八年级初二数学第二学期平行四边形单元达标检测试卷

一、选择题

1.已知点A(4,0),B(0,-4),C(a,2a)及点D是一个平行四边形的四个顶点

则线段CD的长的最小值为()

A6A/5r12小

•1D•1c.3亚D.472

55

2.在正方形A8C。中，P为A8的中点，BEJLPD的延长线于点E,连接AE、BE,

FALAE交DP于点F,连接8F、FC,下列结论：①ABE三ADF；②FB=AB；③

CF1PDt®FC=EF.其中正确的是()

A.①②④B.①③④C.①②③D.①②③④

3.如图,矩形ABCD中,AB=5,AD=4,M是边CD上一点,将aADM沿直线AM对折,得△ANM,

连BN,若DM=1,则4ABN的面积是()

4.如图，菱形ABCD的边，AB=8,NB=60,P是A3上一点，BP=3,。是CO

边上一动点，将梯形APQO沿直线PQ折叠，A的对应点A'.当。’的长度最小时,

C'。的长为()

A.5B.7C.8D.—

2

5.如图，正方形ABC。的边长为10,AG=CH=8,BG=DH=6,连接G",则线

段G”的长为()

A.-------B.25/2C.­—D・10—55/2

5，

6.如图，长方形ABCD中，点E是边CD的中点，将4ADE沿AE折叠得到^AFE,且点F

AD

在长方形ABCD内，将AF延长交边BC于点G,若BG=3CG,则——=()

AB

A.-B.1C.更D.—

422

7.如图，在平面直角坐标系中，A点坐标为(8,0)，点尸从点。出发以1个单位长度/秒

的速度沿)'轴正半轴方向运动，同时，点。从点A出发以1个单位长度/秒的速度沿x轴

负半轴方向运动，设点尸、Q运动的时间为«0＜，＜8)秒.以PQ为斜边，向第一象限内作

等腰RtAPBQ,连接。8.下列四个说法：

①OP+OQ=8；②8点坐标为(4,4)；③四边形尸的面积为16；④PQ＞OB.其中

正确的说法个数有()

8.如图，四边形ABCD中，AD〃BC,ZABC+ZDCB=90\且BC=2AD,以AB、BC、DC为

边向外作正方形，其面积分别为E、8、S3,若百=3,S3=8,则邑的值为()

9.如图，矩形A8CD和矩形CEFG,AB=1,BC=CG=2,CE=4,点P在边GF上，点Q在

边CE上，且PF=CQ,连结AC和PQ,M,N分别是AC,PQ的中点，则MN的长为

V17

10.如图，在等腰RtZXABC中，ZC=90°,AC=8,F是A8边上的中点，点D、E分

别在AC、BC边上运动，且保持AO=CE.连接。E、DF、EF.在此运动变化的过程中，

下列结论：

①△力尸E是等腰直角三角形；②四边形CDFE不可能为正方形，

③DE长度的最小值为4；④四边形CDFE的面积保持不变；

⑤△CDE面积的最大值为8.其中正确的结论是（）

A.①②③B.①④⑤C.①③④D.③④⑤

二、填空题

11.如图，在aABC中，NBAC=9O°,点D是BC的中点，点E、F分别是直线AB、AC±

的动点，ZEDF=90°,M、N分别是EF、AC的中点，连结AM、MN,若AC=6,AB=5,

则AM-MN的最大值为.

E

M

12.如图，某景区湖中有一段"九曲桥"连接湖岸A,B两点，"九曲桥"的每一段与AC平行

或BD平行，若AB=100m,NA=/B=60。，则此“九曲桥"的总长度为.

60/

100用B

13.如图，菱形ABCD的边在x轴上，顶点。坐标为(一3,0),顶点O坐标为

(0,4),点后在》轴上，线段EF//X轴，且点尸坐标为(8,6),若菱形ABC。沿x轴左

右运动，连接AE、DF,则运动过程中，四边形AOFE周长的最小值是.

BC

14.如图，在△ABC中，4B=3,AC=4,BC=5,P为边BC上一动点，PE_LAB于E,

PFA.AC于F,则EF的最小值为_____.

15.如图，在平行四边形ABCD中，AD=2AB.F是AD的中点，作CEJ_AB,垂足E在线段

AB±,连接EF、CF,则下列结论：⑴NDCF+3ND=90°；(2)NAEF+/ECF=90。；

⑶SBEC=2SCEF；⑷若NB=80。，则NAEF=50一其中一定成立的是(把所有正确结

论的字号都填在横线上).

16.如图，在平行四边形ABCD中，AC±AB,AC与BD相交于点。，在同一平面内将AABC

沿AC翻折，得到△AB，C,若四边形ABCD的面积为24cm2,则翻折后重叠部分（即S^ACE）

的面积为cm2.

