2022年中考数学模拟题分类汇编考点21：全等三角形

2022年中考数学模拟题分类汇编：考点21全等三角形

一.选择题（共9小题）

1.（2022模拟•安顺）如图，点D,E分别在线段AB,AC上，CD与BE相交于

。点，已知AB=AC,现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE^^ACD（）

【分析】欲使4ABE丝AACD,已知AB=AC,可根据全等三角形判定定理AAS、

SAS、ASA添加条件，逐一证明即可.

【解答】解：；AB=AC,NA为公共角，

A、如添加NB=NC,利用ASA即可证明4ABE之AACD；

B、如添AD=AE,利用SAS即可证明△ABE^^ACD；

C、如添BD=CE,等量关系可得AD=AE,利用SAS即可证明4ABE乌4ACD；

D、如添BE=CD,因为SSA,不能证明4ABE^aACD,所以此选项不能作为添加

的条件.

故选：D.

2.（2022模拟•黔南州）下列各图中a、b、c为三角形的边长，则甲、乙、丙

三个三角形和左侧aABC全等的是（）

CbAaca

A.甲和乙B.乙和丙C.甲和丙D.只有丙

【分析】根据三角形全等的判定方法得出乙和丙与aABC全等，甲与aABC不全

等.

【解答】解：乙和AABC全等；理由如下：

在aABC和图乙的三角形中，满足三角形全等的判定方法：SAS,

所以乙和aABC全等；

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在aABC和图丙的三角形中，满足三角形全等的判定方法：AAS,

所以丙和AABC全等；

不能判定甲与^ABC全等；

故选:B.

3.（2022模拟•河北）已知：如图，点P在线段AB外，且PA=PB,求证：点P

在线段AB的垂直平分线上，在证明该结论时，需添加辅助线，则作法不正确的

A.作NAPB的平分线PC交AB于点C

B.过点P作PC1AB于点C且AC=BC

C.取AB中点C,连接PC

D.过点P作PC±AB,垂足为C

【分析】利用判断三角形全等的方法判断即可得出结论.

【解答】解：A、利用SAS判断出APCA丝APCB,，CA=CB,ZPCA=ZPCB=90°,

...点P在线段AB的垂直平分线上，符合题意；

C、利用SSS判断出△PCA^^PCB,，CA=CB,ZPCA=ZPCB=90°,.•.点P在线段

AB的垂直平分线上，符合题意；

D、利用HL判断出△PCAgAPCB,，CA=CB,...点P在线段AB的垂直平分线上，

符合题意，

B、过线段外一点作已知线段的垂线，不能保证也平分此条线段，不符合题意；

故选：B.

4.（2022模拟•南京）如图，AB1CD,且AB=CD.E、F是AD上两点，CE1AD,

BF±AD.若CE=a,BF=b,EF=c,则AD的长为（）

EFD

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A.a+cB.b+cC.a-b+cD.a+b-c

【分析】只要证明△ABF^^CDE,可得AF=CE=a,BF=DE=b,推出AD=AF+DF=a+

(b-c)=a+b-c；

【解答】解：VAB1CD,CE±AD,BF1AD,

.,.ZAFB=ZCED=90°,NA+ND=90°,ZC+ZD=90°,

/.ZA=ZC,VAB=CD,

.,.△ABF^ACDE,

；.AF=CE=a,BF=DE=b,

/.AD=AF+DF=a+(b-c)=a+b-c,

故选：D.

5.(2022模拟•临沂)如图，ZACB=90°,AC=BC.AD1CE,BE±CE,垂足分别

是点D、E,AD=3,BE=1,则DE的长是()

A.-j-B.2C.2&D.V10

【分析】根据条件可以得出/E=NADC=90。，进而得出△CEBgAADC,就可以得

出BE=DC,就可以求出DE的值.

【解答】解:VBE±CE,AD±CE,

/.ZE=ZADC=90o,

.•.ZEBC+ZBCE=90°.

VZBCE+ZACD=90°,

/.ZEBC=ZDCA.

