天津市七区2022-2023学年高二上学期期末数学试题（含答案详解）

高二数学第Ⅰ卷（36分）一、选择题：本大题共9小题，每小题4分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知空间向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】A【解析】【分析】根据向量数量积的坐标运算求解.【详解】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故选：A2.直线SKIPIF1<0的倾斜角为（）A.45° B.90° C.135° D.150°【答案】C【解析】【分析】求出直线的斜率，根据斜率的定义即可得出倾斜角.【详解】直线SKIPIF1<0化为SKIPIF1<0，则斜率SKIPIF1<0，又倾斜角SKIPIF1<0，所以倾斜角为SKIPIF1<0.故选：C.3.抛物线SKIPIF1<0的准线方程为A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】A【解析】【分析】利用SKIPIF1<0的准线方程为SKIPIF1<0，能求出抛物线SKIPIF1<0的准线方程.【详解】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0抛物线SKIPIF1<0的准线方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故选A.【点睛】本题主要考查抛物线的标准方程与简单性质，意在考查对基础知识的掌握与应用，是基础题.4.在等差数列SKIPIF1<0中,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,则公差（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】设公差为SKIPIF1<0,根据题意将已知条件化为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的形式,解方程组即可得到结果.【详解】设公差为SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0.故选:C.5.若双曲线与椭圆SKIPIF1<0有公共焦点，且离心率为SKIPIF1<0，则双曲线的渐近线方程为（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】D【解析】【分析】根据椭圆确定双曲线焦点，再由离心率求出SKIPIF1<0，即可求出双曲线渐近线方程.【详解】由椭圆SKIPIF1<0知，其焦点坐标为SKIPIF1<0，所以双曲线的焦点坐标为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以双曲线的渐近线方程为SKIPIF1<0，故选：D6.在棱长为1的正方体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0的中点，则点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离为（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】B【解析】【分析】建立如图所示，以SKIPIF1<0为原点，分别以SKIPIF1<0的方向为SKIPIF1<0轴，SKIPIF1<0轴，SKIPIF1<0轴正方向得空间直角坐标系SKIPIF1<0，根据公式点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0计算即可解决.【详解】由题知，棱长为1的正方体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0的中点，所以建立如图所示，以SKIPIF1<0为原点，分别以SKIPIF1<0的方向为SKIPIF1<0轴，SKIPIF1<0轴，SKIPIF1<0轴正方向得空间直角坐标系SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,所以点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0,故选：B7.数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0A.1024 B.1023 C.510 D.511【答案】D【解析】【分析】由题意结合递推关系求解SKIPIF1<0的值即可.【详解】由题意可得：SKIPIF1<0，则：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.本题选择D选项.【点睛】数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项．8.已知直线SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0相交于A，B两点，若SKIPIF1<0，则m的值为（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.3 D.4【答案】D【解析】【分析】求出圆心和半径，再利用圆心到直线的距离求得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0即可解得SKIPIF1<0的值.【详解】SKIPIF1<0，化简SKIPIF1<0，可得圆心SKIPIF1<0，半径为SKIPIF1<0，圆心到直线的距离SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍去）故选：D.9.已知F是椭圆SKIPIF1<0的左焦点，点SKIPIF1<0，若P是椭圆上任意一点，则SKIPIF1<0的最大值为（）ASKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】A【解析】【分析】设椭圆的右焦点为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，计算得到答案.【详解】设椭圆的右焦点为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0三点共线，且SKIPIF1<0在SKIPIF1<0之间时等号成立.故选：A第Ⅱ卷（共84分）二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．试题中包含两个空的，每个空2分．10.已知空间向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0与SKIPIF1<0是共线向量，则实数x的值为_______．【答案】SKIPIF1<0【解析】【分析】根据向量共线得到SKIPIF1<0，列出方程组，求出答案.【详解】设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0.故答案为：-611.已知SKIPIF1<0的三个顶点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0边上的高所在直线方程为_______．【答案】SKIPIF1<0【解析】【分析】求出直线SKIPIF1<0的斜率，进而由垂直关系得到所求直线的斜率，由直线方程点斜式得到答案.【详解】直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0边上的高所在直线的斜率为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0边上的高所在直线方程为SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<012.在平行六面体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的长为_______．【答案】SKIPIF1<0【解析】【分析】由空间向量基本定理得到SKIPIF1<0，平方后得到SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0的长.【详解】由题意得：SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<013.已知等比数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0_______．【答案】SKIPIF1<0【解析】【分析】根据等比数列的通项公式求解即可.【详解】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<014.