工程物理课件

工程物理2023-12-292工程物理

物理學的定義物理學是研究物質、能量和它們相互作用的學科Physics一詞源於希臘文“自然”，中文的含義：“物”表示物質的結構和性質；“理”表示物質的運動和變化規律。

物理學所研究的粒子，構成了蛋白質、基因、器官、生物體、陸地、海洋、大氣和宇宙等一切人造的和天然的物質。在這個意義上，物理學構成了化學、生物學、材料科學和地球物理學等學科的基礎，物理學的基本原理和實驗手段被應用到了所有的自然科學。

物理學是一切自然科學的基礎2023-12-293工程物理“科學是一種方法。它教導們：一些事物是怎樣被瞭解的，什麼事情是已知的，現在瞭解到了什麼程度，如何對待疑問和不確定性，證據服從什麼法則；如何思考事物，做出判斷，如何區別真偽和表面現象”。

——R.P費曼“我從不迷信權威，但命運捉弄了我——我自己變成了權威”

——A.愛因斯坦以上是兩位著名物理學家的話，希望它們能成為大家學習物理的座右銘。學習課程除了掌握基本知識外，更重要的是學習一種科學的思維方法。正如一個古老的故事所講的那樣，學生從老師那裏得到的，應該是一個點石成金的法則，而不是一堆金子。2023-12-294工程物理

我的要求

不無故缺課，遵守課堂紀律。

獨立完成作業，按時上交。2023-12-295第一章緒論§1.1物理學的範疇

物理學的定義物理學是研究物質、能量和它們相互作用的學科Physics一詞源於希臘文“自然”，中文的含義：“物”表示物質的結構和性質；“理”表示物質的運動和變化規律。2023-12-296第一章緒論

物理學的分類

從物質的結構層次來區分：

從物質的運動形式來區分：微觀、介觀、宏觀和宇觀力學、熱學、電磁學、光學和原子物理學等各個部分。2023-12-297第一章緒論——研究物體的機械運動；——研究溫度、熱、能量守恆及熵原理等；

——研究電磁現象及電磁輻射、光等；

——研究高速運動、引力、時間和空間等；

——研究微觀世界。

牛頓力學或經典力學(classicalmechanics)

物理學最重要的基本理論

熱力學(thermodynamics)

電磁學(electromagnetism)

相對論(relativity)

量子力學(quantum-mechanics)2023-12-298第一章緒論§1.2物理量與量綱

基本物理量長度米(m)品質公斤(kg)時間秒(s)電流安培(A)熱力學溫度開爾文(K)物質的量摩爾(mol)發光強度坎德拉(cd)2023-12-299第一章緒論1秒是銫133原子基態的兩超精細能級之間躍遷對應輻射週期的9192631770倍，精度可達10-12。

時間時間是物質運動持續性的反映國際單位制中時間單位為秒時間的測量：利用具有週期性的現象測量時間。

2023-12-2910第一章緒論空間是物質運動廣延性的體現

空間空間的測量：通過長度來度量空間。1米是氪原子的一條橙黃色譜線波長的1650763.73倍長度在國際單位制中時間單位為米：2023-12-2911

質點(masspoint,particle)將物體視為只有品質，沒有形狀、大小的幾何點。物體學的理想模型

實際物體作為質點處理的條件是物體各點運動狀態相同或差異可忽略。作為質點的物體不一定是很小的，而很小的物體未必都能看作質點。研究複雜物體的運動時，整個物體不能看作質點，卻可把複雜物體分割成許多小部分，每一部分都可看成質點來進行討論。§2.1力學中的一些基本概念2023-12-2912

參照系（referencesystem)研究物體運動時所選定的參照物體。

自然界一切物體都在不停地運動，絕對靜止的物體是不存在。物體的運動狀態總是相對於另一物體而言的。

選取不同的參照系，則對同一物體的運動將具有不同的描述，這稱為運動描述的相對性。

在運動學中，參照系的選取是任意的，原則是簡單；在動力學中，需選慣性參照系。2023-12-2913

坐標系(Coordinatesystem)定量地確定一個物體相對於某參照系的位置。

坐標系固定在某參照系上。

物體的位置由它在坐標系的座標決定。

直角坐標系，極坐標系，球坐標系和自然坐標系。2023-12-2914§2.2位置向量

位置向量坐標系的原點指向質點的向量稱為質點的位置向量，簡稱位矢，也稱為矢徑，用符號r

或

表示。rox*P一維i為沿x軸正向單位向量，

|i|=1r的大小稱為“模”r的方向與i

同方向(x>0)或與i

反方向(x<0)i2023-12-2915xy

rP*oyx二維：

r

方向為tg

=y/x（

是r與x的夾角）r的大小（模）為2023-12-2916xyzoPyijkxz三維2023-12-2917

運動方程

運動方程：位置向量r與時間t的函數關係運動方程：運動方程分量式：

質點運動的軌道：質點運動時在空間所連成的曲線，即r末端所描述出的曲線。

軌道方程：從運動分量式中消去t，即得質點運動的軌道方程。or1r2軌道2023-12-2918

位移

位移：在一段時間內質點位置向量的改變。位移是向量yxr1r2

r

sP1P2o

r大小：方向：初始時刻的位置指向末了時刻的位置

P1指向P22023-12-2919yxr1r2

r

sP1(t)o

路程

s

：質點運動所經歷的軌道長度。路程是標量。

位移和路程的單位都是米（m）

P2(t+

t)2023-12-2920§2.3速度速度：描述質點運動快慢和運動方向的物理量

平均速度P1(t)P2(t+

t)xr2Δrr1yot到t+

t這段時間內，質點的位移為

r，這段時間內內的平均速度：是向量，方向與的方向相同。2023-12-2921

瞬時速度簡稱速度當Δt→0時，平均速度的極限，稱為t時刻質點的瞬時速度P1(t)P2(t+

t)xr2Δrr1yo速度方向：瞬時速度的方向是位矢

r趨於極限的方向，

沿該點軌道的切線方向並指向質點前進的方向。速度大小（速率）：2023-12-2922直角坐標系速度分量式：速度：速度大小（速率）

：速度單位：在國際單位制中，速度的單位為米/秒（m/s）。速度的疊加：速度是各分速度之向量和2023-12-2923§2.4加速度

加速度：描寫速度變化的物理量v1v2P1(t)yoxP2(t+

t)r1r2

vv1v2t到t+

t這段時間內，質點的速度增量為

平均加速度

這段時間內內的平均加速度：平均加速度的方向與速度增量的方向相同。2023-12-2924

暫態加速度簡稱加速度當Δt→0時，平均加速度的極限，稱為t時刻質點的暫態加速度或加速度加速度方向：是

t→0時，速度增量的極限方向。在曲線運動中，加速度的方向與速度方向不同。2023-12-2925直角坐標系分量式：單位：在國際單位制中，加速度的單位為米/秒2(m/s2)。2023-12-2926