在ACEB和AADC中,

'NE=NADC

<NEBC=NDCA,

BC=AC

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/.△CEB^AADC(AAS)，

/.BE=DC=1,CE=AD=3.

ADE=EC-CD=3-1=2

6.（2022模拟•台湾）如图，五边形ABCDE中有一正三角形ACD,若AB=DE,

BC=AE,ZE=115°,则NBAE的度数为何？（）

【分析】根据全等三角形的判定和性质得出aABC与4AED全等，进而得出NB=

NE,利用多边形的内角和解答即可.

【解答】解：•.•正三角形ACD,

，AC=AD,ZACD=ZADC=ZCAD=60°,

VAB=DE,BC=AE,

.'.△ABC^AAED,

.,.ZB=ZE=115°,ZACB=ZEAD,ZBAC=ZADE,

ZACB+ZBAC=ZBAC+ZDAE=180°-115°=65°,

ZBAE=ZBAC+ZDAE+ZCAD=65°+60°=125°,

故选：C.

7.（2022模拟•成都）如图，已知NABC=NDCB,添加以下条件，不能判定4

ABC^ADCB的是（）

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D

A.ZA=ZDB.ZACB=ZDBCC.AC=DBD.AB=DC

【分析】全等三角形的判定方法有SAS,ASA,AAS,SSS,根据定理逐个判断即

可.

【解答】解:A、ZA=ZD,ZABC=ZDCB,BC=BC,符合AAS,即能推出aABC

^△DCB,故本选项错误；

B、NABONDCB,BC=CB,ZACB=ZDBC,符合ASA,即能推出AABC之ZWCB,

故本选项错误；

C、NABC=NDCB,AC=BD,BC=BC,不符合全等三角形的判定定理，即不能推出

△ABC^ADCB,故本选项正确；

D、AB=DC,ZABC=ZDCB,BC=BC,符合SAS,即能推出aABC之ADCB,故本选

项错误；

故选：C.

8.（2022模拟•黑龙江）如图，四边形ABCD中，AB=AD,AC=5,ZDAB=ZDCB=90°,

则四边形ABCD的面积为（）

A.15B.12.5C.14.5D.17

【分析】过A作AE1AC,交CB的延长线于E,判定△ACDgAAEB,即可得到

△ACE是等腰直角三角形，四边形ABCD的面积与4ACE的面积相等，根据SMCE总

X5X5=12.5,即可得出结论.

【解答】解：如图，过A作AELAC,交CB的延长线于E,

VZDAB=ZDCB=90°,

/.ZD+ZABC=180°=ZABE+ZABC,

，ND=NABE,

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XVZDAB=ZCAE=90°,

，NCAD=NEAB,

又；AD=AB,

.,.△ACD^AAEB,

.•.AC=AE,即AACE是等腰直角三角形，

/.四边形ABCD的面积与4ACE的面积相等,

••0ACE总X5X5=12.5，

/.四边形ABCD的面积为12.5,

故选：B.

B-、E

9.（2022模拟•绵阳）如图,AACB和aECD都是等腰直角三角形,CA=CB,CE=CD,

△ACB的顶点A在4ECD的斜边DE上，若AE=&,AD=返，则两个三角形重叠

部分的面积为（）

A.-72B.3-A/2C.D.3

【分析】如图设AB交CD于0,连接BD,作。M_LDE于M,ONJ_BD于N.想

办法求出^AOB的面积.再求出OA与OB的比值即可解决问题；

【解答】解：如图设AB交CD于。，连接BD,作。MLDE于M,ONLBD于N.

E

VZECD=ZACB=90",

/.ZECA=ZDCB,

VCE=CD,CA=CB,

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/.△ECA^ADCB,

，NE=NCDB=45°,AE=BD="Q,

VZEDC=45°,

ZADB=ZADC+ZCDB=90°,

在RtAADB中，AB=VAD2+DB2=2^-

；.AC=BC=2,

•,.SAABc=yX2X2=2,

：0D平分NADB,OM_LDE于M,ONJ_BD于N,

，OM=ON,

..SAAODOA方的期任

.百二岁/赤班，

，

SAAOC=2X-^|p=3-M

故选：D.

