专题02 模型构建专题：解直角三角形应用中的基本模型之六大类型（解析版）

专题02模型构建专题：解直角三角形应用中的基本模型之六大类型【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【类型一含特殊角（“30°，45°，60°”）的非直角三角形】 1【类型二不含特殊角的非直角三角形】 10【类型三“独立”型】 15【类型四“背靠背”型】 19【类型五“叠合”型】 25【类型六“斜截”型】 29【典型例题】【类型一含特殊角（“30°，45°，60°”）的非直角三角形】例题：（2023·辽宁葫芦岛·统考二模）如图，小明在游玩时想利用手中的无人机测量一山崖（垂直于地面）的高度，小明从点看向无人机的仰角为．从无人机处测得看山崖顶端的仰角为，测得看山崖底部处的俯角为，无人机与山崖的水平距离为50米．（图中各点均在同一平面内）．

(1)求山崖的高度（结果保留根号）；(2)若点距离地面2米，求小明到山崖的水平距离（结果取整数）．（参考数据：，）【答案】(1)米(2)135米【分析】（1）利用锐角三角函数求得和，根据，即可得到答案；（2）过点作于点，过点作于点，得矩形，进而求得，利用锐角三角函数求得，即可得到答案．【详解】（1）解：由题意可知：，，，在中，，，在中，，，米答：山崖的高度约为米；（2）解：如图，过点作于点，过点作于点，得矩形，

则，，，在中，，，，米，答：小明到山崖的距离约为135米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当辅助线是解题的关键．【变式训练】1．（2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨德强学校校考阶段练习）为了维护海洋权益，新组建的国家海洋局加强了海洋巡逻力度，如图，一艘海监船位于灯塔的南偏东方向，距离灯塔100海里的处，沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔的北偏东方向上的处．

(1)在这段时间内，海监船与灯塔的最近距离是多少海里？(2)在这段时间内，海监船航行了多少海里？（结果保留根号）【答案】(1)在这段时间内，海监船与灯塔P的最近距离是海里．(2)轮船航行的距离为海里．【分析】（1）过点P作于C点，则线段的长度即为海监船与灯塔P的最近距离．解等腰直角三角形，即可求出的长度．（2）海监船航行的路程即为的长度．先解，求出的长，再由（1）得出，再利用线段的和差可得答案．【详解】（1）解：过点P作于C点，则线段的长度即为海监船与灯塔P的最近距离．

由题意，得，，，∴，海里．在中，∵，，∴（海里）．答：在这段时间内，海监船与灯塔P的最近距离是海里．（2）在中，∵，，海里，∴（海里）．∴（海里）．答：轮船航行的距离为海里．【点睛】本题考查的是解直角三角形的实际应用，掌握方向角的含义，锐角三角函数的定义是解本题的关键.2．（2023·海南·统考中考真题）如图，一艘轮船在处测得灯塔位于的北偏东方向上，轮船沿着正北方向航行20海里到达处，测得灯塔位于的北偏东方向上，测得港口位于的北偏东方向上．已知港口在灯塔的正北方向上．

(1)填空：度，度；(2)求灯塔到轮船航线的距离（结果保留根号）；(3)求港口与灯塔的距离（结果保留根号）．【答案】(1)30，45(2)灯塔到轮船航线的距离为海里(3)港口与灯塔的距离为海里【分析】（1）作交于，作交于，由三角形外角的定义与性质可得，再由平行线的性质可得，即可得解；（2）作交于，作交于，由（1）可得：，从而得到海里，再由进行计算即可；（3）作交于，作交于，证明四边形是矩形，得到海里，，由计算出的长度，证明是等腰直角三角形，得到海里，即可得到答案．【详解】（1）解：如图，作交于，作交于，

，，，都是正北方向，，，，故答案为：30，45；（2）解：如图，作交于，作交于，

，由（1）可得：，海里，在中，，海里，海里；灯塔到轮船航线的距离为海里；（3）解：如图，作交于，作交于，

，，，、都是正北方向，四边形是矩形，海里，，在中，，海里，海里，在中，，是等腰直角三角形，海里，海里，港口与灯塔的距离为海里．【点睛】本题主要考查了解直角三角形，矩形的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形外角的定义与性质，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线，构造直角三角形是解题的关键．3．（2023春·内蒙古巴彦淖尔·九年级校考期中）无人机在实际生活中应用广泛．如图所示，某人利用无人机测量大楼的高度，无人机在空中C处测得楼楼顶D处的俯角为，测得楼EF楼顶E处的俯角为．已知楼和楼之间的距离HF为90米，楼的高度为12米，从楼的E处测得楼的D处的仰角为30°，．（点A、B、C、D、E、F、H在同一平面内）．（参考数据：）

