多项式最大公因式性质定理及求解方法

多项式最大公因式性质定理及求解方法作者：xxx 指导教师：xxx摘要对多项式最大公因式理论中的重要性质定理进行总结归纳及对其中一个性质定理的结构进行进一步的研究，以及研究最大公因式的几种求解方法：因式分解法；辗转相除法；矩阵的初等变换法.关键词公因式最大公因式辗转相除法初等变换最大公因式是多项式理论的核心概念，最大公因式的性质在多项式理论的研究中具有关键作用，本文将分三个方面阐述这些内容：首先总结归纳最大公因式的性质定理；其次对其中的一个重要性质定理作进一步的研究；最后将对最大公因式的求解方法：因式分解法、辗转相除法、矩阵的初等变换法进行研究.本文所考虑的多项式均为数域F上的一元多项式环F[x]内的多项式.§1.最大公因式的定义及性质首先我们给出最大公因式的定义：定义1：设d(x)是多项式f(x)与g(x)的一个公因式，若是d(x)能被f(x)与g(x)的每一个公因式整除，那么d(x)叫做f(x)与g(x)的一个最大公因式.以(f(x),g(x))表示f(x)与g(x)在F[x]中最高项系数为1的最大公因式.例1.如果f(x)=g(x)-q(x)，那么g(x)是f(x)和g(x)的最大公因式.证明：按定义1.有g(x)是f(x)与g(x)的一个公因式，设h(x)是f(x)和g(x)的任一公因式，则有：h(x)lg(x)，所以按定义，有g(x)是f(x)与g(x)的最大公因式.为研究多项式最大公因式的性质定理下面将给出一个引理：引理1：如果多项式h(x)是多项式f(x)和g(x)的公因式，a(x)和b(x)是F[x]上的两个任意多项式，那么h(x)一定是多项式a(x)-f(x)+b(x)-g(x)的因式.证明：因为h(x)是f(x)的因式，所以可设f(x)=h(x)-m(x)，g(x)=h(x)-n(x)，其中m(x)，n(x)eF[x].又因为 a(x)-f(x)+b(x)-g(x)=h(x)-a(x)-m(x)+h(x)-b(x)-n(x)=h(x)[a(x)-m(x)+b(x)n(x)].所以 h(x)是a(x)-f(x)+b(x)-g(x)的因式.注：应用引理1有时可以方便的求两个多项式的最大公因式.例2：求f(x)=3x3—2x-1和g(x)=3x3+2x—5的最大公因式.解：由上面的引理可知：所求的最大公因式一定是：—f(x)+g(x)=4(x—1)的因式，又因为f⑴=0,g⑴=0,可知所求的最大公因式就是x—1.定理1:设g(x)丰0,f(x)=g(x)-q(x)+r(x)，其中d°(r(x))<d°(g(x))，则有(f(x),g(x))=(g(x),r(x)).注：定理1的结论可以形象的叙述为：(被除式，除式)=(除式，余式).证明：设d(x)是g(x)和r(x)的最大公因式，那么根据引理1得：d(x)也是f(x)的因式，从而d(x)是f(x)和g(x)的公因式；其次，设h(x)eF[x]是f(x)和g(x)的任一公因式，那么由引理1得：h(x)是r(x)=f(x)—g(x)-q(x)的因式，所以h(x)是r(x)的因式.因此，h(x)是g(x)和r(x)的公因式，从而可知h(x)能够整除d(x)；所以d(x)是f(x)和g(x)的最大公因式.根据引理1和定理1不难得到：定理2：如果f(x)和g(x)不全是零多项式，那么f(x)和g(x)一定有最大公因式，并且f(x)和g(x)的最大公因式，除了一个零次多项式的因式差别之外是唯一确定的.具体证明过程可参阅[1]、[2].两个多项式的最大公因式存在的一条非常重要的性质：定理3：若d(x)是F[x]的多项式f(x)和g(x)的公因式，则以下命题等价：d(x)为f(x)和g(x)的一个最大公因式；在F[x]里存在多项式u(x)与v(x)使u(x)-f(x)+v(x)-g(x)=d(x).证明：由(i)推(ii):若f(x)=g(x)=0，那么d(x)=0，这时F[x]中任何两个多项式都可以取作u(x)与v(x).