切向加速度和法向加速度質點作平面曲線運動，可將加速度分解為切向加速度和法向加速度自然坐標系：在軌道上任取一點作為座標原點o，t時刻質點的位置用質點與原點間的軌道長度s來表徵，運動方程為：s=s(t)。oP1s(t)

(t)n(t)O

v

以質點所在位置P1點的軌道切線方向和垂直方向作為座標方向，設t時刻切向單位向量為

(t)（指向v方向），法向單位向量為n(t)（指向曲率中心O）。

是曲率半徑。

座標方向隨質點位置變化2023-12-2927質點加速度質點速度

(t+dt)

(t)d

d

dsoP1s

(t+dt)

(t)P2n(t)O

d

經dt時間後，質點運動到P2處，當dt→0，即d

→0時，d

的方向與

(t)垂直，與n一致，d

的大小為|d

|=|

|d

=d

2023-12-2928P1處的曲率半徑自然坐標系中的加速度2023-12-2929切向加速度法向加速度P

anaa

v

分量式：

總加速度大小：方向（a與v

的夾角）改變速度的大小改變速度的方向2023-12-2930

(t+dt)

(t)d

d

dsoP1s

(t+dt)

(t)P2n(t)O

d

並不垂直於是單位向量,故垂直於，沿法線方向補充：並且2023-12-2931並不垂直於補充：可解為相互垂直的二個向量與2023-12-2932

特例（1）勻速圓周運動是常數如圓周運動為T,則（2）直線運動2023-12-2933§2.3相對運動yorr'x'xo'y'r0S

Sv0a0P坐標系S坐標系S'S系觀察質點P:S’系觀察質點P:S系觀察O’:位置關係：速度關係：t=t’2023-12-2934加速度關係：伽利略變換關係：僅在低速運動時成立，絕對時空觀。2023-12-2935

非慣性參照系牛頓第一定律成立的參照系稱為慣性參照系，簡稱慣性系。

慣性參照系牛頓第一定律不適用的參照系稱為非慣性參照系，簡稱非慣性系受合力為零的物體靜止，若在加速運動的車中觀察該物體，則物體的運動狀態不斷在改變，所以第一定律在加速運動的車上不成立。地球是近似程度較好的慣性系，太陽是更精確的慣性系。凡是相對慣性系作勻速直線運動的參照系都是慣性系。2023-12-2936§3.2品質、動量和動量守恆定律一、品質

品質：描述物體慣性大小的物理量。

物體品質的定義v0vv’v0‘PSm0m封閉系統：兩物體之間有相互作用，但不受其他物體的作用。在任意時間間隔

t內，兩質點速度的增量方向相反，大小成比例。比例係數為K2023-12-2937比例係數為K取決於物體的某種固有屬性稱作慣性品質，簡稱品質若S是標準物體質點品質越大，它的速度增量就越小，速度改變就越困難，即運動狀態的改變越困難，定義式反映了質點平動慣性的大小。所以，品質是物體平動慣性大小的量度品質的單位是公斤，kg2023-12-2938二、動量和動量守恆定律

動量：質點品質m與速度v的乘積為質點的動量，動量是向量，方向與速度方向相同。單位：千克·米/秒（kg·m/s）在前後兩個時刻，質點動量總和是不變的，是守恆量。2023-12-2939

動量守恆定律：兩個相互作用的質點組成的封閉系統的總動量保持守恆。2023-12-2940m+dm-dm動量守恆定律的應用2023-12-2941

火箭的品質從m1減少到m2時，速度從v1增加到v2。

要使火箭獲得較大的速度，必須增大噴氣速度和火箭的品質比m1/m2。小於第一宇宙速度7.91Km/s2023-12-2942多級火箭：火箭總品質為m10，第一級火箭燃料燒盡時品質為m1，令N1=m10/m1，此時火箭達到的速度為第一級火箭脫落後，火箭品質為m20，第二級燃料燒盡後品質為m2，N2=m20/m2，此時火箭達到的速度為多級火箭最終所能達到的速度為2023-12-2943三級火箭：大於第一宇宙速度7.91Km/s大於第二宇宙速度11.2Km/s2023-12-2944§3.3力和質點系的動量守恆定律一、力和牛頓運動定律

合力：質點受到若干力的合作用，稱為該質點所受的合力。向量和，疊加原理

牛頓第二定律質點所受的合力等於該質點動量的時間變化率。這是牛頓定律更一般的形式，在高速時也成立。2023-12-2945低速時m為常量，故力的單位稱為牛頓，符號為N

是暫態關係式。

是向量式。直角坐標系自然坐標系2023-12-2946

牛頓第三定律兩個相互作用的質點組成的封閉系統質點2對質點1的作用力F12質點1對質點2的作用力F21單位時間內交換的動量作用力和反作用力大小相等，方向相反，在同一條直線上。2023-12-2947三、質點系的動量守恆定律

質點系（組）：若干質點組成的系統。

外力、內力：系統外質點對質點系內質點的作用力稱為外力。質點系內部質點之間的相互作用力稱為內力。m1m2m3F1F2F3f12

f21f13f31f32f23三個質點組成的系統系統內力的向量和為零。2023-12-2948

系統的總動量守恆的條件：2023-12-2949如則當系統所受合外力F外=0時，動量守恆。

內力可以改變系統內質點的動量，但不能改變系統的總動量。

2023-12-2950水準方向，系統不受外力作用x2023-12-2951xmM品質為M，半徑為R的四分之一圓弧形滑槽原來靜止於光滑水平面上，品質為m的小物由靜止開始沿滑槽從槽頂滑到槽底。求這段時間內滑槽移動的距離l。解：下滑過程中，水準方向上系統不受外力作用，動量守恆。VvxlRR-l2023-12-2952§3.3衝量和動量定理牛頓定律是力和效果之間的暫態關係，動量定律反映力持續作用一段時間的效應。

