专题10 圆锥曲线的综合问题-【好题汇编】备战2023-2024学年高二数学上学期期末真题分类汇编（人教A版2019选择性必修第一册）含解析

专题10圆锥曲线的综合问题专题10圆锥曲线的综合问题-【好题汇编】备战2023-2024学年高二数学上学期期末真题分类汇编（人教A版2019选择性必修第一册）含解析圆锥曲线中的求值与证明问题1．（2023上·黑龙江牡丹江·高二牡丹江市第二高级中学校考期末）已知抛物线，p为方程的根.(1)求抛物线的方程；(2)若抛物线与直线无公共点，求此抛物线的通径（通径：过抛物线的焦点且与对称轴垂直的直线被抛物线所截得的线段）.2．（2023上·内蒙古包头·高二统考期末）已知椭圆左右焦点分别为，离心率为．斜率为的直线（不过原点）交椭圆于两点，当直线过时，周长为8．(1)求椭圆的方程；(2)设斜率分别为，且依次成等比数列，求的值，并求当面积为时，直线的方程．3．（2023上·浙江杭州·高二杭州高级中学校考期末）已知双曲线C：的渐近线方程为，且过点．(1)求双曲线C的方程；(2)若F是双曲线的右焦点，Q是双曲线上的一点，过点F，Q的直线l与y轴交于点M，且，求直线l的斜率．4．（2023上·福建南平·高二统考期末）已知双曲线C：的右焦点为F，过F的直线l与双曲线交于M，N两点，当轴时，．(1)求双曲线C的离心率e；(2)当l倾斜角为时，线段MN垂直平分线交x轴于P，求的值．5．（2023上·河南商丘·高二校联考期末）已知椭圆的焦点分别为，过的动直线与过的动直线相互垂直，垂足为，若在两直线转动的过程中，点仅有两次落在椭圆上.(1)求椭圆的方程；(2)若直线的斜率不等于，且直线交椭圆于两点，直线交椭圆于，两点，证明：四边形的面积大于.6．（2023上·山西阳泉·高二统考期末）已知是椭圆的左焦点，上顶点B的坐标是，离心率为.(1)求椭圆的标准方程；(2)O为坐标原点，直线l过点且与椭圆相交于P，Q两点，过点作，与直线相交于点E，连接OE，与线段PQ相交于点M，求证：点M为线段PQ的中点.7．（2023上·安徽黄山·高二统考期末）设过抛物线对称轴上的定点，作直线与抛物线交于两点，且，相应于点的直线称为抛物线的“类准线”.(1)若，求的值；(2)若点是“类准线”上任意一点，设直线(其斜率都存在)的倾斜角依次为，求证：.8．（2023上·广东湛江·高二统考期末）设第一象限的点是双曲线上的一点，已知C的一条渐近线的方程是．(1)求b的值，并证明：；(2)若直线和曲线C相交于E，F两点，求．圆锥曲线中的最值与范围问题9．（2023上·陕西西安·高二长安一中校考期末）设B是椭圆的上顶点，点P在C上，则的最大值为（

）A． B． C． D．10．（2023上·湖北襄阳·高二襄阳四中校考期末）已知抛物线的焦点为F，准线为l，直线，动点M在C上运动，记点M到直线l与的距离分别为，O为坐标原点，则当最小时，（

）A． B． C． D．11．（2023上·江苏南京·高二南京外国语学校校考期末）已知直线与曲线仅有三个交点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．12．（2023上·四川绵阳·高二统考期末）已知椭圆的上焦点为，直线与椭圆交于M，N两点，则的周长的取值范围是（

