2023年新疆乌鲁木齐市第六十五中学数学九年级第一学期期末监测试题含解析

2023年新疆乌鲁木齐市第六十五中学数学九年级第一学期期末监测试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题(每小题3分,共30分)1．等于（）A． B．2 C．3 D．2．如图，PA、PB、分别切⊙O于A、B两点，∠P=40°，则∠C的度数为（）A．40° B．140° C．70° D．80°3．在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，BC=6，则AB=（）A．4 B．6 C．8 D．104．如图中几何体的主视图是（）A． B． C． D．5．在Rt△ABC中，，如果∠A=，，那么线段AC的长可表示为（）．A．； B．； C．； D．．6．在如图所示的网格纸中，有A、B两个格点，试取格点C，使得△ABC是等腰三角形，则这样的格点C的个数是（）A．4 B．6 C．8 D．107．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，将它绕着BC中点D顺时针旋转一定角度（小于90°）后得到△A′B′C′，恰好使B′C′∥AB，A'C′与AB交于点E，则A′E的长为（）A．3 B．3.2 C．3.5 D．3.68．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠1）如图所示，下列结论：①abc＜1；②点（﹣3，y1），（1，y2）都在抛物线上，则有y1＞y2；③b2＞（a+c）2；④2a﹣b＜1．正确的结论有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个9．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，则∠BED为（）A．45° B．15° C．10° D．125°10．抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是（）A． B． C． D．二、填空题(每小题3分,共24分)11．如图，港口A在观测站O的正东方向，OA＝4km，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船与观测站之间的距离（即OB的长）为_____km.12．从某玉米种子中抽取6批，在同一条件下进行发芽试验，有关数据如下：种子粒数100400800100020005000发芽种子粒数8531865279316044005发芽频率0.8500.7950.8150.7930.8020.801根据以上数据可以估计，该玉米种子发芽的概率为___________（精确到0.1）．13．抛物线的顶点坐标为________.14．正方形A1B1C2C1，A2B2C3C2，A3B3C4C3按如图所示的方式放置，点A1、A2、A3和点C1、C2、C3、C4分别在抛物线y＝x2和y轴上，若点C1（0，1），则正方形A3B3C4C3的面积是________．15．120°的圆心角对的弧长是6π，则此弧所在圆的半径是_____．16．已知x=1是一元二次方程x²+ax+b=0的一个根，则代数式a²+b²+2ab的值是____________.17．写出一个二次函数关系式，使其图象开口向上_______.18．已知抛物线y=ax2+bx+c开口向上，一条平行于x轴的直线截此抛物线于M、N两点，那么线段MN的长度随直线向上平移而变_____．（填“大”或“小”）三、解答题(共66分)19．（10分）定义：连结菱形的一边中点与对边的两端点的线段把它分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，那么称这样的菱形为自相似菱形．(1)判断下列命题是真命题，还是假命题？①正方形是自相似菱形；②有一个内角为60°的菱形是自相似菱形．③如图1，若菱形ABCD是自相似菱形，∠ABC=α(0°＜α＜90°)，E为BC中点，则在△ABE，△AED，△EDC中，相似的三角形只有△ABE与△AED．(2)如图2，菱形ABCD是自相似菱形，∠ABC是锐角，边长为4，E为BC中点．①求AE，DE的长；②AC，BD交于点O，求tan∠DBC的值．20．（6分）如图，△ABC的三个顶点在平面直角坐标系中的坐标分别为A（3，3），B（2，1），C（5，1），将△ABC绕点O逆时针旋转180°得△A′B′C′，请你在平面直角坐标系中画出△A′B′C′，并写出△A′B′C′的顶点坐标．21．（6分）从三角形(不是等腰三角形)一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．如图1，在中，是的完美分割线，且，则的度数是如图2，在中，为角平分线，，求证:为的完美分割线．如图2，中，是的完美分割线，且是以为底边的等腰三角形，求完美分割线的长．22．（8分）阅读下列材料，关于x的方程：x+＝c+的解是x1＝c，x2＝；x﹣＝c﹣的解是x1＝c，x2＝﹣；x+＝c+的解是x1＝c，x2＝；x+＝c+的解是x1＝c，x2＝；……（1）请观察上述方程与解的特征，比较关于x的方程x+＝c+（a≠0）与它们的关系猜想它的解是什么，并利用“方程的解”的概念进行验证．（2）可以直接利用（1）的结论，解关于x的方程：x+＝a+．23．（8分）如图，在中，，是绕着点C顺时针方向旋转得到的，此时B、C、E在同一直线上．求旋转角的大小；若，，求BE的长．24．（8分）如图，抛物线与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C．点D是直线AC上方抛物线上一点，过点D作y轴的平行线，与直线AC相交于点E．（1）求直线AC的解析式；（2）当线段DE的长度最大时，求点D的坐标．25．（10分）为了传承中华优秀传统文化，市教育局决定开展“经典诵读进校园”活动，某校团委组织八年级100名学生进行“经典诵读”选拔赛，赛后对全体参赛学生的成绩进行整理，得到下列不完整的统计图表．组别分数段频次频率A60≤x＜70170.17B