衝量：力的時間累積稱為衝量，是向量。若力作用的持續時間為t0~t

動量定理：質點在一段時間內所受的合外力的衝量等於該一段時間內質點的動量的增量。2023-12-2953

由動量的增量，求衝量。

平均衝擊力:2023-12-2954§3.4牛頓定律的實際應用

在自然界中存在著四種基本相互作用力。

萬有引力：存在於物體品質之間的相互吸引。

強相互作用力：原子核內部質子、中子等核子及介子、超子之間的相互作用力。

電磁力：帶電體之間的相互作用，從微觀本質看，彈性力、摩擦力，分子力等接觸力都屬於電磁力。

弱相互作用力：基本粒子之間的相互作用力，在某些放射性衰變中才顯示出來。2023-12-2955力的種類力的強度(N)力程(m)萬有引力10-34

弱力10-910-17電磁力102

強力10410-152023-12-2956

力學中常見的力

重力：地面附近物體受到地球的吸引力，指向地球中心。

彈性力：當物體受外力作用而產生形變時，物體之間出現使其恢復原來形狀的相互作用力。

胡克定理：彈性限度內的彈簧，正壓力（支持力）N：兩物體通過一定面積相互擠壓時，接觸面處出現的彈性力，方向垂直於接觸面。

張力T：線狀物體被拉緊時，物體內各部分之間的相互作用力。忽略繩的品質時繩中各處的張力相同。2023-12-2957

摩擦力：兩相互接觸的物體沿接觸面有相對運動或有相對運動的趨勢，在接觸面之間產生的阻礙相對運動的力。

靜摩擦力：兩物體有相對滑動的趨勢時，產生的阻礙相對運動的力。其大小等於產生相對運動趨勢的外力，增大到將產生相對運動時，稱為最大靜摩擦力。

滑動摩擦力：兩物體有相對滑動時，產生的阻礙相對運動的力。2023-12-2958已知：求：解：2023-12-2959已知：求：m與M一起運動解：2023-12-2960m與M有相對運動2023-12-2961§3.6

非慣性系一小車以加速度相對地面運動，車廂內一物體m受合外力為F，使物體相對車廂作的加速運動地面參考系：加速度牛頓定律成立：車廂參考系：加速度物體受力仍為F牛頓不定律成立：2023-12-2962為了使牛頓定律在非慣性系仍能成立，物體還受到一個假想力的作用，其大小等於物體的品質與非慣性系的加速度的乘積，方向與非慣性系的加速度的方向相反。此假想力稱為慣性力。慣性力：非慣性系中的牛頓定律慣性力是非慣性系中假想的力，反映了非慣性系的加速效應。慣性力沒有施力者，也沒有反作用力。僅對平動非慣性系2023-12-2963求：地面參考系解：2023-12-2964

變力作功變力作用於質點，質點沿曲線從點1移到點2，取微元，力可近似看作恒力元功：總功：2023-12-2965例：品質為0.1kg的質點，由靜止開始沿曲線(SI)運動，求在t=0s到t=2s時間內，作用在該質點上的合外力所作的功。2023-12-2966求：2023-12-2967

功率：單位時間內物體作的功，是反映作功快慢的物理量。功率的單位：瓦特，符號為W，1W=1J/s2023-12-2968二、質點動能定理品質為m的質點，受合力F作用，沿曲線由1處移到2處，所作元功：2023-12-2969

動能

動能定理合力對質點所作的功等於質點動能的增量。2023-12-2970dhdr

m12oGhh+dhh§4.2勢能一、保守力品質m的質點在重力G的作用下，從點1移動到點2，重力作功：若使質點從點1出發沿任意閉合回路移動一周又回到點1，則重力做功為零。

重力做功重力做功只決定於質點始、終態的相對位置h1和h2。2023-12-2971萬有引力、彈性力和靜電力是保守力。

保守力做功與路徑無關，只決定於始、末相對位置的力，稱為保守力。保守力的閉合路徑積分為零：

非保守力做功與路徑有關的力，稱為非保守力。力的閉合路徑積分不為零：摩擦力是非保守力。2023-12-2972二、勢能

做功改變系統的能量，保守力做功改變的能量僅有系統中質點的相對位置有關，所以系統內各質點所處的相對位置不同就決定了系統具有的不同能量狀態，或者說，可用一個表示能量的狀態函數來描述系統，這個狀態函數稱為系統的勢能。

勢能：系統相對位置變化的過程中，保守力做功等於系統勢能增量的負值。保守力作正功，勢能減少。保守力作負功，勢能增加。2023-12-2973要確定勢能的值，必須選定一個參考位置作為勢能的零點。b點作為勢能零點，則任一點的勢能：2023-12-2974

力學中的幾種勢能

引力勢能無窮遠處勢能為零點：2023-12-2975

重力勢能地球表面的重力勢能為零點：2023-12-2976oxxF

彈性勢能選取彈簧的相對伸長x=0時為勢能零點

勢能零點的選擇是任意的。零點不同，系統勢能值不同，但兩個位置的勢能差與勢能零點的選擇無關。

勢能是屬於相互作用的整個質點系統的。

勢能是位置的能量。

勢能的性質2023-12-2977§4.3能量守恆定律

機械能守恆定律系統中每個質點只受到其他質點的作用，且相互作用力都是保守力。封閉保守系統：動能定理機械能：機械能守恆定律：封閉保守系統的總機械能保持恒定。2023-12-2978非封閉系統：W外+W非保守內力=0時，機械能守恆定律，僅要求外力和非保守內力不作功，但並不一定為零。功能原理2023-12-2979§4.4一維勢能曲線

由勢能求保守力一維三維2023-12-2980

在機械能守恆的封閉保守系統中，可在勢能曲線上作水準直線E表示總能量，由於E=Ek+U，在x處，曲線上面對應的是動能的大小Ek，曲線下為勢能的大小Ep。在曲線高於E的區域物體是不能到達的，如圖中x1和x2之間的區域。oxEpExEkEpx1x22023-12-2981