若f(x)与g(x)不都等于零，不妨假定g(x)牛0,用辗转相除法来求(f(x),g(x)).用g(x)去除f(x)应用带余除法，得商式q1(x)及余式r1(x).如果r1(x)主0,那么再以r1(x)除g(x)，得商式q(x)及余式r(x).如果r(x)主0,再以r(x)除r(x),得商式q(x)及余式r(x)如此继续TOC\o"1-5"\h\z2 2 2 2 1 3 3下去，因为余式的次数在带余除法中每次降低，所以作了有限次这种除法后，必然得出这样一个余式r(x)丰0，使得r3)=r(x)-q(x)，于是我们得到一串等式：k k-1 k k+1f(x)=g(x)-qi(x)+ri(x)，g(x)=ri(x)-q2(x)+r2(x)，r(x)=r(x)-q(x)+r(x)，12 3 3 ⑴rk3(x)=rk2(x).qk1(x)+rk1(x)，r(x)=r(x)-q(x)+r(x)，k2 k1 k kL(x)=rk(x)-qk+1(x)-则rk(x)就是f(x)与g(x)的一个最大公因式，考察等式组(1)的倒数第二个等式，得rk2(x)—rk1(x)-qk(x)=孔(乂)，(3)令U](x)=1，V](x)=-qk(x)，那么上面的等式可以写成：(3)r(x)-u(x)+r(x)-v(x)=r(x).k2 1 k1 1 k由(1)的倒数第三个等式，得rk1(x)=rk3(x)—%2(x)-qk1(x).把r(x)的这个表达式带入(3)中，k1并令u(x)=v(x)，v(x)=u(x)-v(x)-q(x)，所以有2 1 2 1 1 k-1r(x)-u(x)+r(x)-v(x)=r(x).k3 2 k2 2 k如此继续利用(1)中的等式，最后可得到f(x)-uk(x)+g(x)-vk(x)=rk(x).但f(x)与g(x)的最大公因式d(x)等于F中不为零的数c与r(x)的积:kd(x)=c-r(x)，因此取u(x)=c・uk(x),v(x)=c-vk(x)，即得所证.由(ii)推(i):设h(x)是f(x)与g(x)的任一公因式，则h(x)lf(x),h(x)Ig(x)，由引理1得h(x)是u(x)-f(x)+v(x)-g(x)=d(x)的因式，即h(x)Id(x).又因为d(x)是f(x)与g(x)的公因式，所以d(x)是f(x)与g(x)的一个最大公因式.若(f(x),g(x))=1，则称多项式f(x)与g(x)互素.与定理3类似的还有下面一条重要的定理：定理4：在F[x]中，设f(x)=d(x)-f«x)，g(x)=d(x)-g«x)，且f(x)与g(x)不全为零，则d(x)是f(x)与g(x)的最大公因式o(f](x),g](x))=1.证明：充分性：如果(f](x),g](x))=1，则由多项式互素的判定定理有，存在u(x)，v(x)使f](x)-u(x)+g](x)-v(x)=1，则等式两边同时乘以d(x)，得d(x)-f«x)-u(x)+d(x)-g«x)-v(x)=d(x),由命题条件f(x)=d(x)-f](x)，g(x)=d(x)-g](x)知d(x)是f(x)与g(x)的公因式，结合上式同时有f(x)-u(x)+g(x)-v(x)=d(x)，所以，由定理3得d(x)是f(x)与g(x)的一个最大公因式.必要性：若d(x)是f(x)与g(x)的一个最大公因式，则由定理3得，存在u(x)，v(x)使f(x)-u(x)+g(x)-v(x)=d(x).因为f(x)=d(x)-f](x)，g(x)=d(x)-g](x)，所以代进上式变为d(x)-[二(x)-u(x)+g«x)-v(x)]=d(x)，又因为f(x)，g(x)不全为零，所以d(x)丰0,可用d(x)除等式两边，得f](x)-u(x)+g](x)-v(x)=1，所以1是f(x)与g(x)的公因式，由Th3得，(f](x),g](x))=1.

