专题2.3三角形与多边形有关角的计算与证明大题专练（分层培优30题七下苏科）-2022-2023学年七年级数学下学期复习备考高分秘籍【苏科版】（解析版）

2022-2023学年七年级数学下学期复习备考高分秘籍【苏科版】专题2.3三角形与多边形有关角的计算与证明大题专练（分层培优30题，七下苏科）A卷基础过关卷（限时50分钟，每题10分，满分100分）1．（2022春•涟水县校级月考）如图，贾玲从点A出发，前进5米后向右转20°，再前进5米后又向右转20°，这样一直下去，直到她第一次回到出发点A为止，她所走的路径构成了一个多边形．（1）贾玲一共走了多少米？（2）求这个多边形的内角和．【分析】（1）第一次回到出发点A时，所经过的路线正好构成一个外角是20度的正多边形，求得边数，即可求解；（2）根据多边形的内角和公式即可得到结论．【解答】解：（1）∵所经过的路线正好构成一个外角是20度的正多边形，∴360÷20＝18，18×5＝90（米）．答：贾玲一共走了90米；（2）根据题意，得（18﹣2）×180°＝2880°，答：这个多边形的内角和是2880°．2．（2022春•天宁区校级期中）已知，如图三角形ABC，点D是三角形ABC内一点，连接BD，CD．试探究∠BDC与∠A、∠1、∠2之间的关系并说明理由．【分析】由三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，得到∠BDC＝∠1+∠BED，∠BED＝∠A+∠2，于是可以得到结论．【解答】解：∠BDC＝∠1+∠2+∠A，理由如下：延长CD交AB于E，∵∠BDC＝∠1+∠BED，∠BED＝∠A+∠2，∴∠BDC＝∠1+∠2+∠A．3．（2022春•盱眙县期中）将正六边形与正五边形按如图所示方式摆放，公共顶点为O，且正六边形的边AB与正五边形的边DE在同一条直线上．（1）请求出∠ABO度数；（2）请求出∠BOE的度数．【分析】（1）求出正六边形的内角度数，即可；（2）由三角形内角和定理，即可计算．【解答】解：（1）∵∠ABO是正六边形的一个内角，∴∠ABO＝180°﹣360°÷6＝120°；（2）∵∠OEB是正五边形的一个外角，∴∠OEB＝360°÷5＝72°，∵∠OBE＝180°﹣∠ABO＝60°，∴∠BOE＝180°﹣∠OBE﹣∠OEB＝48°．4．（2022春•相城区校级期中）如图，△ABC中，E是AB上一点，过D作DE∥BC交AB于E点，F是BC上一点，连接DF．若∠AED＝∠1．（1）求证：AB∥DF．（2）若∠1＝52°，DF平分∠CDE，求∠C的度数．【分析】（1）根据DE//BC，得出∠AED＝∠B，又因为∠1＝∠AED，等量代换得∠B＝∠1，最后根据同位角相等，两直线平行即可证明；（2）根据DE//BC，得出∠EDF＝∠1＝52°，再根据DF平分∠CDE，得出∠CDF＝∠EDF＝52°，最后在△CDF中利用三角形内角和等于180°即可求解．【解答】（1）证明：∵DE//BC，∴∠AED＝∠B，又∵∠1＝∠AED，∴∠B＝∠1，∴AB//DF；（2）解：∵DE//BC，∴∠EDF＝∠1＝52°，∵DF平分∠CDE，∴∠CDF＝∠EDF＝52°，在△CDF中，∵∠C+∠1+∠CDF＝180°，∴∠C＝180°﹣∠1﹣∠CDF＝180°﹣52°﹣52°＝76°．答：∠C的度数为76°．5．（2022秋•启东市校级期末）如图，在△ABC中，∠CAE＝18°，∠C＝42°，∠CBD＝27°．（1）求∠AFB的度数；（2）若∠BAF＝2∠ABF，求∠BAF的度数．【分析】（1）利用三角形外角的性质即可得出答案；（2）利用三角形外角的性质得3∠ABF＝93°，从而得出答案．【解答】解：（1）∵∠AEB＝∠C+∠CAE，∠C＝42°，∠CAE＝18°，∴∠AEB＝60°，∵∠CBD＝27°，∴∠BFE＝180°﹣27°﹣60°＝93°，∴∠AFB＝180°﹣∠BFE＝87°；（2）∵∠BAF＝2∠ABF，∠BFE＝93°，∴3∠ABF＝93°，∴∠ABF＝31°，∴∠BAF＝62°．6．（2021春•宜兴市月考）一个多边形的每一个内角都相等，并且每个外角都等于和它相邻的内角的一半．（1）求这个多边形是几边形；（2）求这个多边形的内角和．【分析】（1）设内角为x，根据多边形的内角与外角的关系列出方程，解方程求出x（2）根据多边形的内角和公式计算即可．【解答】解：（1）设多边形的每一个内角为x，则每一个外角为x，由题意得，x+x＝180°，解得，x＝120°，x＝60°，这个多边形的边数为：＝6，答：这个多边形是六边形；（2）由（1）知，该多边形是六边形，∴内角和＝（6﹣2）×180°＝720°，答：这个多边形的内角和为720°．7．（2022春•高淳区校级期中）如图，已知：AD平分∠BAC，点F是AD反向延长线上的一点，EF⊥BC，∠1＝40°，∠C＝65°．求：∠B和∠F的度数．【分析】根据角平分线的定义以及三角形的内角和定理求解即可．【解答】解：∵AD平分∠BAC，∴∠1＝∠DAC，∵∠1＝40°，∴∠DAC＝40°，∵∠C＝65°，∴∠B＝180°﹣∠BAC﹣∠C＝180°﹣80°﹣65°＝35°，∴∠EDF＝∠B+∠1＝35°+40°＝75°，∵EF⊥BC，∴在Rt△EDF中，∠F＝90°﹣∠EDF＝90°﹣75°＝15°．8．（2022春•邗江区期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，连接BD，点E在BC边上，点F在DC边上，且∠1＝∠2．