初中数学向量的线性运算强化练习3

初中数学向量的线性运算强化练习3

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一、单选题

1.已知万是非零向量，b=-2a,下列说法中错误的是（）

A.5与M平行B.方与d互为相反向量

-_1

C.\h\=2\a\D.d=-3br

2.下列各量中是向量的是（）

A.时间B.速度C.面积D.长度

3.已知］为非零向量，a=2c,b=-3c,那么下列结论中，不正确的是（）

A.|a|=—|dB.a=-^bC.3a+2h=6D.a//b

4.在梯形ABCD中，AD1BC,AB=CD,那么下列结论中正确的是（）.

A.而与方C是相等向量；B.与g/5是相等向量；

C.而与是相反向量；D.而与%是平行向量.

5.如果点C是线段AB的中点，那么下列结论正确的是（）

UUI1LILIUULillIIIUI

A.AC+BC=OB.AC-BC=O

C.AC+BC=OD.AC-BC=O

6.设1为单位向量，忖=2,则下列各式中正确的是（）

A.a=2eB.H=eC.同=2付D.—a=±\

2

7.下列正确的有（）

□卜”卜

□UU小为单位向量，则匕I=-I忖—・.旬

「平面内向量a、c，总存在实数加使得向量c-=,〃a

□若2=3+5，捻〃I，点〃2,则方、［就是£在I、％方向上的分向量

A.0个B.1个C.2个D.3个

8.下列条件不能判定与平行的是（）

A.且［〃6B.a=2c,—b=cC.3a=—h,D.|a|=—1^|

二、填空题

9.如图，已知平行四边形ABCD,E是边BC的中点，联结DE并延长，与AB的延

长线交于点F.设方=£,觉=5那么向量而用向量£、加表示为.

D一「

R

ABF

1--

10.计算：-（a-2b）+2b=_____.

11.如图，梯形ABCD中，ADDBC,AD=3,BC=i5.EF是中位线，设亚=£,则

FE=______a.

AD

BC

12.如果向量"与单位向量工方向相反，且长度为2,那么向量"=____（用单位向量

工表示）.

13.如图，已知点。是正六边形/8CZJE尸的中心，t己而=元，OF=ii＜那么丽=

（用向量［表示）.

AF

CD

14.已知向量入」和最满足关系式2£+3（«）=6,那么用向量£、B的线性组合表

示向量3=______.

在平行四边形N8CD中，点〃是边8中点，点N是边8C的中点

AB=a,BC=b，那么而可用£，B表示为_

L

A---------0

16.如图，在AABC中，点D是边BC的中点,设而=£，AC^b，用£、石的线

性组合表示而是

c

D

三、解答题

17.如图，在AABC中，点。、E分别在边48、AC上，且AQ=2,DB=4,

AE=3,EC=6,£>E=3.2

（1）求BC的长

（2）联结,如果DE=a，BA=b.试用a、石表示向量CO.

18.如图，在AA3C中，点G是AABC的重心，联结AG,联结8G并延长交边AC于

点、D,过点G作GE//BC交边AC于点E.

（1）如果荏=£,AC=b<用人分表示向量南；

（2）当AG_L8£>,BG=6,NG4£>=45。时，求AE的长.

19.如图，点E、尸在平行四边形ABC。的对角线2£）上，且£B=Z）F.

(1)填空：BC+BA=;BA+AF=;BC-AF=

（2）求作：BC+AF.

20.已知：如图，平行四边形ABCD,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD上的

点，且AE=CG,BF=DH.

（1）写出与血相反的向量；

（2）写出与所平行的向量；

（3）在图中求作而-丽.（不要求写出作法，只需写出结论即可.）

21.如图已知点M是DABC边BC上一点，设而=6，AC=b

（1）当=2时，AM=__________;（用a与6表示）

MC

（2）当^^=m（m>0）时，AM=:（用客、6与m表示）

MC

22.如图，四边形力88是平行四边形，点E是边的中点NC、8E相交于点

O.设丽=£,CB=b-

（1）试用£、b表示BO;

（2）在图中作出口在无、而上的分向量，并直接用£、坂表示的.（不要求写作

法，但要保留作图痕迹，并写明结论）

参考答案:

1.B

【解析】

【分析】

根据向量的有关定义和运算分别进行判断，即可得出结论.

