高考数学一轮复习 第五章 数列单元综合检测（五）理试题

单元综合检测(五)一、选择题(每小题5分,共55分)1.(2016·江西师范大学附中、临川一中联考)已知{an}是等差数列,a10=10,其前10项和S10=70,则其公差d为 ()A.- B.- C. D.1.D【解析】a10=a1+9d=10,S10=10a1+d=10a1+45d=70,解得d=.2.(2016·安徽皖江名校联盟联考)已知数列{an}的首项为2,且数列{an}满足an+1=,则a2018为 ()A.2 B.- C. D.-32.C【解析】∵a1=2,an+1=,∴a2=,∴a3=-,∴a4=-3,∴a5=2,∴数列{an}的周期4,∴a2018=a2=.3.(2016·福建泉州五校联考)已知{an}为等差数列,a2+a8=,则S9等于 ()A.6 B.5 C.4 D.73.A【解析】S9==6.4.(2016·山西大学附中月考)已知等比数列{an}中,各项都是正数,且a1,a3,2a2,成等差数列,则= ()A.1+ B.1- C.3+2 D.3-24.C【解析】设等比数列的公比为q,则a3=a1q2,a2=a1q,又因为a1,a3,2a2成等差数列,所以a3=a1+2a2,即a1q2=a1+2a1q,q2=1+2q,解得q=1+或q=1-,又因为等比数列{an}的各项都是正数,所以q=1+,则=q2=3+2.5.(2016·河南八市重点高中联考)在公差不为零的等差数列{an}中,Sn是其前n项和,若S17=S10,a2+ak=0(k∈N*),则k的值为 ()A.9 B.17 C.26 D.20165.C【解析】由S17=S10得a11+a12+a13+a14+a15+a16+a17=0,从而a14=0又a2+a26=2a14=0,所以k=26.6.(2016·安徽蚌埠二中月考)已知等差数列{an}满足a1>0,8a5=13a11,则前n项和Sn取最大值时,n的值为 ()A.19 B.20 C.22 D.236.B【解析】由8a5=13a11得8(a1+4d)=13(a1+10d)⇒a1=-d,因为a1>0,所以d<0,所以an=a1+(n-1)d=-d+(n-1)d=d,由d<0可知令an>0⇒n-<0⇒n≤20.7.(2016·广东百校联考)古代数学著作《九章算术》有如下问题:“今有女子善织,日自倍,五日织五尺,问日织几何?”意思是:“一女子善于织布,每天织的布都是前一天的2倍,已知她5天共织布5尺,问这女子每天分别织布多少?”根据上题的已知条件,可求得该女子第3天所织布的尺数为 ()A. B. C. D.7.A【解析】设该女子第一天织布x尺,则由题可得=5,解得x=,第三天所织布的尺数为×22=.8.设Sn是公差为d(d≠0)的无穷等差数列{an}的前n项和,则下列命题错误的是 ()A.若d<0,则数列{Sn}有最大项B.若数列{Sn}有最大项,则d<0C.若数列{Sn}是递增数列,则对任意n∈N*,均有Sn>0D.若对任意n∈N*,均有Sn>0,则数列{Sn}是递增数列8.C【解析】因为Sn=na1+n(n-1)d=n2+n,所以Sn是关于n的二次函数,当d<0时,Sn有最大值,即数列{Sn}有最大项,故A项命题正确;若{Sn}有最大项,即对于n∈N*,Sn有最大值,故二次函数图象的开口要向下,即d<0,故B项命题正确;而若a1<0,d>0,则数列{Sn}为递增数列,此时S1<0,故C项命题错误;若对于任意的n∈N*,均有Sn>0,则a1=S1>0,且n+a1->0对于n∈N*恒成立,∴>0,即D项命题正确.故选C项.9.(2016·福建龙岩上杭一中期中考试)已知数列{an}的前n项和Sn=n2an(n≥2),a1=1,则an= ()A. B. C. D.9.B【解析】∵Sn=n2an,当n>1时,Sn-1=(n-1)2an-1,∴an=Sn-Sn-1=n2an-(n-1)2an-1,(n2-1)an=(n-1)2an-1.即,∴an=a1·…·=1×.10.等比数列{an}中,a1=2,a8=4,函数f(x)=x(x-a1)(x-a2)…(x-a8),则f'(0)= ()A.26 B.29 C.212 D.21510.C【解析】由f(x)=x(x-a1)(x-a2)…(x-a8)得f'(x)=(x-a1)(x-a2)…(x-a8)+x[(x-a1)(x-a2)…(x-a8)]',因此f'(0)=a1a2…a8=(a1a8)4=84=212.11.已知函数f(x)的导函数f'(x)=2+sinx,且f(0)=-1,数列{an}是以为公差的等差数列,若f(a2)+f(a3)+f(a4)=3π,则= ()A.2016 B.2015 C.2014 D.201311.B【解析】根据题意可知,f(x)=2x-cosx+c,根据f(0)=-1可知c=0,从而有f(x)=2x-cosx,结合题意可知2a2-cosa2+2a3-cosa3+2a4-cosa4=3π,即2(a2+a3+a4)-(cosa2+cosa3+cosa4)=3π,所以有cosa2+cosa3+cosa4=0,即2(a2+a3+a4)=3π,得a3=,a2=,a4=,所以a2016=a2+2014×=2015×,所以有=2015.二、填空题(每小题5分,共20分)12.(2016·兰州一中月考)已知数列{an}为等差数列,a1+a2+a3=3,a5+a6+a7=9,则a4=.

