高考数学一轮复习 第四章 平面向量单元综合检测（四）理试题

单元综合检测(四)一、选择题(每小题5分,共50分)1.已知a与b均为单位向量,它们的夹角为60°,那么|a-3b|等于 ()A. B. C. D.41.A【解析】|a-3b|=.2.(2016·福建厦门一中期中考试)已知a·b=-12,|a|=4,a和b的夹角为135°,则|b|为 ()A.12 B.6 C.3 D.32.B【解析】由题意利用两个向量的数量积的定义可得a·b=-12=|a|·|b|cos135°=4|b|·,解得|b|=6.3.若非零向量a,b满足|a|=|b|,且(a-b)⊥(3a+2b),则a与b的夹角为 ()A. B. C. D.π3.A【解析】∵(a-b)⊥(3a+2b),∴(a-b)·(3a+2b)=0,即3a2-2b2-a·b=0,即a·b=3a2-2b2=b2,∴cos<a,b>=,即<a,b>=.4.如图所示,M,N是函数y=2sin(wx+φ)(ω>0)图象与x轴的交点,点P在M,N之间的图象上运动,当△MPN面积最大时=0,则ω= ()A. B. C. D.84.A【解析】由图象可知,当P位于M,N之间函数y=2sin(ωx+φ)(ω>0)图象的最高点时,△MPN面积最大.又此时=0,∴△MPN为等腰直角三角形.过P作PQ⊥x轴于Q,∴|PQ|=2,则|MN|=2|PQ|=4,∴周期T=2|MN|=8.∴ω=.5.(2016·兰州一中月考)△ABC的外接圆圆心为O,半径为1,2且||=||,则向量在向量方向的投影为 ()A. B. C.- D.-5.A【解析】∵2,∴O,B,C三点共线,∴AB⊥AC.∵||=||,∴∠ABC=60°,∴向量在向量方向上投影为||·cos60°=.6.M是△ABC所在平面内一点,=0,D为AC中点,则的值为 ()A. B. C.1 D.26.A【解析】如图所示,∵D是AC的中点,延长MD至E,使得DE=MD,∴四边形MAEC为平行四边形,∴),∵=0,∴=-)=-3,∴.7.(2016·河南八市重点高中月考)已知向量与向量的夹角为θ,||=3,||=2,设向量,若,则θ的大小为 ()A. B. C. D.7.C【解析】因为,所以=0,即)=0,整理得=-3,因此2×3×cosθ=-3⇒cosθ=-,因为0≤θ≤π,所以θ=.8.已知A,B,C是平面上不共线的三点,O是三角形ABC的重心,动点P满足,则点P一定为三角形ABC的 ()A.AB边中线的中点B.AB边中线的三等分点(非重心)C.重心D.AB边的中点8.B【解析】设AB的中点是E,∵O是三角形ABC的重心,∴+2).∵=2,∴+4)=×3,∴P在AB边的中线上,是中线的三等分点,不是重心.9.(2016·福建泉州五校联考)若点M是△ABC所在平面内一点,且满足,则△ABM与△ABC的面积之比等于 ()A. B. C. D.9.D【解析】∵,∴M,B,C三点共线,过C作AB的垂线交AB于点D,过点M作AB的垂线交AB于点E,取AH=AC,AN=AB,过点H作AB的垂线交AB于F,∵,∴,即AHMN构成平行四边形,则HF=ME,而S△ABM∶S△ABC=ME∶CD=HF∶CD=AH∶AC=,∴△ABM与△ABC的面积之比为1∶4.10.(2016·江西师大附中、临川一中联考)已知点C为线段AB上一点,P为直线AB外一点,PC是∠APB的角平分线,I为PC上一点,满足+λ(λ>0),||-||=4,||=10,则的值为 ()A.2 B.3 C.4 D.510.B【解析】∵||=||=10,PC是∠APB的角平分线,又+λ(λ>0),即=λ,所以I在∠BAP的角平分线上,由此得I是△ABP的内心,过I作IH⊥AB于H,以I为圆心,IH为半径,作△PAB的内切圆,如图,分别切PA,PB于E,F,则||-||=4,||=10,||=||=(||+||-||)=[||-(||-||)]=3,在直角三角形BIH中,cos∠IBH=,所以=||cos∠IBH=||=3.二、填空题(每小题5分,共20分)11.已知向量a=(1,2),b=(m,4),且a∥(2a+b),则实数m的值为.

