专题5.27 平面直角坐标系背景下存在性问题（分层练习）（基础练）-2023-2024学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题5.27平面直角坐标系背景下存在性问题（分层练习）（基础练）1．（2021春·广东河源·七年级统考期中）如图，A（a，0），C（b，2），且a，b满足，CB⊥x轴于B．（1）求S△ABC；（2）在y轴上是否存在点P，使得S△ABC＝S△ACP？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．2．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，已知，，其中，满足．

（1）填空：________，________；（2）如果在第三象限内有一点，请用含的式子表示的面积；（3）在（2）条件下，当时，在轴上是否存在点，使，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由．3．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，，轴，且．

（1）求点B的坐标；（2）在y轴上是否存在点P，使以A，B，P三点为顶点的三角形的面积为10？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．4．（2023春·江西南昌·七年级南昌市第二十八中学校联考期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，，其中，满足．（1）填空：______，______；（2）若存在点，点到轴距离______，的面积______．（用含的式子表示）（3）在（2）的条件下，当时，在轴上有一点，使得的面积与的面积相等，求出点的坐标．5．（2023春·广东珠海·七年级珠海市紫荆中学桃园校区校考期中）在下列平面直角坐标系中，点在轴正半轴上，距离原点个单位长度；点在轴正半轴上，距离原点个单位长度；点B坐标．

（1）在平面直角坐标系中分别描出三个点，并顺次连接三个点；（2）求三角形的面积；（3）在轴上是否存在点，使得三角形的面积等于三角形的面积？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由．6．（2023春·广东广州·七年级统考期中）如图1，在平面直角坐标系中，已知点，，，点在第一象限，平行于轴，且．点从点出发，以每秒个单位长度沿轴向下匀速运动；点从点同时出发，以每秒个单位长度的速度沿轴向右匀速运动，当点到达点时停止运动，点也随之停止运动．设运动时间为秒．问：（1）________，________．（2）当时，求三角形的面积．（3）是否存在这样的，使三角形的面积是三角形的面积的倍，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．7．（2022春·黑龙江牡丹江·七年级校考期末）如图在直角坐标系中，已知A（0，a），B（b，0），C（3，c）三点，若a，b，c满足关系式：＝0．（1）求a，b，c的值．（2）求△ABC的面积．（3）是否存在点P（x，2x），使△BCP的面积为△AOB的面积的两倍？若存在，直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．8．（2022春·吉林松原·七年级校考阶段练习）在平面系中，已知点，点的坐标分别是，，且．（1）求，的值；（2）在轴上是否存在点，使得三角形的面积是12？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由．9．（2022春·湖北十堰·七年级统考期末）平面直角坐标系中，已知，，其中，满足：，为最小的正整数．（1）直接写出点、、的坐标；（2）如图1，在轴上是否存在一点，使，若存在，求出点的坐标，若不存在，试说明理由；（3）如图2，为轴正半轴上一点，连接交轴于点，若，求的值．10．（2019春·陕西商洛·七年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，点A（4，0），B（3，4），C（0，2）．（1）求S四边形ABCO；（2）连接AC，求S△ABC；（3）在x轴上是否存在一点P，使S△APB=4，若存在，请直接写出点P坐标．11．（2021秋·广东深圳·八年级坪山中学校考期中）如图，在平面直角坐标系中，点A（4，0），B（3，4），C（0，2）．（1）求S四边形ABCO；（2）连接AC，求S△ABC；（3）在x轴上是否存在一点P，使S△PAB=8？若存在，请求点P坐标．12．（2021春·江西上饶·八年级统考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知A（1，0），C（0，3），若点Q为线段OC上的一动点，问：AQ＋QC是否存在最小值？若存在，求出这个最小值，若不存在，请说明理由．13．（2023春·黑龙江佳木斯·七年级统考期中）如图，三个顶点坐标分别是，，．（1）求的面积；（2）在轴上是否存在一点，使面积等于的面积．若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由．14．（2021春·湖北孝感·七年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，已知三角形三点的坐标分别为，，．（1）求三角形的面积；（2）在轴上存在一点，使三角形的面积等于三角形面积，求点的坐标．15．（2022秋·全国·八年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，已知A（a，0），B（b，0），C（﹣1，2），且．（1）求a，b的值；（2）y轴上是否存在一点M，使△COM的面积是△ABC的面积的一半，求点M的坐标．16．（2018春·江苏宿迁·八年级阶段练习）如图，在长方形中，，点E在边上，以B为坐标原点，所在直线为y轴，所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，．以所在直线为折痕折叠长方形，点D恰好落在边上的F点．（1）求点F的坐标；（2）求点E的坐标；（3）在上是否存在点P，使最小？若存在，作出点P的位置，并求出的最小值；不存在，说明理由．17．（2019春·贵州遵义·七年级统考期末）在平面坐标系中，已知线段，且的坐标分别为，点为线段的中点.（1）线段与轴的位置关系是（2）求点的坐标．（3）在轴上是否存在点，使得三角形面积为3.若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.18．（2019春·湖南·七年级阶段练习）在平面直角坐标系中，，点为轴上一动点，.（1）求点的坐标；（2）不论点运动到直线上的任何位置（不包括点），三者之间是否都存在某种固定的数量关系，如果有，请利用所学知识找出并证明，如果没有，请说明理由.参考答案：1．（1）4；（2）存在，或【分析】（1）先根据非负数的性质求出a、b的值，得出A、C两点坐标后根据三角形面积公式即可求解．（2）先进行分类讨论：设，当P在y轴正半轴上时，过P作轴，轴，利用可得到关于t的方程，解方程即可求解；当P在y轴负半轴上时，同理可得．解：（1）∵，∴，∴，，∴∵CB⊥x轴于B∴，∴，∴故面积为4（2）①当P在y轴正半轴上时，如图1，设过P作轴，轴∴，，∴，，，∵，∴∴解得：，②当P在y轴负半轴上时，如图2，设∴M（2，-t），N（-2，-t）由①同理可得：，∴∴，解得：，∴综上所述或．【点拨】本题考查了非负数的性质、坐标与图形的性质以及三角形、梯形的面积公式，正确作出辅助线是解题的关键．2．（1），；（2）；（3）存在，使【分析】（1）根据绝对值和平方的非负性，即可得出答案；（2）过点M作轴于点N，为三角形的高，根据三角形面积公式即可得出答案；（3）结合（2）求出三角形的面积为，可得，即可确定点P的坐标．（1）解：∵，，，∴，，∴，．故答案为：，3；（2）解：如图，过点M作轴于点N，