）A． B． C． D．13．（2023上·浙江温州·高二统考期末）已知F是双曲线C：的右焦点，过F的直线l交双曲线右支于P，Q两点，PQ中点为M，O为坐标原点，连接OM交直线于点N．(1)求证：；(2)设，当时，求三角形面积S的最小值．14．（2023上·吉林长春·高二校考期末）已知直线分别经过椭圆左顶点和上顶点，，是椭圆的左、右两个焦点，椭圆的离心率．(1)求实数和椭圆方程；(2)设过点且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于两点，线段的垂直平分线与轴交于点，求的取值范围．15．（2023上·浙江杭州·高二统考期末）已知点分别为双曲线的左顶点和右焦点，过且垂直于轴的直线与双曲线第一象限部分交于点，的面积为．(1)求双曲线的方程；(2)若直线与双曲线的左、右两支分别交于，两点，与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，记，的面积分别为，（为坐标原点）．若，求实数的取值范围．16．（2023上·浙江杭州·高二浙江大学附属中学校考期末）已知抛物线的顶点在原点，焦点在直线上．(1)求抛物线的标准方程；(2)过点的直线m与焦点在x轴上的抛物线交于A，B两点，若原点O在以线段AB为直径的圆外，求实数a的取值范围．圆锥曲线中的定值与定点问题17．（2023上·山东枣庄·高二枣庄八中校考期末）设椭圆的上顶点为，且长轴长为，过任作两条互相垂直的直线分别交椭圆于，两点，则直线过定点．18．（2023上·河北唐山·高二开滦第一中学校考期末）已知抛物线，在直线上任取一点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，则直线恒过定点.19．（2023上·河南许昌·高二统考期末）已知的两个顶点A，B的坐标分别是且直线PA，PB的斜率之积是，设点P的轨迹为曲线H.(1)求曲线H的方程；(2)经过点且斜率为k的直线与曲线H交于不同的两点E，F（均异于A，B），证明：直线BE与BF的斜率之和为定值.20．（2023上·浙江温州·高二校考期末）已知双曲线：的焦距为8．过左焦点的直线与的左半支交于，两点，过，作直线：的垂线，垂足分别为，，且当垂直于轴时，．(1)的标准方程；(2)设点，判断是否存在，使得为定值？若存在，求的值；若不存在，说明理由．21．（2023上·江苏苏州·高二统考期末）已知抛物线，记其焦点为.设直线：，在该直线左侧的抛物线上的一点P到直线的距离为，且.(1)求的方程；(2)如图，过焦点作两条相互垂直的直线、，且的斜率恒大于0.若交于点，交抛物线于、两点，证明：为定值.22．（2023上·四川资阳·高二统考期末）已知椭圆E：经过点和.(1)求E的方程；(2)过E的右焦点的直线l与E交于A，B两点，在直线上是否存在一点D，使得是以AB为斜边的等腰直角三角形？若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由.23．（2023上·山西太原·高二统考期末）已知双曲线的左､右焦点分别为，离心率为，是上一点.(1)求双曲线的方程；(2)直线过点，与双曲线的右支交于两点，点与点关于轴对称，求证：两点所在直线过点.24．（2023上·辽宁沈阳·高二沈阳二十中校联考期末）已知平面上的动点到定点的距离比到直线的距离小1．(1)求动点的轨迹的方程；(2)过点的直线交于两点，在轴上是否存在定点，使得变化时，直线与的斜率之和是0，若存在，求出定点的坐标，若不存在，写出理由．25．（2023上·北京·高二校考期末）已知抛物线的焦点为F，准线为，点P在抛物线上，于点Q．若是锐角三角形，则点P的横坐标的取值范围是（

）A． B． C． D．26．（2023上·北京丰台·高二北京市第十二中学校考期末）已知椭圆，直线l与两个坐标轴分别交于点M，N．且与椭圆E有且只有一个公共点，O是坐标原点，则面积的最小值是（

）A． B．4 C． D．227．（2023上·贵州黔西·高二统考期末）欧几里得生活的时期人们就发现了椭圆有如下的光学性质：从椭圆的一个焦点射出的光线经椭圆内壁反射后必经过该椭圆的另一焦点．现有椭圆，长轴长为4，从椭圆的一个焦点发出的一条光线经该椭圆内壁上一点反射之后恰好与轴垂直，且．(1)求椭圆的标准方程；(2)已知为坐标原点，A为椭圆的左顶点，若斜率为且不经过点A的直线与椭圆交于，两点，记直线，的斜率分别为，，且满足，且，求的值.28．（2023上·安徽滁州·高二校联考期末）已知双曲线：（，）的左顶点为，到的一条渐近线的距离为．(1)求的方程；(2)过点的直线与交于，两点，求的值．29．（2023上·山东泰安·高二统考期末）如图，直线与抛物线相交于A，B两点．(1)求线段AB的长；(2)证明：．30．（2023上·陕西西安·高二统考期末）已知双曲线的中心在原点，焦点，在坐标轴上，离心率为，且过点．(1)求双曲线方程；(2)若点在双曲线上，求证：；(3)在（2）的条件下，求的面积．31．（2023上·湖北·高二统考期末）已知双曲线（，）的实轴长为2，直线为双曲线C的一条渐近线．(1)求双曲线的标准方程；(2)直线与双曲线相交于不同两点，求的取值范围．32．（2023上·江苏苏州·高二常熟中学校考期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，且与椭圆交于两点，线段的中点恰在抛物线上.(1)求的取值范围；(2)设是抛物线上一点，求的取值范围，使得的面积存在最大值.33．（2023上·贵州六盘水·高二统考期末）已知椭圆：（），椭圆的中心到直线的距离是短半轴长，长轴长是焦距的倍.(1)求椭圆的方程；(2)设，过点作斜率不为0的直线交椭圆于，两点，，两点在直线上且，，设直线、的斜率分别为，，试问：是否为定值？若是，求出该定值.若不是，请说明理由.34．（2023上·辽宁丹东·高二统考期末）双曲线的一条渐近线方程为，且经过点．(1)求的方程；(2)为坐标原点，过双曲线上一动点（在第一象限）分别作的两条渐近线的平行线为，且，与轴分别交于P，Q，求证：为定值．35．（2023上·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨三中校考期末）已知双曲线的离心率，，分别为其两条渐近线上的点，若满足的点在双曲线上，且的面积为8，其中为坐标原点．(1)求双曲线的方程；(2)过双曲线的右焦点的动直线与双曲线相交于，两点，在轴上是否存在定点，使为常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．36．（2023上·河南许昌·高二统考期末）双曲线的左、右焦点分别为，过作与轴垂直的直线交双曲线于两点，的面积为12，抛物线以双曲线的右顶点为焦点.

