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文档简介
八(上)数学教材习题习题13.3人教版解:(1)(180°–110°)÷
2=35°,故它的另外两个角都是35°.(2)分两种情况:①当等腰三角形的一个底角为80°时,那么它的另一个底角为80°,则顶角为180°
–80°–80°=20°;②当等腰三角形的顶角为80°时,那么它的两个底角均为(180°
–80°)÷2=50°.综上可知,等腰三角形的另外两个角是20°,80°或50°,50°.1.(1)等腰三角形的一个角是110°,它的另外两个角是多少度?(2)等腰三角形的一个角是80°,它的另外两个角是多少度?证明:∵AD∥BC,
∴∠ADB=∠CBD.又∵BD
平分∠ABC,
∴∠ABD=∠CBD.
∴∠ADB=∠ABD.
∴AB=AD.2.如图,AD∥BC,BD平分∠ABC.求证AB=AD.解:∵五角星的五个角都是顶角为36°的等腰三角形,∴每个底角的度数是(180°
–36°)
÷
2=72°.∴∠AMB=180°
–72°=108°.3.如图,五角星的五个角都是顶角为36°的等腰三角形,为了画出五角星,还需要知道∠AMB的度数,算一算∠AMB等于多少度.解:∵AB=AC,AD⊥BC,
∴∠BAD
=
∠CAD.∵∠BAC=
120°,∴∠BAD
=
∠CAD=60°.∴∠B=
∠C=90°
–60°=30°.4.如图,厂房屋顶钢架外框是等腰三角形,其中AB=AC,立柱AD⊥
BC,且顶角∠BAC=120°,∠B,∠C,∠BAD,∠CAD各是多少度?证明:∵CE∥DA,
∴∠CEB=∠A.又∵∠A=∠B,
∴∠CEB=∠B.
∴CB=CE,即
△CEB是等腰三角形.5.如图,∠A=∠B,CE∥DA,CE交AB于点E.求证:△CEB
是等腰三角形.证明:∵AB
=AC,AD
=AE,∴∠B=∠C,∠ADE=∠AED.∴∠ADE–∠B=∠AED–∠C,即∠BAD=∠CAE.∴△ABD
≌
△ACE(SAS).∴
BD
=
CE.提示:作BC
边上的高,利用“三线合一”也可以证明结论成立.6.如图,点D,E在△ABC的边BC上,AB=AC,AD=AE.求证BD=CE.解:∵AB=AC,∠A
=
40°,∴∠ABC
=
∠C=(180°
–40°)÷
2=70°.∵MN
是AB
的垂直平分线,∴DA=
DB.∴∠ABD
=
∠A=40°.∴∠DBC
=
∠ABC
–∠ABD=30°.7.如图,AB=AC,∠A=40°,AB的垂直平分线MN交AC
于点D.求∠DBC的度数.作法:(1)以点P为圆心作弧交AB于点E,F;(2)分别以点E,F为圆心,大于
的长为半径作弧,两弧相交于点C;(3)过C,P两点作直线CD,则直线CD为所求的垂线.已知:如图,点P是直线AB上一点,求作直线CD,使CD⊥AB于点P.8.尺规作图:经过已知直线上的一点作这条直线的垂线.答:他们的判断是对的.因为等腰三角形底边上的中线和底边上的高重合.9.某地地震过后,河沿村中学的同学用下面的方法检测教室的房梁是否水平:在等腰直角三角尺斜边中点拴一条线绳,线绳的另一端挂一个铅锤,把这块三角尺的斜边贴在房梁上,结果线绳经过三角尺的直角项点,同学们由此确信房梁是水平的,他们的判断对吗?为什么?证明:∵MN∥BC,∴∠MOB=∠OBC,∠NOC=∠OCB.又∵BO
平分∠ABC,CO
平分∠ACB,
∴∠MBO=∠OBC,∠NCO=∠OCB.
∴∠MOB=∠MBO,∠NOC=∠NCO.
∴MO=MB,NO=NC.
∴△AMN
的周长为AM+AN+MN=AM+AN+MO+NO=AM+AN+MB+NC=AB+AC.10.如图,△ABC中,BO平分∠ABC,CO平分
∠ACB,MN经过点O,AB,AC相交于点
M,N,且MN∥BC.求证:△AMN的周长等于AB+AC.解:∵∠NAC=42°,∠NBC=84°,
∴∠C=∠NBC–
∠NAC=42°.
∴∠NAC=∠C.
∴BC=BA=15×(10
–8)=30(nmile),即从海岛B
到灯塔C
的距离为30nmile.11.上午8时,一条船从海岛A出发,以15nmile/h
(海里/时,1nmie=1852m)的速度向正北航行,10时到达海岛B处,从A,B望灯塔C,测得∠NAC=42°,∠NBC=84°.求从海岛B
到灯塔C的距离.证明:∵△ABD,△AEC都是等边三角形,
∴AD=AB,AC=AE,且∠BAD=∠CAE=60°.
∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC,即∠CAD=∠EAB.
∴△CAD
≌
△EAB(SAS).
∴BE=DC.12.如图,△ABD,△AEC都是等边三角形,求证BE=DC.解:等腰三角形两底角的平分线相等,两腰上的中线相等,两腰上的高相等.若选前两个结论,则可利用全等三角形的判定与性质进行证明;若选“等腰三角形两腰上的高相等”这一结论,利用面积法进行证明(答案不唯一,具体过程略).13.等腰三角形两底角的平分线相等吗?两腰上的中线呢?两腰上的高呢?证明其中的一个结论.解:依题意知△APQ
为等边三角形,∴∠APQ=∠PAQ=∠AQP=60°.∵BP=AP,AQ=QC,∴∠PAB=∠B=∠APQ=30°,
∠QAC=∠C=∠AQP=30°.∴∠BAC=30°
+60°
+30°=120°.14.如图,P,Q是△ABC的边BC上的两点,并且BP=PQ=QC=AP=AQ,求∠BAC的度数.解
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