（1）求证：EF∥BD；（2）若DB平分∠ABC，∠A＝130°，∠C＝70°，求∠CFE的度数．【分析】（1）由AD∥BC知∠1＝∠3，结合∠1＝∠2得∠3＝∠2，据此即可得证；（2）由AD∥BC、∠A＝130°知∠ABC＝50°，再根据平分线定义及BD∥EF知∠3＝∠2＝25°，由三角形的内角和定理可得答案．【解答】解：（1）如图，∵AD∥BC（已知），∴∠1＝∠3（两直线平行，内错角相等）．∵∠1＝∠2，∴∠3＝∠2（等量代换）．∴EF∥BD（同位角相等，两直线平行）．（2）解：∵AD∥BC（已知），∴∠ABC+∠A＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．∵∠A＝130°（已知），∴∠ABC＝50°．∵DB平分∠ABC（已知），∴∠3＝∠ABC＝25°．∴∠2＝∠3＝25°．∵在△CFE中，∠CFE+∠2+∠C＝180°（三角形内角和定理），∠C＝70°，∴∠CFE＝85°．9．（2021春•玄武区校级月考）如图，在△ABC中，∠A＝80°，∠C＝60°，F、H是BC上的点，FG⊥AC，HD⊥AC，垂足分别为G、D，在AB上取一点E，使∠BED+∠B＝180°，求四边形BEDH各内角的度数．【分析】根据平行线的判定得出DH∥FG，DE∥BC，根据平行线的性质得出∠CFG＝∠DHC，∠DHC＝∠HDE，即可求出答案．【解答】解：∵∠BED+∠B＝180°，∴CB∥DE，∵∠C＝60°，∴∠ADE＝60°，∵∠A＝80°，∴∠AED＝180°﹣∠A﹣∠ADE＝180°﹣80°﹣60°＝40°，∵HD⊥AC，∴∠HDA＝90°，∴∠HDE＝∠HDA﹣∠ADE＝90°﹣60°＝30°，∵CB∥DE，∴∠DHB＝180°﹣∠HDE＝180°﹣30°＝150°，∵∠DEB是△ADE的外角，∴∠DEB＝∠A+∠ADE＝80°+60°＝140°，∴∠B＝180°﹣∠DEB＝180°﹣140°＝40°．综上，四边形BEDH各内角度数为：∠B＝40°，∠BED＝140°，∠HDE＝30°，∠DHB＝150°．10．（2022春•东海县校级月考）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，连接BD，点E在BC边上，点F在DC边上，且∠1＝∠2．（1）求证：EF∥BD；（2）若DB平分∠ABC，∠A＝130°，求∠2的度数．【分析】（1）由AD∥BC知∠1＝∠3，结合∠1＝∠2得∠3＝∠2，据此即可得证；（2）由AD∥BC、∠A＝130°知∠ABC＝50°，再根据平分线定义及BD∥EF知∠3＝∠2＝25°，由三角形的内角和定理可得答案．【解答】（1）证明：如图，∵AD∥BC（已知），∴∠1＝∠3（两直线平行，内错角相等）．∵∠1＝∠2，∴∠3＝∠2（等量代换）．∴EF∥BD（同位角相等，两直线平行）．（2）解：∵AD∥BC（已知），∴∠ABC+∠A＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．∵∠A＝130°（已知），∴∠ABC＝50°．∵DB平分∠ABC（已知），∴∠3＝∠ABC＝25°．∴∠2＝∠3＝25°．B卷能力提升卷（限时60分钟，每题10分，满分100分）11．（2022春•盱眙县期中）如图，AE平分∠BAC，∠CAE＝∠CEA．（1）AB与CD有怎样的位置关系？为什么？（2）若∠C＝50°，求∠CEA的度数．【分析】（1）根据角平分线的定义得出∠BAE＝∠CAE，求出∠BAE＝∠CEA，再根据平行线的判定定理得出即可；（2）根据三角形内角和定理得出∠CAE+∠CEA＝180°﹣∠C＝130°，再求出答案即可．【解答】解：（1）证明：∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠CAE，∵∠CAE＝∠CEA，∴∠BAE＝∠CEA，∴AB∥CD；（2）∵∠C＝50°，∴∠CAE+∠CEA＝180°﹣∠C＝130°，∵∠CAE＝∠CEA，∴∠CEA＝∠CAE＝×130°＝65°．12．（2022春•吴江区校级期中）如图，已知CD是△ABC的角平分线，∠CDE＝∠DCE．（1）求证：DE∥BC；（2）若CD⊥AB，∠A＝28°，求∠CED的度数．【分析】（1）根据角平分线的定义得到∠BCD＝∠ECD，等量代换得到∠EDC＝∠BCD，根据平行线的判定定理得到DE∥BC；（2）根据垂直的定义得到∠ADC＝90°，根据三角形的内角和定理即可得到结论．【解答】（1）证明：∵CD是△ABC的角平分线，∴∠BCD＝∠ECD，∵∠CDE＝∠DCE，∴∠EDC＝∠BCD，∴DE∥BC；（2）解：∵CD⊥AB，∴∠ADC＝90°，∵∠A＝28°，∴∠ACD＝62°，∴∠EDC＝∠ACD＝62°，∴∠CED＝180°﹣∠EDC﹣∠ECD＝56°．13．（2022春•镇江期末）如图，AD为△ABC的角平分线，点E在AC上，点F在BC上，连接BE交AD于点G，连接EF，∠1＝∠2．（1）求证：∠BEF与∠AGB互补；（2）若∠C＝75°，EF⊥BC，求∠ABC的度数．【分析】（1）先利用角平分线的定义得到∠DAC＝∠1，则∠DAC＝∠2，于是可判断AD∥EF，接着根据平行线的性质∠BEF+∠DGE＝180°，然后利用对顶角相等得到结论；（2）先利用互余计算出∠2＝15°，则∠1＝15°，所以∠BAC＝30°，然后根据三角形内角和定理计算∠ABC的度数．