(1)求抛物线的方程；(2)如图，点为抛物线的准线上一点，过点作轴的垂线交抛物线于点，连接并延长交抛物线于点，求证：直线过定点.专题10圆锥曲线的综合问题圆锥曲线中的求值与证明问题1．（2023上·黑龙江牡丹江·高二牡丹江市第二高级中学校考期末）已知抛物线，p为方程的根.(1)求抛物线的方程；(2)若抛物线与直线无公共点，求此抛物线的通径（通径：过抛物线的焦点且与对称轴垂直的直线被抛物线所截得的线段）.【答案】(1)或(2)4【分析】（1）代入求解得到或6，从而得到抛物线方程；（2）先联立抛物线方程与直线，由根的判别式得到与直线无公共点，从而求出两点坐标，得到.【详解】（1）由题意得，解得或6.或.（2）联立与可得，即，由，故抛物线与直线有公共点，不合要求，舍去；联立与可得，即，由，故抛物线与直线无公共点，∴焦点，中令，可得，解得，.2．（2023上·内蒙古包头·高二统考期末）已知椭圆左右焦点分别为，离心率为．斜率为的直线（不过原点）交椭圆于两点，当直线过时，周长为8．(1)求椭圆的方程；(2)设斜率分别为，且依次成等比数列，求的值，并求当面积为时，直线的方程．【答案】(1)；(2)；或.【分析】（1）根据的周长为求出，再根据离心率求出，从而求出椭圆方程.（2）设出直线的方程为，与椭圆方程联立，借助韦达定理表示出依次成等比数列，进而求出的值；再利用弦长公式和点到直线距离公式表示出的面积，求解即可得到的值，从而得到直线的方程.【详解】（1）由题意，，解得，所以.故椭圆的方程为．（2）设直线的方程为，与椭圆方程联立得，，且，所以．由题意，，故..此时，，.又点O到直线的距离，故三角形的面积,解得或，所以直线l方程为或.

3．（2023上·浙江杭州·高二杭州高级中学校考期末）已知双曲线C：的渐近线方程为，且过点．(1)求双曲线C的方程；(2)若F是双曲线的右焦点，Q是双曲线上的一点，过点F，Q的直线l与y轴交于点M，且，求直线l的斜率．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据双曲线的渐近线方程为和双曲线过点，联立求解；（2）由题意设直线方程为，令，得到M的坐标，设，根据，用k表示点Q的坐标，再根据点Q在双曲线上，代入双曲线方程求解.【详解】（1）解：因为双曲线C：的渐近线方程为，所以，又因为双曲线C：过点，所以，解得，所以双曲线的方程为；（2）由（1）知：，则，由题意设直线方程为，令，得，则，设，则，因为，所以，则，解得，因为点Q在双曲线上，所以，解得，所以直线l的斜率为.4．（2023上·福建南平·高二统考期末）已知双曲线C：的右焦点为F，过F的直线l与双曲线交于M，N两点，当轴时，．(1)求双曲线C的离心率e；(2)当l倾斜角为时，线段MN垂直平分线交x轴于P，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题意可得：，也即，进而求出双曲线的离心率；（2）结合（1）的结论可得双曲线C的方程为，设直线MN的方程为，联立方程组，利用韦达定理和中点坐标公式可得MN的垂直平分线的方程为，进而得到P的坐标为，计算可得，，进而求解.【详解】（1）根据题意．所以，所以双曲线C的离心率．（2）由（1）知，双曲线C的方程为．直线MN的方程为，联立方程组，得，设，，，则，．因为，所以MN的中点坐标为．MN的垂直平分线的方程为，所以P的坐标为，所以．又，所以．5．（2023上·河南商丘·高二校联考期末）已知椭圆的焦点分别为，过的动直线与过的动直线相互垂直，垂足为，若在两直线转动的过程中，点仅有两次落在椭圆上.(1)求椭圆的方程；(2)若直线的斜率不等于，且直线交椭圆于两点，直线交椭圆于，两点，证明：四边形的面积大于.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）由已知可得，单位圆与椭圆有两个交点，可求椭圆的方程；（2）四边形对角线互相垂直，由题意通过联立方程组用韦达定理表示出弦长，再表示出面积求取值范围.【详解】（1）由题可知圆与椭圆有且只有两个公共点，这两个公共点为短轴的顶点，..椭圆的方程为.（2）当直线的斜率不为0，且斜率存在时，设直线的方程为且.联立方程组得，

