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5.4第1课时新授课二项式定理的推导

根据多项式的乘法法则，容易知道(a+b)2=a2+2ab+b2,(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3,如果称等式的右边为左边的展开式，那么如何求出(a+b)n的展开式？1.能用多项式法则和计数原理推导出二项式定理.2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.请计算(a+b)2，(a+b)3和(a+b)4，分析其运算过程，并用组合数表示各项系数.知识点一：二项式定理根据多项式乘法法则，项的形式：展开式共有：当

时，2个(a+b)都不选b.a2的系数为,即a2系数为1；

3项当

时，当

时，1个(a+b)中选a，另一个(a+b)中选b.2个(a+b)都选b.ab的系数为,即ab系数为2；

b2的系数为,即b2系数为1.展开式共有：项的形式：系数为系数为4项3个(a+b)都选a.2个(a+b)中选a，1个(a+b)中选b.系数为系数为1个(a+b)中选a，2个(a+b)中选b.3个(a+b)中都选b.a4a3bab3b4a2b2问题：根据以上分析，猜想(a+b)n的展开式是怎样的？各项是从n个因式中各取一个字母相乘得到关于a,b的n次单项式，有项的形式：展开式共有：n+1项.从n个因式中都取b，系数为从n个因式中取k个b，系数为从n个因式中取2个b，系数为从n个因式中取1个b，系数为从n个因式中都不取b，系数为项的系数：…………二项式定理：(a+b)n的二项展开式上式可简写成二项式系数概念生成式中的用Tk+1表示，称为二项展开式中第（k+1）项，又称为二项式通项，

记作二项式定理：知识点二：二项式定理的应用例1

求

的展开式.解：根据二项式定理，例2

求

的展开式.解：根据二项式定理，例3

求

的展开式.解：根据二项式定理，例4

求

的展开式中x4y3的系数.解：设展开式中的第k+1项为含x4y3的项，令7-k=4,得k=3,则∴x4y3的系数为

求二项展开式的特定项的系数的一般步骤：归纳总结1.写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是题目要求的项；2.合并通项公式中同一字母的指数；3.根据具体要求，令字母的指数符合题目要求；4.再计算求得二项展开式的特定项的系数.求

的展开式中x3的系数.练一练解：设展开式中的第k+1项为含x3的项，令9-2k=3,得k=

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