70≤x＜80

30

aC

80≤x＜90

b

0.45D

90≤x＜100

8

0.08请根据所给信息，解答以下问题：(1)表中a=______，b=______；(2)请计算扇形统计图中B组对应扇形的圆心角的度数；(3)已知有四名同学均取得98分的最好成绩，其中包括来自同一班级的甲、乙两名同学，学校将从这四名同学中随机选出两名参加市级比赛，请用列表法或画树状图法求甲、乙两名同学都被选中的概率．26．（10分）如图，已知反比例函数与一次函数的图象相交于点A、点D，且点A的横坐标为1，点D的纵坐标为－1，过点A作AB⊥x轴于点B，△AOB的面积为1．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）若一次函数y=ax+b的图像与x轴交于点C，求∠ACO的度数．（3）结合图像直接写出，当时，x的取值范围．

参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、A【分析】先计算60度角的正弦值，再计算加减即可.【详解】故选A.【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值的计算，能够熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键.2、C【分析】连接OA，OB根据切线的性质定理，切线垂直于过切点的半径，即可求得∠OAP，∠OBP的度数，根据四边形的内角和定理即可求的∠AOB的度数，然后根据圆周角定理即可求解．【详解】∵PA是圆的切线,∴同理根据四边形内角和定理可得：∴故选:C.【点睛】考查切线的性质以及圆周角定理，连接圆心与切点是解题的关键.3、D【详解】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA==，BC=6∴AB==10，故选D．考点：解直角三角形；4、D【解析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．【详解】解：从正面看应得到第一层有3个正方形，第二层从左面数第1个正方形上面有1个正方形，故选D．【点睛】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．5、B【分析】根据余弦函数是邻边比斜边，可得答案．【详解】解：由题意，得，，故选：．【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，利用余弦函数的定义是解题关键．6、C【分析】分AB是腰长时，根据网格结构，找出一个小正方形与A、B顶点相对的顶点，连接即可得到等腰三角形，AB是底边时，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，AB垂直平分线上的格点都可以作为点C，然后相加即可得解．【详解】解：如图，分情况讨论：①AB为等腰△ABC的底边时，符合条件的C点有4个；②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个．故选C．【点睛】本题考查等腰三角形的判定，解题的关键是掌握等腰三角形的判定，分情况讨论解决.7、D【解析】如图，过点D作DF⊥AB，可证四边形EFDC'是矩形，可得C'E＝DF，通过证明△BDF∽△BAC，可得，可求DF＝2.4＝C'E，即可求解．【详解】如图，过点D作DF⊥AB，∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝＝10，∵将Rt△ABC绕着BC中点D顺时针旋转一定角度（小于90°）后得到△A′B′C′，∴AC＝A'C'＝6，∠C＝∠C'＝90°，CD＝BD＝4，∵AB∥C'B'∴∠A'EB＝∠A'C'B'＝90°，且DF⊥AB，∴四边形EFDC'是矩形，∴C'E＝DF，∵∠B＝∠B，∠DFB＝∠ACB＝90°，∴△BDF∽△BAC∴，∴∴DF＝2.4＝C'E，∴A'E＝A'C'﹣C'E＝6﹣2.4＝3.6，故选：D．【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知旋转的定义、矩形的性质及相似三角形的判定与性质.8、B【分析】利用抛物线开口方向得到a＞1，利用抛物线的对称轴在y轴的左侧得到b＞1，利用抛物线与y轴的交点在x轴下方得到c＜1，则可对①进行判断；通过对称轴的位置，比较点（-3，y1）和点（1，y2）到对称轴的距离的大小可对②进行判断；由于（a+c）2-b2=（a+c-b）（a+c+b），而x=1时，a+b+c＞1；x=-1时，a-b+c＜1，则可对③进行判断；利用和不等式的性质可对④进行判断．【详解】∵抛物线开口向上，∴a＞1，∵抛物线的对称轴在y轴的左侧，∴a、b同号，∴b＞1，∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，∴c＜1，∴abc＜1，所以①正确；∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣，而﹣1＜﹣＜1，∴点（﹣3，y1）到对称轴的距离比点（1，y2）到对称轴的距离大，∴y1＞y2，所以②正确；∵x＝1时，y＞1，即a+b+c＞1，x＝﹣1时，y＜1，即a﹣b+c＜1，∴（a+c）2﹣b2＝（a+c﹣b）（a+c+b）＜1，∴b2＞（a+c）2，所以③正确；∵﹣1＜﹣＜1，∴﹣2a＜﹣b，∴2a﹣b＞1，所以④错误．故选：B．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞1时，抛物线向上开口；当a＜1时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左；当a与b异号时，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（1，c）．抛物线与x轴交点个数由判别式确定：△=b2-4ac＞1时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=1时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜1时，抛物线与x轴没有交点．9、A【分析】由等边三角形的性质可得，进而可得，又因为，结合等腰三角形的性质，易得的大小，进而可求出的度数.【详解】是等边三角形，，，四边形是正方形，，，，，，.

