5.3 图形的变化（三）（尺规作图）（题型精练）（原卷版）

第3讲图形的变化（三）（尺规作图）（精讲）目录第一部分：知识点精准记忆第二部分：课前自我评估测试第三部分：典型例题剖析题型一：尺规作图———作线段题型二：尺规作图——作角角度1：作一个角等于已知角角度2：尺规作角的和、差角度3：过直线外一点作这条线的平行题型三：尺规作图——作三角形题型四：尺规作图——作角平分线题型五：尺规作图——作垂线题型六：尺规作图——作等腰三角形题型七：尺规作图——画圆题型八：尺规作图——过圆外一点作圆的切线第四部分：中考真题感悟第一部分：知识点精准记忆知识点一：作相等线段1、已知条件和要求：已知线段，求作一条线段等于.2、作图步骤：①先画射线②用圆规量出线段的长③在射线上截取,则线段就是所要画的线段.3、图示知识点二：作相等角1、已知条件和要求：做一个角等于已知角2、作图步骤：①以点为圆心，以适当长为半径画弧，分别交于，交于；（图1）②作一条射线；以点为圆心，以长为半径画弧，交于.（图2）③以点为圆心，以长为半径画弧，交弧于.④经过点,’画射线，则就是所求角.3、图示知识点三：作角平分线1、已知条件和要求：已知，求作的平分线.2、作图步骤：①以为圆心，以适当长为半径画弧，交于点，交于点；②分别以、两点圆心，以大于长为半径画弧，两弧相交于点；③过、作射线，则即为所求作的角平分线.3、图示知识点四：作线段垂直平分线1、已知条件和要求：已知线段，用直尺和圆规画出线段的垂直平分线.2、作图步骤：①分别以、两点为圆心，以大于线段一半的长为半径画弧，两弧交于、两点；②过点、作直线，直线即为所求作线段的垂直平分线.3、图示知识点五：过一点（点在直线上）作直线的垂线1、已知条件和要求：直线和上一点，求作:的垂线,使它经过点.2、作图步骤：①以点为圆心，任一线段的长为半径画弧，交直线于点、；②以点、为圆心,以大于长为半径在直线一侧画弧，两弧交于点；③经过点、作直线．直线即为所求．3、图示知识点六：过一点（点在直线外）作直线的垂线1、已知条件和要求：直线和外一点，求作:的垂线,使它经过点.2、作图步骤：①任取一点，使点和点在的两侧；②以点为圆心，以长为半径画弧，交于、两点；③分别以、两点为圆心，以大于长为半径画弧，两弧相交于点；④过、两点作直线.所以，直线就是所求作的.3、图示第二部分：课前自我评估测试1．（2023秋·辽宁葫芦岛·八年级校考期末）如图，在中，，，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线，交于点D，连接，则的度数为（）A． B． C． D．2．（2023秋·北京东城·八年级统考期末）已知．下面是“作一个角等于已知角，即作”的尺规作图痕迹．该尺规作图的依据是（