【解答】（1）证明：∵AD为△ABC的角平分线，∴∠DAC＝∠1，又∵∠1＝∠2，∴∠DAC＝∠2，∴AD∥EF，∴∠BEF+∠DGE＝180°又∵∠AGB＝∠DGE，∴∠AGB+∠BEF＝180°，即∠BEF与∠AGB互补；（2）解：∵∠C＝75°，EF⊥BC，∴∠2＝90°﹣75°＝15°，∴∠1＝15°，∴∠BAC＝30°，∴∠ABC＝180°﹣∠BAC﹣∠C＝180°﹣30°﹣75°＝75°．14．（2022春•高邮市期末）如图，点D，E，F，G在△ABC的边上，且BF∥DE，∠1+∠2＝180°．（1）求证：GF∥BC；（2）若BF平分∠ABC，∠2＝138°，求∠AGF的度数．【分析】（1）由平行线的性质得∠2+∠3＝180°，再根据补角性质得∠1＝∠3，便可由平行线的判定得结果；（2）先由平行线的性质求得∠3＝42°，再由平分线的定义求得∠ABC，再由平行线的性质求得结果．【解答】（1）证明：∵BF∥DE，∴∠2+∠3＝180°，∵∠1+∠2＝180°．∴∠1＝∠3，∴GF∥BC；（2）解：∵∠2+∠3＝180°，∠2＝138°，∴∠3＝42°，∵BF平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠3＝84°，∵GF∥BC，∴∠AGF＝∠ABC＝84°．15．（2022春•盱眙县期末）如图，AD、BE分别是△ABC的高和角平分线，∠BAD＝26°，∠C＝30°，求∠AEB的度数．【分析】先利用互余计算出∠ABD＝64°，再根据角平分线的定义得到∠CBE＝32°，然后利用三角形外角性质计算∠AEB的度数．【解答】解：∵AD为高，∴∠ADB＝90°，∴∠ABD＝90°﹣∠BAD＝90°﹣26°＝64°，∵BE为角平分线，∴∠CBE＝∠ABD＝32°，∴∠AEB＝∠C+∠CBE＝30°+32°＝62°．16．（2022秋•海陵区校级月考）如图，在△ABC中，∠ABC＝∠C，BD是∠ABC的平分线，BE是AC边上的高，垂足为E，设∠BAC＝α．（1）探究与发现①如图1，若α＝30°，则∠C的度数为75°°，∠DBE的度数为22.5°°；②试探究∠DBE与α的数量关系，并说明理由．（2）拓展与思考如图2，∠BDC的平分线DF交BC于点F．当DF∥AB时，求∠DBE的度数．【分析】（1）①利用三角形内角和定理以及等腰三角形的性质可得∠ABC＝∠C＝75°，从而利用角平分线的定义可得∠ABD＝37.5°，进而利用三角形外角的性质可得∠BDE＝67.5°，然后根据垂直定义可得∠BED＝90°，从而利用直角三角形的两个锐角互余进行计算即可解答；②利用三角形内角和定理以及等腰三角形的性质可得∠ABC＝∠C＝90°﹣α，再利用角平分线的定义可得∠ABD＝45°﹣α，然后利用三角形外角性质进行计算即可解答；（2）利用（1）的结论可得：∠ABD＝45°﹣α，∠BDC＝45°+α，再利用角平分线的定义可得∠BDF＝22.5°+α，然后利用平行线的性质可得∠ABD＝∠BDF，从而列出关于α的方程，进行计算可得α＝36°，进而可得∠BDC＝72°，最后利用直角三角形的两个锐角互余进行计算即可解答．【解答】解：（1）①∵∠BAC＝30°，∴∠ABC＝∠C＝×（180°﹣30°）＝75°，∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD＝∠ABC＝37.5°，∴∠BDE＝∠A+∠ABD＝67.5°，∵BE⊥AC，∴∠BED＝90°，∴∠DBE＝90°﹣∠BDE＝12.5°，∴∠C的度数为75°，∠DBE的度数为12.5°，故答案为：75°，22.5°；②∠BDC与α的数量关系为：∠BDC＝45°+α，理由：∵∠BAC＝α°，∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣α）＝90°﹣α，∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD＝∠ABC＝45°﹣α，∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝45°+α，∴∠BDC与α的数量关系为：∠BDC＝45°+α；（2）由（1）可得：∠ABD＝45°﹣α，∠BDC＝45°+α，∵DF平分∠BDC，∴∠BDF＝∠BDC＝22.5°+α，∵AB∥DF，∴∠ABD＝∠BDF，∴45°﹣α＝22.5°+α，∴α＝36°，∴∠BDC＝45°+α＝72°，∵BE⊥AC，∴∠BED＝90°，∴∠DBE＝90°﹣∠BDC＝18°，∴∠DBE的度数为18°．17．（2022春•海安市期末）在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，点E是射线AB上的动点（不与点D重合），过点E作EF∥BC交直线CD于点F，∠BEF的角平分线所在的直线与射线CD交于点G．（1）如图1，点E在线段AD上运动．①若∠B＝60°，∠ACB＝30°，则∠EGC＝45°；②若∠A＝80°，求∠EGC的度数；（2）若点E在射线DB上运动时，探究∠EGC与∠A之间的数量关系，请直接写出答案．