12.2【解析】由a1+a2+a3=3得3a2=3,a2=1,由a5+a6+a7=9得3a6=9,a6=3,又a2+a6=2a4,故a4=2.13.(2016·华中师大附中期中考试)若数列{an}满足a1·a2·a3…an=n2+3n+2,则数列{an}的通项公式为.

13.an=【解析】由题a1·a2·a3…an=n2+3n+2=(n+1)(n+2),∴a1·a2·a3…an-1=n(n+1),∴an=(n≥2),∵a1=6,∴an=14.(2016·广西柳州铁路一中月考)设{an}是等比数列,公比q=,Sn为{an}的前n项和.Tn=,n∈N*.设为数列{Tn}的最大项,则n0=.

14.4【解析】Tn===,因为()n+≥8,当且仅当()n=4,即n=4时取等号,所以当n0=4时Tn有最大值.15.(2016·安徽皖江名校联盟联考)已知数列{an}中,满足anan+1=2Sn(n∈N*),其中Sn为{an}的前n项和,且a1=1,则2×a1+22×a2+…+22016×a2016=.

15.2015×22017+2【解析】anan+1=2Sn,an+1an+2=2Sn+1,an+1an+2-anan+1=2Sn+1-2Sn=2an+1,an+2-an=2,a1=1,a3=3,a5=5,…,a2k-1=2k-1;a2=2,a4=4,…,a2k=2k.∴an=n;令Tn=2×a1+22×a2+…2n×an,2Tn=22×a1+23×a2+…+2n+1×an,相减可得Tn=(n-1)×2n+1+2,∴T2016=2015×22017+2.三、解答题(共45分)16.(10分)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,公差d=2,S10=120.(1)求an;(2)若bn=,求数列{bn}的前n项和为Tn.16.【解析】(1)∵Sn=na1+d,d=2,S10=120,∴10a1+×2=120,即a1=3.∴an=a1+(n-1)d=2n+1.(2)∵bn=),∴Tn=)+)+…+)+).即Tn=-1).17.(11分)(2015·湖北黄冈中学模拟)设数列{an}的前n项和为Sn,满足Sn=an+1-n·2n+3-4,n∈N*,且a1,S2,2a3+4成等比数列.(1)求a1,a2,a3的值;(2)设bn=,n∈N*,求{an}的通项公式.17.【解析】(1)由条件知解得a1=4,a2=24,a3=96.(2)由Sn=an+1-n·2n+3-4得Sn-1=an-(n-1)2n+2-4(n≥2),两式相减得an+1=2an+(n+1)2n+2,两边同时除以2n+1得=2(n+1),则bn+1-bn=2(n+1).当n≥2时,bn=b1+b2-b1+…bn-bn-1=2(1+2+…n)=n(1+n);当n=1时,b1=2满足上式,所以bn=n(n+1),从而an=2n·n(n+1).18.(12分)(2015·西北师大附中三诊)在等差数列{an}中,a1=3,其前n项和为Sn,等比数列{bn}的各项均为正数,b1=1,公比为q,且b2+S2=12,q=.(1)求an与bn;(2)求+…+的取值范围.18.【解析】(1)设{an}的公差为d,∵b2+S2=12,q=,∴解得q=3或q=-4(舍),d=3.故an=3n,bn=3n-1.(2)Sn=,∴.∴+…+1-+…+=.∵n≥1,∴0<≤1-<1,∴,即+…+.19.(12分)已知函数f(x)=(k,b∈N*),满足f(2)=2,f(3)>2.(1)求k,b的值;(2)若各项为正的数列{an}的前n项和为Sn,且有4Sn·f=-1,设bn=,求数列{n·bn}的前n项和Tn;(3)在(2)的条件下,证明:ln(1+bn)<bn.19.【解析】(1)由由①代入②可得k<,且k∈N*.当k=2时,b=2(成立),当k=1时,b=0(舍去).所以k=2,b=2.(2)4Sn·f=4Sn·=-1,即2Sn=+an,③n≥2时,2Sn-1=+an-1, ④所以,当n≥2时,由③-④可得2an=()+(an-an-1),整理得(an+an-1)(an-an-1-1)=0.又因为a2>0得an-an-1=1,且a1=1,所以{an}是首项为1,公差为1的等差数列,即an=n,bn=2n.所以nbn=n·2n.Tn=1·21+2·22+3·23+…+(n-1)·2n-1+n·2n,2Tn=1·22+2·23+3·24+…+(n-1)·2