11.2【解析】2a+b=(2,4)+(m,4)=(2+m,8),由a∥(2a+b)得2×(2+m)=8,即m=2.12.(2016·安徽皖江名校联盟联考)在平面直角坐标系内,已知B(-3,-3),C(3,-3),H(cosa,sina),则的最大值为.

12.6+19【解析】由题意得B(-3,-3),C(3,-3),H(cosα,sinα),=(cosα+3,sinα+3),=(cosα-3,sinα+3),∴=(cosα+3,sinα+3)·(cosα-3,sinα+3)=cos2α-9+sin2α+6sinα+27=6sinα+19≤6+19.13.已知a,b,c为△ABC的三个内角A,B,C的对边,向量m=(,-1),n=(cosA,sinA).若m⊥n,且acosB+bcosA=csinC,则角B=.

13.【解析】由m⊥n得m·n=0,即cosA-sinA=0⇒tanA=,又因为在三角形ABC中,0<A<π,所以A=.又由acosB+bcosA=csinC得sinAcosB+sinBcosA=sin2C,即得sin(A+B)=sin2C⇒sinC=sin2C,在三角形ABC中,sinC>0,所以sinC=1,即C=,因此B=π-.14.如图,AB是圆O的直径,C,D是圆O上的点,∠CBA=60°,∠ABD=45°,=x+y,则x+y的值为.

14.-【解析】根据题意,以线段AB所在直线为x轴,以O为原点建立平面直角坐标系,设圆的半径为r,则有A(-r,0),B(r,0),C,D(0,r),所以=(-r,0),,即解得所以有x+y=-.三、解答题(共50分)15.(12分)已知向量a=(sinx,cosx),b=(sinx,sinx),c=(-1,0).(1)若x=,求向量a,c的夹角θ;(2)求函数f(x)=a·b的最大值.15.【解析】(1)当x=时,a=,所以cosθ==-,因而θ=.(2)f(x)=sin2x+sinxcosx=(1-cos2x+sin2x)=sin,所以函数f(x)的最大值是.16.(12分)(2015·东北三省三校一模)已知△ABC的面积为2,且满足0<≤4,设的夹角为θ.(1)求θ的取值范围;(2)求函数f(θ)=2sin2cos2θ的取值范围.16.【解析】(1)由题意可得=cbcosθ,cosθ>0,∵△ABC的面积为2,∴bcsinθ=2,sinθ>0,变形可得cb=,0<θ<,∴=cbcosθ=,由0<≤4,可得0<≤4,解得tanθ≥1,又∵0<θ<,∴向量夹角θ的范围为.(2)化简可得f(θ)=2sin2cos2θ=2×cos2θ=1+sin2θ-cos2θ=1+2sin.∵由(1)知θ∈,∴2θ-,∴sin,∴1+2sin∈[2,3],∴f(θ)的取值范围为[2,3].17.(13分)(2015·宜春四校一模)已知p=(sinA,cosA),q=(cosA,-cosA)(其中q≠0).(1)若0<A<,方程p·q=t-(t∈R)有且仅有唯一解,求t的取值范围;(2)设△ABC的内角A,B,C的对应边分别是a,b,c,且a=,若p∥q,求b+c的取值范围.17.【解析】(1)依题意可得t=p·q+sinAcosA-cos2A+sin2A-cos2A=sin,∵A∈,∴-<2A-.再根据t=p·q+有唯一解,可得-<t≤或t=1.(2)由p∥q(其中q≠0)得=-1,即tanA=-,∴A=.再根据正弦定理可得2R==1,∴b+c=sinB+sinC=sin,由<B+,可得<b+c≤1.18.(13分)(2015·安徽六校联考)设x轴,y轴正方向上的单位向量分别是i,j,坐标平面上点An,Bn(n∈N*)分别满足下列两个条件:①=j且=i+j;②=3i且×3i.(1)求的坐标;(2)若四边形AnBnBn+1An+1的面积是an,求an(n∈N*)的表达式;(3)对于(2)中的an,是否存在最小的自然数M,对一切n(n∈N*),都有an<M成立?若存在,求M;若不存在,说明理由.18.【解析】(1)+…+=j+(n-1)·(i+j)=(n-1)i+nj=(n-1,n),+…+=3i+×3i+×3i+…+×3i=×3i=9-9×n,0.(2)由(1)可知An(n∈N*)在直线y