故选：.【点睛】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是求出的度数，难度适中.10、B【分析】根据“左加右减、上加下减”的平移规律即可解答．【详解】解：抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是，故答案为：B．【点睛】本题考查了抛物线的平移，解题的关键是熟知“左加右减、上加下减”的平移规律．二、填空题(每小题3分,共24分)11、1＋1【分析】作AD⊥OB于点D，根据题目条件得出∠OAD＝60°、∠DAB＝45°、OA＝4km，再分别求出AD、OD、BD的长，从而得出答案．【详解】如图所示，过点A作AD⊥OB于点D，由题意知，∠AOD＝30°，OA＝4km，则∠OAD＝60°，∴∠DAB＝45°，在Rt△OAD中，AD＝OAsin∠AOD＝4×sin30°＝4×＝1（km），OD＝OAcos∠AOD＝4×cos30°＝4×＝1（km），在Rt△ABD中，BD＝AD＝1km，∴OB＝OD＋BD＝1＋1（km），故答案为：1＋1．【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用−方向角问题，解题的关键是构建合适的直角三角形，并熟练运用三角函数进行求解．12、1．2【分析】仔细观察表格，发现大量重复试验发芽的频率逐渐稳定在1.2左右，从而得到结论．【详解】∵观察表格，发现大量重复试验发芽的频率逐渐稳定在1.2左右，∴该玉米种子发芽的概率为1.2，故答案为1.2．【点睛】考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．13、（-1,0）【分析】根据二次函数的性质，由顶点式直接得出顶点坐标即可．【详解】解：∵抛物线，

