河南省洛阳市强基联盟2022-2023学年高一下学期3月联考数学试卷含答案

洛阳强基联盟3月联考高一数学考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。4.本卷命题范围：人教A版必修第二册第六章~第七章第2节。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1. 已知i(a−i)=b−(2A.-9 B.9 C.7D.-72. 已知△ABC为等边三角形，则AB与BC的夹角为A.120° B.60°C.30° D.-60°3. 已知向量a=(8,-2),b=(m,1),若a=λb,则实数m的值是A.-4B.-1 C.1D.44. 在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=2,b=3A.45°或135° B.135°C.45° D.60°或120°5. 若复数z满足(z−2i)(1+iA.−1C.126. 已知△ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,则“△ABC是钝角三角形”是“a²+b²−c²<0”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件7. 已知向量a，b的夹角为π3,且|a|=2,b=(1,1),则a在A.22B.1

8. 在平行四边形ABCD中,AB=4,AD=3,AE=13EB,DF=2FC,A.125B.245二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9. 对于任意的平面向量a，b，c，下列说法错误的是A.若a≠b，则a与b不是共线向量B.(a+b)·c=a·c+b·cC.若a·b=a·c,且a≠0,则b=cD.(a·b)c=(b·c)a10. 若复数z为纯虚数，则A.z+z为实数B.z-z为实数C.z²为实数D.zi为实数11. 下列说法正确的是A.若两个非零向量AB,CD共线，则B.若向量a与b平行，b与c平行，则a，c方向相同或相反C.若非零向量AB与CD是共线向量，则它们的夹角是0°或180°D.平行向量就是共线向量，共线向量就是平行向量12. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列结论正确的是A.若a>b,则sinB.若sinA>sinC.若acosA=bcosD.若△ABC为锐角三角形,则sin三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13. 设复数z满足zi+1=z,则|14. 在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且bcosC+csinB=a,15. 已知平面向量a=(1,−2),b=(4,y),若a与a+b的夹角为锐角,则y的取值范围为.16. 如图，中华中学某班级课外学习兴趣小组为了测量某座山峰的高度，先在山脚A处测得山顶C处的仰角为60°，又利用无人机在离地面高400m的M处(即MD=400)，观测到山顶C处的仰角为15°，山脚A处的俯角为45°,则山高BC=m.四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17. (本小题满分10分)已知虚数z满足|z|=(1)求证:z+5iz(2)若z是方程2x²+4x+k=0(k∈R)的一个根，求k与z18. (本小题满分12分)已知向量a,b满足|a|=2,|b|=3,且(3a+b)·(a−2b)=−16.(1)若(a−b)⊥(a+λb),求实数λ的值;(2)求a与2a−b的夹角的余弦值.19. (本小题满分12分)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2cos(1)求角A;(2)若△ABC的周长为33,3，且△ABC外接圆的半径为1，判断△ABC的形状，并求△20. (本小题满分12分)如图，在等腰梯形ABCD中，AB//CD,|AB|=2|DC(1)试用AB,AD表示(2)求DB⋅21. (本小题满分12分)如图，在平面四边形ABCD中，AB=23,∠ADC=∠CAB=90°(1)若θ=60°,AB=2CD,求BD的长度;(2)若∠ADB=∠ABC=30°,求tanθ22. (本小题满分12分)记△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知asin(1)求证:sin(2)若△ABC的面积S=kb²(k>0),求k的最大值，并证明：当k取最大值时，△ABC为直角三角形.