【分析】（1）①根据平行线的性质，角平分线的定义以及三角形的内角和定理，得出∠EGC＝∠B+∠ACB，代入进行计算即可；②由①的方法得出∠EGC＝∠B+∠ACB，进而得出∠EGC＝（180°﹣∠A），代入计算即可；（2）分类讨论进行解答，画出相应位置的图形，根据（1）中的结论和平角的定义，可得当点E在线段AD上时，有∠EGC＝90°﹣∠A成立；当点E在线段DB上或DB的延长线上时，有∠EGC＝∠A或∠EGC＝90°+∠A．成立．【解答】解：（1）①∵EF∥BC，∴∠B＝∠FEB，∠EFD＝∠BCD，∵CF是∠ACB的平分线，EG是∠FED的平分线，∴∠FEG＝∠DEG＝∠FED＝∠B，∠BCD＝∠ACD＝∠ACB＝∠EFD，又∵∠EGC＝∠FEG+∠EFG，∴∠EGC＝∠B+∠ACB＝×60°+×30°＝45°，故答案为：45；②由①得，∠EGC＝∠B+∠ACB＝（∠B+∠ACB）＝（180°﹣∠A）＝90°﹣∠A＝90°﹣×80°＝50°；（2）当点E在线段DB上时，如图（2），∵EF∥BC，∴∠AEF＝∠B，∠EFG＝∠BCD＝∠ACB，∵GH平分∠BEF，∴∠BEH＝∠HEF，∴∠EGC＝∠HEF﹣∠EFG＝﹣∠ACB＝90°﹣∠AEF﹣∠ACB＝90°﹣（∠ABC+∠ACB）＝90°﹣（180°﹣∠A）＝∠A；当点E在射线DB上时，如图（3）由（1）得，∠EGD＝90°﹣∠A，∴∠EGC＝180°﹣∠EGD＝180°﹣90°+∠A＝90°+∠A；综上所述，∠EGC与∠A之间的数量关系为：∠EGC＝∠A或∠EGC＝90°+∠A．答：若点E在射线DB上运动时，∠EGC与∠A之间的数量关系为：∠EGC＝∠A或∠EGC＝90°+∠A．18．（2022春•玄武区期末）在△ABC中，AF平分∠BAC，CD⊥AF，垂足为F，与AB交于点D．（1）如图①，若∠BAC＝80°，∠B＝40°，则∠BCD的度数为10°；（2）如图②，在△ABC内部作∠ACE＝∠B，求证：∠BCD＝∠DCE．【分析】（1）根据角平分线的性质，垂直的定义可求∠ACD，再根据三角形内角和为180°可求∠ACB，进一步根据角的和差关系求出∠BCD的度数；（2）根据角平分线的性质，垂直的定义可求∠ADC＝∠ACD，再根据等量关系即可求解．【解答】（1）解：∵AF平分∠BAC，∠BAC＝80°，∴∠FAC＝40°，∵CD⊥AF，∴∠AFC＝90°，∴∠ACF＝50°，∵∠B＝40°，∴∠ACB＝180°﹣80°﹣40°＝60°，∴∠BCD＝∠ACB﹣∠ACD＝60°﹣50°＝10°．故答案为：10；（2）证明：∵AF平分∠BAC，∴∠DAF＝∠CAF．∵CD⊥AF，∴∠AFD＝∠AFC＝90°．在△AFD中，∠DAF+∠ADC＝90°，∴在△AFC中，∠CAF+∠ACD＝90°，∴∠ADC＝∠ACD．又∵∠ADC是△BCD的外角，∴∠ADC＝∠B+∠BCD，又∵∠ACD＝∠ACE+∠DCE，∴∠B+∠BCD＝∠ACE+∠DCE．又∵∠ACE＝∠B，∴∠BCD＝∠DCE．19．（2022春•兴化市期中）如图，∠AOB＝n°，C、D两点分别是边OA、OB上的定点，∠ACE＝∠ACD，∠FDO＝∠CDO，射线CE的反向延长线与射线DF相交于点F．（1）若n＝60，∠CDO＝75°，求∠F的度数；（2）若n＝75，则∠F＝50°．（3）随着n的变化，∠AOB与∠F数量关系会发生变化吗？如不变，请求出∠AOB与∠F的数量关系，并说明理由．【分析】（1）首先利用三角形内角和定理求出∠OCD＝45°，接着利用邻补角的定义求出∠ACD＝135°，最后利用已知条件和三角形内角和定理即可求出∠F；（2）利用和（1）的思路即可解决问题；（3）不会发生变化．设∠AOB＝x，∠CDO＝y，首先利用三角形内角和定理得到∠OCD＝180°﹣x﹣y，然后利用邻补角定义得到∠ACD＝x+y，最后利用已知条件和三角形内角和定理即可得到∠F＝x＝∠AOB．【解答】解：（1）在△ODC中，∠AOB+∠CDO+∠OCD＝180°，又∵∠AOB＝60°，∠CDO＝75°，∴∠OCD＝45°，∵∠OCD+∠ACD＝180°，∴∠ACD＝135°，∵∠ACE＝∠ACD，∴∠ECD＝∠ACD＝90°，∵∠ECD+∠FCD＝180°，∴∠FCD＝90°，∵∠FDO＝∠CDO，∴∠CDF＝∠CDO＝50°，∵∠F+∠FCD+∠CDF＝180°，∴∠F＝40°；（2）若n＝75°，则∠F＝50°；∵在△ODC中，∠AOB+∠CDO+∠OCD＝180°，又∵∠AOB＝75°，∠CDO＝x，∴∠OCD＝105°﹣x，∵∠OCD+∠ACD＝180°，∴∠ACD＝75°+x，∵∠ACE＝∠ACD，∴∠ECD＝∠ACD＝（75°+x）＝50°+x，∵∠ECD+∠FCD＝180°，∴∠FCD＝130°﹣x，∵∠FDO＝∠CDO，∴∠CDF＝∠CDO＝x，∵∠F+∠FCD+∠CDF＝180°，∴∠F＝50°；故答案为：50°；（3）不会发生变化．设∠AOB＝x，∠CDO＝y，在△ODC中，∠AOB+∠CDO+∠OCD＝180°，∴∠OCD＝180°﹣x﹣y，∵∠OCD+∠ACD＝180°，∴∠ACD＝x+y，∵∠ACE＝∠ACD，∴∠ECD＝∠ACD＝（x+y），∵∠ECD+∠FCD＝180°，∴∠FCD＝180°﹣（x+y），∵∠FDO＝∠CDO，∴∠CDF＝y，∵∠F+∠FCD+∠CDF＝180°，∴∠F＝x，∴∠F＝∠AOB．20．（2022春•无锡期中）阅读并解决下列问题：（1）如图①，△ABC中，∠A＝60°，∠ABC、∠ACB的平分线交于点D，则∠BDC＝120°．