解析几何复习

解析几何复习第一章向量与坐标§1.1

向量的概念§1.3

数乘向量§1.2

向量的加法§1.4

向量的线性关系与向量的分解§1.6

向量在轴上的射影§1.5

标架与坐标§1.7

两向量的数性积§1.9

三向量的混合积§1.8

两向量的矢性积OAB求两个向量和的三角形法则.§1.2向量的加法OABC求两个向量和平行四边形法则OA1A2A3A4An-1An求和的多边形法则§1.3数乘向量§1.7两向量的数量积定义数量积符合下列运算规律：（1）交换律：（2）分配律：若、为数：（3）若为数：空间两向量的夹角的概念：类似地，可定义向量与一轴或空间两轴的夹角.

特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定它们的夹角可在0与之间任意取值.方向角与方向余弦的坐标表示式非零向量的方向角：非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角.由图分析可知向量的方向余弦方向余弦通常用来表示向量的方向.当时，向量方向余弦的坐标表示式两向量夹角余弦的坐标表示式由此可知两向量垂直的充要条件为：§1.8两向量的矢性积

定义设混合积的坐标表达式§1.9三向量的混合积（1）向量混合积的几何意义：关于混合积的说明：第二章轨迹与方程§2.1

平面曲线的方程§2.2

曲面的方程§2.4

空间曲线的方程§2.3

母线平行与坐标轴的柱面方程2.1平面曲线的方程

曲线上点的特性，在坐标面上，反映为曲线上点的坐标应满足的制约条件，一般用方程表示为曲面方程的定义：§2.2曲面的方程根据题意有化简得所求方程解解根据题意有所求方程为空间曲线的一般方程

曲线上的点都满足方程，不在曲线上的点不能同时满足两个方程.空间曲线C可看作空间两曲面的交线.特点：§2.4空间曲线的方程第三章平面与空间直线§3.1

平面的方程§3.3

两平面的相关位置§3.2

平面与点的相关位置§3.4

空间直线的方程§3.6

空间两直线的相关位置§3.5

直线与平面的相关位置§3.7

空间直线与点的相关位置

如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫做该平面的法线向量．法线向量的特征：垂直于平面内的任一向量．

一、平面的点法式方程§3.1平面的方程平面的点法式方程其中法向量已知点平面的一般方程法向量二、平面的一般式方程§3.2平面与点的相关位置点到平面距离公式定义（通常取锐角）两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角.§3.3两平面的相关位置按照两向量夹角余弦公式有两平面夹角余弦公式两平面位置特征：//定义空间直线可看成两平面的交线．空间直线的一般方程（注：两平面不平行）一、空间直线的一般方程§3.4空间直线的方程方向向量的定义：

如果一非零向量平行于一条已知直线，这个向量称为这条直线的方向向量．//二、空间直线的对称式方程直线的对称式方程（点向式方程）三、空间直线的参数式方程直线的一组方向数令方向向量的余弦称为直线的方向余弦.直线的参数方程由直线的对称式方程定义直线和它在平面上的射影直线的夹角称为直线与平面的夹角．§3.5直线与平面的相关位置直线与平面的夹角公式直线与平面的位置关系：//定义直线直线两直线的方向向量的夹角称之为该两直线的夹角.（锐角）两直线的夹角公式§3.6空间两直线的相关位置两直线的位置关系：直线直线例如，设直线过点，其方向矢量为直线过点，其方向矢量为定理3.7.1和两直线共面的充要条件是：和三个矢量共面即：三矢量的混合积为0。1。相交：3。重合：2。平行：4。两直线异面的充要条件是：两直线的夹角：即：定理3.7.4两异面直线之间的距离两直线的公垂线方程公垂线可以看作由过点，以为方位矢量的平面及过点，以为方位矢量的平面的交线。因此，公垂线的方程为：第四章柱面锥面旋转曲面与二次曲面§4.1

柱面§4.3

旋转曲面§4.2

锥面§4.4

椭球面§4.5

双曲面

定义4.2.1

通过一定点且与定曲线相交的一族直线所产生的曲面叫做锥面.这些直线都叫做锥面的母线.那个定点叫做锥面的顶点.锥面的方程是一个三元方程.§4.2锥面

定义4.3.1

以一条曲线绕其一条定直线旋转一周所产生的曲面称为旋转曲面或称回旋曲面.这条定直线叫旋转曲面的旋转轴．这条曲线叫旋转曲面的母线．§4.3旋转曲面几种特殊旋转曲面1双叶旋转曲面2单叶旋转曲面3旋转锥面4旋转抛物面5环面x0y1