(1)求楼的高度；(2)求此时无人机距离地面的高度．【答案】(1)米(2)57米【分析】（1）过点E作于点G，则四边形是矩形，由题意可得米，米，在中，利用求出，结合可得出答案．（2）作于点N，交于点M，先证明，在中求出的长，在中求出的长，再根据可得出答案．【详解】（1）如图，过点E作于点G，则四边形是矩形，

则米，米．在中，，，∴∴．∴答：楼高度为米；（2）如图，作于点N，交于点M，则米．

∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，在中，，，∴，∴，在中，，，∴，∴，∴．∴无人机距离地面的高度为57米．【点睛】本题考查解直角三角形的应用−仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．4．（2023秋·海南海口·九年级校考期末）脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活，如图是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高所在的直线，为了测量房屋的高度，在地面上C点测得尾顶A的仰角为35°，此时地面上C点、屋檐上E点、屋顶上A点三点恰好共线，继续向房屋方向走到达点D时，又测得屋檐E点的仰角为60°，房屋的顶层横梁，，交于点G（点C，D，B在同一水平线上）．（参考数据：，，，）

(1)求屋顶到横梁的距离；(2)求房屋的高（结果精确到）．【答案】(1)(2)【分析】（1）依题意，，，解，即可求解；（2）过作于，设，根据得出，在中，得到，根据列出方程，解方程得出，进而根据，即可求解．【详解】（1）解：∵房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高所在的直线，，，∴，，，在中，，，∵，，∴；答：屋顶到横梁的距离约为；（2）解：过作于，

设，在中，，，∵，∴；在中，，，∵，∴∵，∴，解得：，∴，答：房屋的高约为．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键．5．（2023·辽宁葫芦岛·统考二模）无人机在实际生活中应用广泛．如图所示，小明利用无人机测量大楼的高度，无人机在空中处，测得楼楼顶处的俯角为，测得楼楼顶处的俯角为．已知楼和楼之间的距离为米，楼的高度为10米，从楼的处测得楼的处的仰角为（点在同一平面内，参考数据：）．

(1)填空：______________度；(2)求楼的高度；(3)求此时无人机距离地面的高度（结果精确到1米）．【答案】(1)75(2)110米(3)183米【分析】（1）由平角的性质可得，过点作于点，则，根据三角形内角和定理可得；（2）由题意可得米，米，在中，，解得，结合可得出答案；（3）过点作于点，交于点，证明，可得米，再根据可得出答案；【详解】（1）解：，过点作于点，

则，，故答案为：75（2）解：过点作于点，则米，米，在中，，米．答：楼的高度为110米．（3）解：过点作于点，交于点，

在中，（米）答：此时无人机距离地面的高度约为183米．【点睛】本题考查解直角三角形的应用一仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键【类型二不含特殊角的非直角三角形】例题：（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在的方格中，两条线段的夹角（锐角）为，则．

【答案】1【分析】由勾股定理的逆定理可得，可得，由平行线的性质和锐角三角函数可求解．【详解】解：如图，取格点E，连接，则，

，，，，，，，，，，故答案为：1．【点睛】本题考查了锐角三角函数，勾股定理的逆定理，添加恰当辅助线构造直角三角形是本题的关键．【变式训练】1．（2023·江苏宿迁·统考中考真题）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B、C三点都在格点上，则．

【答案】【分析】取的中点，连接，先根据勾股定理可得，再根据等腰三角形的三线合一可得，然后根据正弦的定义即可得．【详解】解：如图，取的中点，连接，

，，又点是的中点，，，故答案为：．【点睛】本题考查了勾股定理与网格问题、等腰三角形的三线合一、正弦，熟练掌握正弦的求解方法是解题关键．2．（2023·全国·九年级专题练习）如图，的三个顶点都在边长是的小正方形的顶点上，则．【答案】【分析】过作于，则，求出和的长，再解直角三角形求出即可．【详解】解：如图，过作于，∴，∵小正方形的边长为，∴，，∴．故答案为：．【点睛】本题考查了解直角三角形．理解和掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．3．（2023春·浙江杭州·九年级专题练习）在中，，，为锐角且．(1)求的面积；(2)求的值；(3)求的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）过点作，根据的正切值确定的度数，再利用直角三角形的边角间关系求出、，最后利用三角形的面积公式算出的面积；（2）先利用线段的和差关系求出，然后在中利用勾股定理求出；（3）在中利用直角三角形的边角间关系求出的余弦值．【详解】（1）解：过点作，垂足为，∴，∵为锐角且，∴，∴，∴，∴，在，∵，，∴，∵，∴．∴的面积为．（2）∵，，∴，在中，．∴的值为．（3）在中，，，∴．∴的值为．【点睛】本题主要考查解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系、特殊角的三角函数值、三角形的面积公式及勾股定理是解题的关键．4．（2023秋·重庆·九年级重庆实验外国语学校校考开学考试）如图，在中，，点为的中点，于点，连接．已知.