已知d(x)=(f(x),g(x))，则(af(x),g(x))=d(x),(f(x)+g(x),g(x))=d(x),一般地有:定理5:令f(x)与g(x)是F[x]的多项式，而a、b、c、d是F中的数，并且ad—bc丰0,则d(x)是f(x)与g(x)的最大公因式od(x)也是af(x)+bg(x)与cf(x)+dg(x)的最大公因式.证明：设d(x)是f(x)与g(x)的最大公因式，并令d(x)=(f(x),g(x)).命F(x)=af(x)+bg(x)，G(x)=cf(x)+dg(x)，现只需证明d(x)=(F(x),G(x))即可.由引理1知，d(x)是F(x)的因式，同时d(x)也是G(x)的因式，所以d(x)是F(x)与G(x)的公因式.设h(x)是F(x)与G(x)的任一公因式，现证明h(x)|d(x)如下：因为F(x)=af(x)+bg(x)，G(x)=cf(x)+dg(x)，且ad—bc丰0,所以从F(x)与G(x)的表达式中可得：f(x)=一^F(x)-一^G(x)，ad—bc ad—bcg(x)=——c—F(x)+—a—G(x)，ad—bc ad—bc又由于h(x)是F(x)与G(x)的公因式，所以h(x)lf(x)，h(x)Ig(x),从而h(x)Id(x).即证明了d(x)是af(x)+bg(x)与cf(x)+dg(x)的最大公因式."u"因为d(x)是af(x)+bg(x)与cf(x)+dg(x)的最大公因式，由Th3可知在F[x]里总可以求得多项式u(x)与v(x)使u(x)[af(x)+bg(x)]+v(x)[cf(x)+dg(x)]=d(x),即f(x)[au(x)+bv(x)]+g(x)[bu(x)+dv(x)]=d(x).令u(x)=au(x)+cv(x),v(x)=bu(x)+dv(x)，贝gu(x)f(x)+v1(x)g(x)=d(x). ①由引理1得d(x)是d[af(x)+bg(x)]—b[cf(x)+dg(x)]=(ad—bc)f(x)的因式，同时也是c[af(x)+bg(x)]—a[cf(x)+dg(x)]=(bc—ad)g(x)的因式.又ad-bc丰0,二d(x)If(x),d(x)Ig(x), ②综合①、②由乃3得d(x)是f(x)与g(x)的最大公因式.§2.关于定理3中u(x),v(x)的结构前面研究了多项式最大公因式的性质定理，为了更好理解这一定理，现将对定理3中的u(x),v(x)作进一步分析，从而得出有关u(x)，v(x)的一些新的结论，以此作为上述定理3的补充.定理3中涉及一个事实，即Vf(x),g(x)eF[x],f(x)丰0与g(x)丰0，3u(x),v(x)eF[x]，使得u(x)-f(x)+v(x)-g(x)=(f(x),g(x)), ①设d(x)=(f(x),g(x))，f(x)=d(x)-f1(x)，g(x)=d(x)-g1(x)，由§1中定理4得(f(x),g(x))=1.作了上面的准备工作，现给出u(x)，v(x)的结构定理，并加以证明.定理6：(1)设s(x),t(x)eF(x),Vh(x)eF[x]，取s(x)=u(x)+h(x)-g^x)，t(x)=v(x)-h(x)-f](x)，则s(x)-f(x)+t(x)-g(x)=(f(x),g(x))；(2)如果有s(x),t(x)eF[x]使s(x)-f(x)+t(x)-g(x)=(f(x),g(x))，则3h(x)eF[x]，使s(x)=u(x)+h(x)-g«x)，t(x)=v(x)-h(x)-f«x).证明：(1)设d(x)=(f(x),g(x)),将s(x)=u(x)+h(x)-g«x)，t(x)=v(x)-h(x)-f«x)，代入下式得s(x)-f(x)+t(x)-g(x)=(u(x)+h(x)-g](x))-f(x)+(v(x)-h(x)-二(x))-g(x)=u(x)f(x)+v(x)g(x)+h(x)g](x)f(x)-h(x)f(x)g(x)其中u(x)-f(x)+v(x)-g(x)=d(x).