5.2.2 同角三角函数的基本关系（5大题型）精讲

同角三角函数的基本关系重点：同角三角函数关系式的推导及应用．难点：利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式的证明。一、同角三角函数的基本关系1、平方关系：，文字表述：同一个角α的正弦、余弦的平方和等于12、商数关系：，文字表述：同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的正切注意以下三点：（1）“同角”有两层含义：一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)关系式都成立，即与角的表达形式无关，如sin23α＋cos23α＝1成立，但是sin2α＋cos2β＝1就不一定成立．（2）sin2α是(sinα)2的简写，读作“sinα的平方”，不能将sin2α写成sinα2，前者是α的正弦的平方，后者是α2的正弦，两者是不同的，要弄清它们的区别，并能正确书写．（3）注意同角三角函数的基本关系式都是对于使它们有意义的角而言的，sin2α＋cos2α＝1对一切α∈R恒成立，而tanα＝eq\f(sinα,cosα)仅对α≠eq\f(π,2)＋kπ(k∈Z)成立．二、三角函数求值问题处理方法1、同角三角函数的关系揭示了同角三角函数之间的基本关系，其常用的用途是“知一求二”，即在sinα，cosα，tanα三个值之间，知道其中一个可以求其余两个．解题时要注意角α的象限，从而判断三角函数值的正负．2、已知三角函数值之间的关系式求其它三角函数值的问题，我们可利用平方关系或商数关系求解，其关键在于运用方程的思想及(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα的等价转化，分析解决问题的突破口．三、三角函数式的化简技巧①化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的．②对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的．③对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造＋＝1，以降低函数次数，达到化简的目的．四、三角函数恒等式证明证明三角恒等式的过程，实质上是化异为同的过程，证明恒等式常用以下方法：①证明一边等于另一边，一般是由繁到简．②证明左、右两边等于同一个式子(左、右归一)．③比较法：即证左边－右边＝0或eq\f(左边,右边)＝1(右边≠0)．④证明与已知等式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立．题型一sina、cosa、tana知一求二【例1】（2023·甘肃定西·高二统考开学考试）已知，，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由，得，而，所以.故选：D【变式11】（2023·四川宜宾·高一校考期中）已知，其中，的值为（）A．－B．－C．D．【答案】A【解析】因为为第四象限角，所以.故选：A.【变式12】（2023下·四川宜宾·高一统考期末）若，，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，，所以，所以，因为，所以，又因为，所以，所以，所以，所以.故选：C【变式13】（2023·全国·高一课时练习）（多选）下列命题是真命题的是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】BD【解析】对于AB，当时，，，A错误，B正确；对于CD，由得：，，C错误，D正确.故选：BD.题型二正、余弦齐次式的应用【例2】（2023·广西·高二广西大学附属中学校考开学考试）已知，则的值为（）A．B．1C．D．【答案】C【解析】因为，所以.故选：C.【变式21】（2023·广东·高三广州市第十六中学校考阶段练习）已知，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意知，则，故选：D【变式22】（2023·辽宁·高一大连八中校考阶段练习）已知，则.【答案】2或【解析】由两边平方得，解得，所以，即，解得或.【变式23】（2022下·高一课时练习）已知，求：（1）；（2）.【答案】（1）；（2）【解析】（1）；（2）=.题型三sina±cosa、sinacosa关系应用【例3】（2023·北京·高一北京二十中校考阶段练习）已知，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由于，所以，又，所以,故，故选：A【变式31】（2023·山东枣庄·高一统考期末）已知，且，则的值为（）A．B．C．D．或【答案】C【解析】将两边同时平方可得，，可得；又，所以；易知，可得；又,所以.故选：C【变式32】（2023·江苏扬州·高一校考阶段练习）（多选）已知，则下列选项正确的是()A．B．C．D．【答案】ABD【解析】两边平方，得，即，则，选项A正确；因为，所以，又因为，所以，因为，所以，选项B正确，因为，故D正确，C错误，故选：ABD．【变式33】（2023·全国·高一课时练习）已知是关于x的方程的两个根（）（1）求a的值；（2）求的值；（3）求的值．【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）因为是关于x的方程的两个根，所以方程的判别式，解得：或，且有，所以==，即，解得（舍去），即a的值为.（2）因为，所以的值为.（3）因为.故的值为.题型四利用同角关系化简求值【例4】（2023·宁夏银川·高三银川一中校考阶段练习）若，则α不可能是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】显然，因此，从而，对于A，因为为第四象限角，所以，A可能；对于B，因为为第二象限角，所以，B不可能；对于C，因为为第三象限角，所以，C可能；对于D，因为为第四象限角，所以，D可能.故选：B【变式41】（2023·全国·高一课时练习）已知，则的值为．【答案】3【解析】【变式42】（2023·全国·高一课时练习）．【答案】3【解析】.【变式43】（2022·全国·高一课时练习）化简：．【答案】【解析】．题型五利用同角关系证明三角恒等式【例5】（2023·上海浦东新·高一进才中学校考开学考试）证明：．【答案】证明见解析【解析】证明：，即.【变式51】（2022·高一单元测试）求证:.【答案】证明见解析【解析】方法一:左边======右边.方法二:左边=====

=右边.【变式52】（2023·高一课时练习）（1）已知，（，），求证：；（2）已知，求证：．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解