）A． B． C． D．3．（2023秋·辽宁大连·八年级统考期中）教科书中用直尺和圆规作一个角等于已知角的依据是（

）A． B． C． D．4．（2023秋·陕西渭南·九年级统考期末）如图，已知锐角，点是边上的一定点，请用尺规在边上求作一点，使与相似．（作出符合题意的一个点即可，保留作图痕迹，不写作法．）5．（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝76°．（1）用直尺和圆规作∠ABC的平分线BD交AC于点D（保留作图痕迹，不要求写作法）；（2）在（1）中作出∠ABC的平分线BD后，求∠BDC的度数．第三部分：典型例题剖析题型一：尺规作图———作线段典型例题例题1．（2023秋·北京·七年级校联考期末）如图，已知平面上三点，，，请按要求完成下列问题：(1)画射线，线段，直线；(2)在射线上求作一点D，使得（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）．点为线段中点，当时，的长为_________．例题2．（2023秋·重庆大渡口·七年级重庆市第九十五初级中学校校考期末）已知线段，，用无刻度的直尺和圆规作线段，使得（保留作图痕迹，不要求写作法）．例题3．（2023秋·广东广州·七年级统考期末）如图，已知线段与线段．(1)在线段的延长线上作点，使得（不写作法，保留作图痕迹）；(2)在（1）所作的图中，若点是线段的中点，，求线段的长．例题4．（2023秋·江苏南京·七年级校考阶段练习）如图，在数轴上，三个有理数从左到右依次是：，，．(1)利用刻度尺或圆规，在数轴上画出原点；(2)记长为个单位，宽为个单位的长方形的对角线为，请在数轴上画出表示的点．同类题型归类练1．（2023秋·河南南阳·八年级校考期末）已知线段，的长如图所示，求作，使斜边，直角边．要求用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔加黑．2．（2023秋·广东广州·七年级中山大学附属中学校考期末）如图，已知三点A，B，C，按下列要求画图：(1)画射线；(2)连接线段；(3)反向延长至D，使得．3．（2023秋·辽宁鞍山·七年级统考期末）已知线段，，求作一条线段．如图，在射线上作线段，请在射线上画出所求作的线段（保留作图痕迹，不写作法）．4．（2023秋·河南信阳·七年级统考期末）已知三条线段的长度分别为a、b、c，其中（如图所示）(1)尺规作图，在射线AP上求作线段AB，使，（要求：不写作法，只保留作图痕迹）．(2)若，，，求AB的长．题型二：尺规作图——作角角度1：作一个角等于已知角典型例题例题1．（2023秋·河北秦皇岛·七年级统考期末）尺规作图：作一个角等于已知角.如图①，已知：．求作：，使．作法：步骤1：如图②，以点甲为圆心，任意长为半径画弧，交、于点、；步骤2：作射线，以点为圆心，乙长为半径画弧，交于点；步骤3：以点为圆心，丙长为半径画弧，与第（2）步中所画的弧相交于点；步骤4：经过点画射线，则．则甲、乙、丙所表示的内容为：（

）A．，， B．，，C．，， D．，，例题2．（2023秋·河北石家庄·七年级石家庄市第四十一中学校考期末）如图，用尺规作出了，关于作图痕迹，下列说法错误的是（

）A．弧是以点为圆心，任意长为半径的弧B．弧是以点为圆心，为半径的弧C．弧是以点为圆心，为半径的弧D．弧是以点为圆心，为半径的弧例题3．（2022秋·浙江杭州·八年级校联考期中）如图，已知，，线段．用尺规求作（保留作图痕迹）：(1)，使，，．(2)作中线段的垂直平分线．角度2：尺规作角的和、差典型例题例题1．（2022春·福建三明·七年级校考期中）作图题，如图，已知，，求作一个角，使它等于．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）例题2．（2022春·江西吉安·七年级统考期中）已知和，作一个角等于．（保留作图痕迹，不必写作法）角度3：过直线外一点作这条线的平行典型例题例题1．（2022秋·四川自贡·八年级校考阶段练习）如图，中，、分别是、的外角，已知．(1)过点作直线，使，其中点在点的左侧，点在点的右侧．（尺规作图，保留痕迹）(2)求与的度数之和．例题2．（2022春·河南南阳·八年级统考期末）下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．已知：直线和直线外一点．求作：直线，使得．作法：如图，①在直线上任取两点，；②以点为圆心，长为半径画弧，以点为圆心，长为半径画弧，两弧在直线上方相交于点；③作直线．直线就是所求作的直线．根据小东设计的尺规作图过程，(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；(2)完成下面的证明．证明：∵，∴四边形是平行四边形（___________）（填写推理的依据）．∴（______________）（填写推理的依据）．即例题3．（2022春·陕西西安·七年级校考期中）如图，点是内部一点，求作：直线，使．（要求：尺规作图，保留作图痕迹）题型二同类题型归类练1．（2023秋·广东江门·八年级校考期末）在复习用尺规作一个角等于已知角的过程中，回顾了作图的过程，他发现，小华得到全等的依据是（）A． B． C． D．2．（2023秋·浙江·八年级专题练习）已知：线段c和求作：，使得（不写作法，但保留作图痕迹）3．（2022春·陕西西安·七年级西安市曲江第一中学校考期中）作图如图，已知及边上一点，在图中求作，使得与是内错角，且（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．4．（2022秋·浙江·八年级专题练习）如图所示,已知∠α和∠β(∠α>∠β)，求作：（1）∠α+∠β（2）∠α-∠β.5．（2022春·广东佛山·七年级佛山市第四中学校考阶段练习）如图，已知△ABC，（1）作图：试过点C作直线CD∥AB，（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）；（2）请你写出（1）的作图依据:.6．（2022秋·八年级课时练习）如图，已知，线段a．完成下面的尺规作图：(1)．(2)，使．7．（2022春·广东深圳·七年级校联考期中）已知，点是边上一点，按要求画图，只保留作图痕迹，不写作法．(1)在的内部，以点为顶点用尺规作图作；(2)在（1）的情况下，连接，若平分，且，试求的度数．8．（2022春·山东青岛·七年级华东师范大学青岛实验中学校联考期中）作图题：(1)在如图所示的方格纸中不用量角器与三角尺，仅用直尺．①经过点P，画线段PQ平行于AB所在直线．②过点C，画线段CN垂直于CB所在直线．(2)尺规作图：（用圆规直尺）如图，点C在∠AOB的边OA上一点，请你使用直尺和圆规，过点C作直线OB的平行线．（保留作图痕迹，不要求写画法）．题型三：尺规作图——作三角形典型例题例题1．（2023·全国·八年级专题练习）活动探究：我们知道，已知两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等，如已知中，，，所对的边为，满足已知条件的三角形有两个（我们发现其中如图的是一个直角三角形），则满足已知条件的三角形的第三边长为（