17.如图，四边形ABCP是边长为4的正方形，点E在边CP匕PE=1；作EF〃8C,分别

交AC、AB于点G、F,M、N分别是AG、BE的中点，则MN的长是.

18.如图，矩形纸片ABCD,AB=5,BC=3,点P在BC边上，将4CDP沿DP折叠，点C落

在点E处，PE,DE分别交AB于点。，F,且OP=OF,则AF的值为.

E

19.已知：如图，在A3C中，ADVBC,垂足为点。，BE1AC,垂足为点E,

M为A3边的中点，连结ME、MD、ED,设AB=4,ND4C=30。则

EM=；EDM的面积为,

20.如图，在RtZMBC中，ZACB=90°,AC=8,8c=6,点。为平面内动点，且满足AD

=4,连接BD,取8。的中点E,连接CE,则CE的最大值为.

三、解答题

21.已知，四边形ABCD是正方形，点E是正方形ABC。所在平面内一动点（不与点。重

合），AB=AE,过点B作DE的垂线交DE所在直线于F,连接CF.

提出问题：当点E运动时，线段CF与线段DE之间的数量关系是否发生改变？

探究问题：

（1）首先考察点E的一个特殊位置：当点E与点B重合（如图①）时，点F与点B也重

合.用等式表示线段CF与线段DE之间的数量关系：_：

（2）然后考察点E的一般位置，分两种情况：

情况1:当点E是正方形A8CD内部一点（如图②）时；

情况2：当点E是正方形ABCD外部一点（如图③）时.

在情况1或情况2下，线段CF与线段之间的数量关系与（1）中的结论是否相同？如

果都相同，请选择一种情况证明；如果只在一种情况下相同或在两种情况下都不相同，请

说明理由：

拓展问题：

（3）连接AF,用等式表示线段AF、CF、DF三者之间的数量关系：

22.如图，在RfABC中，ZACB=90°,过点。的直线MN〃A8,。为A3边上一

点，过点。作交直线于E,垂足为F,连接CO、BE

MN

（1）当。在AB中点时，四边形BECO是什么特殊四边形?说明你的理由；

（2）当。为AB中点时，NA等于度时，四边形8ECO是正方形.

23.在四边形ABCD中，AD〃BC,AB=8cm,AD=16cm,BC=22cm,NABC=90°.点P从点A

出发，以lcm/s的速度向点D运动，点Q从点C同时出发，以3cm/s的速度向点B运动，

（2）当t=_时，以点P、Q与点A、B、C、D中的任意两个点为顶点的四边形为平行四边

形？

（3）四边形PBQD是否能成为菱形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由，并探究如

何改变Q点的速度（匀速运动），使四边形PBQD在某一时刻为菱形，求点Q的速度.

24.如图，平行四边形ABC。中，AB=3cm,BC=5cm,ZB=60）G是CD的中

点，E是边AO上的动点，EG的延长线与BC的延长线交于点尸，连接CE,DF.

（1）求证：四边形CE。尸是平行四边形；

（2）①当AE的长为多少时，四边形CEOF是矩形；

②当AE=an时，四边形CEO尸是菱形，（直接写出答案，不需要说明理由）.

25.正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点。，点P是正方形ABCD对角线BD上的一个

动点（点P不与点B,O,D重合），连接CP并延长，分别过点D,B向射线作垂线，垂

（备用图）

（1）补全图形，并求证：DM=CN；

（2）连接OM,ON,判断OMN的形状并证明.

26.如图，在RfA48c中，Z5=90°,AC=40cm,ZA=60°,点。从点。出发沿CA方

向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cmi秒的速度

向点3匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个地点也随之停止运动.设点2E运动

的时间是，秒（0＜三10）.过点。作。FL8C于点尸，连接。E,EE.

（1）试问四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的/值；如果不能，请说明

理由；

（2）当f为何值时，NbDE=90。？请说明理由.

27.如图①，已知正方形ABCD中，E,F分别是边AD,CD上的点（点E,F不与端点重

合），且AE=DF,BE,AF交于点P,过点C作CH_LBE交BE于点H.

（1）求证：AF〃CH；

（2）若AB=26,AE=2,试求线段PH的长；

CP

（3）如图②，连结CP并延长交AD于点Q,若点H是BP的中点，试求花的值.

28.如图，已知平面直角坐标系中,A。,。）、。（0,2）,现将线段C4绕A点顺时针旋转90。

得到点瓦连接A3.

yA7个

⑴求出直线BC的解析式;

⑵若动点M从点。出发，沿线段CB以每分钟河个单位的速度运动，过M作.MNHAB

交轴于N,连接AN.设运动时间为，分钟，当四边形ABMN为平行四边形时，求，的值.

