,弧长/=3万cm,所以S南=g/R=3%（病.

10.如图，若A8是0O的直径，CD是0。的弦，ZABD-55,则N3C。的度数为.

（第10题图）

【答案】35

【解析】「AB是。。的直径，ZABD=55,，ZA£>8=90,NBA。=35,NBCD=/BAD=35.

11.已知m是方程d-x-l=0的一个根，则代数式京-〃?-2022的值是.

【答案】-2021

【解析】由题意得，m2-m-\=O=>nr-m=\=>nr-w-2022=-2021.

12.如图，在AABC中，AB=2,AC=42,以点A为圆心，1为半径的圆与边3c相切于点。，则

BC的长是

(第12题图)

【答案】x/3+l

【解析】如图，连接A。，

•・•G)A与边8c相切于点。，ZADB=ZADC=90,AD=l

.•.在MAADB中，AB2AD1+BDr

在R/AA/)C中，AC2=AD2+CD2

•.•/U5=2,AC=五,:.BD=68=1,:.BC=BD+CD=g+l.

13.某企业2020年盈利2000万元，2022年盈利2420万元，该企业盈利的年平均增长率不变.设年

平均增长率为x,根据题意，可列出方程.

【答案】2000(1+x)2=2420

【解析】•.•企业2020年盈利2000万元，企业盈利的年平均增长率为x,

2021年盈利为2000(1+力万元，,2022年盈利2000(1+4=2420万元.

14.正六边形的外接圆半径是2,则其内切圆半径是.

【答案】上

【解析】设。。是正六边形他CDEb的外接圆，过点。作O〃LAB交AB于点，,

由题意得：ZAOB=^-=60,所以N4O”=，NAOB=30,

62

又•.•。4=。3,.“AOB是等边三角形，

/.AO=AB=2,AH=1,

在必△AO”中，由勾股定理得，

AO2=AH2+OH2,即22=r+O,2,解得：OH=丛,

所以内切圆半径是

15.如图，矩形ABC。中，AB=3,BC=2.若P为矩形内一点，HZBPC<45,则所有符合条件

的点P形成的区域的面积是.

（第15题图）

【答案】3--

2

【解析】当NBPC=45时，点尸在以3c为弦长，45为圆周角的圆弧上，设此圆的圆心为点O.

如图，作出。。与边CD、/W分别交于点E、F,

•.♦NBPC445,且点P在矩形内，.•.所有符合条件的点P形成的区域为图中阴影部分

;BC=2,OB=OC,ZBOC=2NBPC=90

在Rt^BOC中，由勾股定理得BC2=OB2+OC2=2OB2

解得：OB=OC=>/2

与边CD、43分别交于点E、F

.-.OE=OF=y[2

♦;NBCE=9。,.•.BE是。O直径，:.ZBFE=90

二四边形AFED是矩形，；.£F=BC=AO=2

同理得，CF是。0直径，，NEOF=N8OC=90

10()7T

2

SAF»Qx/Fr=—2xOFxOE—1,S扇&形3步"F"CF=3--6--0----x乃xOE=—2

•„E中,NBEC=±NBOC=45，,ABCE是等腰直角三角形

2

：.EC=BC=2,：.ED=CD-CE=3-2=\

设矩形A/;EC)的面积为S|,则S1=lx2=2,S阴影=£+5/斯-S助形EOF=2+1-1=3-].

16.如图，在R/AABC中，NC=90,BC=2,AC=20.0c的半径长为1，P是AABC边上一动

点（可以与顶点重合），并且点P到0c的切线长为m.若满足条件的点P的位置有4个，则/〃的取

值范围是

（第16题图）

【答案】72<m<\/3

【解析】作于点E,作EF切0C于点/，连接CE,则b=l,

vZACB=90,BC=2,AC=2y/3

AB=yjBC2+AC2=卜+(2百『=4

••SAABC=；x2x2\/i=^x4xCE,/.CE->/3

・.・EhOF,ZCFE=90,

EF=y/CE2-CF2=*可=>/2

作比)切G)C于点£),连接切，则8=1,

.BDLCD,:.NCDB=90,BD=^BC2-CD2=>J22-12=V5

观察图形可知，点P的位置有4个需要满足的条件是EF<m<BD

，机的取值范围是夜<机<6.