∵点在第三象限，∴，∴由（1）得∵，∴三角形的面积；（3）解：存在，由（2）得：三角形的面积，，，假设存在，使，

，即，

，，

∴存在

使．【点拨】本题主要考查了非负数的性质、坐标与图形以及求三角形面积等知识，熟练运用分情况讨论的思想分析问题，采用割补法求三角形面积是解题关键．3．（1）或；（2）或【分析】（1）根据题中条件求解即可；（2）设点P到的距离是h，根据面积求出h，即可求出．（1）解：∵，轴，且，∴或；（2）解：设点P到的距离是h，∵，要使以A，B，P三点为顶点的三角形的面积为10，∴，∴，当点P在y轴正半轴时，点P的坐标为，当点P在y轴负半轴时，点P的坐标为；【点拨】本题考查了坐标与图形，涉及到求点的坐标等，正确理解题意是关键．4．（1），；（2），；（3）符合条件的点坐标是或【分析】（1）利用非负数的性质即可求解；（2）根据坐标系中点的特点即可解决点到轴距离，再根据三角形面积公式列式求解；（3）设出点坐标，利用坐标系中点的特点以及两个三角形面积相等，建立方程求解即可．解：（1），，，，；故答案为：，；（2）点，点到轴距离，到轴距离，如图所示，过作轴于，，，，，，在第三象限内有一点，，；故答案为：，（3）设，当时，，，∵的面积等于的面积，，解得，符合条件的点坐标是或．【点拨】本题考查平面直角坐标系的问题，掌握坐标在平面直角坐标系中到坐标轴的距离是解题的关键，学会方程的思想解题会更方便．5．（1）点的位置见详解图示；（2）；（3）存在，点的坐标为或【分析】（1）根据坐标系的特点，点的位置，距离的概念即可求解；（2）运用“割补法”即可求解；（3）设，用含的式子表示三角形的面积，根据题意列方程即可求解．（1）解：∵点在轴正半轴上，距离原点个单位长度；点在轴正半轴上，距离原点个单位长度，∴，，如图所示，

