八年级数学教案设计

第一章三角形的证明

课题§1.1等腰三角形（1）

1.能证明等腰三角形的性质定理和判定定理；

教学目标2.了解分析的思考方法，掌握用综合法证明的格式；

3.感受证明的必要性，感受合情推理和演绎推理都是认识事物的途径.

教学重点等腰三角形的性质定理和判定定理.

教学难点等腰三角形的性质定理和判定定理.

教学过程复备

一.【预习指导】

1用._______________________________的过程，叫做证明.

经过_________________________________称为定理.

2.证明与图形有关的命题，一般步骤有哪些？

3.我们初中数学中，选用了哪些真命题作为基本事实：

4.什么叫做等腰三角形？（等腰三角形的定义）

5.我们曾经利用等腰三角形的对称性，发现了等腰三角形的哪些性质？

6.这些性质都是真命题吗？你能否用从基本事实出发，对它们进行证明？

二.【效果检测】

1.证明：等腰三角形的两个底角相等.

点拨：要证明两个角相等，可以构造一对全等三角形.图中的NB、NC,AB、

AC要分别是这两个三角形的角与边.如果用“SAS”证明，如何作辅助线？

讨论：还有不同的证明方法吗？

2.”等边对等角”用符号语言如何表示？

三.【布置任务】师生互动探究

思考与探索

问题1.证明：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高

互相重合.

点拨：上面的证明你作的辅助性是等腰三角形的什么线？接着刚才的证明，

你一定能发现“三线合一”的真相。请按照证明题的三个步骤，进行证明.

思考：“三线合一”用符号语言如何表示？

问题2.如何证明“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是正确的？

①写出它的逆命题：______________________________________________

②画出图形，写出已知、求证，并进行证明.

思考：“等角对等边”一符号语言如何表示？

问题3.已知：如图/E4C是△A8C的外角，A。平分/E4C,且4£>〃BC.

求证：AB=AC.

分析：要证AB=AC,只需证NB=NC,已知NEAD=NDAC,E

只需证NEAD=NB,NDAC=NC./

证明：AZ-------D

四.【小组交流】学生展示Bc

己知：如图，在△ABC中，NABC、N4CB的平分线相交于点。，

MN过点、0,且MN〃BC,交AB、AC于点M,N..

(1)求证：MN=BM+CN./\

(2)如果AB=20,BC=12,AC=18,求△4WN的周长./\

五.【课堂训练】拓展延伸尾二_____________C

1.在问题3中，如果AB=AC,AD//BC,那么4。平分NEAC吗？如果结论

成立，你能证明这个结论吗？

2.在问题3中，如果AB=AC,4。平分NE4C,那么4。〃8c吗？如果结论成

立，你能证明这个结论吗？

六.【课堂小结】

本节课你在数学知识、数学方法、学习方法方面有何收获？还有什么疑

惑？

随堂练习

课外作业

下一节课

预习要求

教后记

课题§1.1等腰三角形(2)

1.能证明等边三角形的性质定理和判定定理。

教学目标2.能证明线段垂直平分线的性质定理和判定定理。

3.进一步了解分析法和综合法。

教学重点等边三角形的性质定理和判定定理

教学难点等边三角形的性质定理和判定定理

教学过程复备

一.【预习指导】

1.等腰三角形性质定理：

2.等腰三角形判定定理：O

3.等边三角形是特殊的等腰三角形，特殊在哪里？

O

4.线段垂直平分线的性质定理_____________________________________________O

二.【效果检测】

1证明：等边三角形的每个内角都是60°.