∴顶点坐标为：（-1,0），

故答案是：（-1,0）．【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，根据顶点式得出顶点坐标是考查重点，同学们应熟练掌握．14、2+．【分析】先根据点C1（0，1）求出A1的坐标，故可得出B1、A2、C2的坐标，由此可得出A2C2的长，可得出B2、C3、A3的坐标，同理即可得出A3C3的长，进而得出结论．【详解】∵点（0，1），四边形，，均是正方形，点、、和点、、、分别在抛物线和y轴上，∴（1，1），（0，2），∴（，2），∴（0，2+），∵点的纵坐标与点相同，点在二次函数的图象上，∴（，），即，∴．故答案为：2+．【点睛】本题考查的是二次函数与几何的综合题，熟知正方形的性质及二次函数图象上点的坐标特点是解答此题的关键．15、1【分析】根据弧长的计算公式l=，将n及l的值代入即可得出半径r的值【详解】解：根据弧长的公式l＝，得到：6π＝，解得r＝1．故答案：1．【点睛】此题考查弧长的计算，掌握计算公式是解题关键16、1【分析】把x=1代入x2+ax+b=0得到1+a+b=0，易求a+b=-1，将其整体代入所求的代数式进行求值即可．【详解】∵x=1是一元二次方程x2+ax+b=0的一个根，∴12+a+b=0，∴a+b=﹣1.∴a2+b2+2ab=（a+b）2=（﹣1）2=1.17、【分析】抛物线开口向上，则二次函数解析式的二次项系数为正数，据此写二次函数解析式即可．【详解】∵图象开口向上，∴二次项系数大于零，∴可以是：（答案不唯一）.故答案为：.【点睛】本题考察了二次函数的图象和性质，对于二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0），当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下.18、大【解析】因为二次函数的开口向上,所以点M,N向上平移时,距离对称轴的距离越大,即MN的长度随直线向上平移而变大,故答案为:大.三、解答题(共66分)19、(1)见解析；(2)①AE=2，DE=4；②tan∠DBC=．【分析】（1）①证明△ABE≌△DCE（SAS），得出△ABE∽△DCE即可；②连接AC，由自相似菱形的定义即可得出结论；③由自相似菱形的性质即可得出结论；（2）①由（1）③得△ABE∽△DEA，得出，求出AE＝2，DE＝4即可；②过E作EM⊥AD于M，过D作DN⊥BC于N，则四边形DMEN是矩形，得出DN＝EM，DM＝EN，∠M＝∠N＝90°，设AM＝x，则EN＝DM＝x+4，由勾股定理得出方程，解方程求出AM＝1，EN＝DM＝5，由勾股定理得出DN＝EM＝＝，求出BN＝7，再由三角函数定义即可得出答案．【详解】解：(1)①正方形是自相似菱形，是真命题；理由如下：如图3所示：∵四边形ABCD是正方形，点E是BC的中点，∴AB=CD，BE=CE，∠ABE=∠DCE=90°，在△ABE和△DCE中，∴△ABE≌△DCE(SAS)，∴△ABE∽△DCE，∴正方形是自相似菱形，故答案为：真命题；②有一个内角为60°的菱形是自相似菱形，是假命题；理由如下：如图4所示：连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD，AD∥BC，AB∥CD，∵∠B=60°，∴△ABC是等边三角形，∠DCE=120°，∵点E是BC的中点，∴AE⊥BC，∴∠AEB=∠DAE=90°，∴只能△AEB与△DAE相似，∵AB∥CD，∴只能∠B=∠AED，若∠AED=∠B=60°，则∠CED=180°﹣90°﹣60°=30°，∴∠CDE=180°﹣120°﹣30°=30°，∴∠CED=∠CDE，∴CD=CE，不成立，∴有一个内角为60°的菱形不是自相似菱形，故答案为：假命题；③若菱形ABCD是自相似菱形，∠ABC=α(0°＜α＜90°)，E为BC中点，则在△ABE，△AED，△EDC中，相似的三角形只有△ABE与△AED，是真命题；理由如下：∵∠ABC=α(0°＜α＜90°)，∴∠C＞90°，且∠ABC+∠C=180°，△ABE与△EDC不能相似，同理△AED与△EDC也不能相似，∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