【详解】

解：A.因为力=-25（/0）,则5与1平行，故此结论正确；

B.若两个向量方向相反，大小相等，则为相反向量，故此结论错误；

C.因为力=-2』，则|5|=2团结论正确;

D.3=-2。两边同除以-2,则々=-35，故此结论正确.

故答案为：B.

【点睛】

本题考查了向量的相关应用，解题的关键是熟练掌握基本知识及运算法则.

2.B

【解析】

【详解】

根据向量的概念进行判断即可.

解：既有大小，又有方向的量叫做向量；

时间、面积、长度只有大小没有方向，因此不是向量.

而速度既有大小，又有方向，因此速度是向量.

故选：B.

此题是个基础题，本题的考点是向量的概念，纯粹考查了定义的内容.注意数学知识与实

际生活之间的联系.

3.B

【解析】

【分析】

根据平面向量的性质一一判断即可.

【详解】

解：a=2c,h=-3c,

答案第1页，共14页

一27

□a=—b,

3

Da//b，问=|W,3万+2b=0,

DA,C,。正确，

故选：B.

【点睛】

本题考查了平面向量，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.

4.D

【解析】

【分析】

根据相等向量、相反向量、平行向量的定义解答即可.

【详解】

解：A、AB=CD,但AB不平行于CD,AB^DC，故本选项错误；

B、AD//BC,AB=CD,AC=BD,但AC不平行于BD,AC^BD，故本选项错误；

C、AD//BC,而与无不一定是相反向量，故本选项错误：

D、AD//BC,■万与百是平行向量，故本选项正确.

故答案为：D.

【点睛】

本题考查了平面向量的相关知识，掌握相等向量、相反向量、平行向量的定义是解答本题

的关键.

5.C

【解析】

【分析】

根据点C是线段AB的中点，可以判断|不。=|阮但它们的方向相反，继而即可得出答

案.

【详解】

解：由题意，

□点C是线段AB的中点，

|AC|=|SC|

答案第2页，共14页

口近1与及为相反向量，

□AC+BC=O;

故选：C.

【点睛】

本题考查了平面向量的知识，注意向量包括长度及方向，及o与6的不同.

6.C

【解析】

【分析】

根据工为单位向量，可知忖=1,逐项进行比较即可解题.

【详解】

解：□工为单位向量，

□忖=1,

A中忽视了向量的方向性，错误

B中忽视了向量的方向性，错误

C中，咽=2,忖=1,

同=2忖,正确,

D中忽视了向量的方向性，错误

故选C.

【点睛】

本题考查了向量的应用，属于简单题，熟悉向量的概念是解题关键.

7.A

【解析】

【分析】

根据向量的有关知识，对选项逐个判断即可.

【详解】

解：|心卜|珅|,错误

%为单位向量，则以可倚或匹一忡%,错误，

口平面内向量£、入总存在实数"，使得向量2=，痴，只有£、2共线时才成立，说法错

答案第3页，共14页

误，

口记、［也可能是2在I、Z反方向上的分向量，说法错误

故选A

【点睛】

此题考查了平面向量的基本知识，解题的关键是熟练掌握平面向量的基本知识.

8.D

【解析】

【分析】

根据平行向量的定义分析求解即可求得答案.

【详解】

A、利5且3〃万，因此日〃，故符合题意；

B、a=2c,-b=c,因此商||5,故符合题意；

C、3”-瓦因此口、5方向相反，但可防，故符合题意；

D、同=-问，没法确定M5的方向，无法判定万防，故不符合题意；

故选D.

【点睛】

本题考查平面向量的知识，掌握平行向量与向量的模的定义是关键.

9.a+2b

【解析】

【详解】

【分析】根据平行四边形的判定与性质得到四边形DBFC是平行四边形，则DC=BF,故

AF=2AB=2DC,结合三角形法则进行解答.

【详解】如图，连接BD,FC,

口四边形ABCD是平行四边形，

□DC1AB,DC=AB,

□□DCEOUFBE,

又E是边BC的中点，

答案第4页，共14页

DEEC1

一---------，

EFBC1

□EC=BE,即点E是DF的中点，

□四边形DBFC是平行四边形，

□DC=BF,故AF=2AB=2DC,

0DF=DA+AF=DA+2DC=a+2b，

故答案是：a+2b.