保守力的大小等於勢能曲線的斜率，方向指向勢能減少的方向。勢能曲線的局部最低點，為穩定平衡點。oxEpExEkEpx1x22023-12-2982§5.1角動量和力矩oLp

rvmxyz

角動量：質點的動量為p=mv相對o點的位矢r，則質點對點o的角動量L為大小：用右手螺旋法則確定，垂直於r和p組成的平面。方向：千克·米2/秒(kgm/s)單位：2023-12-2983

質點的角動量不僅與動量有關，還與

o點的位置有關。

質點對z軸的角動量:角動量在通過o點的z軸的分量，稱為質點對z軸的角動量質點繞通過o點的z軸轉動時，z軸與r

p組成的平面垂直，質點對o點的角動量等於對z軸的角動量。

質點系對o點的角動量：所有質點對o點的角動量的向量和。2023-12-2984

vrLrsin

om

質點作直線運動

vRL

om大小：大小：方向：垂直向外

質點作圓周運動方向：垂直圓面

質點系作圓周運動大小：方向：垂直圓面2023-12-2985

力矩：oMp

rFmxyz質點相對o點的位矢r，所受到的力為F,則力為F對o點的力矩M為大小：方向：右手螺旋方向，垂直於r和F組成的平面。牛頓·米（Nm）單位：2023-12-2986

合力矩:

質點受多個力作用時，合力矩為各力矩的向量和。

質點系的內力矩之和為零。

質點系的合力矩：2023-12-2987§5.1角動量守恆定理角動量定理動量定理角動量定理2023-12-2988質點系2023-12-2989角動量守恆定理

質點所受的力對參考點o的合力矩為零，則質點對該參考點的

角動量守恆。

質點系所受的外力對參考點o的合力矩為零，則質點系對該參考點的角動量守恆。2023-12-2990質點作勻速直線運動，角動量守恆2023-12-2991

有心力和角動量守恆

有心力：若物體所受力的方向始終通過某一固定點，而力的大小僅依賴與物體到該點的距離。

固定點稱為力心。常見的有心力有：萬有引力、(點電荷)靜電作用力等rm有心力F力心o有心力對力心的力矩為零

在有心力作用下運動的質點和質點系的對力心角動量守恆2023-12-2992在有心力場中的質點的運動軌跡是平面曲線。質點例：行星到太陽的矢徑在相等的時間內掃過的面積相等。2023-12-2993例1

質點系的內力可以改變（A）系統的總品質。（B）系統的總動量。（C）系統的總動能。（D）系統的總角動量。[C]例2

一質點作勻速率圓周運動時,（A）它的動量不變，對圓心的角動量也不變。（B）它的動量不變，對圓心的角動量不斷改變。（C）它的動量不斷改變，對圓心的角動量不變。（D）它的動量不斷改變，對圓心的角動量也不斷改變。[C]2023-12-2994例3

在光滑的水平面上，一根長L=2m的繩子，一端固定於o點，另一端系一品質m=0.5kg的物體。開始時，物體位於位置A，oA間距離d=0.5m，繩子處於鬆弛狀態。現在使物體以初速度vA=4m/s垂直於oA向右滑動，如圖所示。設到達位置B時，物體速度的方向與繩垂直。求物體在B處的速度（角動量和角速度）。解物體從A運動到B的過程中，繩子有張力作用於物體，動量不守恆，但張力通過o點，對o點的力矩為零，故物體對o點的角動量守恆dvAvBABo2023-12-2995例品質為m的飛船關閉發動機後以速度v0飛向品質為M、半徑為R的遙遠星球。過球心作一直線與v0平行，問飛船與此直線間的垂直距離b（稱為描准距離）為多大時，飛船軌道恰好與星球表面相切，能在星球表面著陸？俘獲截面多大？Rovv0b俘獲截面r

2023-12-2996方向：用右手螺旋法則確定，垂直於A和B組成的平面。標量向量2023-12-2997§5.3對稱性與守恆定律對稱性一個操作使體系從一個狀態變換到另一個等價的狀態，則稱體系對於這一操作是對稱的，該操作是體系的對稱操作。物體的對稱性物理定律的對稱性對稱操作下的不變性，稱作對稱性2023-12-2998對稱性和守恆定律空間平移不變性與動量守恆定律時間平移不變性與能量守恆定律空間轉動不變性與角動量守恆定律2023-12-2999§6.1剛體的運動一、剛體的平動和轉動

剛體的平動剛體上任意兩點的連線始終保持平行的運動。AA

B

B平動過程中，各質點的運動軌道相同，速度、加速度也都相同，可用任一質點的運動代表剛體的運動。2023-12-29100剛體中所的質點都繞同一直線作圓周運動。該直線稱為轉軸。

剛體的轉動

定軸轉動：轉動過程中轉軸固定不動的轉動。如門窗的運動、飛輪的運動。

定點轉動：轉軸上有一點固定不動，而轉軸的方向不斷變化。如天線、陀螺的運動。

剛體的一般運動：即有平動又有轉動，是平動和轉動的疊加。如螺釘的運動、車輪的運動。2023-12-29101轉動平面：與轉軸垂直的平面2023-12-29102二、剛體的角速度和角加速度zx