分析：要证等边三角形的每个内角都是60°,就要先根据等边对等角证明

三个角相等。

2.证明：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。

三.【布置任务】师生互动探究

问题L三个角都相等的三角形是等边三角形。

分析：由等边三角形的的定义可知，三边相等的三角形是等边三角形。

根据“等角对等边”可以证得。

问题2.证明：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分

线上。

四.【小组交流】学生展示

1.证明：如果一个等腰三角形中有一个角等于60°,那么这个三角形是

等边三角形。

2.已知：如图，Z\ABC是等边三角形，DE〃BC,分别交AB、AC于

点D、E。求证：Z\ADE是等边三角形。

五.【课堂训练】拓展延伸

已知：如图，/XABC、4CDE是等边三角形，B、C、D在同一条直线上，AC、

BE交于点M,AD、CE交于点N。证明：ABCE丝AACD,AMCE^ANCD

拓展：△MNC是什么形状？证明你的想法。

六.【课堂小结】

本节课你在数学知识、数学方法、学习方法方面有何收获？还有什么疑

惑？

随堂练习

课外作业

下一节课

预习要求

教后记

课题§1.2直角三角形(1)

1.能证明并会应用直角三角形全等的“HL”判定定理。

教学目标2.体会转化的数学思想。

3.逐步学会分析的思考方法，发展演绎推理的能力。

教学重点证明直角三角形全等的“HL”判定定理及其应用

教学难点证明直角三角形全等的“HL”判定定理及其应用

教学过程复备

一.【预习指导】

1、直角三角形全等的条件有哪些？

2、你认为具备这样条件的两个直角三角形一定全等吗？为什么？

思考：我们知道：斜边和一对锐角相等的两个直角三角形,可以根据“AAS”

判定它们全等;一对直角边和一对锐角相等的两个直角三角形,可以根据

”或"AAS”判定它们全等;两对直角边相等的两个直角三角形,可以

根据“SAS”判定它们全等.

如果两个直角三角形的斜边和一对直角边相等(边边角)，这两个三角形是

否可能全等呢？

二.【效果检测】

1如.图1⑴，在AABC与AA'B'C中，若AB=A'B\AC=A'C,Z

C=ZCZ=90°,这时RtZ\ABC与RtZXA'B'C是否全等？

AK夏)

B--------Cgc,BCC)F

(1)(2)

图1

导学：把Rt^ABC与Rt^A'B'C'拼合在一起，如图1(2),因为

NACB=NA'CB'=90°,所以B、C(C,)、Bz三点在一条直线上，

因此，AABB'是一个等腰三角形，可以知道NB=/B'.根据AAS公理可

知RtZXA'B'C^RtAABCo

请你按照上面的分析，尝试着完成本题的证明过程。

证明：A

反思：1.为什么要说明B、C(C')、B'三点在一条直A

线上呢？/\

2.前面我们曾用画图剪拼的方法，比较感性的获E/

得“斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形的AQ

全等。”但是，由于观察并不一定可靠，通过今天严谨D’

的逻辑证明，我们确信这是一条数学真理。

3.根据勾股定理、SAS公理你还有其他证明方法吗？

三.【布置任务】师生互动探究

问题1.证明:在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。

点拨：1.我们可以构造如图1(2)的图形中，在等边三角形ABB'中，如果

NBAC=30°,那么aABC是一个直角三角形，且BC=/AB。

四.【小组交流】学生展示

问题2.如图，在AABC中，已知D是BC中点，DE_LAB,DF1AC,垂足

分别是E、F,DE=DF.求证：AB=AC

点拨：要证AB=AC,只要分别证AE=AF,BE=CF,因而只要用“HL”证

明

RtAAED^RtAAFD,RtABED^RtACFD»

六.【课堂训练】拓展延伸A

问题3如图，CD，AB,BE，AC,垂足分别是D、E,。

BE、CD相交于点0,如果AB=AC,哪么图中有几对全等的直角\三角

形？取其中的一对予以证明。/\

拓展：直线A0与线段BC有何关系？请说明理由。D/3,E

七.【课堂小结】

i.图形的“拆(把一个等腰三角形拆成两个全等的直B°C

角三角形)”和“拼把两个直角三角形拼成一个等腰三角形”两种

方法体现了同一种思想一一转化思想，即把待证的问题转化为可证的问

题。

2.本节课我们证明了一般三角形所不具有的直角三角形的特殊的判定定

理、特殊的直角三角形的特殊性质，你还能列举一些关于特殊与一般的例

子吗？

随堂练习

课外作业

下一节课

预习要求

教后记

课题§1.2直角三角形(2)

