江西省萍乡市2022-2023学年高二上学期期末考试数学试题（含答案详解）

萍乡市2022-2023学年度第一学期期末考试高二数学本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.第I卷1至2页，第II卷3至4页.满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号等填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号､姓名､考试科目”与考生本人的准考证号､姓名是否一致.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答.若在试题卷上作答，答题无效.3.考试结束后，监考员将试题卷､答题卡一并收回.第I卷一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知SKIPIF1<0，则m等于（）A.1 B.3 C.1或3 D.1或4【答案】C【解析】【分析】根据组合数的性质即可求解.【详解】由SKIPIF1<0可知:SKIPIF1<0或者SKIPIF1<0,解得:SKIPIF1<0或SKIPIF1<0故选：C2.若直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0垂直，则实数SKIPIF1<0（）A.0 B.1 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】D【解析】【分析】根据已知条件，结合直线垂直的性质，即可求解．【详解】直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0垂直，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．故选：SKIPIF1<0．3.从某班包含甲､乙的5名班干部中选出3人参加学校的社会实践活动，在甲被选中的情况下，乙也被选中的概率为（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】A【解析】【分析】根据已知条件，结合条件概率公式，即可求解．【详解】令事件SKIPIF1<0为甲被选中的情况，事件SKIPIF1<0为乙被选中的情况，故SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0．故选：SKIPIF1<0．4.已知SKIPIF1<0是双曲线SKIPIF1<0的两个焦点，若双曲线的左､右顶点和原点把线段SKIPIF1<0四等分，则该双曲线的焦距为（）A1 B.2 C.3 D.4【答案】D【解析】【分析】根据题意列出方程组SKIPIF1<0进行求解即可.【详解】因为SKIPIF1<0是双曲线SKIPIF1<0的两个焦点，若双曲线的左､右顶点和原点把线段SKIPIF1<0四等分，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以c=2，所以该双曲线的焦距为SKIPIF1<0.故选：D5.在正四棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，则异面直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角的余弦值为（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】C【解析】【分析】建系，写出相关点的坐标，根据向量求解.【详解】如图建立空间直角坐标系，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以，异面直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角的余弦值为SKIPIF1<0.故选：C.6.过圆SKIPIF1<0上一点SKIPIF1<0的切线方程为（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】B【解析】【分析】根据圆的一般方程得到圆心，从而得到直线SKIPIF1<0的斜率，进而求出过点SKIPIF1<0的切线斜率，由直线的点斜式方程即可求得切线方程.【详解】由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，则该圆的圆心为SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0是该圆上一点，则直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0，所以过点SKIPIF1<0的切线的斜率SKIPIF1<0，则过点SKIPIF1<0的切线方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故选：B.7.抛物线SKIPIF1<0的焦点为F，准线为l，点P是准线l上的动点，若点A在抛物线C上，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（O为坐标原点）的最小值为（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】D【解析】【分析】依题意得点SKIPIF1<0坐标，作点SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0的对称点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0即为最小值．【详解】如图所示：作点SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0的对称点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，设点SKIPIF1<0，不妨设SKIPIF1<0，由题意知SKIPIF1<0，直线l方程为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0三点共线时取等号，又SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0故选：D8.油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史.为宣传和推广这一传统工艺，某活动中将一把油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示.该伞的伞面是一个半径为SKIPIF1<0的圆形平面，圆心到伞柄底端距离为2，当光线与地面夹角为SKIPIF1<0时，伞面在地面形成了一个椭圆形影子，且伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，该椭圆的离心率SKIPIF1<0（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】D【解析】【分析】根据给定条件，求出椭圆的长短半轴长，再求出离心率作答.【详解】依题意，过伞面上端边沿的光线、过这个边沿点伞面的直径及椭圆的长轴围成底角为SKIPIF1<0的等腰三角形，腰长为伞面圆的直径SKIPIF1<0，椭圆长轴长SKIPIF1<0为底边长，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，而椭圆的短轴长SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以椭圆的离心率SKIPIF1<0故选：D二､多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列结论正确的是（）A.