⑶P为直线上一点，在坐标平面内是否存在一点。，使得以。、B、P、。为顶点的四

边形为菱形,若存在，求出此时。的坐标；若不存在,请说明理由.

29.阅读下列材料，并解决问题：

如图1,在RtAABC中，ZC=90°,AC=8,BC=6,点。为AC边上的动点(不与

An

A、。重合)，以AO,8。为边构造ADBE,求对角线OE的最小值及此时一的值

AC

在解决这个问题时，小红画出了一个以AO,8。为边的ADBE(如图2),设平行四

边形对角线的交点为。，则有A0=80.于是得出当LAC时，。。最短，此时

OE取最小值，得出OE的最小值为6.

参考小红的做法，解决以下问题:

A[)

(1)继续完成阅读材料中的问题：当OE的长度最小时，—=_______；

AC

(2)如图3,延长ZM到点/，®AF=DA.以DF,DB为边作FDBE,求对角线

An

DE的最小值及此时刀:；的值.

Z1C

30.如图①，在ABC中，AB^AC,过4B上一点。作0E//AC交BC于点E,以

E为顶点,ED为一边,作NOE/=NA,另一边EP交AC于点F.

A

图①

(1)求证：四边形AOEF为平行四边形；

(2)当点。为A8中点时，AOEF的形状为；

(3)延长图①中的OE到点G,使EG=O及连接AE,AG,FG,得到图②，若AD=AG,

判断四边形AEG尸的形状，并说明理由.

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题

1.B

解析：B

【解析】

【分析】

根据题意可判定此题需分两种情况讨论，如果AB、CD为对角线，AB与CD交于点F,当

FCJ_直线y=2x时，CD最小，根据垂直及F点坐标可先求的直线FC的函数解析式，进而

通过求得点C坐标来求CD；如果CD是平行四边形的边，则CD=AB=4应，对比两种情

况即可求得CD最小值.

【详解】

解：如图，由题意点C在直线y=2x上，

如果AB、CD为对角线，AB与CD交于点F,当FCJ_直线y=2x时，CD最小,

易知直线AB为y=x-4,

VAF=FB,

・••点F坐标为(2,-2),

・・，CF_L直线y=2x,

设直线CF为y=-；x+b'F(2,-2)代入得b'=T

.•・直线CF为y=—-x-1,

rc2

y=2xx=——

5

由41解得1

1y=——2x-\4

24

・••点c坐标(-一《).

32CF=2X/|)+(-2+|)=12百

5

如果CD是平行四边形的边，则CD=AB=4、

5

...CD的最小值为应i.

5

故选:B.

【点睛】

本题考查了一次函数与平行四边形的综合题,解本题的关键是找到何时CD最短.

2.D

解析：D

【解析】

【分析】

根据已知和正方形的性质推出/EAB=/DAF,ZEBA=ZADP,AB=AD,证4ABE会4ADF即

可；取EF的中点M,连接AM,推出AM=MF=EM=DF,证/AMB=/FMB,BM=BM,

AM=MF,推出△ABMg/\FBM即可；求出/FDC=/EBF,推出4BEF经△DFC即可.

【详解】

解：•.•正方形ABCD,BE1ED,EA±FA,

，AB=AD=CD=BC,ZBAD=ZEAF=90°=ZBEF,

VZAPD=ZEPB,

NEAB=NDAF,NEBA=NADP,

VAB=AD,

.".△ABE^AADF,...①正确；

；.AE=AF,BE=DF,

/AEF=/AFE=45°,

取EF的中点M,连接AM,

AAM1EF,AM=EM=FM,

ABE/7AM,

：AP=BP,

；.AM=BE=DF,

NEMB=NEBM=45°,

ZAMB=90°+45o=135°=ZFMB,

：BM=BM,AM=MF,

，AB=BF,.•.②正确；

NBAM=NBFM,

•.•/BEF=90°,AM1EF,

，/BAM+NAPM=90°,ZEBF+ZEFB=90°,

AZAPF=ZEBF,

VAB/7CD,

AZAPD=ZFDC,

AZEBF=ZFDC,

VBE=DF,BF=CD,

.♦.△BEF彩△DFC,

，CF=EF,/DFC=NFEB=90°,

.•.③正确；④正确；

故选D.

【点睛】

本题主要考查对正方形的性质，等腰直角三角形，直角三角形斜边上的中线性质，全等三

角形的性质和判定，三角形的内角和定理等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行

推理是解此题的关键.