(t)ＰＯ

角座標：剛體內任取一點P,P對轉軸的垂線為OP，可用OP與x軸之間的夾角

來描述剛體的位置，稱

為角座標，也稱角位置，角度

的微小變化d

稱角位移。

角速度：角座標

對時間t的一階導數單位：弧度/秒（rad/s）方向:右手螺旋方向2023-12-29103

角加速度：角座標

對時間t的二階導數

勻角加速度運動方程：單位：弧度/秒2（rad/s2）方向:d

方向類似勻加速直線運動角量與線量一一對應2023-12-29104

角量與線量的關係：剛體內各質點的角速度、角加速度都相同，但速度、加速度在轉動過程中可能不一樣。P點到轉軸垂直距離ROO’ωPRd

2023-12-29105ωrPRvθO2023-12-291062023-12-29107§6.2剛體的質心運動一、質心質心：質點系的品質中心，簡稱為質心。

質心的品質：等於質點系中各質點品質的總和。

m=

mi質心的位置：是質點系內各質點的品質加權平均位置。直角坐標系2023-12-29108剛體是品質連續分佈的物體，可看成由許多品質元dm組成的質點系，剛體的質心矢徑為剛體的質心直角坐標系對剛體積分2023-12-29109二、質心運動定律質心速度：質點系總動量：質心運動定理：由動量定理物體在運動過程中可以發生形變、旋轉、甚至爆炸，但質心的運動總符合質心運動定理。2023-12-29110§6.3剛體的定軸轉動一、剛體相對定軸的角動量ωriviΔmio剛體分成許多品質元ΔmiΔmi所在轉動平面與定軸的交點為OΔmi相對定軸的角動量的角動量2023-12-29111ωrPRvθOZｍＬθ對O的角動量對O的角動量的Z軸分量2023-12-29112轉動慣量2023-12-29113二、對軸的力矩P*o剛體繞oz軸旋轉，力F作用在剛體P點，且在轉動平面內，轉動平面與定軸的交點為o，r為由點o到力的作用點P的矢徑，力F對轉軸的力矩M定義為大小：方向：沿轉軸2023-12-29114ＲoＦｒＸＹαθｄZ對O的力矩對O的力矩的Z軸分量2023-12-29115Oz

當力F不在轉動平面內時，可將力分解為平行於轉軸的力Fz和在轉動平面內的力F

，力Fz不產生對轉軸力矩。

對轉軸的合力矩是剛體所受外力對轉軸力矩的代數和。2023-12-29116Fioriz

mifi

Fi

Fin三、剛體的定軸轉動定律2023-12-29117三、剛體的定軸轉動定律由質點系的角動量定理剛體對於某一定軸的合外力矩等於剛體對同一轉軸的轉動慣量與角加速度的乘積。2023-12-29118力對轉動的作用效果不僅僅取決於力的大小，還和力的方向、力的作用點有關。（1）方向平行於轉軸的力、（2）作用線通過轉軸的力、（3）作用點在轉軸上的力都不能使剛體轉動，不能改變剛體的轉動狀態。2023-12-29119四、轉動慣量轉動慣量是轉動慣性的量度，而慣性品質是平動慣性的量度。質點系品質連續分佈的剛體單位：千克·米2（kg·m2）

轉動慣量具有相加性，幾個物體對同一轉軸的轉動慣量等於每個物體的轉動慣量之和；

決定轉動慣量的三因素：物體的品質、品質分佈和轉軸位置；

轉動慣量與座標的選取、物體轉動的狀態無關。2023-12-29120例1：均質細杆2023-12-29121例2：均質細環例3：均勻薄圓盤2023-12-29122例4

半徑為R，品質為M的均勻圓盤，靠邊挖去直徑為R的一個圓孔後(如圖所示)，求對通過圓盤中心o且與盤面垂直的軸的轉動慣量。Ro品質為M的均勻圓盤對o軸的轉動慣量圓孔對o軸的轉動慣量2023-12-29123設剛體繞通過質心C的轉軸CZ'的轉動慣量為IC，將軸朝任何方向平移距離d，則繞此軸的轉動慣量為平行軸定理：CoZ'Zri'

miri

ix'ICId2023-12-29124則第3項

miri'

iCx'ox'第3項：以C為原點建立座標x'軸，則質心位置就在原點，按求質心位置公式，有2023-12-29125剛體的回轉半徑：均質薄圓環對垂直通過環面中心的轉軸的轉動慣量：任意剛體對某轉軸的轉動慣量寫成：稱作回轉半徑例：均質圓盤均質圓盤回轉半徑2023-12-29126剛體力學的問題求解：

受力分析：力的方向，作用點

力對某軸的力矩，剛體對某軸的轉動慣量，對該軸的應用定軸轉動定律

求質心的位置，對質心應用質心運動定理。2023-12-29127例1r3）F、N與質心的運動有關1）2）受力分析只有重力對軸有力矩2023-12-29128例2

如圖所示，將一根品質為m、長為l的均勻細杆懸掛於通過其一端的光滑水準軸o上。今在懸點下方距離x處施以水準衝力F，使杆開始擺動，要使在懸點處杆與軸之間不產生水準方向的作用力，則施力F的位置x應等於多少。oxFyxNy轉動定律質心運動定理由得2023-12-29129例3

一半徑為R、品質為m的均勻圓盤放在水準桌面上，盤與桌面之間的滑動擦係數為

，若盤繞通過其中心且垂直盤面的固定軸oz以角速度

0開始旋轉。試求（1）經過多少時間圓盤停止轉動；（2）圓盤在轉動幾圈後停止。drr

0lRoz（1）受力分析：重力、桌面支持力對軸不產生力矩，摩擦力矩使圓盤轉動停止。設轉動方向為正，轉動定律為求Mf：在圓盤上半徑為r處，取寬為dr的質元，設圓盤的體密度為

，厚度為l，質元品質dm=

dV=

2rldr，所受摩擦力df=dmg，方向與徑向r方向垂直。2023-12-29130質元的力矩總力矩圓盤的轉動慣量2023-12-29131（2）設圓盤旋轉n圈後停止

2=

02+2

=02023-12-29132五、角衝量角衝量(衝量矩）：合外力矩的時間累積作用角動量定理（積分形式）：剛體、質點系所受對轉軸的衝量矩等於對轉軸的角動量的增量。角動量定理（微分形式）剛體質點系2023-12-29133角動量守恆定理：當合外力矩M=0時，剛體、質點系對轉軸的角動量守恆。應用：