若随机变量SKIPIF1<0服从两点分布，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0B.若随机变量SKIPIF1<0的方差SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0C.若随机变量SKIPIF1<0服从二项分布SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0D.若随机变量SKIPIF1<0服从正态分布SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0【答案】ACD【解析】【分析】根据二点分布的期望公式，可判定A正确；根据方差的性质，可判定B错误；根据二项分布的概率计算公式，可判定C正确；根据正态分布曲线的对称性，可判定D正确.【详解】对于A中，由随机变量SKIPIF1<0服从两点分布且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故A正确；对于B中，由随机变量SKIPIF1<0的方差SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，故B错误；对于C中，由变量SKIPIF1<0服从二项分布SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以C正确；对于D中，由随机变量SKIPIF1<0服从正态分布SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，根据正态分布曲线的对称性，可得SKIPIF1<0，所以D正确.故选：ACD.10.已知SKIPIF1<0，则下列结论正确的是（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】AD【解析】【分析】分别令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求出对应的SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0选项，然后再求出展开式中含SKIPIF1<0的项即可求出SKIPIF1<0，由此即可判断．【详解】解：令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0正确，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0①，故SKIPIF1<0错误，展开式中含SKIPIF1<0的项为SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0错误，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0②，①SKIPIF1<0②可得：SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0正确，故选：SKIPIF1<0．11.如图，四边形SKIPIF1<0为正方形，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0为正三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，则下列命题中正确的是（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0C.直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角的余弦值为SKIPIF1<0 D.二面角SKIPIF1<0大小为SKIPIF1<0【答案】ACD【解析】【分析】取SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，证明出SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，以点SKIPIF1<0为坐标原点，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的方向分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可判断各选项的正误.【详解】取SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0为等边三角形，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，则SKIPIF1<0，因为平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又因为四边形SKIPIF1<0为正方形，以点SKIPIF1<0为坐标原点，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的方向分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0轴的正方向建立如上图所示的空间直角坐标系，则SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，A对；SKIPIF1<0，易知平面SKIPIF1<0的一个法向量为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0不平行，B错；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角的余弦值为SKIPIF1<0，C对；设平面SKIPIF1<0的法向量为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，由图可知，二面角SKIPIF1<0的平面角为锐角，故二面角SKIPIF1<0为SKIPIF1<0，D对.故选：ACD.12.已知抛物线SKIPIF1<0的焦点为SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在抛物线SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0都在SKIPIF1<0轴的上方，SKIPIF1<0（SKIPIF1<0为坐标原点），记SKIPIF1<0的面积分别为SKIPIF1<0，则（）A.直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0 B.直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】BC【解析】【分析】结合抛物线定义求出SKIPIF1<0两点的坐标，利用SKIPIF1<0两点坐标求直线SKIPIF1<0的斜率，判断选项A，B，根据三角形面积公式求SKIPIF1<0，判断C，D.【详解】设SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0分别作抛物线SKIPIF1<0的准线的垂线，垂足分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由抛物线的定义可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故A项错误；B项正确；SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，C正确，D错误，故选：BC.第II卷注意事项：第II卷共2页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上作答.若在试题卷上作答，答题无效.