消去得.设，则..同理得.与相互垂直，则四边形的面积.令，则且，.，当时等号成立∴且时，.当直线其中一条的斜率不存在时，另一条的斜率为0，不妨设直线的斜率为0，则直线的方程为，直线的方程为.代入椭圆方程可得，，，，.综上，可知四边形的面积大于.6．（2023上·山西阳泉·高二统考期末）已知是椭圆的左焦点，上顶点B的坐标是，离心率为.(1)求椭圆的标准方程；(2)O为坐标原点，直线l过点且与椭圆相交于P，Q两点，过点作，与直线相交于点E，连接OE，与线段PQ相交于点M，求证：点M为线段PQ的中点.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）根据已知条件求得，从而求得椭圆的标准方程.（2）设出直线的方程，求得直线的方程、直线的方程，求得点坐标，联立直线的方程与椭圆方程，化简写出根与系数关系，求得中点坐标，进而判断出是的中点.【详解】（1）因椭圆的上顶点，则，令椭圆半焦距为c，由离心率得，即，解得，∴椭圆的标准方程为.（2）由（1）知，，，显然直线l不垂直于y轴，设直线，显然，直线l不垂直于y轴，因直线过点，且，则直线的方程可设为，由得点，直线OE的方程为：，由解得：，因此点，由消去x并整理得：，设，，则，所以，，即线段PQ中点坐标为，∴点M为线段PQ的中点.7．（2023上·安徽黄山·高二统考期末）设过抛物线对称轴上的定点，作直线与抛物线交于两点，且，相应于点的直线称为抛物线的“类准线”.(1)若，求的值；(2)若点是“类准线”上任意一点，设直线(其斜率都存在)的倾斜角依次为，求证：.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）设的方程为，与抛物线联立得交点坐标关系即可求得的值；（2）根据直线倾斜角与斜率的关系，设，则，根据坐标关系即可证明结论.【详解】（1）由题可知直线的斜率存在，设为，则的方程为，联立得，恒成立，所以，则；（2）证明：如图，由（1）可得，，所以，且，，又设，则，