又因为g](x)-f(x)=g](x)-f](x)-d(x)=f](x)-g(x),所以 h(x)-g](x)-f(x)-h(x)-f](x)-g(x)=0，从而s(x)-f(x)+t(x)-g(x)=(f(x),g(x)).(2)因为s(x)-f(x)+t(x)-g(x)=(f(x),g(x))u(x)-f(x)+v(x)-g(x)=(f(x),g(x)),上边两式左右两边同时作差得：[s(x)-u(x)]-f(x)+[t(x)-v(x)]-g(x)=0,因为d(x)丰0,两边同除以d(x)，则有：[s(x)-u(x)]•f(x)/d(x)+[t(x)-v(x)]•g(x)/d(x)=0，又因为(f(x)/d(x),g(x)/d(x))=1，从[s(x)-u(x)]•f(x)/d(x)=[v(x)-t(x)]•g(x)/d(x)(*)中，得[g(x)/d(x)]l[s(x)-u(x)]，即3h(x)eF[x]，使得s(x)-u(x)=h(x)•g(x)/d(x)，又因为g(x)/d(x)=g«x)，f(x)/d(x)=《(x)，所以有s(x)-u(x)=h(x)•g](x)，代入(*)式得v(x)-t(x)=h(x)•f(x)即 Js(x)=u(x)+h(x)•g](x)|t(x)=v(x)-h(x)•f(x).v 1这个定理一方面指出了满足①的u(x)，v(x)是不唯一的，同时也给出了所有u(x)，v(x)的一般形式，这对研究多项式最大公因式的理论是有很大的作用.§3.最大公因式的求解方法在前面对多项式最大公因式的理论研究指导下，现来研究一下多项式最大公因式的几种求解方法.因式分解法利用因式分解法求多项式的最大公因式，一般先求两个(或多个)多项式的标准分解式，如设多项式f(x)与g(x)的标准分解式分别为：f(x)=ap(x)ki.•.p(x)krq(x)k「•.・q(x*、，1 r r+1 sg(x)=bp(x)"・.p(x)irq(x)ir+1—q(x)it，1 r r+1 t其中每一q,(x),(i=r+1,…,s)不等于任何q.(x)(j=r+1,…,t)，令m.是匕与七两个自然数中较小的一个(i=1,2,…，r)，那么d3)=p(x)mw(x)m…p(x)m，就是f(x)与g(x)的最大1 2 r公因式.例3.求实数域R上多项式f(x)=X5+X4+X3+X2+x+1与g(x)=X4+X3+X+1的最大公因式.解：分别对两个多项式进行标准因式分解得f(x)=X5+X4+X3+X2+x+1=(x+1)(x2+1+x)(x2+1一x),g(x)=X4+X3+X+1=(X+1)2(X2+1一x),由f(x)与g(x)的标准分解式可看出：(f(x),g(x))=(x+1)(x2-X+1)=X3+1.应该指出的是多项式的标准分解式一般不易求得.因此，求两个多项式的最大公因式一般不用此法.辗转相除法利用辗转相除法不但证明任意两个多项式都存在最大公因式，而且也是求最大公因式的一种有效方法.但是在运算过程中经常会出现分数运算，为了简化过程可用F[x]中一个非零常数去乘被除式或除式，这种做法可在求最大公因式的每个步骤中进行，而对求出多项式的最大公因式d(x)的结果不会受到影响，原因如下：设f(x)，g(x)eF(x)，其中q(x)是g(x)除f(x)的商式，r(x)是余式，即表示为：f(x)=g(x)-q(x)+r(x)，对VsF且c。0有cf(x)=g(x)-[cq(x)]+cr(x)⑴，f(x)=[cg(x)]•[!q(x)]+r(x)⑵，c故由§1定理1得：(cf(x),g(x))=(g(x),cr(x))=(g(x),r(x))=(f(x),g(x))，(f(x),cg(x))=(cg(x),r(x))=(g(x),r(x))=(f(x),g(x)).根据此结论，在用辗转相除法求最大公因式的过程中，用F中的非零常数去乘被除式或除式，会给运算带来很大的方便，以下用例题说明：例4.