二.填空题（共4小题）

10.（2022模拟•金华）如图，^ABC的两条高AD,BE相交于点F,请添加一

个条件，使得aADC之aBEC（不添加其他字母及辅助线），你添加的条件是

AC=BC

【分析】添加AC=BC,根据三角形高的定义可得NADC=NBEC=90。，再证明NEBC=

ZDAC,然后再添加AC=BC可利用AAS判定AADC四△BEC.

【解答】解：添加AC=BC,

「△ABC的两条高AD,BE,

/.ZADC=ZBEC=90",

AZDAC+ZC=90°,ZEBC+ZC=90",

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/.ZEBC=ZDAC,

rZBEC=ZADC

在△ADC和ABEC中，ZEBC=ZDAC,

,AC=BC

.'.△ADC^ABEC（AAS）,

故答案为：AC=BC.

11.（2022模拟•衢州）如图，在ZiABC和4DEF中，点B,F,C,E在同一直线

上，BF=CE,AB〃DE,请添加一个条件，使△ABCgZ\DEF,这个添加的条件可以

是AB=ED（只需写一个，不添加辅助线）.

【分析】根据等式的性质可得BC=EF,根据平行线的性质可得NB=NE,再添加

AB=ED可利用SAS判定AABC之Z\DEF.

【解答】解:添加AB=ED,

VBF=CE,

BF+FC=CE+FC,

即BC=EF,

,.•AB〃DE,

/.ZB=ZE,

'AB=ED

在AABC和aDEF中（ZB=ZE,

CB=EF

.'.△ABC^ADEF（SAS）,

故答案为:AB=ED.

12.（2022模拟•绍兴）等腰三角形ABC中，顶角A为40。，点P在以A为圆心,

BC长为半径的圆上，且BP=BA,则NPBC的度数为30。或110。.

【分析】分两种情形，利用全等三角形的性质即可解决问题；

【解答】解：如图，当点P在直线AB的右侧时.连接AP.

VAB=AC,ZBAC=40°,

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，ZABC=ZC=70°,

VAB=AB,AC=PB,BC=PA,

.'.△ABC^ABAP,

ZABP=ZBAC=40°,

/.ZPBC=ZABC-ZABP=30°,

当点P'在AB的左侧时，同法可得NABP，=40。,

/.ZP,BC=40o+70°=110°,

故答案为30。或110°.

P'

13.（2022模拟•随州）如图，在四边形ABCD中，AB=AD=5,BC=CD且BC>AB,

BD=8.给出以下判断：

①AC垂直平分BD；

②四边形ABCD的面积S=AC・BD；

③顺次连接四边形ABCD的四边中点得到的四边形可能是正方形；

④当A,B,C,D四点在同一个圆上时，该圆的半径为季；

6

⑤将4ABD沿直线BD对折，点A落在点E处，连接BE并延长交CD于点F,当

BF_LCD时，点F到直线AB的距离为糕.

其中正确的是①③④.（写出所有正确判断的序号）

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【分析】依据AB=AD=5,BC=CD,可得AC是线段BD的垂直平分线，故①正确；

依据四边形ABCD的面积5=蛆署，故②错误；依据AC=BD,可得顺次连接四边

形ABCD的四边中点得到的四边形是正方形，故③正确；当A,B,C,D四点在

同一个圆上时，设该圆的半径为r,则於=(r-3)2+42,得「=尊，故④正确；连

0

接AF,设点F到直线AB的距离为h,由折叠可得，四边形ABED是菱形，

1194

AB=BE=5=AD=GD,B0=D0=4,依据SMDE=2><BDXOEqXBEXDF,可得DF^^,

225

进而得出EF】，再根据SMBF=S梯形ABFD-SMDF,即可得到八膘，故⑤错误.