）A． B． C．或 D．或例题2．（2022秋·新疆塔城·八年级统考期末）用直尺和圆规作图，要求：不写作法、保留作图痕迹．已知：与射线．求作：，使得．例题3．（2022秋·山东烟台·七年级统考期末）尺规作图：（不写作法，保留作图痕迹）已知：．求作：，使．例题4．（2022秋·江苏南京·八年级校联考期中）提出问题：已知一个三角形的一个内角为，其中两条边长为1个、2个单位长度．你能作出所有满足条件且互不全等的三角形吗？（单位长度见图1，以下简称“单位”，作图可直接用圆规截取相应长度）(1)分析问题：若先画出一个的角，则相对这个角，边有两种位置：对边或邻边．将1单位、2单位按对边或邻边如下分类，请将分类补全：①两边都是的邻边；②1单位是的邻边，2单位是的对边；③(2)解决问题：如图2，满足情形②的三角形已经画出，请选用以下图形作出其他情形的三角形，若无法作出，请结合图形简要说明理由（注：图3中各角均是，模仿图2标出已知角度和边长，并保留作图痕迹，下同）(3)类比应用：已知一个三角形的一个内角为，其中两条边长为3个、4个单位．请选用以下备用图，作出所有满足条件且互不全等的三角形．同类题型归类练1．（2022秋·山东烟台·七年级统考期中）尺规作图：作，使，，．（保留作图痕迹，不写作法）．2．（2022秋·山东青岛·七年级统考期末）如图，已知，请根据“ASA”作出，使．3．（2022秋·山东烟台·七年级统考期中）如图，已知：，线段a．利用尺规作图求作，使，；要求：不写作法，保留作图痕迹，标明字母．4．（2022秋·八年级课时练习）完成下面的尺规作图(1)如图，已知和，用直尺和圆规作，使．(2)如图，已知线段和，用直尺和圆规作，使．题型四：尺规作图——作角平分线典型例题例题1．（2023秋·河北保定·八年级校考期末）如图，利用尺规作的平分线，作法如下：①以点为圆心，以为半径画弧，交于点，交于点；②分别以点，为圆心，以为半径画弧，两弧在的内部交于点；③画射线，射线就是的平分线．则，需要满足的条件是（