(1)若，求的长度；(2)若，求．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据，得到中各边长的比值关系，计算出的长度，根据中点的性质得到的长度，最后再用计算出即可．（2）过点作于点，根据，，算出的长度，根据中点的性质得到的长度，就可以算出和的长度，得到的长度，勾股定理算出，即可得到结论．【详解】（1），，，，，∴，，点为的中点，．在中，，，．（2）过点作于点，

，，，，点为的中点，，在，，，，．由勾股定理得：，，【点睛】本题考查了解直角三角形，主要利用锐角三角函数值，勾股定理进行长度计算，理解锐角三角函数的含义，并能运用到题目中是解题关键．5．（2023·宁夏吴忠·校考二模）问题呈现：如图1，在边长为1的正方形网格中，连接格点D、N和E、C，和相交于点P，求的值．方法归纳：求一个锐角的三角函数值，我们往往需要找出（或构造出）一个直角三角形.观察发现问题中不在直角三角形中，我们常常利用网格画平行线等方法解获此类问题，比如连接格点M、N，可得，则，连接DM，那么就变换到中，

问题解决：(1)求出图1中的值；(2)如图2，在边长为1的正方形网格中，与相交于点P，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）结合已知可得，求出结果即可；（2）取格点D，连接，．由得，．【详解】（1）解：∵，∴，∴，∵，，，∴；（2）解：如图2中，取格点D，连接，，如图所示：

∵，∴，∵，，，∴，∵，∴是等腰直角三角形，∴，∴．【点睛】本题考查三角形综合题、平行线的性质、勾股定理及勾股定理逆定理，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，学会用转化的思想思考问题．6．（2023秋·全国·九年级专题练习）在学习完锐角三角函数后，老师提出一个这样的问题：如图1，在中，，，，求（用含，的式子表示）．聪明的小雯同学是这样考虑的：如图2，取的中点O，连接，过点C作于点D，则，然后利用锐角三角函数在中表示出，，在中表示出，则可以求出．

阅读以上内容，回答下列问题：在中，，．(1)如图3，，，若，则______，______；(2)请你参考阅读材料中的推导思路，求出的表达式（用含，的式子表示）．【答案】(1)，(2)【分析】（1）根据勾股定理求得，再根据三角函数的定义即可求得和，再根据求解即可；（2）取的中点，连接，过点作于点，则，，在中表示出，勾股定理求得，即可求解．【详解】（1）解：由勾股定理可得：，由三角函数的定义可得，，由材料可得：，故答案为：，（2）解：取的中点，连接，过点作于点，如下图：

则，，，，在中，，，，，在中，，，，．【点睛】此题考查了三角函数定义的应用，解题的关键是是熟练掌握三角函数的定义，作辅助线构造直角三角形．【类型三“独立”型】例题：（2023春·吉林长春·九年级校考阶段练习）如图，某校无人机兴趣小组借助无人机测量教学楼的高度，无人机在离教学楼底部处米的处垂直上升米至处，测得教学楼顶处的俯角为，则教学楼的高度约为米．（结果精确到米）【参考数据：，，】

【答案】【分析】过作于点，可得，根据题意可知米，米，由作图知，米，在中利用三角函数可求出的长，即可求得的长【详解】过作于点，

，米，米，，米，在中，，，米，米，答：教学楼的高度约为米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，借助仰角构造出直角三角形，然后利用三角函数进行求解是关键．【变式训练】1．（2023春·山东日照·九年级日照市新营中学校考阶段练习）如图，是垂直于水平面的建筑物，沿建筑物底端沿水平方向向左走米到达点，沿坡度（坡度坡面铅直高度与水平宽度的比）斜坡走到点，再继续沿水平方向向左走米到达点、、、、在同一平面内，在处测得建筑物顶端A的仰角为，已知建筑物底端与水平面的距离为米，则建筑物的高度约是参考数据：，，（