3.D

解析：D

【解析】

【分析】

延长MN交AB延长线于点Q,由矩形的性质得出/DMA=NMAQ,由折叠性质得出

ZDMA=ZAMQ,AN=AD=4,MN=MD=1,得出/MAQ=/AMQ,证出MQ=AQ,设NQ=x,

则AQ=MQ=l+x,证出/ANQ=90。，在Rt^ANQ中，由勾股定理得出方程，解方程求出

NQ=7.5,AQ=8.5,即可求出AABN的面积.

【详解】

解：延长MN交AB延长线于点Q,

•.•四边形ABCD是矩形，

；.AB〃DC,

NDMA=NMAQ,

由折叠性质得：AANM丝△ADM,

/DMA=NAMQ,AN=AD=4,MN=MD=1,

/.ZMAQ=ZAMQ,

MQ=AQ,

设NQ=x,贝AQ=MQ=l+x,

ZANM=90°,

；./ANQ=90°,

在RSANQ中，由勾股定理得：AQ2=AM+NQ2,

(x+1)2=42+X2,

解得：x=7.5,

.\NQ=7.5,AQ=8.5,

VAB=5,AQ=8.5,

10101101150

•'•SANAB=Y7^ANAQ=Y7X7^^*^Q:::T7X7X^X^-5=-77-；

aL/1/乙/乙/

故选：D.

【点睛】

本题考查折叠的性质勾股定理等知识；本题综合性强，难度较大，熟练掌握矩形和折叠的

性质是解题的关键.

4.B

解析：B

【解析】

【分析】

作C”LAB于〃，如图，根据菱形的性质可判断A4BC为等边三角形，则

CH=BAB=46,AH=BH=4,再利用CP=7勾股定理计算出，再根据折叠的

2

性质得点A'在以点尸为圆心，PA为半径的弧上，利用点与圆的位置关系得到当点A'在

PC上时，的值最小，然后证明即可.

【详解】

解：作C”LAB于“，如图，

菱形A8CO的边AB=8,N5=60，

...A48c为等边三角形，

n

：.CH=—AB=4>]3AH=BH=4,

2

PB=3,

HP=\,

在RtACHP中,CP=J(4后+『=7,

梯形APQ。沿直线PQ折叠，A的对应点A',

...点A'在以点P为圆心，PA为半径的弧上，

...当点A'在PC上时，C4'的值最小，

ZAPQ=ZCPQ,

而CD//AB,

.-.ZAPQ=ZCQP,

:.ZCQP=ZCPQ,

：.CQ=CP=1.

DQ

HP

故选：B.

【点睛】

考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条

对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.也考查了折叠的性质.解决本题的关

键是确定A在PC上时CA，的长度最小.

5.B

解析：B

【分析】

延长DH交AG于点E,利用SSS证出△AGBg^CHD,然后利用ASA证出

△ADE^ADCH,根据全等三角形的性质求出EG、HE和NHEG,最后利用勾股定理即可

求出HG.

【详解】

解：延长DH交AG于点E

•••四边形ABCD为正方形

；.AD=DC=BA=10,/ADC=NBAD=90°

SAAGB和aCHD中

AG=CH

<BADC

BG=DH

.,.△AGB^ACHD

ZBAG=ZDCH

VZBAG+ZDAE=90°

AZDCH+ZDAE=90°

ACH2+DH2=82+62=100=DC2

...△CHD为直角三角形，ZCHD=90°

.,.ZDCH+ZCDH=90°

；.NDAE=NCDH,

VZCDH+ZADE=90°

.\ZADE=ZDCH

在aADE和△DCH中

NADE=ZDCH

<AD=DC

NDAE=ZCDH

.,.△ADE^ADCH

，AE=DH=6,DE=CH=8,ZAED=ZDHC=90°

；.EG=AG-AE=2,HE=DE-DH=2,ZGEH=1800-ZAED=90°

在Rt^GEH中，GH=《EG+HE2=2叵

故选B.

【点睛】

此题考查是正方形的性质、全等三角形的判定及性质和勾股定理，掌握正方形的性质、全

等三角形的判定及性质和利用勾股定理解直角三角形是解决此题的关键.

6.B

解析：B

【解析】

【分析】

根据中点定义得出DE=CE,再根据折叠的性质得出DE=EF,AF=AD,/AFE=ND=90°,从而

得出CE=EF,连接EG,利用"HL”证明4ECG好aEPG,根据全等三角形性质得出CG=FG,设

CG=。，则BC=4。，根据长方形性质得出AD=BC=4。，再求出AF=4。，最后求出

AG=AF+FG=5Q,最后利用勾股定理求出AB,从而进一步得出答案即可.