（2）如图②，五边形ABCDE中，AE∥BC，EF平分∠AED，CF平分∠BCD，若∠EDC＝72°，求∠EFC的度数．【分析】（1）首先根据三角形的内角和定理，求出∠ABC、∠ACB的度数和是多少；然后根据∠ABC、∠ACB的平分线交于点D，求出∠DBC、∠DCB的度数和是多少；最后在△BCD中，根据三角形的内角和定理，求出∠BDC的度数是多少即可．（2）首先根据AE∥BC，可得∠A+∠B＝180°，再用五边形的内角和减去180°，求出∠AED、∠EDC、∠BCD的度数和；然后根据∠EDC＝70°，求出∠AED、∠EDC的度数和；最后根据EF平分∠AED，CF平分∠BCD，求出∠FED、∠FCD的度数和；再用四边形CDEF的内角和减去∠FED、∠FCD、∠EDC的度数和，求出∠EFC的度数．【解答】解：（1）∵∠A＝60°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣60°＝120°，∵∠ABC、∠ACB的平分线交于点D，∴∠ABD＝∠DBC，∠DCB＝∠ACD，∴∠DBC+∠DCB＝120°÷2＝60°，∴∠BDC＝180°﹣60°＝120°，故答案为：120°；（2）∵AE∥BC，∴∠A+∠B＝180°，∵五边形ABCDE的内角和是540°，∴∠AED+∠EDC+∠BCD＝540°﹣180°＝360°，∵∠EDC＝72°，∴∠AED+∠BCD＝360°﹣72°＝288°，∵EF平分∠AED，CF平分∠BCD，∴∠FED+∠FCD＝288°÷2＝144°，∴∠EFC＝360°﹣（∠FED+∠FCD+∠EDC）＝360°﹣（144°+72°）＝144°C卷培优压轴卷（限时70分钟，每题10分，满分100分）21．（2022春•洪泽区校级月考）如图①，把△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCED内部点A′的位置，通过计算我们知道：2∠A＝∠1+∠2．请你继续探索：（1）如果把△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCED的外部点A′的位置，如图②，此时∠A与∠1、∠2之间存在什么样的关系？（2）如果把四边形ABCD沿时折叠，使点A、D落在四边形BCFE的内部A′、D′的位置，如图③，你能求出∠A、∠D、∠1与∠2之间的关系吗？（直接写出关系式即可）【分析】（1）连接AA′，根据三角形的外角的性质以及轴对称的性质进行分析；（2）根据平角的定义以及四边形的内角和定理进行探讨即可．【解答】解：（1）连接AA′，∵∠2＝∠A′AE+∠AA′E，∠1＝∠A′AD+∠AA′D，∴∠1﹣∠2＝2∠A；（2）由图形折叠的性质可知∠1＝180°﹣2∠AEF，∠2＝180°﹣2∠DFE，两式相加得，∠1+∠2＝360°﹣2（∠AEF+∠DFE），即∠1+∠2＝360°﹣2（360°﹣∠A﹣∠D），所以，∠1+∠2＝2（∠A+∠D）﹣360°，即：∠A+∠D＝180°+（∠1+∠2）．22．（2022春•滨海县校级月考）已知：如图①，△ABC中，∠BAC，∠B，∠ACB的度数之比为1：3：5，CD平分∠ACB．直角三角形DEF中，∠E＝90°，∠F＝60°，△DEF的边DF在直线AB上，将△DEF绕点D按逆时针方向旋转，记旋转角为∠α，（0°＜∠α＜180°）．完成下列问题：（1）△ABC中，求∠BAC，∠B，∠ACB的度数．（2）△ADC中，∠ADC＝110°．（3）在旋转过程中，如图②，当∠α＝30°时，DE∥BC，当∠α＝120°时，DE⊥BC．（4）如图③，当顶点C在△DEF内部时，边DE，DF分别交BC，AC的延长线于M、N两点．∠1与∠2之间有一种始终保持不变的数量关系，并说明理由．【分析】（1）由三角形内角和定理，即可求解；（2）由角平分线的定义求出∠DCA的度数，由三角形内角和定理，即可计算；（3）由平行线的性质，垂直的定义，即可求解；（4）由三角形的外角的性质推出∠ACB＝∠1+∠2+∠EDF，即可得到结论．【解答】解：（1）∵180°÷（1+3+5）＝20°，∴∠BAC＝20°×1＝20°，∠B＝20°×3＝60°，∠ACB＝20°×5＝100°．（2）∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠ACB＝50°，∴∠ADC＝180°﹣∠ACD﹣∠BAC＝110°，故答案为：110．（3）①如图2当DE∥BC时，∴∠EDA＝∠B＝60°，∵∠E＝90°，∠F＝60°，∴∠EDF＝90°﹣60°＝30°，∴α＝60°﹣30°＝30°，故答案为30．②当DE⊥BC时，∵∠B＝60°，∴∠BDE＝90°﹣60°＝30°，∴∠FDA＝180°﹣∠BDE﹣∠EDF＝180°﹣30°﹣30°＝120°，∴α＝120°．故答案为：120．（4）如图3，∠1与∠2的数量关系是∠1+∠2＝70°，理由如下：∵∠ACB＝∠2+∠CPN，∠CPN＝∠1+∠EDF，∴∠ACB＝∠1+∠2+∠EDF，∴∠1+∠2＝∠ACB﹣∠EDF＝100°﹣30°＝70°，∴∠1与∠2的数量关系是∠1+∠2＝70°．23．（2022春•涟水县校级月考）【认识概念】如图1，在△ABC中，若∠BAD＝∠DAE＝∠EAC，则AD，AE叫做∠BAC的“三分线”．