教学目标1.能证明角平分线的性质定理和逆定理、三角形三条角平分线交与一点；

2.从简单的数学例子中了解反证法的含义

____________3.逐步学会分析的思考方法，发展演绎推理的能力

教学重点类平分线的性质定理和逆定理

教学难点角平分线的性质定理和逆定理

教学过程|复备

一.【预习指导】

I.直角三角形全等的判定方法：o

2.角平分线的性质定理：______________________________________

3.你能用什么方法作出NAOB的平分线0C?

二.【效果检测】

1证明：角平分线上的点到这个角两边的距离相等。

已知：

求证：

证明：

思考：上述定理用符号语言如何让表示？

2、证明：角的内部到角的两边距离相等的点，

在这个角的平分线上。

己知：

求证

证明

思考：上述定理用符号语言如何让表示？

三.【布置任务】师生互动探究

问题1.“如果一个点到角的两边的距离不相等，那么这个点不在这个角

的平分线上。”你认为这个结论正确吗？如果正确，你能证明吗？

点拨：假设该点在角的平分线上，则它到这个角的两边的距离,

这与己知条件“这个点到角的两边的距离不相等”矛盾。所以一

链接：这种证题模式称为反证法，应用反证法证明的主要三步是：

否定结论-推导出矛盾一结论成立。实施的具体步骤是：

第一步，反设：作出与求证结论相反的假设；

第二步，归谬：将反设作为条件，由此通过正确推理导出矛盾；

第三步，结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立。

牛顿曾经说：“反证法是数学家最精当的武器之一“。一般来讲，

反证法常用来证明的题型有：命题的结论以“否定形式”、“至少”或

“至多”、“唯一”、“无限”形式出现的命题。

问题2.如图，4ABC的角平分线AD、BE相交于点0,点0到AABC各边的距

离相等吗？点0在NC的平分线上吗？为什么？

点拨：先运用角平分线性质定理，然后应用其逆定理。

思考：你能用一个命题概括这一题吗？

四.【小组交流】学生展示

问题3.如图，已知△ABC的外角NCBD和/BCE的平分线相交于点F,

求证：点F在NDAE的平分线上

平分AB,

且DE=DC0求NB的度数。

点拨：应用角平分线判定定理和相等垂直平分线性质定理。

五.【课堂训练】拓展延伸

问题3.如图，已知NB=/C=90°,M是BC中点，MN1AD,

若N1=N2,求证/3=N4

拓展：你还有什么发现？

六.【课堂小结】

1.角平分线性质定理及其逆定理的内容是什么？我们是如何证明的？

2.三角形的三条角平分线交于一点吗？我是然后证明的？

3.反证法的一般步骤有哪些？

4.你还有哪些困惑？

随堂练习

课外作业

第二章一元一次不等式与一元一次不等式组

2.1不等关系

教学目的和要求：

理解不等式的概念，感受生活中存在的不等关系

教学重点和难点：

重点：对不等式概念的理解

难点：怎样建立量与量之间的不等关系。

从问题中来，到问题中去。

1.如图1-1,用用根长度均为/cm的绳子，分别围成一个正方形和圆。

(1)如果要使正方形的面积不大于25cm2,那么绳长/应满足怎样的关系式?