∴即可所求图形．（2）解：如图所示，

，，，∴，∴三角形的面积为．（3）解：存在，存在，点的坐标为或，理由如下，如图所示，根据题意设，

∴，点，即点到线段的距离为，由（2）可知，∴，∴，，∴点的坐标为或．【点拨】本题主要考查平面直角坐标系与几何图形的综合，掌握平面直角坐标系的特点，几何图形面积的计算方法是解题的关键．6．（1）；（2）当时，三角形的面积为；（3）当或时，三角形的面积是三角形的面积的倍【分析】（1）根据，平行于轴，且，即可求解；（2）分别求出点的坐标，根据（1）求出点的坐标，最后根据三角形的面积即可求解；（3）根据题意，分类讨论，当时，，；当时，，；结合图形即可求解．（1）解：∵，平行于轴，且，点在第一象限，∴，则，故答案为：．（2）解：点的速度是每秒个单位长度，点的速度是每秒个单位长度，∵，，∴，点到达点所用的时间是，当时，点，点，如图所示，点，∴，，∴，∴当时，三角形的面积为．（3）解：设运动时间为秒，∴当时，，，∴，，∴，解得，，符合题意；当时，，，∴，，∴，解得，，符合题意；综上所述，当或时，三角形的面积是三角形的面积的倍．【点拨】本题主要考查平面直角坐标系中动点的变换与三角形面积的综合，掌握动点的运算，点坐标的表示，三角形面积的计算是解题的关键．7．（1）a，b，c的值分别为2，3，4；（2）△ABC的面积为6；（3）存在，点P的坐标为（0，0），（6，12）【分析】（1）根据“几个非负数相加和为0，则每一个非负数的值均为0”解出a,b,c的值；（2）由点A、B、C的坐标可得△ABC的面积；（3）设存在点P（x，2x），使△BCP的面积为△AOB的面积的两倍，根据面积列出方程，解方程即可．（1）解：∵，∴，∴，（2）∵A（0，2），B（3，0），C（3，4）；∴（3）设存在点P（x，2x），使△BCP的面积为△AOB的面积的两倍，∵，∴，，即，解得或，∴P的坐标为（0,0），（6,12）．【点拨】本题考查了坐标与图形，非负数的性质，三角形的面积，数形结合是解题的关键．8．（1）a=-4，b=2；（2）（0，4）或（0，-4）【分析】（1）根据绝对值的非负性和算术平方根的非负性即可得到答案；（2）由（1）得到点A、B的坐标，根据△ABC的面积求解即可．（1）解：∵，，∴∴a+4=0，b-2=0，∴a=-4，b=2；（2）解：由（1）得点A的坐标为（-4，0），点B的坐标为（2，0），∴AB=6，∵△ABC的面积为12，点C在y轴上，∴，∴，∴点C的坐标为（0，4）或（0，-4）．【点拨】本题主要考查了坐标与图形，三角形面积，非负数的性质，正确求出a、b的值是解题的关键．9．（1），B（－2，0），C（1，－2）；（2）存在，或；（3）【分析】（1）（1）根据非负数的性质求出a，b，再根据最小的正整数求出c，即可求出答案；（2）设出点P坐标，利用，建立方程求解，即可求出答案；（3）连接，，设交y轴于点F，过C作CH⊥轴于H，根据，可得，再由，可得，然后根据，可求出DF，即可求解．（1）解：∵，∴，解得∶，∵为最小的正整数．∴c=1，∴，B（-2，0），C（1，-2）；（2）解：设P（0，y），∵∴，解得：，∴或；（3）解：连接，，设交y轴于点F，过C作CH⊥轴于H，∵，，∴OB=2，HC=2，∴，∴，解得，∴，∵，AB=4-（-2）=6，∴，∴∴∴，即，∴．【点拨】本题主要考查了坐标与图形的性质，三角形的面积，绝对值和平方的非负性，利用数形结合思想解答是解题的关键．10．（1）11；（2）7；（3）点P的坐标为（6，0）或（2，0）．【分析】（1）过点B作BD作BD⊥OA与点D，把四边形分割为直角梯形和直角三角形，即可解答；（2）△ABC的面积=四边形ABCO的面积-△AOC的面积；（3）存在，设点P（x，0），则PA=|x-4|，根据S△PAB=4，所以×|x−4|×4=4，即可解答．（1）解：如图1，过点B作BD作BD⊥OA与点D，∵点A（4，0），B（3，4），C（0，2）∴OC=2；，OD=3，BD=4，AD=4-3=1，∴S四边形ABCO=S梯形CODB+S△ABD=×（2+4）×3+×1×4=9+2=11；（2）解：如图2，连接AC，S△ABC=S四边形ABCO-S△AOC=11-×4×2=11-4=7；（3）解：存在，设点P（x，0），则PA=|x-4|，∵S△PAB=4，∴×|x−4|×4=4，∴|x-4|=2，解得：x=6或x=2，∴点P的坐标为（6，0）或（2，0）．【点拨】本题考查了坐标与图形的性质，解决本题的关键是通过作辅助线，把四边形分割为直角梯形和直角三角形．