其中，AD是“近AB三分线”，AE是“远AB三分线”．【理解应用】（1）在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝70°，若∠A的三分线AD与∠B的角平分线BE交于点P，则∠APB＝125°或105°；（2）如图2，在△ABC中，BO、CO分别是∠ABC的近AB三分线和∠ACB近AC三分线，若BO⊥CO，求∠A的度数；【拓展应用】（3）如图3，在△ABC中，BO、CO分别是∠ABC的远BC三分线和∠ACB远BC三分线，且∠A＝m°，直线PQ过点O分别交AC、BC于点P、Q，请直接写出∠1﹣∠2的度数（用含m的代数式表示）．【分析】（1）分两种情况：①当AD为近AB三分线时，如图所示，求得，再利用角平分线的定义求得，最后在△ABP中利用三角形的内角和定理即可；②当AD为远AB三分线时，如图所示，然后分别根据三分线和角平分线的定义及三角形的内角和定理即可求解；（2）利用BO、CO分别是∠ABC近AB三分线和∠ACB近AC三分线，求得∠ABC+∠ACB＝135°，然后再利用三角形的内角和定理即可求解；（3）如图2，在△ABC中，利用三角形的内角和定理求∠ABC+∠ACB＝180°﹣m°，再利用BO、CO分别是∠ABC的远BC三分线和∠ACB远BC三分线，求得，进而在△BCO中利用内角和定理求，结合∠1+∠3＝180°，即可求得∠1﹣∠2．【解答】解：（1）分两种情况：当AD为近AB三分线时，如图所示，∠BAC＝60°，∴，∵BE平分∠ABC，∠ABC＝70°，∴，∴∠APB＝180°﹣∠ABP﹣∠BAP＝125°；当AD为远AB三分线时，如图所示，∠BAC＝60°，∴，∵BE平分∠ABC，∠ABC＝70°，∴，∴∠APB＝180°﹣∠ABP﹣∠BAP＝105°，故答案为：125°或105°．（2）如图1，∵BO、CO分别是∠ABC近AB三分线和∠ACB近AC三分线，∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠ACB，∵BO⊥CO，∴∠BOC＝90°，∴，∴∠ABC+∠ACB＝135°，在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∴∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝45°．（3）如图2，在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∠A＝m°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣m°．∵BO、CO分别是∠ABC的远BC三分线和∠ACB远BC三分线，∴，∴，在△BCO中，∠BOC+∠4+∠5＝180°，∴∠BOC＝180°﹣（∠4+∠5）＝＝，∴；∵∠1+∠3＝180°，∴＝．24．（2022春•太仓市校级月考）如图1，在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB．（1）若∠A＝60°，则∠BDC的度数为120°；（2）若∠A＝α，直线MN经过点D．①如图2，若MN∥AB，求∠NDC﹣∠MDB的度数（用含α的代数式表示）；②如图3，若MN绕点D旋转，分别交线段BC，AC于点M，N，试问在旋转过程中∠NDC﹣∠MDB的度数是否会发生改变？若不变，求出∠NDC﹣∠MDB的度数（用含α的代数式表示），若改变，请说明理由；③如图4，继续旋转直线MN，与线段AC交于点N，与CB的延长线交于点M，请直接写出∠NDC与∠MDB的关系（用含阿尔法的代数式表示）．【分析】（1）根据三角形内角和定理得到∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠DCB，再根据角平分线定义得到∠BDC＝180°﹣（∠ABC+∠ACB），再利用三角形内角和定理得∠BDC＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90°+∠A，然后把∠A的度数代入计算．（2）①利用平行线的性质，三角形内角和定理求解即可．②利用三角形的外角的性质即可解决问题．③根据平角的定义，∠NDC+∠BDM＝180°﹣∠BDC即可解决问题．【解答】解：（1）如图1中，∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，∴∠DBC＝∠ABC，∠DCB＝∠ACB，∴∠BDC＝180°﹣（∠DBC+∠DCB）＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90°+∠A，∵∠A＝60°，∴∠BDC＝90°+×60°＝120°；故答案为：120°；（2）①如图2中，∵MN∥AB，∴∠A＝∠DNC，∠ABD＝∠BDM，∴∠NDC﹣∠BDM＝180°﹣∠A﹣∠ACB﹣∠ABC＝180°﹣α﹣（180°﹣α）＝90°﹣α．②结论不变．理由如下：如图3中，∵∠NDC﹣∠BDM＝∠DMC+∠DCM﹣∠BDM＝∠DBM+∠BDM+∠DCM﹣∠BDM＝∠ABC+∠ACB＝（180°﹣α）＝90°﹣α，∴结论成立；③结论：如图4中，∠NDC+∠MDB＝90°﹣α．理由如下：∵∠NDC+∠MDB＝180°﹣∠BDC，∠BDC＝90°+α，∴∠NDC+∠MDB＝90°﹣α．