∴∠AEB=∠DAE，当∠AED=∠B时，△ABE∽△DEA，∴若菱形ABCD是自相似菱形，∠ABC=α(0°＜α＜90°)，E为BC中点，则在△ABE，△AED，△EDC中，相似的三角形只有△ABE与△AED，故答案为：真命题；(2)①∵菱形ABCD是自相似菱形，∠ABC是锐角，边长为4，E为BC中点，∴BE=2，AB=AD=4，由(1)③得：△ABE∽△DEA，∴∴AE2=BE•AD=2×4=8，∴AE=2，DE===4，故答案为：AE=2；DE=4；②过E作EM⊥AD于M，过D作DN⊥BC于N，如图2所示：则四边形DMEN是矩形，∴DN=EM，DM=EN，∠M=∠N=90°，设AM=x，则EN=DM=x+4，由勾股定理得：EM2=DE2﹣DM2=AE2﹣AM2，即(4)2﹣(x+4)2=(2)2﹣x2，解得：x=1，∴AM=1，EN=DM=5，∴DN=EM==，在Rt△BDN中，∵BN=BE+EN=2+5=7，∴tan∠DBC=，故答案为：．【点睛】本题考查了自相似菱形的定义和判定，菱形的性质应用，三角形全等的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理的应用，锐角三角函数的定义，掌握三角形相似的判定和性质是解题的关键．20、A′（﹣3，﹣3），B′（﹣2，﹣1），C′（﹣5，﹣1）．【解析】试题分析：由于△ABC绕点O逆时针旋转180°得△A′B′C′，则△ABC和△A′B′C′关于原点中心对称，然后根据关于原点对称的点的坐标特征写出A′点、B′点、C′点的坐标，再描点即可．解：如图，△A′B′C′为所作，A′（﹣3，﹣3），B′（﹣2，﹣1），C′（﹣5，﹣1）．考点：作图-旋转变换．21、（1）88°；（2）详见解析；（3）【分析】（1）是的完美分割线，且，得∠ACD=44°，∠BCD=44°，进而即可求解；（2）由，得，由平分，，得为等腰三角形，结合，即可得到结论；（3）由是的完美分割线，得从而得，设，列出方程，求出x的值，再根据，即可得到答．【详解】(1)∵是的完美分割线，且，∴，∠A=∠ACD=44°，∴∠A=∠BCD=44°，∴．故答案是：88°；，，不是等腰三角形，平分，，，为等腰三角形．，，，是的完美分割线．∵是以为底边的等腰三角形，∴，∵是的完美分割线，∴，设，则，，，．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质与相似三角形的判定和性质定理，掌握相似三角形的性质定理，是解题的关键．22、（1）方程的解为x1＝c，x2＝,验证见解析；（2）x＝a与x＝都为分式方程的解．【分析】（1）根据材料即可判断方程的解，然后代入到方程的左右两边检验即可；（2）将方程左右两边同时减去3，变为题干中的形式，即可得出答案.【详解】（1）方程的解为x1＝c，x2＝，验证：当x＝c时，∵左边＝c+，右边＝c+，∴左边＝右边，∴x＝c是x+＝c+的解，同理可得：x＝是x+＝c+的解；（2）方程整理得：（x﹣3）+＝（a﹣3）+，解得：x﹣3＝a﹣3或x﹣3＝，即x＝a或x＝，经检验x＝a与x＝都为分式方程的解．【点睛】本题主要为材料理解题，理解材料中方程的根的由来是解题的关键.23、（1）90°；（2）1．【分析】（1）根据题意∠ACE即为旋转角，只需求出∠ACE的度数即可．

（2）根据勾股定理可求出BC，由旋转的性质可知CE=CA=8，从而可求出BE的长度．【详解】解：（1）∵△DCE是△ABC绕着点C顺时针方向旋转得到的，此时点B、C、E在同一直线上，∴∠ACE=90°，即旋转角为90°，（2）在Rt△ABC中，∵AB=10，AC=8，∴BC==6，∵△ABC绕着点C旋转得到△DCE，∴CE=CA=8，∴BE=BC+CE=6+8=124、（1）直线的解析式为；（2）当的长度最大时，点的坐标为．【分析】（1）根据题意，先求出点A和点C的坐标，然后利用待定系数法，即可求出答案；（2）根据题意，利用m表示DE的长度，然后根据二次函数的性质，即可求出点D的坐标.【详解】解（1）当时，．，．点的坐标是．当时，．点的坐标是．设直线的解析式为,，解得：．直线的解析式为：．（2）如图：设点的横坐标为．则点的坐