【详解】

如图，连接EG,

•.•点E是CD中点，

；.DE=EC,

根据折叠性质可得：AD=AF,DE=EF,ZD=ZAFE=90°,

；.CE=EF,

在RtAECG与RtAEFG中,

VEG=EG,EC=EF,

ARtAECG^RtAEFG(HL),

，CG=FG,

设CG=G,

'BG=3CG=3a,

BC=4a,

・・.AF=AD=BC=4Q.

・・・AG=5a.

在RtAABG中，

•*-AB=ylAG2-BG2=4a>

AB

故选B.

【点睛】

本题主要考查了长方形与勾股定理及全等三角形判定和性质的综合运用，熟练掌握相关概

念是解题关键，

7.B

解析：B

【分析】

根据题意，有OP=AQ,即可得到OP+OQ=OA=8,①正确；当"4时，0P=0Q=4,

此时四边形PBQO是正方形，则PB=QB=0P=0Q=4,即点B坐标为（4,4）,②正确；

四边形PBQO的面积为：4x4=16,在P、Q运动过程面积没有发生变化，故③正确；由

正方形PBQO的性质，则此时对角线PQ=OB,故④错误；即可得到答案.

【详解】

解：根据题意，点P与点Q同时以1个单位长度/秒的速度运动，

；.OP=AQ,

V0Q+AQ=0A=8,

.*.0Q+0P=8,①正确;

由题意，点P与点Q运动时，点B的位置没有变化，四边形PBQ。的面积没有变化，

当f=4时,如图：

则AQ=0P=4,

0Q=8—4=4,

.•.点B的坐标为：（4,4）,②正确；

此时四边形PBQO是正方形，则PB=QB=OP=OQ=4,

，四边形PBQO的面积为：4x4=16,③正确；

•••四边形PBQO是正方形，

，PQ=OB,

即当t=4时，PQ=OB,故④错误；

...正确的有：①②③，共三个；

故选择：B.

【点睛】

本题考查了正方形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，以及坐标与图形，解题的关键

是根据点P、Q的运动情况，进行讨论分析来解题.

8.C

解析：C

【分析】

根据已知条件得到AB=G，CD=2也，过A作AE〃CD交BC于E,则NAEB=NDCB,

根据平行四边形的性质得到CE=AD,AE=CD=2及，由已知条件得到/BAE=90°,根

据勾股定理得到BE=7AB2+AE2，于是得到结论.

【详解】

：Si=3,S3=8

.•.AB=5CD=2a

过A作AE〃CD交BC于E

Si

则NAEB=NDCB

VAD/7BC

四边形AECD是平行四边形

；.CE=AD,AE=CD=20

VZABC+ZDCB=90°

.".ZAEB+ZABC=90°

AZBAE=90°

•••BE=V3+8=Vn

；BC=2AD

；.BC=2BE=2A/H

.,.S2=（2VTT）2=44

故选：c.

【点睛】

本题考查平行四边形的判定和性质，勾股定理，能正确作辅助线构造直角三角形是解决此

题的关键.

9.C

解析：c

【分析】

连接CF,交PQ于R,延长AD交EF于H,连接AF,则四边形ABEH是矩形，求出FH=

1,AF=s]AH2+FH2=737-由ASA证得△RFPgARCQ,得出RP=RQ,则点R与点M

重合，得出MN是ACAF的中位线，即可得出结果.

【详解】

解：连接CF,交PQ于R,延长AD交EF于H,连接AF,如图所示：

则四边形ABEH是矩形，

；.HE=AB=1,AH=BE=BC+CE=2+4=6,

•.•四边形CEFG是矩形，

/.FG//CE,EF=CG=2,

NRFP=NRCQ,NRPF=NRQC,FH=EF-HE=2-1=1,

在RtAAHF中，由勾股定理得：AF=AH2+FH2=762+12=>/37)

NRFP=RCQ

在ARFP和ARCQ中，PF=C。，

NRPF=RQC

.•.△RFP^ARCQ(ASA),

；.RP=RQ,

.••点R与点M重合，

•.•点N是AC的中点，

AMN是ACAF的中位线，

.•.MN=-!-AF=-XV37，

222

故选：C.

【点睛】

本题考查了矩形的判定与性质、平行线的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、三

角形中位线定理等知识；作辅助线构建全等三角形是解题的关键.

10.B

解析：B

【分析】

①连接CF,证明4ADF丝Z\CEF,得到aEDF是等腰直角三角形；

②根据中点的性质和直角三角形的性质得到四边形CDFE是菱形，利用正方形的判定定理

进行判断；

③当DE最小时，DF也最小，利用垂线段的性质求出DF的最小值，进行计算即可；

④根据△ADFgZXCEF,得到S四娜CEFD=SAAFC;

⑤由③的结论进行计算即可.