25．（2022春•钟楼区期中）（1）如图1，∠BAD的平分线AE与∠BCD的平分线CE交于点E，∠ABC＝60°，∠ADC＝140°，则∠AEC的大小是100°；（2）如图2，∠BAD的平分线AE与∠BCD的平分线CE交于点E，∠ABC＝α，∠ADC＝β（α＞β），求∠AEC的大小；（用含α，β的代数式表示）（3）如图3，在△ABC中，∠ACB＝α，∠ABC＝β（α＞β），AD是△ABC的角平分线，点E是AD延长线上一点，作EF⊥BC与点F，请问的值是否发生变化？若不变，求出其值；若改变，请说明理由．【分析】（1）延长CD，与AB交于点H，过点E作射线BF，根据三角形的外角定理得∠ABC+∠BCD+∠DAH＝140°，求得∠BCD+∠DAH，再根据角平分线定义求得∠BCE+∠BAE，再根据三角形的外角定理得∠AEC＝∠ABC+∠BAE+∠BCE便可；（2）过点C作射线AG，根据三角形的外角性质得∠BCD＝α+β+∠BAD，再由∠BAD的平分线AE与∠BCD的平分线CE交于点E，得∠BCE＝，根据三角形外角性质得∠BFE＝α+∠BAD，进而得∠AEC＝∠BFE﹣∠BCE＝；（3）由三角形内角和定理得∠BAC＝180°﹣α﹣β，由角平分线定义得∠BAD＝∠CAD＝90°﹣，由三角形外角定理得∠EDF＝∠B+∠BAD＝90°﹣α+β，根据直角三角形两锐角互余定理得∠AEF＝90°﹣∠EDF＝（α﹣β），进而便可求得结果．【解答】解：（1）如图，延长CD，与AB交于点H，过点E作射线BF，∵∠ADC＝∠DAH+∠AHD，∠ADC＝140°，∴∠DAH+∠AHD＝140°，∴∠AHD＝∠ABC+∠BCD，∴∠ABC+∠BCD+∠DAH＝140°，∵∠ABC＝60°，∴∠BCD+∠DAH＝80°，∵∠BAD的平分线AE与∠BCD的平分线CE交于点E，∴∠BCE+∠BAE＝40°，∵∠CEF＝∠CBE+∠BCE，∠AEF＝∠ABE+BAE，∴∠AEC＝∠CEF+∠AEF＝∠BCE+∠CBE+∠ABE+∠AEF＝∠ABC+∠BCE+∠BAE＝60°+40°＝100°，故答案为：100°；（2）过点C作射线AG，如图，∴∠BCD＝∠BCG+∠DCG＝∠B+∠BAC+∠D+∠DAC＝α+β+∠BAD，∵∠BAD的平分线AE与∠BCD的平分线CE交于点E，∴∠BAF＝∠BAD，∠BCE＝∠BCD＝，∵∠BFE＝∠B+∠BAF＝α+∠BAD，∴∠AEC＝∠BFE﹣∠BCE＝α+∠BAD﹣（）＝；（3）的值不变，恒为．理由如下：∵∠ACB＝α，∠ABC＝β，∴∠BAC＝180°﹣α﹣β，∵AD是△ABC的角平分线，∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝90°﹣，∴∠EDF＝∠B+∠BAD＝β+90°﹣＝90°﹣α+β，∵EF⊥BC，∴∠AEF＝90°﹣∠EDF＝（α﹣β），∴＝，故的值不变，恒为．26．（2022春•宿豫区期末）如图，在△ABC中，点D在AB上，过点D作DE∥BC，交AC于点E，DP平分∠ADE，交∠ACB的平分线于点P，CP与DE相交于点G，∠ACF的平分线CQ与DP相交于点Q．（1）若∠A＝50°，∠B＝60°，则∠DPC＝115°，∠Q＝25°；（2）若∠A＝50°，当∠B的度数发生变化时，∠DPC、∠Q的度数是否发生变化？并说明理由；（3）若∠A＝x°，则∠DPC＝（90+x）°，∠Q＝x°（用含x的代数式表示）；（4）若△PCQ中存在一个内角等于另一个内角的三倍，请直接写出所有符合条件的∠A的度数．【分析】（1）先利用内角和求出∠C，再利用角平分线的性质和平行线的性质求出∠PDE和∠PGD，再利用内角和求解；（2）仿照（1）的格式求解；（3）仿照（2）的格式求解；（4）分类讨论求解．【解答】解：（1）∵∠A＝50°，∠B＝60°，∴∠ACB＝70°，∴∠BCP＝∠ACB＝35°，∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B＝60°，∠PGD＝∠PCB＝35°，∵∠PDE＝∠ADE＝30°，∴∠DPC＝180°﹣∠PDE﹣∠PGD＝115°；又∵∠ACQ＝∠ACF，∴∠PCQ＝∠ACQ+∠ACP＝（∠ACF+∠ACB）＝90°，∴∠Q＝∠DPC﹣∠QCP＝25°；故答案为：115°，25°；（2）当∠B的度数发生变化时，∠DPC、∠Q的度数不发生变化；理由：由（1）得：∵∠PDE＝∠ADE＝∠B，∠PGD＝∠BCP＝∠ACB，∴∠DPC＝180°﹣∠PDE﹣∠PGD＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝180°﹣（∠B+∠ACB）＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90°+∠A＝115°；∴∠Q＝∠DPC﹣∠QCP＝25°，（3）由（2）得：∠DPC＝180°﹣∠PDE﹣∠PGD＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝180°﹣（∠B+∠ACB）＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90°+∠A＝90°+x°，∴∠Q＝∠DPC﹣∠QCP＝90°+x°﹣90°＝x°；故答案为：（90+x），x；（4）由（1）得：∠PCQ＝90°，当∠PCQ＝3∠Q＝30°时，∴∠A＝2∠Q＝60°；当∠PCQ＝3∠QPC＝30°时，∠Q＝60°，∴∠A＝2∠Q＝120°；当3∠QPC＝∠Q时，又因为∠QPC+∠Q＝90°，∴∠Q＝67.5°，∴∠A＝2∠Q＝135°；当∠QPC＝3∠Q时，又因为∠QPC+∠Q＝90°，∴∠Q＝22.5°，∴∠A＝2∠Q＝45°；所以所有符合条件的∠A的度数为：60°，120°，135°，45°．