11．（1）11；（2）7；（3）存在，（0，0）或（8，0）．【分析】（1）如图1，过点B作BD⊥OA于点D，根据S四边形ABCO=S梯形CODB＋S△ABD，利用面积公式求解即可；（2）根据S△ABC＝S四边形ABCO-S△AOC，利用面积公式求解即可；（3）设P（m，0），构建方程求出m即可．解：（1）如图1，过点B作BD⊥OA于点D，∵点A（4，0），B（3，4），C（0，2），∴OC=2，OD=3，BD=4，AD=4-3=1，∴S四边形ABCO=S梯形CODB＋S△ABD=＋=9＋2=11；（2）如图2，连接AC，S△ABC＝S四边形ABCO-S△AOC=11-=11-4=7；（3）设P（m，0），则有×|m-4|×4=8，∴m=0或8，∴P（0，0）或（8，0）．【点拨】本题考查了三角形的面积，坐标与图形的性质等知识，解题的关键是学会利用分割法求四边形面积，学会利用参数构建方程解决问题．12．存在，AQ＋QC的最小值为＋．【分析】过点C作与y轴夹角为30°的直线CB，过点A作AM⊥CB，垂足为M，则MQ=CQ，AQ+QC最小值＝AQ+MQ＝AM，即可求解．解：AQ＋QC存在最小值．在y轴左侧作∠OCB＝30°，过Q作QM⊥BC于M，∴MQ＝QC，当A，Q，M共线时，AQ＋QC存在最小值，最小值就是线段AM的长．设OB＝x，则BC＝2x，由勾股定理，得x2＋32＝（2x）2，解得x＝．∴AB＝＋1。∵∠OCB＝30°，∴∠OBC＝60°，∴∠BAM＝30°。由勾股定理，得AM＝AB＝（＋1）＝＋，即AQ＋QC的最小值为＋．【点拨】本题考查的是勾股定理以及线段和的最小值问题,将两条线段的关系转移到同一直线上,是解题的关键．13．（1）；（2）存在，P（，0）或P（，0）．【分析】（1）根据坐标，判定BC⊥x轴，BC=1，A到BC的距离为3，根据面积公式计算即可；（2）分点P在点A的左边和右边两种情形求解．解：（1）∵B（2，2），C（2，1），A（-1，0），∴BC⊥x轴，BC=2-1=1，A到BC的距离为2-（-1）=3，∴==；（2）存在，理由如下，当点P在点A的右边时，设点P（x，0），∵∵B（2，2），C（2，1），A（-1，0），∴BC⊥x轴，PA=x+1，∴==，∴=，解得x=；∴P（，0）．当点P在点A的左边时，设点P（x，0），∵∵B（2，2），C（2，1），A（-1，0），∴BC⊥x轴，PA=-1-x，∴==，∴=，解得x=；∴P（，0）．故P（，0）或P（，0）．【点拨】本题考查了坐标与图形，两点间的距离，分类思想，熟练掌握坐标的特点，灵活运用分类思想计算是解题的关键．14．（1）的面积为5；（2）或【分析】（1）根据割补法可直接进行求解；（2）由（1）可得，进而△的面积以点B的纵坐标为高，ON为底，然后可得ON=5，最后问题可求解．解：（1）由图像可得：；（2）设点，由题意得：，∴△的面积以点B的纵坐标为高，ON为底，即，∴，∴或．【点拨】本题主要考查图形与坐标，熟练掌握点的坐标表示的几何意义及割补法是解题的关键．15．（1）a=－2，b=3；（2）M（0，－5）或M（0，5）【分析】（1）根据非负数的性质列出关于a、b的二元一次方程组，然后解方程组即可；（2）过点C作CT⊥x轴，CS⊥y轴，垂足分别为T、S，根据点A、B的坐标求出AB，再根据点C的坐标求出CT、CS，然后根据三角形的面积求出OM，再写出点M的坐标即可．解：（1）∵，又∵|2a＋b＋1|≥0，（a＋2b−4）2≥0，∴|2a＋b＋1|＝0且（a＋2b−4）2＝0，∴，解得，即a＝−2，b＝3；（2）过点C作CT⊥x轴，CS⊥y轴，垂足分别为T、S．∵A（−2，0），B（3，0），∴AB＝5，∵C（−1，2），∴CT＝2，CS＝1，∵△ABC的面积＝AB•CT＝5，∴要使△COM的面积＝△ABC的面积，则△COM的面积＝，即OM•CS＝，∴OM＝5，所以M的坐标为（0，5）或（0，-5）．【点拨】本题考查了坐标与图形性质，三角形的面积，解二元一次方程组，解题的关键是：（1）熟练掌握非负数的性质列出方程组，（2）列方程求出OM的长．16．（1）；（2）；（3）连与交于P，则点P就是所求作的点；【分析】（1）根据折叠的性质，可得在中，根据勾股定理求得的长，即可求出点的坐标．（2）设则在中，根据勾股定理，列出方程，求出的值，即可求出点的坐标．（3）点关于的对称点是点，连结与交于P，则点P就是所求作的点；根据勾股定理求出得长度即可．（1）解：长方形ABCD中，根据折叠的性质，可得在中，点的坐标为：（2）解：设则