洛阳强基联盟3月联考·高一数学参考答案、提示及评分细则1.Bi(a−i)=b−(2i)³,即1+ai=b+8i,所以a=8,b=1,a+b=9.故选B.2.A因为△ABC为等边三角形,所以AB与BC的夹角为120°.故选A.3.A由a=λb,得8=λm,−2=λ,解得m4.C由正弦定理得sinA=5.D由(z−2i)(1+i)=i,得z=i1+i+2i=i1−i6.B若△ABC中B为钝角,则C为锐角,cosC>0,即有a²+b²−c²>0,故充分性不成立；若a²+b²−c²<0,由余弦定理得cosC=a7.C8.D因为AE=13EB得cos∠BCD=15,则9. ACD对于A，两个向量是否共线只跟方向有关，故A错误；对于B，这是数量积对加法的分配律，显然成立的，故B正确；对于C若a和b，c都垂直，显然b，c至少在模长方面没有任何关系，故C错误；对于D,(a·b)c=(b·c)a很多时候是不成立的,则(a·b)c与(b·c)a是分别和c、a共线的向量,故错误.故选ACD.10.ACD因为z为纯虚数,设z=mi(m∈R,且m≠0),z=−mi,则z+z=0,A正确;z−z=2mi11.CD平行向量又叫共线向量，向量AB与CD是共线向量，则AB与CD平行或共线，故A错误；当b为零向量时，结论不成立，故B错误；由向量的夹角可知C正确；平行向量就是共线向量，共线向量就是平行向量，故D正确。故选CD.12.ABD在△ABC中,由正弦定理得asinA=bsinB,所以ab=sinAsinB.若a>b,则ab=sinAsinB>1,又sinA>0,sinB>0,所以sinA>sinB,故A正确;因为ab=sinAsinB,又sinA>sinB,sinA>0,sinB>0,所以ab=sinAsinB>1,所以a>b,所以13.22由zi+1=z,得z=−114.62由正弦定理得sinBcosC+sinCsinB=sinA,即sinBcosC+sinCsinB=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC,∴sinCsinB=cosBsinC,∵sinC≠0,∴sinB=cosB,∴tanB=1.∵B∈(0,π),∴B=π4,∴asinA=15.−∞−8∪−892因为a与a+b的夹角为锐角,所以a·(a+b)>0,且a与a+b不共线,即1×5−2(y−2)>0,且1×(y−2)≠16.600由题意知∠AMD=45°,则AM=2MD=4002,又由∠CAB=60°,所以∠MAC=180°-60°-45°=75°,∠ACM=180°−75°−60°=45°,在△MAC中，由正弦定理得ACsin∠AMC=MA17.(1)证明:方法一:设z=a+bi(a,b∈R,b≠0),…………………1分因为|z|=5,所以所以z+5i所以z+5iz在复平面内对应的点为(a+b,a+b),在直线方法二:设z=a+bi(a,b∈R,b≠0),…………1分因为|z|=a2+b2z+=a+bi+ai+b=a+b+(a+b)i,…………4分所以z+5iz在复平面内对应的点为(a+b,a+b),在直线(2)解:因为z=a+bi是方程2x²+4x+k=0(k∈R)所以2(a+bi)²+4(a+bi)+k=0,⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分即2a²−2b²+4a+k+(4ab+4b)i=0所以2a²−2b²+4a+k=0,且4ab+4b由4ab+4b=0及b≠0,得a=−1,……………8分因为a²+b²=5,所以b=±2把a=−1,b=±2代入2a²−2b²+4a+k=0得k=10,所以k=10,z=-1±2i………………10分18.解:(1)因为(3a+b)·(a−2b)=−16,所以3a²−5a·b−2b²=−16,即3×2²−5a·b−2×3²=−16,解得a·b=2.……………3分若(a−b)⊥(a+λb),则即a²+(λ−1)a·b−λb²=0,即2²+2(λ−1)−λ×3²=0,解得λ=22又a·(2a−b)=2a²−a·b=2×2²−2=6,…………………9分所以cos<即a与2a−b的夹角的余弦值为3171719.解:(1)2ccosA=acosB+bcosA,由正弦定理得2sinCcosA=sinAcosB+sinBcosA,……2分因为sinAcosB+sinBcosA=sin(A+B)=sinC,所以2sinCcosA=sinC,因为C∈(0,π),所以sinC≠0,所以cosA=1因为A∈(0,π),所以A=π3(2)设△ABC外接圆的半径为R,则R=1,由正弦定理，得a=2RsinA=3因为△ABC的周长为33,所以b+c=2由余弦定理，得a即3=12−3bc,所以bc=3……………9分由b+c=23,bc=3,得所以△ABC为等边三角形.………………………11分所以△ABC的面积S=120.解:AE=BC=AC−AB=2|AD|=12DB=DB⋅===94.……………21.解:(1)由AB=2可知AD=CDtan在△ABD中,∠DAB=由余弦定理可知,B则BD=19.2∵∠CAB=90°由题意易知,AD=2cosθ,∠ABD=60°−θ.在△ABD中，由正弦定理可知ADsin∠ABD∴2cosθsin