轉動物為非剛體。角動量守恆時有

，改變角動量可以改變轉動速度。如花樣溜冰運動員、芭蕾舞演員、機械穩速裝置。

剛體做定軸轉動。剛體的轉動慣量不變，由守恆，

的大小和方向都不變。如陀螺儀，可作為艦船、飛機、導彈的定向指示儀。剛體2023-12-29134六、剛體轉動中的功和能

力矩的功Fiorzp

d

dr設力Fi在轉動平面內，作用在剛體中p點上，dt時間內，剛體的角位移d

，p點位移dr，

dr

=rd

，力Fi在dr上的投影為切向力Fi

=Fi

sin

，則Fi所作的元功從角位置

0

轉到

時，力Fi對剛體所作的功Wi剛體受幾個外力作用，則外力對剛體作的功：2023-12-29135

剛體的轉動動能剛體的轉動動能是剛體所有質元的動能之和：類似2023-12-29136

剛體的重力勢能剛體的重力勢能是剛體所有質元的重力勢能之和：

2023-12-29137七、剛體繞定軸轉動的動能定理合外力矩對剛體所作的功等於剛體轉動動能的增量。定軸轉動的動能定理2023-12-29138質點系功能原理對剛體仍成立：2023-12-29139mv0oac例1一長為l，品質為M的勻質細杆，可繞水準光滑軸o在豎直平面內轉動，如圖所示。細杆由水準位置靜止釋放，試求：（1）釋放瞬間，軸對杆的作用力；（2）杆轉至豎直位置時，恰有一品質為m的泥巴水準打在杆的端點並粘住，且系統立即靜止，則該泥巴與該杆碰撞前的速度。1）釋放時杆受重力Mg和軸對杆的作用力NNMg轉動定理質心加速度為質心加速度的方向向下，杆所受力的方向只在豎直方向2023-12-29140（2）從水準位置到垂直位置機械能守恆碰撞過程中角動量守恆2023-12-29141例

2

如圖所示，有一品質為M、長為l的均勻細杆靜止在光滑的水準桌面上，可繞通過細杆一端的豎直光滑鋼釘轉動。有一品質為m的小球以垂直於杆的水準速度v0與杆的另一端碰撞，碰撞後小球以速度v反向彈回。設碰撞時間很短，求碰撞後細杆轉動的角速度；若碰撞前拔去鋼釘，碰撞後細杆的角速度又如何？細杆質心的速度為多少？oM

ml解：由於質點與細杆碰撞時，鋼釘對杆有衝力，故動量不守恆，但對o點衝量矩為零，對o點的角動量守恆2023-12-29142若拔去鋼釘，細杆成為水準桌面上的自由剛體，故碰撞後細杆的運動為隨質心的平動和繞質心的轉動，因此水準方向的動量守恆和對質心軸的角動量守恆。水準方向動量守恆繞質心軸轉動的角動量守恆2023-12-29143§6.4回轉效應

定點轉動---陀螺(回轉)儀陀螺儀：具有軸對稱性和繞此軸有較大的轉動慣量。常平架陀螺儀：陀螺儀的裝在一個常平架上。不受外力矩作用時，轉動方向不變。2023-12-29144

回轉效應將重物P移近O，使重心偏向右方，如陀螺儀繞自轉軸AB快速在轉動，則AB不傾斜而是繞軸在水平面內轉動。2023-12-29145旋進（進動）：陀螺儀自轉軸在水平面內繞垂直軸的轉動。回轉效應：陀螺儀受外力矩作用產生的旋進效應。L’dLLd旋進角速度自轉愈快，旋進愈慢。2023-12-291462023-12-29147

開普勒行星運動定律第穀二十年實驗觀察，開普勒不限於實驗觀察，更傾向於理論思考，以求得行星軌道的最簡單的描述。

軌道定律

面積定律

行星繞太陽運動軌道半長軸的立方與週期的平方成正比。K太陽系常數開普勒沒有意識到三大定律傳達的”天機”2023-12-29148§7.2萬有引力定律

定律的建立引力作用的倒易性2023-12-29149宇宙中的任何兩物體間都存在相互作用的引力，力的方向沿兩物體的聯線，力的大小與兩物體的品質的乘積成正比，和它們的距離平方成反比。

萬有引力定律僅對質點成立。

球對稱的物體產生的引力作用，就像品質集中在球心的質點一樣。

行星的橢圓軌道是因為行星的運動不再勻速。2023-12-29150

萬有引力常數的測定AMMAmm石英懸絲細棒因大球和小球的引力作用而轉動，使懸絲扭轉一定角度，直到引力力矩和懸絲的彈性恢復力矩平衡稱地球的測量2023-12-29151

萬有引力定律的意義

預見併發現新行星。

萬有引力定律延伸到整個宇宙。天王星海王星冥王星

萬有引力定律的發現是揭示物理規律簡潔美和普適性的典範。2023-12-29152§7.3慣性品質和引力品質慣性品質：反映物體的慣性。引力品質：反映物體的相互吸引的能力。地球表面的實驗：物體的加速度相同2023-12-29153選取適當的單位，引力品質等於慣性品質。慣性力和引力的等效性。1542006-3-231921年愛因斯坦榮獲諾貝爾物理學獎給愛因斯坦授獎的理由措詞如下：

“由於愛因斯坦發現光電效應定律以及他在理論物理學領域的其他工作，特向愛因斯坦

授予獎金。”1552006-3-23狹義相對論（specialrelativity）狹義相對論改變了經典力學中絕對時間和絕對空間的舊觀念，指出物理定律對一切慣性參照系是等價的，揭示了空間與時間的內在聯繫、品質與能量的內在聯繫，建立了高速運動物體的動力學規律。廣義相對論（generalrelativity）廣義相對論進一步指出物理定律對一切參照系都是等價的，更深入地揭示了時空性質與運動的物質之間不可分割的聯繫，提出新的引力理論和時空結構理論。成為天體物理、高能物理和現代工程技術的理論基礎。1562006-3-23§8.1

牛頓力學的時空觀伽利略相對性原理

不可能在慣性系中，通過力學實驗來判斷慣性系本身是否運動。力學規律對一切慣性系都是等價的。絕對時空觀空間和時間彼此獨立，它們的量度是絕對的，與物質的運動無關。Δt

=

Δt’ Δx=

Δx’伽利略座標變換oyS系o

z

y

S

系vx

xvt設有兩個慣性系S和S

，t=t

=

0時，S與S

重合，S

系相對S系以速度v沿x軸正方向勻速直線運動。某事件P,

S系看，t時刻發生在(x,y,z)處，在S

系中觀察，發生在時刻t

和(x

,y

,z

)處：1572006-3-23座標變換x

=

x-vty

=

yz

=

zt

=

tx xu

=u

-vu

=

uy yuz

=

uz速度變換z加速度變換ax

=

axay

=

ayaz

=

az1582006-3-23a

=

a在絕對時空觀下，質點在不同慣性系的加速度是相同的。在經典力學中，品質、時間和力都是常量，與參照系無關，則在任何相對慣性系中牛頓定律都成立。S系 F=maS

系 F=ma

§8.2

牛頓力學的困難和愛因斯坦的兩個基本假設一、牛頓力學的困難光速不遵從經典的速度變換900多年前(西元1054年5月）一次非常著名的超新星爆炸，前後歷時22個月。其殘骸形成壯觀的金牛座中的蟹狀星雲。1592006-3-23v