）

A．米 B．米 C．米 D．米【答案】C【分析】延长交的延长线于，作于，首先根据坡度求出，再根据锐角三角函数构建方程即可解决问题．【详解】解：如图，延长交的延长线于，作于，

由题意得：米，米，米，在中，：，米，在中，，米，，米，米；即建筑物的高度约为米．故选：．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角、坡度坡角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．2．（2023春·安徽淮南·九年级校联考阶段练习）如图，甲乙两楼相距30米，乙楼高度为36米，自甲楼楼顶A处看乙楼楼顶B处仰角为30°，则甲楼高度为米；

【答案】【分析】在中，由可求，再由，即可求解．【详解】解：如图，

由题意得：米，米，，在中，，，，甲楼的高为（）米；故答案：．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，掌握解法是解题的关键．3．如图，小明在公园放风筝，拿风筝线的手离地面高度为，风筝飞到处时的线长为，这时测得，求此时风筝离地面的高度．（精确到，）

【答案】此时风筝离地面的高度为【分析】根据矩形的判定和性质，直角三角形的性质，三角函数的计算方法即可求解．【详解】解：如图所示，，，

由图可知，人垂直于地面，即垂直于地面，点到地面的高度为，即垂直于地面，且，∴四边形是矩形，∴，在中，，，∴，∴，∴，∴此时风筝离地面的高度为．【点睛】本题主要考查直角三角形的性质，矩形的判定和性质，三角函数的计算方法，掌握以上知识的运用是解题的关键．【类型四“背靠背”型】例题：（2023春·山东青岛·九年级统考开学考试）科技改变生活，手机导航极大方便了人们的出行，如图，小明一家自驾到古镇C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西67°方向行驶4千米至B地，再沿北偏东23°方向行驶一段距离到达古镇C，小明发现古镇C恰好在A地的正北方向，求B，C两地的距离（结果保留整数）（参考数据：，，，，）．

【答案】B，C两地的距离约是10千米．【分析】根据平行线的性质可知，推出，再根据正切的定义求出的长．【详解】解：如图：

∵，∴，∴，∴（千米）．答：B，C两地的距离约是10千米．【点睛】此题考查了方向角问题．此题难度适中，解此题的关键是将方向角问题转化为解直角三角形的知识，利用三角函数的知识求解．【变式训练】1．（2023春·江苏南通·九年级校考阶段练习）如图，一艘船由A港沿北偏东方向航行至B港，然后再沿北偏西方向航行至C港，C港在A港北偏东方向，则A，C两港之间的距离为．

【答案】【分析】根据题意得，，，，过B作于E，解直角三角形即可得到结论．【详解】解：根据题意得，，，，过B作于E，

∴，在中，∵，，∴，在中，∵，∴，∴，∴，∴A，C两港之间的距离为，故答案为：．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，正确作出辅助线构造直角三角形是解答本题的关键．2．（2023春·海南省直辖县级单位·九年级统考期中）某校举办以“测量”为主题的数学实践活动，该校数学兴趣小组准备借助无人机来测量小区内的一座大楼高度．如图所示，无人机从地面点A处沿着与地面垂直的方向上升，至点B处时，测得大楼底部C的俯角为30°，E测得大楼顶部D的仰角为45°．无人机保持航向不变继续上升50米到达点E处，此时测得大楼顶部D的俯角为60°．已知A、C两点在同一水平线上．

(1)填空：＝_________度，＝_________度；(2)求A、C两点间的距离：（结果保留根号）(3)求这座大楼的高度．（结果保留根号）【答案】(1)；(2)米(3)米【分析】（1）根据俯角和仰角的定义求解即可；（2）设，在中可得，在中可得，在中可得，最后由列方程求解即可；（3）由求解即可．【详解】（1）如图，

由题意可得，，，，，，，∴,，故答案为：；；（2）设，则，在中可得，在中可得，在中可得，∴解得：，∴；（3）由（2）可得，，∴【点睛】本题考查解直角三角形-仰角俯角问题，解题的关键是作辅助线，构造直角三角形解决问题．3．（2023·黑龙江大庆·统考一模）如图，某无人机兴趣小组在操场上展开活动，此时无人机在离地面30米的D处，无人机测得操控者A的俯角为，测得教学楼顶端点C处的俯角为，又经过人工测量测得操控者A和教学楼之间的距离为57米．（点A，B，C，D都在同一平面上，结果保留根号）