三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若圆SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0外切，则SKIPIF1<0______.【答案】2【解析】【分析】根据圆的方程得出圆心与半径，根据两圆外切的计算公式进行计算即可.【详解】由题意得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为圆SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0外切，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故答案为：214.在空间直角坐标系中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则实数SKIPIF1<0__________.【答案】4【解析】【分析】由题意可得SKIPIF1<0，即可得到方程组，进而解出方程组即可.【详解】由题意得，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故答案为：415.从数字SKIPIF1<0中任选4个组成无重复数字的四位数，满足千位和百位上的数字之和为5，则这样的偶数共有__________个.【答案】72【解析】【分析】先考虑千位和百位，再考虑个位，最后考虑十位，求出答案.【详解】满足数字之和为5的两个数字为SKIPIF1<0，故千位和百位上的数字排列有SKIPIF1<0种情况，再考虑个数，有SKIPIF1<0种选择，最后考虑十位，有6种选择，故这样的偶数共有SKIPIF1<0个.故答案为：7216.已知双曲线SKIPIF1<0的一条渐近线方程为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上关于原点对称的两点，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上异于SKIPIF1<0的动点，直线SKIPIF1<0的斜率分别为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的取值范围为_____.【答案】SKIPIF1<0【解析】【分析】由渐近线的方程可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的关系，写出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的坐标，设SKIPIF1<0的坐标求出直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的斜率由SKIPIF1<0的斜率的范围求出SKIPIF1<0的斜率的方程．【详解】解：依题意，SKIPIF1<0，则双曲线的方程为：SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0【点睛】本题主要考查双曲线的简单几何性质、直线和双曲线的位置关系，属于中档题．四､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知直线SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0，且__________.在下列所给的三个条件中，任选一个补充在题中的横线上，并完成解答.①与圆SKIPIF1<0相切；②倾斜角的余弦值为SKIPIF1<0；③直线SKIPIF1<0的一个方向向量为SKIPIF1<0.（1）求直线SKIPIF1<0的一般式方程；（2）若直线SKIPIF1<0与曲线SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0两点，求弦长SKIPIF1<0.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1）SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0【解析】【分析】（1）选①，先得到点SKIPIF1<0在圆SKIPIF1<0上，从而根据垂直关系求出直线SKIPIF1<0的斜率，得到直线SKIPIF1<0的一般式方程；选②，求出SKIPIF1<0，从而得到直线SKIPIF1<0的一般式方程；选③，根据直线SKIPIF1<0的一个方向向量求出SKIPIF1<0的斜率，求出直线SKIPIF1<0的一般式方程；（2）求出圆心SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0距离，利用垂径定理求出弦长.【小问1详解】若选①：因为SKIPIF1<0，故点SKIPIF1<0在圆SKIPIF1<0上，且圆心SKIPIF1<0与SKIPIF1<0连线的斜率为SKIPIF1<0，因为直线SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0相切，所以直线SKIPIF1<0的斜率为2；所以直线SKIPIF1<0的一般式方程为SKIPIF1<0；若选②：设直线SKIPIF1<0的倾斜角为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0；故直线SKIPIF1<0的斜率SKIPIF1<0；所以直线SKIPIF1<0的一般式方程为SKIPIF1<0；若选③：因为直线SKIPIF1<0的一个方向向量为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的斜率SKIPIF1<0；所以直线SKIPIF1<0的一般式方程为SKIPIF1<0【小问2详解】曲线SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；故SKIPIF1<0为圆，圆心为SKIPIF1<0，半径为SKIPIF1<0；则圆心SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0；所以弦长SKIPIF1<0.18.某职业学校为了了解毕业班学生的操作能力，设计了一个考查方案：每个考生从6道备选题中一次性随机抽取3道选题，按照题目要求正确完成，规定：至少正确完成其中2个选题方可通过.6道备选题中，考生甲有4个选题能正确完成，2个选题不能完成；考生乙每个选题正确完成的概率都是SKIPIF1<0，且每个选题正确完成与否互不影响.（1）分别求甲､乙两位考生正确完成选题个数概率分布列（列出分布列表）；（2）请分析比较甲､乙两位考生的操作能力.【答案】（1）答案见解析（2）答案见解析【解析】【分析】（1）根据超几何分布及二项分布分别求解即可；（2）根据超几何分布及二项分布的数学期望及方差公式分别求解即得.【小问1详解】记考生甲正确完成试题的个数分别为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的可能取值有SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，考生甲正确完成选题数SKIPIF1<0的概率分布列如下表：SKIPIF1<0123SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0记考生乙正确完成试题的个数分别为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的可能取值有SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，考生乙正确完成选题数SKIPIF1<0的概率分布列如下表：SKIPIF1<00123SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0【小问2详解】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，从做对题的个数的数学期望看，两人水平相当；因为SKIPIF1<0，因此可以判断甲考生的操作能力更强.19.