(2)如果要使圆的面积大于100cm2,那么绳长/应满足怎样的关系式？

(3)当/=8时，正方形和圆的面积哪个大？/=12呢？

(4)改变/的取值再试一试，在这个过程中你能得到什么启发？

分析解答：在上面的问题中，所围成的正方形的面积可以表示为(()2,圆的面积可以表示

2

为T

I,I2

(1)要使正方形的面积不大于25cm2,就是(：)2«25,即记《25。

(2)要使圆的面积大于100cm2,就是万(―>100,

I2

即--->100

4〃

Q2Q2

(3)当/=8时，正方形的面积为J=4(C“2),圆的面积为——»5.1(cm2),

164万

4<5.1,此时圆的面积大。

io2io2

当/=12时，正方形的面积为——=9(c/n2),圆的面积为——«11.5(c/n2),

164万

9<11.5,此时还是圆的面积大。

(4)不论怎样改变/的取值，通过计算发现：总是圆的面积大，因此，我们可以猜想，

用长度增色为/cm的两根绳子分别围成一个正方形和圆，无论/取何值，圆的面积总

大于正方形的面积，即

I2I2

一＞一

4乃16

2.(1)通过测量一棵树的树围(树干的周长)可能计算出它的树龄，通常规定以树干离

地面1.5m的地方作为测量部位。某树栽种时的树围为5cm,以后树围每年增加约3cm,

这棵树至少要生长多少年其树围才能超过2.4m?(只列关系式)

(2)燃放某种礼花弹时，为了确保安全，人在点燃导火线后要在燃放前转移到10m以

外的安全区域。已知导火线的燃烧速度为0.2m/s,人离开的速度为4m/s,导火线的长

度x(m)应满足怎样的关系式？

答案：(1)设这棵树生长x年其树围才能超过2.4m,则5+3x>240。

(2)人离开10m以外的地方需要的时间，应小于导火线燃烧的时间，只有这样才能

10r

保证人的安全：—<—

40.2

分析巩固练习：

用不等式表示：

(1)a的相反数是正数；

2

(2)m与2的差小于一；

3

(3)x的1与4的和不是正数；

3

(4)y的一半与x的2倍的和不小于3。

解答：(1)a的相反数是-a,正数是比零大的数，所以“a的相反数是正数”就是-a>0；

2?

(2)“m与2的差”就是m2“差小于一”即是m-2<一；

33

(3)“x的就是」x,"x的1与4的和不是正数"就是1x+4<0；

3333

(4)“y的一半”不是;y,“x的2倍”就是2x,“不小于3”即指大于或等于3,故“y

的一半与x的2倍的和不小于”就是;y+2x)3。

3.下列各数：-4,n,0,5.2,3其中使不等式x—2>1,成立是()

2

1

A.-4,71,5.2B.71,5.2,3C.一,0,3D.7T,5.2

2

答案：D

a—h

4.有理数a,b在数轴上的位置如图1・2所示，所--的值()

a+b

111ii.

-1a01b

A.>0B.<0C.=0D.

答案：B

小结提问，快速回答：

1.表示不等式关系的符号有哪些？

2.用适当的符号表示下列关系：

(1)x的5倍与3的差比x的4倍大；

(2)〃的,的相反数是非负数；

4

(3)x的3倍不小于y的8倍。

3.下列不等式中，总能成立的是()

A.a2>0B.-a2<0C.2a>aD.a2>a

作业要求：作业本

2.2不等式的基本性质

一、教学目标

1.经历不等式基本性质的探索过程，初步体会不等式与等式的异同。

2.掌握不等式的基本性质。

二、教学重难点

不等式的基本性质的掌握与应用。

三、教学过程设计

1.比较归纳，产生新知

我们知道，在等式的两边都加上或都减去同一个数或整式，等式不变。

请问：如果在不等式的两边都加上或都减去同一个整式，那么结果会怎样？请兴几例试

一试，并与同伴交流。

类比等式的基本性质得出猜想：不等式的结果不变。试举几例股证猜想。如3<7,3+1=4,

7+1=8,4<8,所以3+1V7+1；3-5=-2,7-5=2,-2<2,所以3-5<7-5;3+a<7+a；3<7,3-a

V7-a等。都能说明猜想的正确性。

2.探索交流，概括性质

完成下列填空.