所以又，所以.8．（2023上·广东湛江·高二统考期末）设第一象限的点是双曲线上的一点，已知C的一条渐近线的方程是．(1)求b的值，并证明：；(2)若直线和曲线C相交于E，F两点，求．【答案】(1)，证明见解析(2)【分析】（1）根据渐近线方程可得，进而根据分析法即可求解，（2）联立方程，由韦达定理以及弦长公式即可求解.【详解】（1）的渐近线方程为，故，双曲线方程为，在双曲线上，所以，要证，只需证，由于，若，显然成立，若时，只需要证明，即证，因此只需要证明，由，得，而，故成立，因此（2）联立直线与双曲线方程，设,则，所以由弦长公式得：，圆锥曲线中的最值与范围问题9．（2023上·陕西西安·高二长安一中校考期末）设B是椭圆的上顶点，点P在C上，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】设，确定，根据二次函数性质得到最值.【详解】，设，则，，当时，最大为.故选：B10．（2023上·湖北襄阳·高二襄阳四中校考期末）已知抛物线的焦点为F，准线为l，直线，动点M在C上运动，记点M到直线l与的距离分别为，O为坐标原点，则当最小时，（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由抛物线的定义可知，设于点，则，当三点共线时，取得最小值，再结合点到直线的距离公式，以及直角三角形的余弦，即可求得结果.【详解】由抛物线的定义可知，设于点，则，当三点共线时，取得最小值，由抛物线得，所以点到直线的距离为，设直线与交于点，令，得，所以，在中，,所以，故选：C11．（2023上·江苏南京·高二南京外国语学校校考期末）已知直线与曲线仅有三个交点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】将曲线的表达式整理变形可知，其图象是由上半椭圆和上半双曲线组成的，再根据直线与双曲线的渐近线平行，利用数形结合讨论临界位置结合交点个数即可求得实数的取值范围.【详解】由题意得曲线，即，可得；当时得到即；当时得到；由以上可得曲线的如图中所示，易知直线与双曲线的一条渐近线平行；把直线向上平移到点时，即与曲线有两个交点，此时；继续向上平移至与半椭圆相切前有3个交点．当直线与椭圆的上半部分相切时，联立直线与椭圆的方程代入整理得即或（舍），由图示可得；综上可知.故选：C12．（2023上·四川绵阳·高二统考期末）已知椭圆的上焦点为，直线与椭圆交于M，N两点，则的周长的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用椭圆定义和椭圆的对称性即可求得的周长的取值范围.【详解】直线与椭圆交于M，N两点，椭圆的上焦点为，令下焦点为，连接由椭圆的对称性可得，则的周长为,又，则，则的周长的取值范围是故选：D13．（2023上·浙江温州·高二统考期末）已知F是双曲线C：的右焦点，过F的直线l交双曲线右支于P，Q两点，PQ中点为M，O为坐标原点，连接OM交直线于点N．(1)求证：；(2)设，当时，求三角形面积S的最小值．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）设出PQ的方程，与双曲线联立消元，利用韦达定理求出点的坐标，再利用向量的数量积等于0即可证明；（2）利用直线中范围，通过韦达定理与建立起联系，从而求出的范围，再将面积用关于的函数来表示，通过函数的单调性即可求得最小值.【详解】（1）由题知，在双曲线中，，，，所以，因此.因为过F的直线l交双曲线右支于P，Q两点，故可设PQ的方程为，设，，由得，，，，得∴，得直线OM的方程为，从而得由，，得，所以即，故（2）因直线PQ与双曲线右支交于两点，得由，，得又因，得，，得，又因，得，，，由，，不妨设，令，，在该区间内单调递增，故.【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的几何图形面积范围或最值问题，可以以直线的斜率、横(纵)截距、图形上动点的横(纵)坐标为变量，建立函数关系求解作答.14．（2023上·吉林长春·高二校考期末）已知直线分别经过椭圆左顶点和上顶点，，是椭圆的左、右两个焦点，椭圆的离心率．(1)求实数和椭圆方程；(2)设过点且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于两点，线段的垂直平分线与轴交于点，求的取值范围．【答案】(1)，椭圆方程为(2)【分析】（1）由直线方程求出，，结合离心率求出，，得到椭圆方程，求出，从而求出；（2）设，与椭圆方程联立，求出两根之和，两根之积，从而求出线段的中点坐标，得到线段的垂直平分线方程，令，求出，得到的取值范围.【详解】（1）中令，解得：，故，所以，因为离心率，所以，解得：，所以，故椭圆方程为，且，代入中得：，解得：；（2）由题意得：，直线的斜率一定存在且不为0，设，与椭圆方程联立得：，恒成立，设，则，，则，故线段的中点坐标为，故线段的垂直平分线方程为，令得：，因为，故.15．（2023上·浙江杭州·高二统考期末）已知点分别为双曲线的左顶点和右焦点，过且垂直于轴的直线与双曲线第一象限部分交于点，的面积为．(1)求双曲线的方程；(2)若直线与双曲线的左、右两支分别交于，两点，与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，记，的面积分别为，（为坐标原点）．若，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据双曲线方程即可写出之间的关系，再根据三角形面积公式解得，即可得到双曲线的方程；（2）联立直线与双曲线方程，利用韦达定理和弦长公式即可写出的表达式，同理可得的面积表达式，再通过构造函数即可求得实数的取值范围．【详解】（1）由题意可知，所以，，由已知，可得，则，解得，所以双曲线的方程为.（2）设，联立，整理可得所以，解得，由，可得，，原点到直线的距离，所以设，，易知渐近线方程为，不妨设在渐近线上，由得，同理，所以，到直线的距离，所以所以，，则令，则故的取值范围是16．（2023上·浙江杭州·高二浙江大学附属中学校考期末）已知抛物线的顶点在原点，焦点在直线上．(1)求抛物线的标准方程；(2)过点的直线m与焦点在x轴上的抛物线交于A，B两点，若原点O在以线段AB为直径的圆外，求实数a的取值范围．【答案】(1)或(2)或【分析】（1）由抛物线的顶点在原点及焦点在直线上，可根据直线与坐标轴的交点，求得抛物线的焦点，即可求得抛物线的方程；（2）由直线与抛物线联立求得弦长，及交点的中点，即可求得以线段AB为直径的圆的方程，再由原点在圆外，代入原点，即可求得实数a的取值范围.【详解】（1）当时，，此时焦点为，即此时抛物线焦点在轴，开口向下，顶点在原点，则抛物线方程为；当时，，此时焦点为，即此时抛物线焦点在轴，开口向右，顶点在原点，则抛物线方程为；（2）设过点直线m的方程为，设直线m与抛物线的交点分别为联立方程消去得，即，；AB的中点为；；则以线段AB为直径的圆的方程为若原点O在以线段AB为直径的圆外，则化简得，即或.圆锥曲线中的定值与定点问题17．（2023上·山东枣庄·高二枣庄八中校考期末）设椭圆的上顶点为，且长轴长为，过任作两条互相垂直的直线分别交椭圆于，两点，则直线过定点．【答案】【分析】根据题意求出椭圆C的方程，设直线AB的方程为，与椭圆方程联立，结合韦达定理与，求得的值，进而可得答案．【详解】根据题意椭圆的焦点在轴上，设椭圆的方程为∵上顶点为，∴，又长轴长为，∴，则椭圆C的方程为，