【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，向量运算等,

熟练掌握相关判定与性质定理是解题的关键.

10.—a+b

2

【解析】

【分析】

先去括号，然后合并同类项即可.

【详解】

1--

解：-(a-2b)+2b

--a--^2b+2b

22

］一r

=­a+b

2

故答案为：

【点睛】

本题考查了向量的线性运算.解题的关键在于理解向量的数乘与加减运算.

11.--

3

【解析】

【分析】

根据梯形的中位线定理求出EF,再根据平行向量的倍数关系和方向即可解答.

答案第5页，共14页

【详解】

□EF是梯形ABCD的中位线，

QEF=-(AD+BC)=4,

2

□AD和理是平行向量，并且方向相反,

又AD=a>AD=3

,4

故答案为：-

【点睛】

本题考查了梯形的中位线定理、平行向量，解答的关键是熟练掌握梯形的中位线定理，会

用非零平行向量中的一个向量表示另一个向量，要注意两个向量的方向.

12.-2工

【解析】

【分析】

根据向量的表示方法可直接进行解答.

【详解】

解：口。的长度为2,向量e是单位向量，

口a=2e,

□。与单位向量e的方向相反，

□c=-2e.

故答案为-2e.

【点睛】

本题考查的是平面向量的知识，即长度不为o的向量叫做非零向量，向量包括长度及方

向，而长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量，注意单位向量只规定大小没规定方

向.

13.-7r-n

【解析】

【分析】

根据正六边形性质，得AOEF为等边三角形，根据平行线性质，得FE//OD；结合向量性

答案第6页，共14页

质，得而=砺，再根据向量性质计算，即可得到答案.

【详解】

CD

□六边形Z5CDM是正六边形，

360°

□Z£OD=ZEOF=---=60°,OE=OF=OD=OB

6

□FE=OE=OF=OD

□AOEF为等边三角形

□NOEF=NEOF

□FEHOD

CFE=OD

\OE=OF+FE=rc+n

OB--OE=-7r-n

故答案为：—兀一n.

【点睛】

本题考查了正多边形、等边三角形、平行线、向量的知识；解题的关键是熟练掌握正多边

形、向量的性质，从而完成求解.

2--

14.—a+b

3

【解析】

【分析】

利用一元一次方程的求解方法，去括号、移项、系数化1,即可求得答案.

【详解】

解：：2a+30-x)=。，

，2a+3b-3x=0,

2a+3b=3x

答案第7页，共14页

・.・一x=—Na一+b.

3

2--

故答案为：+

【点睛】

此题考查了平面向量的知识.此题难度不大，注意掌握此向量方程的解法与一元一次方程

的解法一样.

1-1-

15.—a——b

22

【解析】

【分析】

根据平行四边形的性质和线段的中点，可用Z表示出前，用B表示出丽，再根据

MN=MC+CN，即可用公和加表示出两.

【详解】

OBC=b>

UU1

□CB=-b.

□四边形/8CD是平行四边形，

OCD=AB=a>

□点M是边8中点，点N是边8c的中点，

DMC=-AB=-a,CN=-CB=--b,

2222

DMN=MC+CN=-a+(--b)=-a--b.

2222

1_1_

故答案为：-a--b.

22

【点睛】

本题考查平行四边形的性质，线段的中点和向量的线性运算.利用数形结合的思想是解答

本题的关键.

1-1-

16.—a+—b

22

【解析】

【分析】

先根据向量运算求出比，再根据线段中点的定义可得而，然后根据向量运算即可得.

【详解】

答案第8页，共14页

vAB=a，AC=b，

BC=AC—AB=h—a>

・.•点D是边BC的中点，

:.BD=-BC=-(b-a),

22

AD=AB+BD=a+-(jb-a)=—a+—b,

222

故答案为："1-+1-

【点睛】

本题考查了向量的运算，掌握向量的运算法则是解题关键.

17.(1)BC=9.6；(2)-3a+|〃.

【解析】

【分析】

(1)根据SAS判定~^ABC,再根据相似三角形对应边成立解题即可；

(2)根据相似三角形的判定与性质解题即可.