(1)填空：______度，______度；(2)求此时无人机与教学楼之间的水平距离的距离；(3)求教学楼的高度．【答案】(1)105，135(2)无人机与教学楼BC之间的水平距离BE的距离为米(3)教学楼BC的高度为米【分析】（1）延长交于点，根据题意可得，，，则，再根据三角形的外角定理求出即可；（2）过点A作，垂足为F．根据题意可得，米，米，则，再根据即可求解；（3）在中，，则，即可求解．【详解】（1）解：如图：延长交于点，

由题意得：，，，∴，∵是的一个外角，∴，故答案为：105，135；（2）解：过点A作，垂足为F．

由题意得：，米，米，在中，，（米），∴米，∴米，∴此时无人机与教学楼之间的水平距离BE的距离为米；（3）解：在中，，米，∴米，∴米，∴教学楼的高度为米．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是正确画出辅助线，构造直角三角形，熟练掌握解直角三角形的方法和步骤．【类型五“叠合”型】例题：（2023春·河南驻马店·九年级统考阶段练习）文峰塔位于河南省安阳市古城内西北隅，因塔建于天宁寺内，又名天宁寺塔；文峰塔建于五代后周广顺二年，已有一千余年历史，风格独特，具有上大下小的特点．由下往上一层大于一层，逐渐宽敞，是伞状形式，这种平台、莲座、辽式塔身、藏式塔刹的形制世所罕见．活动课上，数学社团的学生计划测量文峰塔的高度．如图所示，先在点C处用高1.6m的测角仪测得塔尖A的仰角为37°，向塔的方向前进12m到达F处，在F处测得塔尖A的仰角为45°，请你相关数据求出文峰塔的高度．（结果精确到1m，参考数据：，，，．）

【答案】文峰塔的高度约为38米【分析】延长交于点G，设米，在中，求出的长，进而得出的长，中，利用，进行求解即可．【详解】解：延长交于点G．

由题意得：米，米，．设米．在中，，∴（米）．∴米．在中，，∴，解得．经检验：是原方程的根．∴（米）．答：文峰塔的高度约为38米．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是构造直角三角形，熟记锐角三角函数的定义．【变式训练】1．（2023秋·山东聊城·九年级聊城市实验中学校考阶段练习）如图，小明为了测量小河对岸大树的高度，他在点A测得大树顶端的仰角为，沿斜坡走米到达斜坡上点，在此处测得树顶端点的仰角为，且斜坡的坡比为，，A，在同一水平线上．

(1)求小明从点A到点的过程中，他上升的高度．(2)大树的高度约为多少米参考数据：，，【答案】(1)小明从点A到点的过程中，他上升的高度为米(2)大树的高度约为米【分析】（1）作于，在中，，则．由勾股定理得,即可求出答案；（2）延长交于点设米．求出米在中，，则米在中，，则米．由得到，即可求得答案．【详解】（1）作于，如图所示，

在中，，．，，米答：小明从点A到点的过程中，他上升的高度为米（2）如图，延长交于点设米．由题意，得，米．米，米在中，，米在中，，米．，，解得．答：大树的高度约为米【点睛】此题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握坡角、仰角、三角函数的概念等知识是解题的关键．2．（2023·江苏苏州·校考二模）如图，某中学数学课题学习小组在“测量物体高度”的活动中，欲测量一棵古树的高度，他们在这棵古树的正前方一平房顶点处测得古树顶端的仰角为，在这棵古树的正前方处，测得古树顶端的仰角为，在点处测得点的俯角为，已知为米，且、、三点在同一条直线上．

(1)求平房的高度；(2)请求出古树的高度．（根据以上条件求解时测角器的高度忽略不计）【答案】(1)(2)【分析】（）在中，已知，，利用角的正切可得出结果（）在中，由正切函数的定义求出的长，最后解，即可求出的长，即古树的高度．【详解】（1）由题意知，，，（2），，∴，，，，，，，在中，．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用仰角、俯角问题，熟记锐角三角函数的定义是解答此题的关键．【类型六“斜截”型】例题：（2023春·辽宁阜新·九年级校考阶段练习）如图，在南北方向的海岸线上，有A，B两艘巡逻船，现均收到故障船C的求救信号，已知A，B两船相距海里，船C在船A的北偏东方向上，船C在船B的东南方向上，上有一观测点D，测得船C正好在观测点D的南偏东方向上．

(1)求出A与C之间的距离．(2)已知距观测点D处100海里范围内有暗礁．若巡逻船A沿直线去营救船C，在去营救的