三、解答题（本大题共U小题，共88分.请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、

说理过程或演算步骤）

17.（6分）解方程V-21=0.

【解析】解：移项，得胃-2x=l

配方，得（x-1『=2

由此可得x—1=土0

解得：Xj=>/2+l,x,=-5/2+1

18.（6分）解方程（X+2）2=3（X+2）.

【解析】解：移项，得（x+2）2—3（x+2）=0

(x+2)(x+2-3)=0

(x+2)(x-l)=0

解得：x,=-2,x,=1

19.(8分)已知关于x的一元二次方程/+2履+公+后-2=0有两个不相等的实数根.

(1)求Z的取值范围；

(2)当Z为正整数时，求方程的根.

【解析】(1)根据题意，得从一4«。=(2人)2-4仅2+々一2)=-^+8>0

解得：k<2.

(2)•.哝为正整数且％<2

k=\

二.方程可以化为x2+2x=0

解得：Xy=0,x2=-2.

20.(8分)如图，四边形ABC。内接于OO,8C为的直径，OA//CD.

(1)若ZABC=70,求N3AO的度数；票一'

(2)求证A8=A£).\\\\

.、不

(第20题图)

【解析】(1)-,OA=OB,ZASC=70

.-.ZABO=ZBAO=70

.-.ZBOA=40

•：OM!CD

ZC=ZBOA=40

■.•四边形他CD是。。的内接四边形

ZC+ZBAD=180

ZBAD=\40.

(2)连接8,

\OC=OD

:.ZODC=ZOCD

-OMICD

ZAOD=ZODC,ZAOB=ZOCD

ZAOB=ZAOD

/.AB=AD.

21.（7分）如图，等腰△45。中，AB=AC,O。过点3、。且与A3、AC分别相交于点。、E.

求证8O=CE.

（第21题图）

【解析】证明：方法一

连接BE、CD

AB=AC

:.ZABC=ZACB

DC=BE

:.BE-DE=DC-DE,^BD=CE

:.BD=CE

方法二

连接BE、CD

\-DE=DE

:.ZABE=ZACD

在庞:和&48中，

Z=NA

<AB=AC

ZABE=ZACD

..△43E丝AACD（ASA）

:.AD=AE

.-.AB-AD=AC-AE

:.BD=CE

22.（7分）如图所示，面积为4500加的矩形广场上修建了两个相邻的正方形休闲区域，剩余区域为

绿化区.已知大正方形的边长比小正方形的边长大10机，求绿化区的面积.

（第22题图）

【解析】解：方法一

设小正方形的边长为X”，则大正方形的边长为（x+10>“，绿化区的面积为10x病.

根据题意，得（2x+10）（x+10）=4500

整理，得V+lSx-2200=0

解方程得：％=40,%-55（不合题意，舍去）

.-.10x=4（X）.

答：绿化区的面积为400M.

方法二

设小正方形的边长为xm,则大正方形的边长为（x+10>〃，绿化区的面积为10切『.

根据题意，得x2+（x+10y+10x=4500

整理，得W+lSx-ZZOO：。

解方程得：%,=40,Aj-55（不合题意，舍去）

.-.10x=400.

答：绿化区的面积为400/.

23.（8分）已知a、夕是关于x的一元二次方程（》-“）（》-"）-2（x-,〃）=0的两个实数根.

(1)若a=夕，则用与〃满足关系;

(2)若/<a<0,求加+〃的范围.

【解析】解：(1)m=n+2.

—〃)一2(x-m)=0n(x-/n)[x-(〃+2)]=0=a=myJ3=n+2

又有a—Pnm=〃+2.

故答案为：m=n+2.

(2)方法一

,.,(x-w)(x-n)-2(x-zn)=0

/.(x-m)[x-(n+2)]=0

.•.方程的两根分别为九〃+2

•方程的两根a、〃满足£<a<0

.,.〃任，+2v()

帆+〃v—2.

方法二

将原方程整理为£-(机+〃+2)x+机〃+2m=0.

a+/?=m+〃+2

•.•方程的两根a、夕满足用<av0

.\m+n+2<0

:.m+n<-2.

