理论力学第七章

第七章：非线性力学简介非线性振动系统及混沌的基本概念任意摆角情况下单摆的运动则是线性的；为非线性，则若满足若★自由单摆的运动方程：当

很小，线性近似：(sin

)若

为任意值，故自由单摆为非线性振动系统：(sin

)令，以及积分上式可得方程解的非唯一性1.

设初始条件为

0=0，进行运动分析：在最高点

=

，

=0，则其解为最高点位非稳定平衡点，可能出现三种运动情况：a.

停留在该顶点，尔后径直下落；b.调头沿原路返回；c.越过该顶点继续向前运动。最高点(

=)，非稳平衡，运动非唯一性。结论：对于一个非线性系统，在确定的初始条件下，其解可能具有不可预测的随机性。相图●描述系统运动的各状态参量之间的关系图。例：小角度线性单摆（简谐振动）单摆一般运动的相图因此，单摆运动方程（1）可表达为相空间

(θ，ω)的轨道微分方程：对角度θ做积分得上式中E是积分常数，方程表述了单摆能量守恒定律：等式左端第一项是系统的动能，第二项是势能，右端积分常数E是总能量。定义常数：衡量单摆运动的大小或强度积分方程变为对于每个k值，上述方程给出了（q,

w）相平面上的运动轨道，如右图所示。图中青色轨道对应k=0.2，蓝色k=0.5，红虚线k=1，黑色k=1.2。图中的原点（0，0）对应k=0，是系统的稳定平衡位置。当

k

<<1时，q

和w均为小量，方程于是可近似为即相轨道近乎半径为2k的圆。随着k的增大，轨道方程所围区域扩大，轨道形状也逐渐偏离圆形。但只要能量足够小乃致

k

<1，轨道仍是环绕平衡点(0,0)而闭合曲线。在此情形下，摆角|θ|<π，即质点不可能摆动到支点O的正上方（θ=±π）。但若系统能量大到以致k

>1，则表明，角频率ω要么恒负，要么恒正，即单摆的质点作围绕支点的顺时针或反时针旋转运动在此情形下，质点即使运动到θ=±π的最高点也具一定的角速度，驱使其继续往原方向转动。所以，k

=1的轨道是单摆摆动与转动的分界线自治系统与非自治系统●不显含时间t

的动力学方程称为自治系统，而显含时间t

的动力学方程称为非自治系统。★由线性单摆方程可得不显含t

，在二维相空间中为自治系统。（角谐振动）★受阻力和周期策动力作用的非线性单摆方程显含t

，在二维相空间中为非自治系统。引入新变量

=

t

，可将方程化为三维相空间中的自治系统：自治系统的相空间与相轨线●一个自治系统在其相空间上的相轨线不会相交，即通过每一相点的轨线是唯一的。而非自治系统中相轨线则会相交。如上述系统在二维相平面上相轨线有相交情况。Poincare截面图若沿

方向截取一截面，则根据该自治系统的性质，每个截面上只有一个交点，即相轨线一次性的穿过每一个截面。

因 ，若以2

为周长，将相空间弯成一圆环，则在该环形相空间上所取的任一固定截面称为庞加莱截面。★通过分析相轨线在庞加莱截面上的交点的分布规律，就可了解到在长时间周期性的演变过程中系统的运动规律。阻尼运动周期运动多周期运动混沌运动时间序列相图讨论：●单周期振动，每隔2

运动状态复原，即相轨线每次都从同一点穿过庞加莱截面，★在庞加莱截面图上只有一个不动点；●运动无周期性，则庞加莱截面图上有无穷多个点。●倍周期的运动，庞加莱截面图上有两个不动点；…确定性系统中的内在随机性●在一个确定性的系统中，由于其本身的非线性性质所产生的运动随机性称为确定性系统的内在随机性。例如，上述非线性单摆的运动。★支配整个系统运动的因素是严格确定的（具有确定的运动方程），系统完全不存在随机力的作用。★然而经过时间的演化，在这种确定性系统中出现了随机行为，产生出完全不可预测的、极为复杂的结果来，最后得到一条完全随机的运动轨道。混沌的发现1961年冬的一天，美国麻省理工学院的气象学家爱德华·洛仑兹在计算机上模拟天气情况，他的真空管计算机速度约每秒做6次乘法。经简化后的洛仑兹气象模型为●蝴蝶效应●在确定性的非线性动态系统中出现的貌似随机的、不能预测的运动,它对初始条件有极其强烈的敏感性。

为省时间，洛仑兹将上次记录的中间数据作为初值输入重新计算，指望重复出现上次计算的后半段结果，然后再接下去往前算。然而经过一段重复后，计算机却偏离了上次的结果。他第二次输入时去掉了小数点后面三位：混沌的初值敏感性x,z