【详解】

①连接CF,

•••△ABC是等腰直角三角形，且F是AB边上的中点,

，NFCB=/A=NB=45°,CF=AF=FB,

VAD=CE,

.".△ADF^ACEF,

；.EF=DF,ZAFD=ZCFE,

；NAFD+/CFD=90°,

ZCFE+ZCFD=ZEFD=90°,

•••△EDF是等腰直角三角形，①正确；

②当D、E分别为AC、BC中点，即DF、EF分别为RtZ\AFC和RtZiBFC斜边上的中线,

11

，CD=DF=-AC,FE=EC=—BC,

22

；.CD=DF=FE=EC,

四边形CDFE是菱形，又/C=90。，

.♦•四边形CDFE是正方形，②错误；

③由于4DEF是等腰直角三角形，因此当DE最小时，DF也最小，

当DF±AC时，DE最小，此时EF=DF=，BC=4.

2

22

'DE=y/DF+EF=A/42+42=40，③错误；

©VAADF^ACEF,

•0•S&CEF-SAADF>

•'•SMii®CEFD-SAAFC>

四边形CDFE的面积保持不变，④正确；

⑤由③可知当DE最小时，DF也最小，

DF的最小值是4,则DE的最小值为40，

当4CEF面积最大时，此时4DEF的面积最小.

此时SACEF=SCEFD"SAOEF=SAAFC_SADEF=16-8=8,⑤正确；

综上，正确的是：①④⑤，

故选：B.

【点睛】

本题考查了正方形的判定、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握正方

形的判定定理、全等三角形的判定定理和性质定理、理解点到直线的距离的概念是解题的

关键.

二、填空题

5

11.-

2

【分析】

连接DM,直角三角形斜边中线等于斜边一半，得AM=DM,利用两边之差小于第三边得到

AM-MNWDN,又根据三角形中位线的性质即可求解.

【详解】

连接DM,如下图所示，

,/ZBAC=ZEDF=90°

又YM为EF中点

1

，AM=DM=—EF

2

:.AM—MN=DM—MN工DN（当D、M、N共线时，等号成立）

：D、N分别为BC、AC的中点，即DN是AABC的中位线

15

，DN=-AB=-

22

AM—MN的最大值为

2

故答案呜.

【点睛】

本题考查了直角三角形斜边中线的性质，三角形的三边关系，关键是确定AM-MN的取

值范围.

12.200m

【分析】

如图，延长AC、BD交于点E,延长HK交AE于F,延长NJ交FH于M,则四边形EDHF,

四边形MNCF,四边形MKGJ是平行四边形，AABC是等边三角形，由此即可解决问题.

【详解】

如图，延长AC、BD交于点E,延长HK交AE于F,延长NJ交FH于M

E

由题意可知，四边形EDHF,四边形MNCF,四边形MKGJ是平行四边形

VZA=ZB=60°

•••NE=180-ZA-ZB=60

.•.△ABC是等边三角形

，ED=FM+MK+KH=CN+JG+HK,EC=EF+FC=JN+KG+DH

二“九曲桥"的总长度是AE+EB=2AB=200m

故答案为：200m.

【点睛】

本题考查了平行四边形、等边三角形、三角形内角和的知识；解题的关键是熟练掌握平行

四边形、等边三角形、三角形内角和的性质，从而完成求解.

13.18

【分析】

由题意可知AD、EF是定值，要使四边形AOFE周长的最小，AE+DF的和应是最小的，运

用"将军饮马"模型作点E关于AD的对称点Ei，同时作DF〃AF”此时AE+DF的和即为

EiFi，再求四边形AOFE周长的最小值.

【详解】

在RtZ\COD中，OC=3,OD=4,

CD=JOC2+OD2=5,

A6CO是菱形，

・・・AD=CD=5,

・・・?坐标为(8,6),点E在y轴上，

・・・EF=8,

作点E关于AD的对称点Ei，同时作DF〃AFi，

贝ljEi(0,2),Fi(3,6),

则Ei%即为所求线段和的最小值，

在RtAAExFi中，E1F1=JEE：+E甲=J(6-2)2+(8-5)2=5,

四边形法周长的最小值=AD+EF+AE+DF=AD+EF+EiFi=5+8+5=18.

本题考查菱形的性质、"将军饮马”作对称点求线段和的最小值，比较综合，难度较大.

14.4

【分析】

根据三个角都是直角的四边形是矩形，得四边形AEPF是矩形，根据矩形的对角线相等，

得EF=AP,则EF的最小值即为AP的最小值，根据垂线段最短，知：AP的最小值即等于

直角三角形ABC斜边上的高.