）A．，均无限制 B．，的长度C．有最小限制，无限制 D．，的长度例题2．（2023秋·北京东城·八年级北京市第五中学分校校考期中）尺规作图：已知：．求作：内部一点以及线段和，使得于点，于点F且．作法：①以为圆心，适当长为半径作弧，交于，交于；②分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部交于点C；③作射线；④在射线上取一点（不与点，重合），过点作于点，于点．请根据尺规作图过程，(1)使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）(2)完成下列证明．证明：连接．在和中，∴．（________）（填推理依据）∴．（________________________________）（填推理依据）∴射线平分．∵点在的平分线OC上，且于点，于点，∴（________________________________）（填推理依据）例题3．（2023秋·重庆九龙坡·八年级重庆市育才中学校考期末）如图，已知中，．(1)请用基本的尺规作图：作的角平分线交于点，在上取一点，使得，连接（不写作法，不下结论，保留作图痕迹）；(2)在（1）所作的图形中，探究线段与之间的数量关系。小明遇到这个问题时，给出了如下的解决思路，请根据小明的思路完成下面的填空．解：．理由如下：∵平分，∴①，在与中，∴，∴，②，∵，，∴③，∴，∴④，∵，∴．同类题型归类练1．（2023秋·河南南阳·八年级校考期末）已知，求作射线，使平分，那么作法的合理顺序是（

）①作射线；②在射线和上分别截取，，使；③分别以点D，E为圆心，大于的长为半径在内作弧，两弧交于点C．A．①②③ B．②①③ C．②③① D．③①②2．（2023秋·北京密云·八年级统考期末）数学课上，李老师布置如下任务：如图，已知，点D是边上的一个定点，在边上确定一点E，使．下面是小莉设计的尺规作图过程．作法：①以点D为圆心，长为半径作弧交边于点F，连接．②作的角平分线，交边于点E；则点E即为所求．根据小莉设计的尺规作图过程，(1)使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）(2)完成下面的证明，并在括号内填写推理的依据．证明：∵，∴＝．（

）∵是的角平分线，∴．∵，（

）即，∴．∴．3．（2023秋·山西·八年级校联考期末）如图，在等腰三角形中，，．(1)使用直尺和圆规作的平分线，交于点．（不写作法，保留作图痕迹）(2)在（1）的基础上，若，，求的周长．题型五：尺规作图——作垂线典型例题例题1．（2023秋·吉林长春·八年级统考期末）如图，分别以线段的两端点，为圆心，大于长为半径画弧，在线段的两侧分别交于点，，作直线交于点．在直线上任取一点（不与重合），连接，则下列结论不一定成立的是（