1500km/sl

=

5000

光年c物質飛散速度c

vABl1602006-3-23

l

25年c c

v

t

t

tAB按伽利略變換計算至少在爆炸後25年裏都可以觀察到爆發時所產生的強光。這與記載不符合，說明光速並不遵從伽利略的速度變換。1612006-3-23電磁現象的相對性原理1861年Maxwell建立了描述電磁現象的Maxwell方程組，預言了電磁波的存在，並導出電磁波在真空中的傳播速度。Maxwell方程不滿足伽利略相對性原理，即在伽利略變換下得不到相同形式。電磁現象對一切慣性系都是等價嗎？

電磁波通過媒質以有限速度傳播，其傳播速度是只與介質有關的常量；光是電磁波，

Maxwell方程給出的光的傳播速度是相對哪個參考系的？1622006-3-23如果承認麥克斯韋電磁理論和伽利略變換都正確，那麼麥克斯韋方程和光速c都將是對特殊慣性系即所謂絕對靜止的參照系而言的。物理學家們假設整個宇宙充滿了一種絕對靜止的特殊物質“以太”，

Maxwell電磁理論只有在這個參照系中是成立的。如果“以太”成在，則在慣性系中就可以利用電磁學方法確定自身相對於絕對靜止參照系的速度。為此，科學家們設計了種種實驗，試圖確定“以太”的存在。最著名的實驗有測定地球相對“以太”運動的邁克耳遜-莫雷實驗。所有的實驗都失敗了。1632006-3-23二、愛因斯坦的兩個基本假設愛因斯坦通過對許多矛盾的深刻思考後認為：自然界應具有內在的統一性，相對性原理不僅適用於力學定律，也應適用於一切物理定律；

Maxwell電磁理論是正確的，不正確的是經典的絕對時空觀。1642006-3-23相對性原理任何物理定律在所有慣性系中的表達形式都是相同的。這一原理否定了絕對參照系的存在，否定了慣性系中用物理實驗確定自身運動狀態的可能性。表明一切慣性系對物理定律的描述都是等價的。光速不變原理在任何慣性系中，真空中的光速都相等。這一原理表明，光速與光源和觀察者的運動狀態無關，從而否定了以絕對時空為前提的伽利略變換。1652006-3-23§8.3

洛倫茲座標變換有兩個慣性系S和S

，S

系相對S系以速度v沿x軸正方向勻速直線運動，

t=t

=0時，S與S

重合

。P事件發生S系中的時空座標為（x，y，z，t）S

系中的時空座標為（x

，y

，z

，t

）變換應基於兩點：時空是均勻的，變換是線性的；新變換在低速下能退化為伽利略變換。x

a(x'

vt

'

), x'

a(

x

vt)y

y'

, z

z'則應有：（1）x'

ct

'ct'

a(c

v)tx

ct,ct

a(c

v)t

'

,t=t

=

0時，S與S

重合時，在O,O

處一光信號,考察該光信號沿x軸的傳波，有光速不變原理，有：代入(1)c2

a2(c2

v2

)111

2

1

v2/

c2a

1

2x

vtx'

a(x

vt)

1662006-3-23x

vtx'

y'

y1

2z'

zx'1

v2

/

c2vt'x

y

y'z

z'1

2c2t

v

xt'

1

21672006-3-23c2

v

x't't

洛倫茲變換洛倫茲逆變換當v<<c時可退變為伽利略變換式；真空中的光速是物體運動的極限速度。§8.4

相對論的時空觀一、同時的相對性oo'

(x1,t)yy'x'xSS

'vA

'1682006-3-23B

'M

'車廂隨S系一起運動，

M

'

位於車廂中點，

A

'

、B

'為車廂兩端，

M

‘處發出的光信號到達A

'

、B

'看作兩個事件。S

系：(x

1

,

t

1

),

(x

2

,

t

2

),t1

=t2

=t

S

系：(x

1,

t

1),

(x

2,

t

2)11

2t'

vx'/

c2t

1 '1'22v

/

c2(x

x

)

t

t2

t1

1

1

21692006-3-23t'

vx' /

c2t2

2 S

系的時間差：同時的相對性：

某參考系中同時異地發生的兩個事件，在其他參考系中是不同時的。當u<<c時，t2

t1，同時的相對性非常微小，這就回到經典力學的情形。只有同時同地發生的事件，在其他慣性系觀察才是同時的。二、長度的縮短固有長度：相對參照系靜止的物體長度稱為固有長度，或稱靜長。yxl0oSy

x

lo

S

v1702006-3-231x

'2x

'x1x2杆相對於S

系靜止，兩端座標x1

和x2

，靜長l0=

x'=x2

-x1

。現在S系上用S系的尺和鐘去度量杆的長度，必須同時測定杆兩端座標，

為（

x1

，t）、（x2，t），則在S系上測得動杆的長度l=

x=x2-x1。S

系對S系中同時發生的測定事件所對應的座標為（x1

，t1

）、（x2

，t2

），由洛侖茲變換2

1

2 1

21

2 1

2l

x2

x1x

vt

x1

vtl0

x2

'

x1

'

即在S系中測得的杆長為：反之，若杆相對S

系靜止，則在S

系中測量為：1

2l

l001712006-3-231

2l'

l長度收縮（動尺變短效應）：在相對杆靜止的參照系中測量的杆最長，為靜長l0，相對杆運動的參照系中測得的杆長在運動方向上將縮短。長度的相對性1722006-3-231732006-3-23三、時間的延緩固有時間：慣性系中發生於同一地點的兩個事件之間的時間間隔，稱為固有時間，或稱原時。在S系中同一地點先後發生兩個事件，時空座標分別為（x，t1）、（x，t2），在S系上測量的時間間隔為原時

0=t2-t1。而在S

系中觀察到這兩個事件是發生在不同地點不同時間，時空座標為（x1

，t1

）、（x2

，t2

），由洛侖茲變換，在S

系中這兩個事件發生的時刻為1

2t

vx/

c2t1'