5125

【解答】解：•.•在四边形ABCD中，AB=AD=5,BC=CD,

，AC是线段BD的垂直平分线，故①正确；

四边形ABCD的面积S型押，故②错误；

当AC=BD时，顺次连接四边形ABCD的四边中点得到的四边形是正方形，故③正

确；

当A,B,C,D四点在同一个圆上时，设该圆的半径为r,则

r2=(r-3)2+42,

得r喀，故④正确；

6

将4ABD沿直线BD对折，点A落在点E处，连接BE并延长交CD于点F,如图

所示，

连接AF,设点F到直线AB的距离为h,

由折叠可得，四边形ABED是菱形，AB=BE=5=AD=GD,BO=DO=4,

，AO=EO=3,

VSABDE=yXBDX0E=^-XBEXDF,

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.ncBDXEO24

•-DF=-B^=TI

VBF±CD,BF〃AD,

AAD±CD,EF=VDG2-DF2^>

,**SAABF=S梯形ABFD-SAADF,

.,.^-X5h=^-（5+54）X第一4X5X等,

225525

解得h=粤，故⑤错误；

izb

故答案为：①③④.

三.解答题（共23小题）

14.（2022模拟•柳州）如图，AE和BD相交于点C,ZA=ZE,AC=EC.求证:

△ABC^AEDC.

【分析】依据两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等进行判断.

【解答】证明：：在^ABC和AEDC中，

2A=NE

-AC=EC,

,ZACB=ZECD

/.△ABC^AEDC（ASA）.

15.（2022模拟•云南）如图，已知AC平分/BAD,AB=AD.求证：△ABCgA

ADC.

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【分析】根据角平分线的定义得到NBAC=NDAC,利用SAS定理判断即可.

【解答】证明：♦”（：平分NBAD,

AZBAC=ZDAC,

在△ABC和△ADC中，

'AB二AD

'NBAC=/DAC,

AC=AC

/.△ABC^AADC.

16.（2022模拟•泸州）如图，EF=BC,DF=AC,DA=EB.求证:ZF=ZC.

【分析】欲证明NF=NC,只要证明AABC丝ADEF(SSS)即可；

【解答】VDA=BE,

；.DE=AB,

在Z^ABC和4DEF中，

'AB=DE

<AC=DF,

BC=EF

/.△ABC^ADEF(SSS),

AZC=ZF.

17.(2022模拟•衡阳)如图，已知线段AC,BD相交于点E,AE=DE,BE=CE.

(1)求证：△ABE04DCE；

(2)当AB=5时，求CD的长.

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D

【分析】（1）根据AE=DE,BE=CE,NAEB和NDEC是对顶角，利用SAS证明△

AEB^ADEC即可.

（2）根据全等三角形的性质即可解决问题.

【解答】（1）证明：在AAEB和ADEC中，

'AE=DE

•NAEB=/DEC,

BE=EC

.'.△AEB^ADEC（SAS）.

（2）解：VAAEB^ADEC,

；.AB=CD,

VAB=5,

.*.CD=5.

18.（2022模拟•通辽）如图，AABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，

过点A作BC的平行线交BE的延长线于F,且AF=CD,连接CF.

（1）求证：4AEF0ADEB；

（2）若AB=AC,试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论.

【分析】（1）由AF〃BC得NAFE=NEBD,继而结合NEAF=NEDB、AE=DE即可

判定全等；

（2）根据AB=AC,且AD是BC边上的中线可得/ADC=90。，由四边形ADCF是矩

形可得答案.

【解答】证明：（1）二任是AD的中点，

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，AE=DE,

•.•AF〃BC,

/.ZAFE=ZDBE,ZEAF=ZEDB,

.'.△AEF^ADEB(AAS)；

VAF/7CD,AF=CD,

•••四边形ADCF是平行四边形，

VAAEF^ADEB,

/.BE=FE,

VAE=DE,

...四边形ABDF是平行四边形，

，DF=AB,

VAB=AC,

/.DF=AC,

四边形ADCF是矩形.

19.(2022模拟•泰州)如图，ZA=ZD=90°,AC=DB,AC、DB相交于点。.求

证：OB=OC.

【分析】因为NA=ND=90°,AC=BD,BC=BC,知RtABAC^RtACDB(HL),所

以AB=CD,证明△ABO与△CDO全等，所以有OB=OC.