令F是有理数域，求F[x]的多项式：f(x)=X4一2x3一4x2+4x一3与g(x)=2x3一5x2一4x+3的最大公因式.解法一，对f(x)与g(x)作辗转相除法，但对过程中的系数不作处理，这种解法的过程略.解法二，对f(x)与g(x)作辗转相除，对相除中的系数作一些处理：观察f(x)与g(x)的系数，先对f(x)的系数作处理gp 2f(x)=2x4-4x3-8x2+8x-6,用g(x)去除2f(x),商x，余x3-4x2+5x-6，观察此步对系数作处理得2(x3-4x2+5x-6)=2x3-8x2+10x-12，用g(x)去除2x3-8x2+10x-12，商1，余—3x2+14x-15，观察此步对系数作处理得3g(x)=6x3-15x2-12x+9，用—3x2+14x—15去除6x3—15x2—12x+9，商-2x，余13x2—42x+9，观察此步对系数作处理得3(13x2-42x+9)=39x2-126x+27，用一3x2+14x-15去除39x2-126x+27，商-13，余56x-168，观察此步对系数作处理得—(56x-168)=x-3，56用x-3去除-3x2+14x-15，商-3x，余5x-15，观察此步对系数作处理得1_ _§(5x-15)=x-3，用x一3去除x一3，商1，余0.所以(f(x),g(x))=x-3.由上式的求解过程可以看出，有时系数很大，给运算带来不便，根据§1中引理可知，将被除式减去除式的某个倍式，再做辗转相除法而不影响求(f(x)，g(x))的结果，由§1中引理1有：(a(x)-f(x)+b(x)-g(x),g(x))=(g(x),r(x))=(f(x),g(x)).解法三，对f(x)与g(x)作辗转相除：2f(x)一xg(x)=x3-4x2+5x一6，令r(x)=x3—4x2+5x一6，则有g(x)-2r(x)=3x2一14x+15，令r(x)=3x2-14x+15，则有3r(x)一xr(x)=2x2一18=2(x+3)-(x一3),令 r3(x)=2x2-18，则有3 _ -r(x)-^r(x)=-14x+42=-14(x-3),故(f(x),g(x))=x-3.很明显，解法三比解法一、二均简便，所以在解题的过程中应尽量利用最大公因式的性质定理使求解过程更简便.矩阵的初等变换法给出数域F上n(n>2)个多项式，如何求其最大公因式？现给出n个多项式的最大公因式的定义：定义2：设f(x),f(x),…,f(x)是数域F上的n个多项式，并且d(x)是多项式f(x),f(x)，TOC\o"1-5"\h\z1 2 n 1 2...,f(x)的一个公因式，若是d(x)能被f(x),f(x),…,f(x)中的每一个公因式整除，那么n 12 nd(x)叫做f(x),f(x),…,f(x)的一个最大公因式.规定用符号 (f(x),f(x),…,f(x))表示12 n 12 nf](x),f2(x),…,fn(x)在F(x)中最高次项系数为1的最大公因式.由上述定义及§1的结论得关于数域F上n个一元多项式最大公因式的性质：：设/⑴,…,/⑴,…,/(x),…,/(x)是F(x)中的n个一元多项式，则有1 i J n(f(x)，…f(x),…,f(x)，…,f(x))=(f(x),…,f(x),…,f(x),…,f(x)),1<i<j<n.1 i j n 1 j i n：设/⑴,…,/⑴,...,/(x),…,/(x)是F(x)中的n个一元多项式，则有1 i j n(f(x),…,cf(x),…,f(x))=(f(x),…,f(x),…,f(x))，且1<i<j<n，c。0eF为常数.1 i n 1 i n：设f(x)，…,f(x),,f(x)，…,f(x)是F(x)中的n个一元多项式，则有1 i j n(f(x),…,f(x)，…,f(x)，…,f(x))=(f(x)，…,f(x)士f(x)，…,f(x)，…,f(x)),1 i j n 1 i j j n其中1<i<j<n.