2<3,2X53X5；

2<3,2X(-1)3X(-1)；

2<3,2X(-5)3X(-5)；

你发现了什么？请再举几例试试，与同伴交流。

通过计算结果不难发现：前两个空填“<”，后三个空填

得出不等式的基本性质：

不等式的基本性质1:不等式的两边都加上(或减去)同一个整式，不等号的方向不变。

不等式的基本性质2：不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变。

不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变。

(通过自我探索与具体的例子使学生加深对不等式性质的印象)

3.练习巩固，促进迁移

(1)用“〉”号或“V”号填空，并简说理由。

①6+2_-3+2；②6X(-2)_______-3X(-2)；

③6・2-34-2：④6+(-2)-34-(-2)

(2)如果a>b,则

①a+b_____b+c②a-b_______b_C#

_a

③acbe(c>0)④--(c<0)

2.利用不等式的基本性质，填“〉”或

(1)若a>b,贝！］2a+l2b+l;

5

一一y

(2)若4<10,则y-8：

(3)若a<b,且c>0,则ac+cbc+c；

(4)若aX),b。，c<0,(a-b)c0。

4.巩固应用，拓展研究.

1.按照下列条件，写出仍能成立的不等式，并说明根据。

(1)两边都加上-4；(2)-3a<b两边都除以-3；

(3)a23b两边都乘以2；(4)aW2b两边都加上c；

2.根据不等式的性质，把下列不等式化为x>a或x<a的形式(a为常数):

(1)—x>--x-2；(2)—x<—(6-x)；

3322

(3)-3x>2；(4)-3x+2<2x+3

5.课内深化，提升能力

比较下列各题两式的大小：

/、，1,a2-b2+21_a2-2b2+1

（1）-一3与一；⑵a+b与Q-b；（z3）x---------与----------

3323

6.回顾联系，形成结构

想一想：本节课学了哪些知识？有哪些性质？在运用性质时应注意什么？

（通过问题的回答，引导学生自主总结，把分散的知识系统化、结构化，形成知识网络，完

善学生的认知结构，加深对所学知识的理解.）

7.课外作业与拓展

课外作业：课本第9页“习题1.2”