24.(8分)如图，在0。中，回为。0的直径，Q4与。0相切于点A,点C在QO上，且PC=Q4.

(1)求证：PC与。。相切；

(2)过点C作CDLA3,交。O于点。，若CD=PA=2B则图中阴影部分的面积为.

(第24题图)

【解析】(1)证明：连接OC、OP

•.•小与。。相切于点A

：.OAA.PB

:.ZPAO=90

在AOPA和AOPC中

OA=OC

-PA=PC

OP=OP

..△O朗丝AOPC(SSS)

:.ZPCO=ZPAO=90,即OCJ.PC

又•.•点c在。。上

.♦.PC与。。相切

(2)--y5

3

如图，作CMJ_AP于点"，

CD_LCE=3E=6,NCE4=90•.四边形是矩形,

:.AM=CE=6，PA=2y/3,:.PM=AM=6,

.•二闻垂直平分线段处,;.。^。!，又•.•PC=P4,.・.APC4是等边三角形,

:.ZPAC=60,二NC48=30,，NCOE=60,ZOCE=30,ZCOD=120

设OC=x,则OE=],•.•在MACOE中，OC?=O炉+c£,+(V3)?,解得：x=2,

2

.-OC=2,OE=\,••.SWOCD=1|^^X2=^,SCOD=1XOEXCZ)=1X1X2X/3=>/3

所以，阴影部分的面积为土-石.

3

故答案为：———.

3

25.(8分)商店购进某种玩具的价格为30元.根据一段时间的市场调查发现，按销售单价50元每

件出售时，能卖600件，而销售单价每涨价().5元，销售量就会减少5件.为获得15000元的利润,

销售单价应为多少元？

【解析】解法一：设该玩具销售单价应为x元.

根据题意，得（x-30）600-旨（x-50）=15000.

解方程得：为=60,々=80

答：该商品每件实际售价应定为60元或80元.

解法二：设该玩具销售单价应涨了x元，则销售单价应为（50+x）元,

根据题意，得（20+x）（600-W「|=15000

解方程得：%,=IO,x2=30

所以50+10=60或50+30=8（）

答：该商品每件实际售价应定为60元或80元.

26.（11分）【习题再现】

（教材P74第10题）如图①，/是的内心，4的延长线交AA3C的外接圆于点£>.加>和

/£）相等吗？为什么？

图①

（第26题图）

（1）完成原习题；

【逆向思考】

（2）如图②，/为AA3C内一点，4的延长线交AA3C的外接圆于点。.若£）3=£）/=比，求证:

/为AABC的内心.

图②

（第26题图）

【迁移运用】

（3）如图③，利用无刻度直尺和圆规，作出A/WC的内心/.（保留作图痕迹，写出必要的文字说

明.）

图③

（第26题图）

（友情提醒：如完全用课本所学的方法作图,本题最多得1分）

【解析】（1）BD=ID.

证明：如图①，连接W,

/是AABC的内心

ABAD=ZCAD,ZABI=ZIBC

•;NDBC、N/MC是QC所对的圆周角

：.ADBC=ZCAD

.-.ZDBC=ZBAD①

根据角之间的关系可得NIBD=ZDBC+NIBC

又NB1D是AAB/的一个外角

:.ZBID^ZBAD+ZABI

：.ZJBD=ZBID

：.BD=1D.

（2）证明：连接R,

:BD=CD

BD=CD

：.ABAD=ZDBC=ZCAD

即4)平分NBAC

•;BD=ID

：.ZJBD=ZJBID

是AAB/的一个外角

ZBID=ZBAD+XABI

•：ZJBD=ZDBC+Z/BC

：.ZABI=Z.CBI,即W平分NABC

/为AABC的内心.

(3)如图②，内心/即为所求.

(文字说明：先作出AABC的外接圆(作图痕迹略)，再作的垂直平分线，与圆交于点。，在垂

直平分线上截取。=且使点/在AABC的内部.)

27.(11分)在中，ZACB=90,点。是钻边上的动点，AC=6,BC=8,经过C、D

的00交