【详解】

解：连接AP,

•.•在△△8c中，AB=3,AC=4,BC=5,

.".4B2+4C2=BC2,

即NBAC=90。.

又：PEJ_AB于E,PFJ_AC于F,

四边形AEPF是矩形，

J.EF^AP,

V4P的最小值即为直角三角形ABC斜边上的高，

设斜边上的高为h,

贝IJSAABC=：8C/=:AB.AC

22

—x5-/z=—x3x4

22

，h=2.4,

；.EF的最小值为2.4,

【点睛】

本题考查了矩形的性质和判定，勾股定理的逆定理，直角三角形的性质的应用，要能够把

要求的线段的最小值转化为便于求的最小值得线段是解此题的关键.

15.⑴⑵⑷

【分析】

由平行四边形的性质和等腰三角形的性质得出⑴正确；

由ASA证明4AEF也△DMF,得出EF=MF,ZAEF=ZM,由直角三角形斜边上的中线性质得

出CF=；EM=EF,由等腰三角形的性质得出/FEC=/ECF,得出(2)正确；

证出SAEFC=SACFM，由MOBE,得出SABEC<2SAEFC.得出(3)错误；

由平行线的性质和互余两角的关系得出⑷正确；即可得出结论.

【详解】

(1)：F是AD的中点，

，AF=FD,

:在“ABCD中，AD=2AB,

；.AF=FD=CD=AB,

AZDFC=ZDCF,

VAD/7BC,

.,.ZDFC=ZFCB,ZBCD+ZD=180°,

，/DCF=ZBCF,

1

.\ZDCF=—ZBCD,

2

；.NDCF+；ND=90°,故⑴正确；

⑵延长EF,交CD延长线于M,如图所示：

・・•四边形ABCD是平行四边形，

AAB/7CD,

AZA=ZMDF,

・・・F为AD中点，

AAF=FD,

在4AEF和△DMF中，

ZA=ZFDM

<AF=DF,

ZAFE=ZDFM

...△AEF之△DMF(ASA),

AEF=MF,ZAEF=ZM,

VCE±AB,

AZAEC=90°,

AZAEC=ZECD=90°,

VFM=EF,

1

ACF=-EM=EF,

2

AZFEC=ZECF,

ZAEF+ZECF=ZAEF+ZFEC=ZAEC=90°,故⑵正确；

(3)VEF=FM,

SAEFC=SACFM，

VMOBE,

*,«SABEC<^2SAEFC,故⑶错误；

(4)VZB=80°,

.•.ZBCE=90°-80°=10°,

VAB/7CD,

.,.ZBCD=180°-80°=100°,

1

AZBCF=-ZBCD=50°,

2

AZFEC=ZECF=50°-10°=40°,

.•.ZAEF=90o-40°=50°,故(4)正确.

故答案为：(1)⑵⑷.

【点睛】

本题主要考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质和判定、全等三角形的判定与性

质、直角三角形斜边上的中线性质等知识；本题综合性强，有一定难度，证明

△AEF丝△DMF是解题关键.

16.6

【分析】

2

由折叠的性质可得NBAC=NB，AC=90°,AB=AB',SAABc=SAAB'c=12cm,可证点B,点A,点

B，三点共线，通过证明四边形ACDB，是平行四边形，可得&E=CE,即可求解.

【详解】

解：...四边形ABCD是平行四边形，

2

；.AB〃CD,SAABC=-x24=12cm,

2

•.•在同一平面内将AABC沿AC翻折，得到AAB'C,

2

.,.ZBAC=ZB'AC=90°,AB=AB',SAABC=SAA8'c=12cm,

/BAB'=180°,

.,.点B点A,点B'三点共线，

：AB〃CD,AB'//CD,

四边形ACDB，是平行四边形，

/.B'E=CE,

.12

•,SAACE=_SAAB'C=6CITI,

故答案为：6.

【点睛】

本题考查了翻折变换，平行四边形的判定和性质，证明点B,点A,点&三点共线是本题

的关键.

17.5

【分析】

先判断四边形尸的形状，再连接BW、FC,利用正方形的性质得出AFG是等腰直

角三角形，再利用直角三角形的性质得出即可.

2

【详解】

•.•四边形ABCP是边长为4的正方形，EF//BC,

...四边形BCEb是矩形，

PE=1,

CE=3,

连接FM、FC,如图所示：

•.•四边形ABCP是正方形，

AZBAC=45，AEG是等腰直角三角形，

是AG的中点，即有AM=VG,

AFM1AG,是直角三角形，

又YN是FC中点，MN=-FC,

2

■­,FC=y]BF2+BC2=5

MN=2.5,

故答案为：2.5.