2.3不等式的解集

一、教学目标

1.理解不等式解与解集的意义。

2.了解不等式解集的数轴表示。

二、教学重难点

重点是区分不等式解与解集的概念，难点是在数轴上表示不等式的解集。

三、教学过程设计

1.创设情景，导出问题

（课本问题）燃放某中礼花弹时，为了确保安全，人在点燃导火线后要在燃放前10m以外

的安全区域。已知导火线的燃烧速度为0.02m/s,人离开的速度为4m/s,那么导火线的长度

应为多少厘米？

（在建立不等式之前，先让学生分析清楚问题中量与量之间的关系：为了使人有足够

的时间到达安全区域，导火线燃烧的时间应大于人到达安全区域的时间。）

设导火线的长度应为xcm，根据题意，得

x.10

0.02x100'T

即x>5

2.探索交流，得出概念

1.想一想：（1）你能找出几个使不等式x>5成立的x的值吗？

（2）x=5,6,8能使不等式x>5成立吗？

（字母可以表示任何数，但对于满足x>5中的字母x,它能够取任意数吗？如果不能，

它能取哪些数呢？启发学生动手脸证、动脑思考，并从中初步体会不等式解的意义及不等式

解与方程解的不同之处。）

能使不等式成立得未知数得值，叫做不等式的解。例如，6是不等式x>5一个解，

7,8,9,……也是不等式x>5的解。

一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。例如不等式X-5W-1的解

集为x<4；不等式x2>0的解集是所有非零实数。

求不等式解集的过程叫做解不等式。

2.议一议：请你用自己的方式将不等式x>5的解集和X-5W-1的解集分别表示在数轴上，

并与同伴交流。

（引导学生回忆实数与数轴上点的对应关系，认识数轴上的点是有序的，实数是可以比较大

小的，让学生用具体实数对应的点加以说明）

3.练习巩固，促进迁移

I.判断下列说法是否正确：

(1)x=2是不等式x+3<4的解；

(2)x=2是不等式3x<7的解集；

(3)不等式3x<7的解是x=2；

(4)x=3是不等式3x29的解。

答案：(1)不正确；(2)不正确；(3)不正确；(4)正确。

2.在数轴上表示出下列不等式的解集：

(1)%>-1；(2)x^-1；(3)x<-l；(4)x^-1

答案：

(1)数轴上实心与空心的区别在于：空心点表示解集不包括这一点，实心点表示解集包

括这一点。

(2)数轴上表示不等式的解集遵循“大于向右走，小于向左走”这一原则。

4.回顾联系，形成结构

想一想：本节课学了哪些知识？在运用时应注意什么？

(通过问题的回答，引导学生自主总结，把分散的知识系统化、结构化，形成知识网络,

完善学生的认知结构，加深对所学知识的理解.)

5.课外作业与拓展

课外作业:课本第12页“习题1.3”

2.4一元一次不等式(1)

教学目的和要求:会用一元一次不等式，并能在数轴上表示其解集。

教学重点和难点：

重点：一元一次不等式的解法

难点：解决一元一次不等式时等号方向的改变。

教学过程：

1.观察下列不等式：

(1)2x-2.5>15；(2)x48.75(3)x<4(4)5+3x>240

这些不等式有哪些共同特点？

这些等式的左右两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，象这样

的不等式，叫做一元一次不等式。

2,先阅读每(1)题的解法，然后仿做第(2)题，最后谈谈自己读题、做题的体会。

(1)解不等式土上？—1,并把它的解集表示在数轴上。

23

解去分母，得3(%-2)>2(7-%)

去括号，得3x—6214—2x

移项、合并同类项，得

5%>20

两边都除以5,得

x>4

这个不等式的解集在数轴上表示如下(图|一13)

-1012345678

xx—2

(2)解不等式土23+土」，并把它的解集表示的数轴上。

52

答案：x<~—

3

其解集在数轴上表示如下图1-40

-7-6-5-4-3-2-10

3.解不等式10-4(x—3)W2(x—l),并把它的解集在数轴上表示出来。

解答：去括号，得10-4x+12W2x—2,

移项，得10+2+12W2x+4x。

合并同类项，得24<6%

系数化为1,得4Wx。得XN4。

在数轴上表示不等式解集如图

............................11n.

-2-1012345

4,解不等式上里-匕^2匕;并把它的解集在数轴上表示出来。

326

解答:去分母，得2(y+l)-3(y)-12y—l

答案：y<3

这个不等式的解集数轴上表示如图

-4-3-2-101234

5.y取何正整数时，代数式2(y-l)的值不大于10-4(y-3)的值。

解答：根据题意列出不等式：

2(y-l)<10-4(y-3)

答案：解这个不等式，得>W4,解集4中的正整数解是：1,2,3,4。

6.解关于x的不等式：k(x+3)>x+4;

解答：去括号，得kx+3k>x+4;

答案：若k-l=O,即k=l时，0>1不成立，.•.不等式无解。

4一3人

若k-l>0,即k>l时，x>------

k—1

4-3k

若k-l<0,即k<l时，x<------

k-\

7.m取何值时，关于x的方程'-包巴。=X-迦二!•的解大于1。

632

解答：解这个方程：

x-2（6加-1）=6x-3（5勿7—1）

3m—1

••x=

5

根据题意，得匹」>1

5

解得m>2

8.是否存在整数m,使关于x的不等式1+工>土+之■与"-2+”<%+1是同解不