的时间演化序列，初始值x(0)=1;y(0)=1;z(0)=10x,z

时间序列，初始值x(0)=1;y(0)=1;z(0)=10.01微小初始值对应的相轨道比较x(0)=1;y(0)=1;z(0)=10x(0)=1.01;y(0)=1;z(0)=10蝴蝶效应丢失一个钉子，坏了一只蹄铁；坏了一只蹄铁，折了一匹战马；折了一匹战马，伤了一位骑士；伤了一位骑士，输了一场战斗；输了一场战斗，亡了一个帝国。“千里之堤，溃于蚁穴”“失之毫厘，谬以千里”

埃文·泰瑞博(艾什顿·库奇饰)是一个平平无奇的大学生，唯一和普通人不同的是从童年时代起，就有心理学家不停记录他每日生活中的全部细节。某天，埃文忽然读到了那些记录中的一部分，顿时，那些已经被他自己埋葬在内心最深处许多年的黑暗记忆又再次被唤醒，那是改变了他整个少年时代的不堪回首往事。机缘巧合，埃文忽然发现自己可以通过一直搁在床下那些写着当年记录的笔记本回到过去，进入自己当年的身体。也许这些落满灰尘的笔记本可以让他从此摆脱所有不愉快的记忆，抱着这样的想法，埃文回到过去，力图改写历史，以为这样就可以治愈他受伤的记忆，让他和所爱的人们能从此之后幸福生活。他制定出无懈可击计划，执行起来也小心翼翼。但等他一旦回到现实，却发现一切都已面目全非。他的行为已经造成了损失惨重的改变，而他最亲密的那些朋友的生活已经南辕北辙。从不同的角度看Lorenz吸引子从不同的角度看Lorenz吸引子Lorenz吸引子的Poincare

截面人(虫)口模型：Logisticequation马尔萨斯人口论人(虫)口模型：Logisticequationr=2r=3.329r=3.5r=3.9人(虫)口模型：Logisticequation人(虫)口模型：Logisticequation31混沌的演化，内部结构和普适性利用最简单的非线性方程作进一步分析：---抛物线方程，得抛物线形迭代方程令在整个区间取值迭代便得出由周期运动到倍周期分岔，再进入混沌状态的整个演化过程。1.混沌的演化（通向混沌的道路）32倍周期分岔序列：1

2

4

8

2n

.●当n

，则解的数目

，意味着系统已进入混沌状态。将混沌开始时对应的

记为

(

=1.40115518909205

)。2.混沌区的结构a.窗口●在混沌区中重又出现的周期性运动。★窗口中包含着与整体完全相似的结构。周期三窗口通向混沌的其它道路●准周期道路：平衡态→周期→准周期→混沌.●阵发混沌道路1框内部分放大得下页图框内再放大得下页图23123混沌内部的自相似结构混沌运动的刻画：Lyapunov

指数看似混乱的混沌体系中，包含着丰富有序的内部结构。★任何局部的小区域都包含着整体的信息，具有与整体完全相似的规律。●在混沌内部所包含的这种在不同尺度上的相似结构称为自相似性。◎从拓扑空间上来讲，自相似结构的维数往往不是整数维，而是分数维的，也就是具有分形的性质。自相似结构普适性若将第n倍周期分岔（或混沌带合并）时对应的参数

记为

n，则相继两次分岔（或合并）的间隔之比趋于同一个常数：注意：常数

并不只限于logisticmap，而是对所有同一类的变换，所得的

值都精确地相同。●

的数值只与系统的某种非线性性质有关，而与各个系统的其他具体细节无关。●反映出混沌演化过程中所存在的一种普适性，是混沌内在规律性的另一个侧面反映。费根鲍姆常数在倍周期分岔序列图中，同次周期分岔中上下的各对周期点之间的距离之比，以及第相邻两次周期分岔中的各对周期点之间的距离之比又趋于另一个常数

，称为标度因子或普适常数:普适常数例如，图中注意：当不满足，则比值只是近似的。讨论●相同的常数

和

出现在不同的非线性系统之中，充分显示出非线性系统中存在的某种共性，说明通往混沌的道路是有确定的规律可循的。●混沌现象是确定性系统中的内在随机行为，是非线性系统的一种固有属性。●经典力学的观点并不能理解内在随机性。◎按照牛顿决定论的观念，一个没有外来随机因素影响的确定性系统，其运动的规律也必然是确定的。就是说，只要初始条件给定，则系统在以后任一时刻的运动状态都是完全可以预见的，决不可能出现任何“越轨”的随机行为。空间非线性迭代生成分形图案：Mandelbrot集曼德勃罗集合：上述方程在复平面上经过无穷次迭代后不会逃逸到无穷远处的点的集合Mandelbrotset:Thissetisdefinedasthecollectionofpointscinthecomplexplanethatdoesnotescapetoinfinityfortheequation43Mandelbrot集的自相似性放大这个区域进一步地放大47Mandelbrot集与logisticmapJulia

集Julia

集JuliasetJulia

集与Mandelbrot集大自然中的分形54Predator-Prey相互作用Thecyclingoflynxandsnowshoehare小港渡者庚寅冬，予自小港欲入蛟川城，命小奚以木简束书从。时西日沉山，晚烟萦树，望城二里许。因问渡者：“尚可得南门开否？”渡者熟视小奚，应曰：