过双曲线SKIPIF1<0的右焦点作x轴的垂线，交双曲线于A，B两点，以SKIPIF1<0为直径的圆恰好过双曲线的左焦点，则双曲线的离心率为_______．【答案】SKIPIF1<0##SKIPIF1<0【解析】【分析】设双曲线的左右焦点分别为SKIPIF1<0，根据题意可得SKIPIF1<0，从而建立方程，即可求得双曲线的离心率.【详解】设双曲线SKIPIF1<0的左右焦点分别为SKIPIF1<0，过双曲线SKIPIF1<0的右焦点做x轴的垂线，交双曲线于A，B两点，则SKIPIF1<0，又因为以SKIPIF1<0为直径的圆恰好过双曲线的左焦点，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍去），故答案为：SKIPIF1<0.15.已知实数x，y满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值是_______．【答案】SKIPIF1<0【解析】【分析】设SKIPIF1<0，转化为直线SKIPIF1<0与圆有公共点，只需联立方程有解，利用判别式即可求出.【详解】令SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0，消元得SKIPIF1<0，由题意，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0三、解答题：本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16.已知等比数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，等差数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的等差中项，求SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的通项公式．【答案】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.【解析】【分析】根据等差数列及等比数列的通项公式列方程求解即可.【详解】设SKIPIF1<0的公比为SKIPIF1<0，显然SKIPIF1<0.由题意SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0的通项公式为SKIPIF1<0.设数列SKIPIF1<0的公差为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.17.已知圆心为C的圆经过SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，且圆心C在直线SKIPIF1<0上．（1）求圆C的方程；（2）已知点SKIPIF1<0，点N在圆C上运动，求线段SKIPIF1<0中点P的轨迹方程．【答案】（1）SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0【解析】【分析】（1）设出圆标准方程，将点SKIPIF1<0的坐标代入圆的方程，结婚圆心在直线SKIPIF1<0上，列出方程组，解之即可求解；（2）设点SKIPIF1<0的坐标是SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0的坐标是SKIPIF1<0，利用中点坐标公式和点SKIPIF1<0在圆SKIPIF1<0上运动即可求解.【小问1详解】设圆SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，由题意得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0所以圆SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0.【小问2详解】设点SKIPIF1<0的坐标是SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0的坐标是SKIPIF1<0，由于点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0是线段SKIPIF1<0的中点，所以SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0因为点SKIPIF1<0在圆SKIPIF1<0上运动，所以点SKIPIF1<0的坐标满足圆SKIPIF1<0的方程，即SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0所以，线段SKIPIF1<0中点SKIPIF1<0的轨迹方程SKIPIF1<0.18.如图，在四棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，E为SKIPIF1<0中点，作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点F．（1）求证：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；（2）求平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0夹角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）SKIPIF1<0【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，用向量法证明线面垂直；（2）把二面角计算问题转化为法向量夹角问题.【小问1详解】证明：依题意得，以SKIPIF1<0为原点，SKIPIF1<0所在直线分别为SKIPIF1<0轴、SKIPIF1<0轴、SKIPIF1<0轴，建立如图所示的空间直角坐标系.SKIPIF1<0，因为点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点，所以SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.由已知SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0内,所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.【小问2详解】由（1）知SKIPIF1<0为平面SKIPIF1<0的一个法向量，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,设平面SKIPIF1<0的一个法向量为SKIPIF1<0，则平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0的夹角就是SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角或其补角.SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0取SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.所以平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0的夹角的余弦值为SKIPIF1<0.19.已知椭圆SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0，且离心率为SKIPIF1<0．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过椭圆C的右焦点F的直线l与椭圆相交于A，B两点，且SKIPIF1<0，求直线l的方程．【答案】（1）SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0【解析】【分析】（1）根据椭圆的离心率公式，将点的坐标代入椭圆方程，即可求得a和b的值，即可求得椭圆方程；（2）设直线l的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及向量的坐标运算，即可求得直线l的方程．【小问1详解】由椭圆过点SKIPIF1<0可知，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以椭圆SKIPIF1<0的标准方程为SKIPIF1<0.【小问2详解】由（1）知，SKIPIF1<0，设直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0联立SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，化简