易知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为，由可得，∴，又，∴，解得或．当时，直线AB经过点D，不满足题意，则直线AB的方程为，故直线AB过定点．故答案为：．18．（2023上·河北唐山·高二开滦第一中学校考期末）已知抛物线，在直线上任取一点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，则直线恒过定点.【答案】【分析】设，，，，由，利用导数的几何意义推导出的方程为，由此能证明直线过定点．【详解】设，，，，，，直线为，化简得同理的方程，直线，过点，，．，满足方程,故，是方程的两个根，，，的方程为，化简得将，代入得，直线过定点．19．（2023上·河南许昌·高二统考期末）已知的两个顶点A，B的坐标分别是且直线PA，PB的斜率之积是，设点P的轨迹为曲线H.(1)求曲线H的方程；(2)经过点且斜率为k的直线与曲线H交于不同的两点E，F（均异于A，B），证明：直线BE与BF的斜率之和为定值.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）利用斜率公式即可化简求解，（2）联立直线与椭圆的方程，得到韦达定理，即可结合斜率公式求解.【详解】（1）设，则由直线PA，PB的斜率之积是可得，化简可得（2）设直线方程为：，则与椭圆方程联立可得：，则，故或，设，则，.故.

.20．（2023上·浙江温州·高二校考期末）已知双曲线：的焦距为8．过左焦点的直线与的左半支交于，两点，过，作直线：的垂线，垂足分别为，，且当垂直于轴时，．(1)的标准方程；(2)设点，判断是否存在，使得为定值？若存在，求的值；若不存在，说明理由．【答案】(1)(2)存在，【分析】（1）根据焦距得，利用及通经长度即可求得的值，从而得的标准方程；（2）讨论直线斜率不存在与存在两种情况，存在时，直线方程为，，联立直线与双曲线，得交点坐标关系，利用直线方程与双曲线方程转化，通过系数成比例解方程确定定值是否存在即可.【详解】（1）由题可知，焦距，所以，当AB垂直于x轴时，，又，联立，解得或（舍），所以则的标准方程为；（2）如图，①当直线斜率不存在时，此时，则，所以，要使得为定值，则；②当直线斜率存在时，设直线方程为，，则，由于均在左半支，所以，且，所以，消去得，则所以，同理，则，要使得为定值，则满足，解得，此时，经检验，此结果也符合斜率不存在的情况综上，存在使得为定值.21．（2023上·江苏苏州·高二统考期末）已知抛物线，记其焦点为.设直线：，在该直线左侧的抛物线上的一点P到直线的距离为，且.(1)求的方程；(2)如图，过焦点作两条相互垂直的直线、，且的斜率恒大于0.若交于点，交抛物线于、两点，证明：为定值.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）利用抛物线的定义以及准线方程即可求解；（2）利用全等三角形的性质以及三角形内角和即可求解.【详解】（1）抛物线的准线的方程为，则可知，解得，所以的方程为.（2）作于，于.由抛物线定义，，，又因为，，所以，，由此，，，所以，，所以，为定值.22．（2023上·四川资阳·高二统考期末）已知椭圆E：经过点和.(1)求E的方程；(2)过E的右焦点的直线l与E交于A，B两点，在直线上是否存在一点D，使得是以AB为斜边的等腰直角三角形？若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由.【答案】(1)(2)不存在，理由见解析【分析】（1）把两个点的坐标代入方程可得的值，得到椭圆的方程；（2）先讨论斜率不存在时的情况，利用垂直可得不存在；再讨论斜率存在的情况，利用韦达定理及等腰直角三角形的性质可得也不存在.【详解】（1）因为椭圆E经过和两点，所以，，，则E的方程为.（2）假设在直线上存在点D，使得是以AB为斜边的等腰直角三角形.①当l的斜率不存在时，只有当D点为，才满足以AB为底边的等腰三角形，此时不妨取，，此时，显然AD与BD不垂直，则不是等腰直角三角形.此时，不符合题意.