【点睛】

本题考查了正方形的性质，矩形的判定，等腰三角形和直角三角形的性质，解题的关键在

于合理作出辅助线，通过直角三角形的性质转化求解.

20

18.—

7

【分析】

根据折叠的性质可得出DC=DE、CP=EP,由"AAS"可证AOEF也△OBP,可得出OE=OB、

EF=BP,设EF=X,则BP=x、DF=5-x、BF=PC=3-x,进而可得出AF=2+x,在RtADAF中，利用

勾股定理可求出x的值，即可得AF的长.

【详解】

解：：将4CDP沿DP折叠，点C落在点E处，

；.DC=DE=5,CP=EP.

在ZXOEF和△OBP中，

ZEOF=NBOP

■ZB=ZE=90,

OP=OF

.,.△OEF^AOBP(AAS),

；.OE=OB,EF=BP.

设EF=x,则BP=x,DF=DE-EF=5-x,

又,/BF=OB+OF=OE+OP=PE=PC,PC=BJBP=3-x,

，AF=AB-BF=2+x.

在RtZXDAF中,AF2+AD2=DF2,

(2+x)2+32-(5-x)2,

6

x=—

7

620

；.AF=2+-=7一

7

2-0

故答案为：7

【点睛】

本题考查了翻折变换，矩形的性质，全等三角形的判定与性质以及勾股定理的应用，解题

时常常设要求的线段长为X,然后根据折叠和轴对称的性质用含X的代数式表示其他线段

的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案.

19.2V3

【分析】

根据EM是放△ABE斜边上的中线，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可

求出的长；根据已知条件推导出DME是等边三角形，且边长为2,进一步计算即

可得解.

【详解】

解：VAD1BC,M为A3边的中点，A3=4

...在RtZSAB。中，DM=AM=—AB=—x4=2

22

同理，在中，EM=AM=-AB=-x4=2

22

/MDA=ZMAD,NMEA=AMAE

NBME=ZMEA+ZMAE=2ZMAE,NBMD=ZMDA+ZMAD=2ZMAD

NDME=NBME-NBMD

=2ZMAE-2ZMAD

^l(AMAE-ZMAD)

=2ZDAC

=60。

DM=EM

OME是等边三角形，且边长为2

SEDM=$2义M=6

故答案是：2；73

【点睛】

本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质、三角形的外角定理、角的和差以及等边三角

形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是进行推理论证的前提.

20.【分析】

作A8的中点E,连接EM、CE,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及三角形

的中位线定理求得CE和EM的长，然后确定CM的范围.

【详解】

解：作AB的中点M,连接EM、CM.

在RtAABC中，A8=7AC2+5C2=V82+62=1°，

,/M是直角△ABC斜边AB上的中点,

1

.•.C/M=-A8=5.

2

是8。的中点，M是A8的中点,

1

：.ME=-AD=2.

2

，5-2WCEW5+2,即3WCEW7.

...最大值为7,

故答案为：7.

【点睛】

本题考查了三角形的中位线定理，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质等知识，掌握基

本性质定理是解题的关键.

三、解答题

21.(1)DE=y/2CF；(2)在情况1与情况2下都相同，详见解析；(3)AF+CF=

y[2DF^\AF-CF\=y/2DF

【分析】

(1)易证ABCD是等腰直角三角形，得出DB=J^CB,即可得出结果；

(2)情况1：过点C作CG_LCF,交DF于G,设BC交DF于P,由ASA证得

△CDG^ACBF,得出DG=FB,CG=CF,贝SGCF是等腰直角三角形，FG=J^CF,连接BE,

设/CDG=a,则NCBF=a,ZDEA=ZADE=90°-a,求出/DAE=2a,则NEAB=90°-2a,

ZBEA=ZABE=—(180°-ZEAB)=45°+a,NCBE=45°-a,推出/FBE=45°,得出ABEF是等腰

2

直角三角形，则EF=BF,推出EF=DG,DE=FG,得出DE=0CF；

情况2：过点C作CG_LCF交DF延长线于G,连接BE,设CD交BF于P,由ASA证得

△CDG^ACBF,得出DG=FB,CG=CF,则AGCF是等腰直角三角形，得FG=&CF,设

ZCDG=a,则/CBF=a,证明ABEF是等腰直角三角形，得出EF=BF,推出DE=FG,得出

DE=V2CF：

(3)①当F在BC的右侧时，作HDJ_DF交FA延长线于H,由(2)得ABEF是等腰直角三

角形，EF=BF,由SSS证得△ABFWZXAEF,得出NEFA=NBF