性质(1)、(2)、(3)阐述了在求解多项式的最大公因式时的不变性，由这些不变性又可得到下面推论：推论1：设f(x),…,f(x)，…,f(x),…,f(x)是F(x)中的n个一元多项式，则有1 i j n(f(x)，…,f(x)，…,f(x)，…,f(x))=(f(x),…,f(x)士cf(x),…,f(x)，…,f(x))，1 i j n 1 i j j n其中1<i<j<n，0丰ceF为任意常数.再给出一个引理：引理2：设f3)(，=1,2，…,n)是F上的n个一元多项式，d(x)=(f(x),f(x)，…,f(x)),若i 12 nf(x),f(x),…,f(x)中至少有一个常数项不为0，则它们的最大公因式d(x)的常数项必不为0.12 n证明：假设d(x)的常数项等于0,则d(x)能被x整除，所以f(x)(i=1,2,…,n)的常数项均为0,与条件矛盾，证毕.再由前3个性质及推论1得性质4：(4)：设f(x),…，f(x),…，f(x),…，f(x)是F(x)中的n个一元多项式，并设f(x)=xkg(x)，TOC\o"1-5"\h\z1 i j n i其中1<i<n，k为非负整数，fj(x)为常数项不为0的一元多项式，其中1<j<n，且i丰j，则(f(x),…,f(x),…,f(x),…,f(x))=(f(x),…,g(x),…,f(x),…,f(x)).1 i j n 1 i j n证明：设(f(x),…,g(x),…,f(x),…,f(x))=d(x),1 i j n显然d(x)是f(x),…,f(x),…,f(x),…,f(x)的一个公因式.1 i j n其次设h(x)是f(x),…,f(x)，…,f(x),…,f(x)的任一公因式，则1 i j nh(x)lfi(x)，h(x)Ixkgi(x)，而(f(x)…，f(x),f(x)，…，f(x)，…，f(x))的常数项非零，则1 i i+1 j nh(x)不含xk这一因式，从而h(x)Ig(x)，因而h(x)是f(x)…，g(x)，…，f(x)的公因式,i 1 i n所以h(x)Id(x).所以(f(x),…,f(x),…,f(x),…,f(x))=(f(x),…,g(x),…,f(x)，…,f(x)).1 i j n 1 i j n为了更方便的介绍n个多项式最大公因式的求解，现将上述四条性质相应的称为：第一种，第二种，第三种，第四种初等变换，并用以下内容概括：⑴交换两个多项式的位置，所求的最大公因式不会改变；⑵用一非零常数乘以某一多项式，所求的最大公因式不会改变；⑶把某一多项式的k倍(k卫0)，加到另一个多项式上，所求的最大公因式不会改变；⑷性质4我们暂称为替换变换，它也不改变其最大公因式(只有在某一多项式常数项不为0的条件下才成立).现再给出n行多项式矩阵的定义：定义3：设f(x)(i=1,2,…,n)是F上的n个一元多项式，且这n个多项式的最高次项的次数是m次，现将每个多项式各项的系数(按逐次降幂次序排列，缺少次数的项的系数取0)排出来作为矩阵的一行，这样构造出来一个n行m+1列矩阵，我们称这个矩阵为n个多项式的n行多项式矩阵，

ff1(x)]并规定该矩阵表示TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"n个多项式f(x),f(x),…,f(x)所组成的n行多项式矩阵记为 ：并规定该矩阵表示1 2 n"f(x)Jn(f(x),f(x),…,f(x))的最高次项系数为1的最大公因式.12 n下面将给出关于n行多项式矩阵的一些结论：定理7：设f3)(i=1,2,…,n)是F上的n个一元多项式，对这n个多项式(至少有一个常数项ffi(x)]不等于o)组成的多项式矩阵 ：，作四种初等变换，所求的最大公因式不会改变；该定理可由f(x)Jn前面谈到的n个多项式最大公因式的四条性质直接得到.在前面的基础上，现给出定理8：(":：(d(x)「定理8：对于n行多项式矩阵，一定可以通过四种初等变换，化成0…的形式，[fn(x)J0VuJ其中d(x)就是它的最大公因式.定理8的证明过程参阅[3].下面以实例阐述