②当l的斜率存在时，设l：，联立方程组消去y，得，则，设，，AB的中点为，则，，所以，又可得，，，因为是以AB为斜边的等腰直角三角形，所以MD的斜率为，又D点的横坐标为2，，所以，即，得，无解，此时不存在这样的D点.综上，不存在这样的D点，使是以AB为斜边的等腰直角三角形.

23．（2023上·山西太原·高二统考期末）已知双曲线的左､右焦点分别为，离心率为，是上一点.(1)求双曲线的方程；(2)直线过点，与双曲线的右支交于两点，点与点关于轴对称，求证：两点所在直线过点.【答案】(1)；(2)证明负了解析.【分析】（1）根据双曲线离心率可得，再将给定点代入计算作答.（2）设出直线的方程，与双曲线方程联立，利用韦达定理结合向量共线的坐标表示推理作答.【详解】（1）双曲线的离心率，则，即，又点在上，即，解得，所以双曲线的方程为.（2）显然直线不垂直于坐标轴，设直线的方程为：，由（1）知，双曲线渐近线，而直线l与双曲线右支交于两点，则，即，由消去x并整理得：，，则，设，则，于是，则，而，有，因此，即，而有公共点，从而三点共线，所以两点所在直线过点.【点睛】思路点睛：圆锥曲线中动直线过已知定点问题，根据条件求出动直线与圆锥曲线的两个交点的坐标关系，再借助共线向量的坐标表示推理解决.24．（2023上·辽宁沈阳·高二沈阳二十中校联考期末）已知平面上的动点到定点的距离比到直线的距离小1．(1)求动点的轨迹的方程；(2)过点的直线交于两点，在轴上是否存在定点，使得变化时，直线与的斜率之和是0，若存在，求出定点的坐标，若不存在，写出理由．【答案】(1)(2)存在，定点【分析】（1）由题意可得动点到定点的距离与到直线的距离相等．可得动点的轨迹是抛物线；（2）设直线方程为，，代入抛物线方程得交点坐标关系，假设存在定点，由斜率关系可得，利用坐标转化与坐标关系可求得为定值，即可确定定点坐标.【详解】（1）由题意可得动点到定点的距离与到直线的距离相等．动点的轨迹是抛物线：点为焦点，直线为准线，可得方程为：．（2）由题意可设，直线方程为，，则，消去得，恒成立，所以，假设存在点，则设，所以，于是可得，故存在定点.25．（2023上·北京·高二校考期末）已知抛物线的焦点为F，准线为，点P在抛物线上，于点Q．若是锐角三角形，则点P的横坐标的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】在轴上取点，推导出为锐角，设点，可得出，可求得的范围.【详解】如图所示：在轴上取点，由抛物线的定义可得，则，由于为锐角三角形，则为锐角，由已知可得轴，所以，则为锐角，焦点，设点，则，，则，解得，因此，点的横坐标的取值范围是.故选：D.26．（2023上·北京丰台·高二北京市第十二中学校考期末）已知椭圆，直线l与两个坐标轴分别交于点M，N．且与椭圆E有且只有一个公共点，O是坐标原点，则面积的最小值是（