【解答】证明：在RtAABC和RtADCB中

(BD二AC

lCB=BC，

ARtAABC^RtADCB(HL),

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/.ZOBC=ZOCB,

，BO=CO.

20.（2022模拟•南充）如图，已知AB=AD,AC=AE,ZBAE=ZDAC.

求证：ZC=ZE.

【分析】由NBAE=NDAC可得至l1/BAC=NDAE,再根据"SAS”可判断△BAC❷A

DAE,根据全等的性质即可得到NC=NE.

【解答】解：VZBAE=ZDAC,

AZBAE-ZCAE=ZDAC-ZCAE,即NBAC=ZDAE,

在AABCflAADE中，

'AB二AD

VJZBAC=ZDAE,

,AC=AE

/.△ABC^AADE（SAS）,

/.ZC=ZE.

21.（2022模拟•恩施州）如图，点B、F、C、E在一条直线上，FB=CE,AB〃ED,

AC〃FD,AD交BE于-O.

【分析】连接BD,AE,判定AABC之ADEF(ASA),可得AB=DE,依据AB〃DE,

即可得出四边形ABDE是平行四边形，进而得到AD与BE互相平分.

【解答】证明：如图，连接BD,AE,

VFB=CE,

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BC=EF,

XVAB^ED,AC〃FD,

/.ZABC=ZDEF,ZACB=ZDFE,

在AABC和ADEF中，

fZABC=ZDEF

<BC=EF，

,ZACB=ZDFE

.,.△ABC^ADEF(ASA),

；.AB=DE,

XVAB^DE,

，四边形ABDE是平行四边形，

AAD与BE互相平分.

22.(2022模拟•哈尔滨)已知：在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点E,

且AC_LBD,作BFLCD,垂足为点F,BF与AC交于点C,ZBGE=ZADE.

(1)如图1,求证：AD=CD；

(2)如图2,BH是4ABE的中线，若AE=2DE,DE=EG,在不添加任何辅助线的

情况下，请直接写出图2中四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于4ADE

面积的2倍.

【分析】(1)由AC_1BD、BFJ_CD知NADE+NDAE=/CGF+NGCF,根据NBGE=

ZADE=ZCGF得出NDAE=NGCF即可得；

(2)设DE=a,先得出AE=2DE=2a、EG=DE=a、AH=HE=a、CE=AE=2a,据此知

2

BE、CEHG

ADc=2a=2SAADE,证△ADEgABGE得BE=AE=2a,再分另U求出S^SAA.S^,

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从而得出答案.

【解答】解：(1)VZBGE=ZADE,ZBGE=ZCGF,

，ZADE=ZCGF,

VAC±BD>BF_LCD,

/.ZADE+ZDAE=ZCGF+ZGCF,

/.ZDAE=ZGCF,

.*.AD=CD；

(2)设DE=a,

则AE=2DE=2a,EG=DE=a,

/.SAADE=7rAE*DE=-^-*2a«a=a2,

VBH是ZXABE的中线，

；.AH=HE=a,

VAD=CD,AC_LBD,

，CE=AE=2a,

2

贝USAADC^AODE^.(2a+2a)*a=2a=2SAADE；

在aADE和ABGE中，

rZAED=ZBEG

VDE=GE,

,ZADE=ZBGE

/.△ADE^ABGE(ASA),

，BE=AE=2a,

2

.,.SAABE=4-AE*BE=-^»(2a)«2a=2a,

SAACE=:CE・BE—・(2a)«2a=2a2,

SABHG4HG.BE="1"・(a+a)*2a=2a2,

综上，面积等于^ADE面积的2倍的三角形有aACD、AABE、ZXBCE、ABHG.

23.(2022模拟•武汉)如图，点E、F在BC上，BE=CF,AB=DC,ZB=ZC,AF

与DE交于点G,求证：GE=GF.

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【分析】求出BF=CE,根据SAS推出△ABF/^DCE,得对应角相等，由等腰三角

形的判定可得结论.