双叶旋转双曲面绕x

轴一周x0zy.绕x

轴一周1

双叶旋转双曲面x0zy.1

双叶旋转双曲面.绕x

轴一周axyo2

单叶旋转双曲面上题双曲线绕y

轴一周axyoz.上题双曲线绕y

轴一周2

单叶旋转双曲面a.xyoz..2

单叶旋转双曲面上题双曲线绕y

轴一周3

旋转锥面两条相交直线绕x

轴一周x

yo.两条相交直线绕x

轴一周x

yoz3

旋转锥面x

yoz.两条相交直线绕x

轴一周得旋转锥面.3

旋转锥面yoz4

旋转抛物面抛物线绕z

轴一周yoxz.抛物线绕z

轴一周4

旋转抛物面y.oxz.4

旋转抛物面抛物线绕z

轴一周得旋转抛物面5环面yxorR绕y轴旋转所成曲面5环面z绕y轴旋转所成曲面yxo.5环面z绕y轴旋转所成曲面环面方程.yxo..第五章二次曲线的一般理论§5.1

二次曲线与直线的相关位置§5.3

二次曲线的切线§5.2

二次曲线的渐近方向、中心、渐近线§5.4

二次曲线的直径§5.6

二次曲线方程的化简与分类§5.5

二次曲线的主直径和主方向§5.2二次曲线的渐近方向、中心、渐近线1.二次曲线的渐近方向

定义5.2.1满足条件Φ(X,Y)=0的方向X:Y叫做二次曲线的渐近方向，否则叫做非渐近方向。

定义5.2.2没有实渐近方向的二次曲线叫做椭圆型的,有一个实渐近方向的二次曲线叫做抛物线型的,有两个实渐近方向的二次曲线叫做双曲型的。即:⑴椭圆型:I2>0；⑵抛物型:I2＝0；⑶双曲型:I2<02.二次曲线的中心与渐近线

定义5.2.3如果点C是二次曲线的通过它的所有弦的中点(C是二次曲线的对称中心)，那么点C叫做二次曲线的中心。

定理5.2.1点C(x0

,y0)是二次曲线(1)的中心，其充要条件是：二次曲线(1)的的中心坐标由下方程组决定：如果I2≠0，则(5.2－2)有唯一解，即为唯一中心坐标如果I2＝0，分两种情况：

定义5.2.4

有唯一中心的二次曲线叫中心二次曲线,没有中心的二次曲线叫无心二次曲线,有一条中心直线的二次曲线叫线心二次曲线,无心二次曲线和线心二次曲线统称为非中心二次曲线。二次曲线分类：

渐近线求法1：求出中心，再求出渐近方向即可得到渐近线的参数方程。

定义5.3.1

如果直线与二次曲线相交于相互重合的两个点，那么这条直线就叫做二次曲线的切线，这个重合的交点叫做切点，如果直线全部在二次曲线上，我们也称它为二次曲线的切线，直线上的每个点都可以看作切点.

定义5.3.2

二次曲线(1)上满足条件F1(x0,y0)=F2(x0,y0)=0的点(x0,y0)叫做二次曲线的奇异点，简称奇点；二次曲线的非奇异点叫做二次曲线的正常点.§5.3二次曲线的切线

定理5.3.1

如果(x0,y0)是二次曲线(1)的正常点，那么通过(x0,y0)的切线方程是(x-x0)F1(x0,y0)+(y-y0)F2(x0,y0)=0，(x0,y0)是它的切点.如果(x0,y0)是二次曲线(1)的奇异点，那么通过(x0,y0)的切线不确定，或者说过点(x0,y0)的每一条直线都是二次曲线(1)的切线.

推论如果(x0,y0)是二次曲线(1)的正常点，那么通过(x0,y0)的切线方程是：

二次曲线的垂线于其共轭弦的直径叫做二次曲线的主直径，主直径的方向与垂直于主直径的方向都叫做二次曲线的主方向.§5.5二次曲线的主直径与主方