）A． B．4 C． D．2【答案】D【分析】根据题意首先设直线l方程为，和椭圆方程联立结合韦达定理求得参数和之间的关系，利用面积公式结合基本不等式求最值即可得解.【详解】若要直线l与两个坐标轴分别交于点M，N，则直线l的斜率存在，故设直线l方程为，代入到椭圆方程可得，根据提意可得，所以，根据题意对方程，，所以令得，令得，所以，当且仅当时取等，所以面积的最小值是.故选：D27．（2023上·贵州黔西·高二统考期末）欧几里得生活的时期人们就发现了椭圆有如下的光学性质：从椭圆的一个焦点射出的光线经椭圆内壁反射后必经过该椭圆的另一焦点．现有椭圆，长轴长为4，从椭圆的一个焦点发出的一条光线经该椭圆内壁上一点反射之后恰好与轴垂直，且．(1)求椭圆的标准方程；(2)已知为坐标原点，A为椭圆的左顶点，若斜率为且不经过点A的直线与椭圆交于，两点，记直线，的斜率分别为，，且满足，且，求的值.【答案】(1)(2)或【分析】（1）利用椭圆的定义得出，再利用垂直关系和进行求解；（2）设直线的方程为，联立直线与椭圆的方程，得到关于的一元二次方程，韦达定理，利用斜率公式及得到关于、的关系式，化简两根之和与积，利用及点在椭圆上得到，代入化简即可求解.【详解】（1）不妨设、是椭圆的左焦点、右焦点，则轴，又因为，，所以，所以点，代入得，又，解得，，所以椭圆的标准方程为：；（2）设直线的方程为，，，联立，得：，则，，因为，所以，即，即，即，则，即，即，则或，当时，直线可化为，即直线过定点（与左焦点重合，舍去），所以，则，，且，解得；因为，所以，即，即，即，即，即，即，则或，所以或28．（2023上·安徽滁州·高二校联考期末）已知双曲线：（，）的左顶点为，到的一条渐近线的距离为．(1)求的方程；(2)过点的直线与交于，两点，求的值．【答案】(1)(2)0【分析】（1）由题意知，取双曲线的一条渐近线，再根据点到直线的距离公式即可得到与关系式，从而求得，进而可求得的方程；（2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，则可得到，的坐标，进而可直接求解的值；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，联立直线的方程和的方程可得到关于的一元二次方程，从而可得到，，代入即可求解的值，综上，即可得到的值．【详解】（1）由题意知，的一条渐近线方程为，即，所以到的一条渐近线的距离为，所以，又，解得，所以的方程为．（2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，易得，或，，所以；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，联立，得，所以，解得，所以，，所以．综上，．29．（2023上·山东泰安·高二统考期末）如图，直线与抛物线相交于A，B两点．(1)求线段AB的长；(2)证明：．【答案】(1)；(2)证明见解析.【分析】（1）联立直线的方程和抛物线的方程，结合根与系数关系求得.（2）根据根与系数关系、向量数量积等知识证得结论成立.【详解】（1）设，，由，得．，，所以．（2）由（1）知：，，所以，所以，所以．30．（2023上·陕西西安·高二统考期末）已知双曲线的中心在原点，焦点，在坐标轴上，离心率为，且过点．(1)求双曲线方程；(2)若点在双曲线上，求证：；(3)在（2）的条件下，求的面积．【答案】(1)(2)证明见解析(3)6【分析】（1）首先根据离心率设出双曲线方程，再代入点的坐标，即可求解；（2）首先将点代入双曲线方程求，再根据斜率公式或是数量积公式，证明垂直；（3）根据（1）（2）的结果，代入面积公式，即可求解.【详解】（1）因为，所以可设双曲线方程为．因为过点，所以，即．所以双曲线方程为，即（2）由（1）可知，双曲线中，所以，不妨设，分别为双曲线的左右焦点，则，．方法一：，，因为点在双曲线上，所以，，所以,所以，所以．方法二：因为，，所以．因为点在双曲线上，所以，即，所以．

（3）的底边长，的高，所以．31．（2023上·湖北·高二统考期末）已知双曲线（，）的实轴长为2，直线为双曲线C的一条渐近线．(1)求双曲线的标准方程；(2)直线与双曲线相交于不同两点，求的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）依题意可得，再由双曲线的渐近线求出，即可得解；（2）联立直线与双曲线方程，消去得到关于的方程，依题意可得，解得即可.【详解】（1）由双曲线可得渐近线方程为，∵实轴长为2，∴，即，∵直线为双曲线的一条渐近线，∴，∴，故双曲线的标准方程为；（2）解：双曲线与直线联立得，消去整理得，因为直线与双曲线相交于不同两点，所以有，解得且，即或或，所以的取值范围为：．32．（2023上·江苏苏州·高二常熟中学校考期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，且与椭圆交于两点，线段的中点恰在抛物线上.(1)求的取值范围；(2)设是抛物线上一点，求的取值范围，使得的面积存在最大值.【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用“设而不求法”表示出，代入抛物线，结合，求出的取值范围；（2）表示出的面积，利用导数研究最值，求出的取值范围.【详解】（1）由直线与轴交于点，可得：.联立，消去，可得：，所以，可得：由根与系数的关系可得：.设，则.将代入抛物线，有，即，得：，代入①可得：，可得：，解得：.因为，所以.（2）由，则点到直线的距离为.因为,所以的面积为.将代入②式整理化简可得：.令，记.则.要使的面积存在最大值，只需：由在上单调递减，所以在上存在唯一极值点，所以，解得：因为点D在椭圆的上方，所以.由③④解得：.所以的取值范围为.33．（2023上·贵州六盘水·高二统考期末）已知椭圆：（），椭圆的中心到直线的距离是短半轴长，长轴长是焦距的倍.(1)求椭圆的方程；(2)设，过点作斜率不为0的直线交椭圆于，两点，，两点在直线上且，，设直线、的斜率分别为，，试问：是否为定值？若是，求出该定值.若不是，请说明理由.【答案】(1)(2)是，【分析】（1）根据椭圆的几何性