如图，在直三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是等边三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是棱SKIPIF1<0的中点.（1）证明：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；（2）求锐二面角SKIPIF1<0的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）SKIPIF1<0.【解析】【分析】（1）通过SKIPIF1<0和SKIPIF1<0证明SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，从而证明面面垂直；（2）通过图形建立空间直角坐标系，求出两个平面的一个法向量，结合二面角的向量计算公式计算即可.【小问1详解】因为直三棱柱SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；因为SKIPIF1<0是等边三角形，SKIPIF1<0是棱SKIPIF1<0的中点，所以SKIPIF1<0；因SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0【小问2详解】分别取SKIPIF1<0的中点为SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0是等边三角形，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0中点，所以SKIPIF1<0，因为直三棱柱SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0即SKIPIF1<0两两垂直，以SKIPIF1<0为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，设平面SKIPIF1<0的法向量为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0的一个法向量为SKIPIF1<0；则SKIPIF1<0，所以锐二面角SKIPIF1<0的余弦值为SKIPIF1<020.安排6名教师SKIPIF1<0到甲､乙､丙三个场馆做志愿者.（1）有14个相同的口罩全部发给这6名教师，每名教师至少发两个口罩，共有多少种不同的发放方法？（2）每名教师只去一个场馆，每个场馆至少要去一名教师，且SKIPIF1<0两人约定去同一个场馆，共有多少种不同的安排方法？【答案】（1）21种（2）150种.【解析】【分析】（1）分两类，结合组合知识进行求解；（2）法一：：把SKIPIF1<0视为一人，相当于把5个人先分成三组，再分配给三个场馆，利用排列和组合知识进行求解；法二：把6人先分成三组，再分配给三个场馆，分三种情况进行求解，每种情况下考虑SKIPIF1<0安排在同一组，求出答案.【小问1详解】由题知，把这14个口罩按要求全部发给这6名教师有两种分配方案：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0；按2，2，2，2，3，3分时，有SKIPIF1<0种分法；按2，2，2，2，2，4分时，有SKIPIF1<0种分法；所以不同的发放方法有21种；【小问2详解】法一：把SKIPIF1<0视为一人，相当于把5个人先分成三组，再分配给三个场馆，分组方法有两类：1，1，3或SKIPIF1<0；按SKIPIF1<0安排时，有SKIPIF1<0种方法；按SKIPIF1<0安排时，有SKIPIF1<0种方法；所以不同的安排方法有SKIPIF1<0种.法二：把6人先分成三组，再分配给三个场馆，分组方法有三类：第一类SKIPIF1<0：若SKIPIF1<0为2人组，有SKIPIF1<0种分组方法；若SKIPIF1<0在3人组，有SKIPIF1<0种分组方法；再分配给三个场馆，有SKIPIF1<0种方法；第二类SKIPIF1<0：则SKIPIF1<0为其中一组，有SKIPIF1<0种方法；第三类SKIPIF1<0：则SKIPIF1<0在4人组，有SKIPIF1<0种方法；所以不同的安排方法有SKIPIF1<0种.21.如图，在四棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，底面SKIPIF1<0是边长为2的正方形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0是棱SKIPIF1<0上两点（SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的上方），且SKIPIF1<0.（1）若SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；（2）当点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离取得最大值时，求SKIPIF1<0的长.【答案】（1）证明见解析（2）SKIPIF1<0【解析】【分析】（1）连接SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，证明SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，根据线面平行的判定定理即可证明结论；（2）根据三棱锥的等体积法判断要使点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离最大，则需SKIPIF1<0的面积最小，即SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距离最小；建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，利用空间距离的向量求法，即可求得答案.【小问1详解】连接SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0是正方形，所以SKIPIF1<0；因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；【小问2详解】在四棱锥SKIPIF1<0中，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的面积为定值，又点A到平面SKIPIF1<0的距离为定值，所以三棱锥SKIPIF1<0的体积为定值，即三棱锥SKIPIF1<0的体积为定值；要使点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离最大，则需SKIPIF1<0的面积最小，即SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距离最小；由题知，以A为坐标原点，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0轴建立如图空间直角坐标系，则SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0,而SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0为等腰直角三角形，即SKIPIF1<0；设SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距离为SKIPIF