【解答】证明：•••BE=CF,

，BE+EF=CF+EF,

；.BF=CE,

在4ABF和4DCE中

'AB=DC

<ZB=ZC

BF=CE

/.△ABF^ADCE(SAS),

.,.ZGEF=ZGFE,

AEG=FG.

24.(2022模拟•咸宁)已知：ZAOB.

求作：ZA'O'B',使NA'OB=NAOB

(1)如图L以点。为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA,OB于点C、D；

(2)如图2,画一条射线。置，以点。，为圆心，OC长为半径间弧，交。曾于点

C；

(3)以点U为圆心，CD长为半径画弧，与第2步中所而的弧交于点A；

(4)过点Dz画射线OB,则NA'O'B'=NAOB.

根据以上作图步骤，请你证明NA，OB=NAOB.

【分析】由基本作图得到0D=0C=0D=0C,CD=CD,则根据"SSS"可证明△OCD

g△0CD，，然后利用全等三角形的性质可得到NA9B=NAOB.

【解答】证明：由作法得0D=0C=0D=0C,CD=CD,

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在△OCD和△OCD，中

'OC=OC'

,0D=0'D',

CD=C'D'

.,.△OCD且△O'C'D',

.,.ZCOD=ZCO,D,,

即NA'OB=NAOB.

25.（2022模拟•安顺）如图，在^ABC中，AD是BC边上的中线,E是AD的

中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F,连接CF.

（1）求证：AF=DC；

（2）若AC_LAB,试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论.

【分析】（1）连接DF,由AAS证明4AFE且ADBE,得出AF=BD,即可得出答案；

（2）根据平行四边形的判定得出平行四边形ADCF,求出AD=CD,根据菱形的判

定得出即可；

【解答】（1）证明：连接DF,

,.,E为AD的中点，

，AE=DE,

VAF/7BC,

ZAFE=ZDBE,

在ZkAFE和ADBE中，

"ZAFE=ZDBE

<NFEA=NDEB,

AE=DE

/.△AFE^ADBE（AAS），

，EF=BE,

VAE=DE,

•••四边形AFDB是平行四边形，

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；.BD=AF,

VAD为中线，

；.DC=BD,

.,.AF=DC；

（2）四边形ADCF的形状是菱形，理由如下:

VAF=DC,AF〃BC,

...四边形ADCF是平行四边形，

VAC1AB,

，NCAB=90°,

VAD为中线，

.,.AD*BC=DC,

二平行四边形ADCF是菱形;

26.（2022模拟•广州）如图，AB与CD相交于点E,AE=CE,DE=BE.求证:Z

A=ZC.

【分析】根据AE=EC,DE=BE,ZAED和NCEB是对顶角，利用SAS证明aADE

^ACBE即可.

【解答】证明：在ZiAED和4CEB中,

'AEXE

-ZAED=ZCEB,

DE=BE

/.△AED^ACEB（SAS）,

AZA=ZC（全等三角形对应角相等）.

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27.（2022模拟•宜宾）如图，已知N1=N2,ZB=ZD,求证：CB=CD.

【分析】由全等三角形的判定定理AAS证得△ABC^^ADC,则其对应边相等.

【解答】证明：如图，

，ZACB=ZACD.

在4ABC与4ADC中，

'/B=ND

-ZACB=ZACD,

AC=AC

.'.△ABC^AADC（AAS）,

，CB=CD.

28.（2022模拟•铜仁市）已知：如图，点A、D、C、B在同一条直线上，AD=BC,

AE=BF,CE=DF,求证：AE〃BF.

【分析】可证明^ACE0△BDF,得出NA=NB,即可得出AE〃BF；

【解答】证明：•.,AD=BC,，AC=BD,

第21页共28页

AC=BD

在4ACE和4BDF中，＜AE=BF,

CE=DF

.'.△ACE^ABDF（SSS）

ZA=ZB,

，AE〃BF；

29.（2022模拟•温州）如图，在四边形ABCD中，E是AB的中点，AD〃EC,

ZAED=ZB.

（1）求证：△AEDgZ\EBC.

（2）当AB=6时，求CD的长.