）A． B． C． D．例题2．（2023秋·四川成都·九年级统考期末）如图，在正方形中，，是的中点，并按以下步骤作图：分别以和为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，；作直线交于点，则的长为_______．例题3．（2023秋·河北唐山·八年级统考期末）求证：一条直角边相等且另一条直角边上的中线相等的两个直角三角形全等．要求：根据给出的和△，(1)在此图形上用尺规作出与边上的中线，不写作法，保留作图痕迹；(2)请写出证明过程．同类题型归类练1．（2023秋·四川达州·八年级统考期末）如图，在四边形ABCD中，，，取大于的长为半径，分别以点A，B为圆心作弧相交于两点，过此两点的直线交边于点E（作图痕迹如图所示），连接，．则的度数为______．2．（2023秋·山西吕梁·九年级校考阶段练习）如图，在中，．(1)实践与操作：利用尺规作的垂直平分线交于点交于点不写作法．保留作图痕迹，标明字母(2)猜想与证明：若试猜想与的数量关系，并证明．3．（2023秋·山西大同·八年级大同市第六中学校校考期末）数学课上，老师给出一个问题：如图1，已知在中，，．在边上求作一点D，使是以为底边的等腰三角形．以下是一些小组讨论后的解决方案：小组一：如图2，分别以A，B为圆心，大于为半径画弧，交于点E，F，连结交于点D，连结，则即以为底边的等腰三角形，点D为符合要求的点；小组二：若是以为底边的等腰三角形，且，那么，只需过点B作．老师在听取了两个小组的解决方案后，提出以下问题进一步思考：(1)小组一的解决方案中，作图的依据是______；(2)请用没有刻度的直尺和圆规，按小组二提出的方案作出符合要求的点D．（保留作图痕迹并写出结论）题型六：尺规作图——作等腰三角形典型例题例题1．（2022秋·陕西汉中·八年级统考期末）已知线段，（图），用直尺和圆规作等腰三角形，使底边，底边边上的高线长为．例题2．（2022秋·八年级课时练习）已知线段，（如图）．用直尺和圆规作等腰三角形，使，．例题3．（2022秋·江苏南京·八年级校联考期中）如图，已知线段，，用直尺和圆规按下列要求分别作一个等腰三角形（不写作法，保留作图痕迹）(1)的底边长为，底边上的高为；(2)的腰长为，腰上的高为．同类题型归类练1．（2022秋·八年级课时练习）作一个等腰三角形，使它的腰长为，底边长为．2．（2022秋·湖北恩施·八年级统考期中）（1）已知．请过点A作边上的高（保留作图痕迹，不写作法）；（2）已知等腰三角形的底边长为a，底边上的高为h，求作这个等腰三角形（保留作图痕迹，不写作法）．3．（2022秋·江苏南京·八年级南京市第一中学校考阶段练习）已知线段和．(1)用直尺和圆规作等腰，使得，，边上的高（保留作图痕迹，不写作法）；(2)用直尺和圆规作等腰，使得，边上的高（保留作图痕迹，不写作法）．题型七：尺规作图——画圆典型例题例题1．（2023秋·陕西西安·九年级陕西师大附中统考期末）尺规作图：如图，在中，，请画出的外接圆（不写作法，保留作图痕迹）．例题2．（2023秋·北京海淀·九年级北京市十一学校校考期末）下面是小石设计的“过三角形一个顶点作其对边的平行线”的尺规作图过程．已知：如图，．求作：直线，使得．作法：如图，①分别作线段，的垂直平分线，，两直线交于点；②以点为圆心，长为半径作圆；③以点为圆心，长为半径作弧，交于点；④作直线．所以直线就是所求作的直线．根据小石设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：连接AD，∵点，，，在上，，∴______．∴（______）（填推理的依据）．∴．同类题型归类练1．（2023秋·广东广州·九年级西关外国语学校校考期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的角平分线，以AB上一点O为圆心，AD为弦作⊙O．（1）尺规作图：作出⊙O（不写作法与证明，保留作图痕迹）；（2）求证：BC为⊙O的切线．2．（2023秋·广东梅州·九年级校考开学考试）已知：．．求作：，使它经过点和点，并且圆心在的平分线上，题型八：尺规作图——过圆外一点作圆的切线典型例题例题1．（2022秋·北京西城·九年级北京四中校考期中）下面是“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图过程．已知：和外一点．求作：过点的的切线．作法：如图，①连接；②分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点；③作直线，交于点；④以点为圆心，的长为半径作圆，交于两点；⑤作直线，．直线，即为所求作的切线．(1)请根据上述作法完成尺规作图；(2)连接，，可证，理由是________________________；(3)直线，是的切线，依据是________________________．例题2．（2022秋·北京西城·九年级统考期末）已知：点，，在上，且．求作：直线，使其过点，并与相切．作法：①连接；②分别以点，点为圆心，长为半径作弧，两弧交于外一点；③作直线．直线就是所求作直线．(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；(2)完成下面的证明．证明：连接，，∵，∴四边形是菱形，∵点，，在上，且，∴______°（_________________）（填推理的依据）．∴四边形是正方形，∴，即，∵为半径，∴直线为的切线（_________________）（填推理的依据）．同类题型归类练1．（2022秋·北京海淀·九年级统考期末）已知：如图，是的切线，为切点．求作：的另一条切线，为切点．作法：以为圆心，长为半径画弧，交于点；作直线．直线即为所求．(1)根据上面的作法，补全图形（保留作图痕迹）；(2)完成下面证明过程．证明：连接，，．∵是的切线，为切点，∴．