27．（2022春•海州区校级期末）如图，已知∠COD＝90°，直线AB与OC交于点B，与OD交于点A，射线OE和射线AF交于点G．（1）若OE平分∠BOA，AF平分∠BAD，∠OBA＝36°，则∠OGA＝18°；（2）若∠GOA＝∠BOA，∠GAD＝BAD，∠OBA＝36°，则∠OGA＝12°；（3）将（2）中“∠OBA＝36°”改为“∠OBA＝β”，其余条件不变，求∠OGA的度数（用含β的代数式表示）；（4）若OE将∠BOA分成∠COE和∠EOD两部分，∠COE：∠EOD＝1：2，AF也将∠BAD分成∠BAF和∠FAD两部分，∠BAF：∠FAD＝1：2，∠ABO＝β（30°＜β＜90°），则∠OGA的度数＝β°（用含β的代数式表示）．【分析】（1）根据三角形外角的性质求出∠BAD，求出∠GOA和∠GAD，根据三角形外角性质即可解答．（2）根据三角形外角的性质求出∠BAD，求出∠GOA和∠GAD，根据三角形外角性质即可解答．（3）根据三角形外角的性质求出∠BAD，求出∠GOA和∠GAD，根据三角形外角性质即可解答．（4）分四种情形，分别求解即可．【解答】解：（1）∵∠BOA＝90°，∠OBA＝36°，∴∠BAD＝∠BOA+∠ABO＝126°，∵AE平分∠BAD，OE平分∠BOA，∠BOA＝90°，∴∠GAD＝∠BAD＝63°，∠EOA＝∠BOA＝45°，∴∠OGA＝∠GAD﹣∠EOA＝63°﹣45°＝18°，故答案为：18°；（2）∵∠BOA＝90°，∠GOA＝36°，∴∠BAD＝∠BOA+∠ABO＝126°，∵∠BOA＝90°，∠GOA＝∠BOA，∠GAD＝∠BAD，∴∠GAD＝42°，∠EOA＝30°，∴∠OGA＝∠GAD﹣∠EOA＝42°﹣30°＝12°，故答案为：12°；（3）∵∠BOA＝90°，∠OBA＝β，∴∠BAD＝∠BOA+∠ABO＝90°+β，∵∠BOA＝90°，∠GOA＝∠BOA，∠GAD＝∠BAD，∴∠GAD＝30°+β，∠EOA＝30°，∴∠OGA＝∠GAD﹣∠EOA＝β；（4）∵∠COD＝90°，∠COE：∠EOD＝1：2，∴∠EOD＝×∠COD＝×90°＝60°，∵∠BAF：∠FAD＝1：2，∠ABO＝β∴∠FAD＝∠BAD＝（∠COD+∠ABO）＝×（90°+β°），∵∠FAD是△AGO的外角，∴∠FAD＝∠EOD+∠OGA，∴∠OGA＝∠FAD﹣∠EOD＝×（90°+β°）﹣60°＝β°．28．（2022春•镇江期末）如图1，在△ABC中，AP平分∠BAC，BP平分∠ABC．（1）若∠C＝40°．①∠P的度数为110°；②如图2，过点P作直线DE∥BC，交边AB、AC于点D、E，则∠APE﹣∠BPD＝70°；（2）若∠C＝α°，小明将（1）中的直线DE绕点P旋转，分别交线段AB，AC于点C，D，如图3，试问在旋转过程中∠APE﹣∠BPD的度数是否会发生改变？若不变，求出∠APE﹣∠BPD的度数（用含α的代数式表示），若改变，请说明理由．【分析】（1）①根据三角形的内角和定理得到∠CAB+∠ABC＝180°﹣∠C＝180°﹣40°＝140°，根据角平分线的定义得到∠BAP＝CAB，∠ABP＝ABC，根据三角形的内角和定理即可得到结论；②根据平行线的性质得到ADE＝∠ABC，∠DPB＝∠PBC，根据角平分线的定义得到∠BAP＝CAB，∠ABP＝ABC，根据三角形外角的性质即可得到结论；（2）∠根据三角形外角的性质和三角形的内角和定理即可得到结论．【解答】解：（1）①∵∠C＝40°，∴∠CAB+∠ABC＝180°﹣∠C＝180°﹣40°＝140°，∵AP平分∠BAC，BP平分∠ABC，∴∠BAP＝CAB，∠ABP＝ABC，∴∠P＝180°﹣（∠CAB+∠ABC）＝180°﹣＝110°，故答案为：110°；②∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠ABC，∠DPB＝∠PBC，∵AP平分∠BAC，BP平分∠ABC，∴∠BAP＝CAB，∠ABP＝ABC，∴∠ADP＝∠DBP+∠DPB＝2∠DPB，∴∠APE﹣∠BPD＝∠BAP+∠ADP﹣∠DPB＝∠BAP+∠ABP＝（∠CAB+∠ABC）＝140°＝70°，故答案为：70；（2）∠APE﹣∠BPD的度数不变，∵∠APE﹣∠BPD＝∠ADP+∠DAP﹣∠BPD＝∠ABP+∠BPD+∠DAP﹣∠BPD＝∠ABC+∠BAC＝（180°﹣α）＝90°﹣α∴∠APE﹣∠BPD的度数不变．29．（2022春•镇江期末）定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的2倍，我们称这两个角互为“开心角”，这个三角形叫做“开心三角形”．例如：在△ABC中，∠A＝70°，∠B＝35°，则∠A与∠B互为“开心角”，△ABC为“开心三角形”．【理解】（1）若△ABC为开心三角形，∠A＝144°，则这个三角形中最小的内角为12°；（2）若△ABC为开心