工

AEB

【分析】（1）利用ASA即可证明；

（2）首先证明四边形AECD是平行四边形，推出CD=AE=%\B即可解决问题；

【解答】（1）证明：••？口〃£（：,

ZA=ZBEC,

•.•E是AB中点，

；.AE=EB,

VZAED=ZB,

.♦.△AED四△EBC.

（2）解：VAAED^AEBC,

，AD=EC,

•.•AD〃EC,

...四边形AECD是平行四边形，

；.CD=AE,

VAB=6,

/.CD=^-AB=3.

30.（2022模拟•荷泽）如图，AB〃CD,AB=CD,CE=BF.请写出DF与AE的数

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量关系，并证明你的结论.

【分析】结论：DF=AE.只要证明4CDF丝4BAE即可；

【解答】解：结论：DF=AE.

理由：VAB/7CD,

；.NC=NB,

CE=BF,

/.CF=BE,VCD=AB,

AACDF^ABAE,

，DF=AE.

31.（2022模拟•苏州）如图，点A,F,C,D在一条直线上，AB〃DE,AB=DE,

AF=DC.求证：BC〃EF.

【分析】由全等三角形的性质SAS判定aABC丝Z^DEF,则对应角NACB=NDFE,

故证得结论.

【解答】证明：［AB〃DE,

/.ZA=ZD,

VAF=DC,

，AC=DF.

."△ABC与ADEF中,

'AB二DE

(NA=ND,

AC=DF

.".△ABC^ADEF(SAS),

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/.ZACB=ZDFE,

BC〃EF.

32.(2022模拟•嘉兴)已知：在^ABC中，AB=AC,D为AC的中点，DELAB,

DF1BC,垂足分别为点E,F,且DE=DF.求证：Z\ABC是等边三角形.

【分析】只要证明Rt^ADE之Rt^CDF,推出NA=/C,推出BA=BC,又AB=AC,

即可推出AB=BC=AC；

【解答】证明：•..DELAB,DF1BC,垂足分别为点E,F,

；.NAED=NCFD=90°,

•.•D为AC的中点，

.*.AD=DC,

在RtAADE和RtACDF中，

[AD二DC

lDE=DF，

,RtAADE^RtACDF,

/.ZA=ZC,

BA=BC,VAB=AC,

，AB=BC=AC,

/.△ABC是等边三角形.

33.(2022模拟•滨州)己知，在AABC中,ZA=90°,AB=AC,点D为BC的中

点.

(1)如图①，若点E、F分别为AB、AC上的点，且DEJ_DF,求证：BE=AF；

(2)若点E、F分别为AB、CA延长线上的点，且DE±DF,那么BE=AF吗？请

利用图②说明理由.

第24页共28页

【分析】(1)连接AD,根据等腰三角形的性质可得出AD=BD、ZEBD=ZFAD,

根据同角的余角相等可得出NBDE=NADF,由此即可证出4BDE之4ADF(ASA),

再根据全等三角形的性质即可证出BE=AF；

(2)连接AD,根据等腰三角形的性质及等角的补角相等可得出NEBD=NFAD、

BD=AD,根据同角的余角相等可得出NBDE=NADF,由此即可证出△EDB^^FDA

(ASA),再根据全等三角形的性质即可得出BE=AF.

【解答】(1)证明：连接AD,如图①所示.

VZA=90°,AB=AC,

...△ABC为等腰直角三角形，ZEBD=45".

•・•点D为BC的中点，

/.AD=^-BC=BD,ZFAD=45°.

VZBDE+ZEDA=90°,ZEDA+ZADF=90°,

.,.ZBDE=ZADF.

'/EBD=/FAD

在ABDE和AADF中，BD=AD，

,ZBDE=ZADF

/.△BDE^AADF(ASA),

.\BE=AF；

(2)BE=AF,证明如下:

连接AD,如图②所示.

VZABD=ZBAD=45°,

AZEBD=ZFAD=135°.

VZEDB+ZBDF=90",ZBDF+ZFDA=90°,

/.ZEDB=ZFDA.