【详解】

解：⑴-.-AD=2,DB=4,AE=3,EC=6,

AD21AE31

---=-=-,——=一

63AC93

•.,ZA=ZA

.'.^ADE~AABC

.DE-1

'~BC~3

・•.BC=9.6；

(2)由(1)中,

—2—2-

BD=-BA=-b,

33

BE=3>DE=3a

________2

CD=CB+BD=-BC+BD=-3a+-b.

【点睛】

本题考查相似三角形的判定与性质、向量的线性运算等知识，是重要考点，难度较易，掌

握相关知识是解题关键.

答案第9页，共14页

__21-L

18.(1)BG———a+—b；(2)AE=4-V2•

【解析】

【分析】

->i—>t2f

(1)由G是重心，可得AO=E〃，BG=[BD,因为访=成+易)，可得

->->1->

BD=-a+-h,进而求出位;；

(2)根据G是重心，求出。G=3,因为n/G。是等腰直角三角形，勾股定理计算出

3五，由OC=3OE求出。E=应，相加即可.

【详解】

解：⑴BD=BA+AD,

□点G是史/BC的重心，

QAD=^AC,

AB=a'AC=h'

T1T

□AD=­a,

2

TT]7

□BD=—a+—b

2

T2f2f1T

口BG=-BD=-(—a+-b),

332

T2-1-

BG=——a+-b.

33

(2)DG是三角形的重心，

口BG=2GD,AD=DC,

□BG=6,

□GZ>3,

□AG±BD,NGAO=45",

□4G=GQ=3,

口)£>=,32+32=30,

□GE//BC,

DEGD1

---=---——，

DCBD3

答案第10页，共14页

DDE=y/2,

[JAE=AD+DE=472

【点睛】

本题考查了三角形的重心、平面向量、勾股定理以及平行线分线段成比例定理；熟练掌握

三角形重心的性质以及平行线分线段成比例定理，能够熟练运用向量的运算、勾股定理解

题是关键.

19.；（2）见解析.

【解析】

【分析】

（1）根据平行四边形法则，即可得出答案.

（2）利用平行四边形法则来作合向量：品+而即可.

【详解】

⑴BC+BA^BD,BA+AF=BF,BC-AF=BE,

⑵口配=而，

UBC+AF=AD+AF^

即是根据平行四边形法则求作而和标的合向量.

【点睛】

本题考查了平面向量的知识，属于基础题，注意平面向量定义及平行四边形法则的熟练掌

握.

20.（1）BA'CD;（2）G巨、丽、HE;（3）作图见解析.

【解析】

【分析】

（1）根据相反的向量的定义即可判断；

（2）根据的平行的向量的定义即可判断；

答案第11页，共14页

（3）利用三角形法则，而即为所求.

【详解】

解：（1）口四边形ABCD为平行四边形

□ABCCD,AD1BC

口与圆相反的向量为瓦1、CD;

(2)DAE=CG,BF=DH,AEDCG,BFDDH,

AD—DH=BC—BF,EA=CG

□AH=FC

□AH=FC

□FG=FC+CG=AH+EA=EH

口与后平行的向量有而、而、HE;

（3）连接HF,图中向量而即为所求.

本题考查平面向量、三角形法则等知识,解题的关键是灵活运用三角形法则解决问题，属

于中考基础题.

1-2-/、1-mr3

21.(1)—anb；(2)——a+——b；(3)

33m+1m+14

【解析】

【分析】

（1）由电=晨AC=b，根据三角形法则即可求得而，又由器=2,即可求得两的

值，继而求得答案；

（2）由点=鼠AC=b.根据三角形法则即可求得配，又由器=m,即可求得两的

值，继而求得答案；

14

（3）根据（2）的结论，可得一三=三，继而求得m的值.

【详解】

答案第12页，共14页

解：（1）AB=a，AC=6,

BC=AC~AB=b-a，

___2—一、2£•2-

BM=~BC=~（b-a）=-b--a,

。。JJ

______2-2_1-2•

AM=AB+BM=a+（”一铲）="a+~b

（2）□□AB=a，AC=b，

BC=AC~AB=b~a，

□BM

MC