1 1

2t

vx/c2t2'

2 時間間隔為

0

t2

t1

t'

t2

'

t1

'

1

2 1

2同理，在S

系上同一地點發生的不同事件的時間間隔，在S

系上測量為原時

0=t2

-t1

，而在S系上測得時間間隔為

01742006-3-231

2

t

時間(運動時鐘)的延緩:

慣性系中，同一地點發生的兩個事件的時間間隔最短，在其他系中觀察到兩個事件發生在不同的地點，時間間隔大於原時。時間的相對性時間延緩效應的來源是光速不變原理，它是時空的一種屬性，並不涉及時鐘的任何機械原因和原子內部的任何過程。時間的延緩效應的證實:

實驗室中

介子的固有壽命為2.60

10-8s，便衰變為

介子。宇宙射線中的

介子以0.913c的速度射向大氣層，測得壽命為6.37

10-8s，按相對論公式計算結果一致。

81752006-3-231

0.91322.60

10

8

t

6.37

10 s1762006-3-23時間延緩和長度縮短是相關的。

介子是在大氣層上部產生的，平均壽命只有2.197

10-6s，如果不考慮相對論效應，

介子即使以光速運動也只能飛越大約660m，但實際上大部分

介子都能穿透大氣層到達地面。地面參考系：

介子的壽命延長，可飛越更長距離，而通過大氣層。與

介子一起運動的參考系：

介子的壽命沒有延長，但它觀察到的大氣層厚度縮短了，在它的壽命內可飛越大氣層。例

地面觀測者測得地面上甲、乙兩地相距8.0

106m，測得一列車由甲地到乙地曆時2.0s。在與列車同方向相對地面以0.6c速度運行的飛船中觀察時，該列車由甲地到乙地的路程、時間和速度各為多少？解

以地面為S系，飛船為S

'系，列車與飛船前進的方向為x軸和x'軸正向。設列車經過甲地為事件1，經過乙地為事件2，則

x=x2-x1=8.0

106m，

t=t2-t1=2.0s，列車相對地面的速度vx=

x/

t=4.0

106m/s，S'系相對S系的速度u=0.6c。由洛倫茲變換，S

'系上測得的兩事件座標差為81772006-3-234.40

10

(m)1

0.62

8

106

0.6

3

108

2.0

1

v2/

c2

x

v

t

x'

x2

'

x1

'

2.48(s)

2.0

0.6

8

106

/(3

108

)

1

v2/

c2

t

v

x

/

c2

t'

t2

'

t1

'

1

0.62S

'系中觀測到的速度為2.481782006-3-238

1.774

10

(m

/

s)

0.59c

x'

4.40

108vx'

t'

例

兩個慣性系的觀察者O和O'以

0.8c（c表示真空中的光速）的相對速度接近。如果O測得兩者的初始距離是20m，則O'測得兩者經過多少時間後相遇？解

S系上事件1為測初始距離x1=20m，事件2為相遇x2=0，

x=x2-x1=

-20m201792006-3-232

1.8

10

8

sc2

0.8c

20

0.8c1

v2

/

c2 1

0.82

t'

t

v

x

/

cv

0.8c

t

x

20

8.3

10

8(s)v

0.8c近一步計算

x'

x2

'

x1

'

0為什麼？例

長

1

m

的棒靜止地放在o‘x’y‘平面內，S

’系的觀察者測得此棒與o‘x’

軸成45°角，試問從

S

系的觀察者來看，此棒的長度以及棒與

ox

軸的夾角是多少？設S‘系相對

S

系的運動速

'yy'l'xx'

xyl'v

oo'2l'x

l'y

2

m22

mly

l'y

度

v/c

3

2。解

在S

'系上

'=45°，l'=1m42

ml

l

' 1

2

x xyx

l

2

0.79ml

2l

63.43

1802006-3-23

arctan

lylx例

在慣性系S中，相距5

106m的兩地發生兩個事件，時間間隔為10-2s；而在相對於S系沿x軸正向勻速運動的S'系中觀測到這兩個事件卻是同時發生的，試求S'系中發生這兩事件的地點間的距離。解

設S'

系相對於S

系的速度為v

，由題意

x=5

106m

，

t=10-2s，

t'=0，根據洛倫茲變換1

2

t

v

x

/

c2

t'

0得2x

tv

c則2 2 21812006-3-23

x

t

c

x

t

2c2

/

x1

v2

/

c2 1

(

tc

/

x)2

52

1012

10

4

32

1016

4

106

(m)

x

v

t

x'

x2

x1

c(t2

t1)(

x

c

t)四、因果關係的絕對性S系先後發生兩個事件：時空座標

(x1,

t1)、(x2,

t2), t2>

t1S

系中觀察到這兩個事件的時空座標為(x1

,

t1

)、(x2

,

t2

)如這兩個事件有因果聯繫，則11822006-3-23' '

01

21

2 1

2c

t

v

x

/

c2

x

/

c

v

x

/

c2

x1

v/

ct2

t

S

系中事件2一定在事件1以後發生因果關係的絕對性§8.5

相對論的速度變換對洛侖茲變換求微分1

2dx

vdtdx'

dy'

dy dz'

dz1

2dt

vdx

/

c2dt'

xx

dx

/

dt

v

dt' dt

vdx

/

c2 1

v(dx

/

dt)

/

c2 1

vu/

c2dx

vdtu'

dx'

xyy

dt' dt

vdx

/

c2 1

v(dx

/

dt)

/

c2 1

vu/

c2u

'

u 1

2(dy/dt)

1

2dy' dy 1

2zyu

'u

'y

z1832006-3-23S系速度：S

‘系的速度：dtux

vdt dtzyx

dy

, u

dzu

dx

, u愛因斯坦速度變換公式21

vux/

cux

vux'

xyy1

vu/

c2u'

u 1

22z1

vux/

cu'

z u 1

2xx1

vu'/

c2ux

'

vu

2xyy1

vu'/

c2u

u

' 1

x1842006-3-23z1

vu'/

c2u

z u

' 1

2速度變換速度逆變換ux

' v2例

一火箭的固有長度為L，相對於地面作勻速直線運動的速度為v1，火箭上有一個人從火箭的後端向火箭前端上的一個靶子發射一顆相對於火箭的速度為v2的子彈，則在地面上測得子彈