专题2.16乘法公式与几何背景大题培优专练（60题 ）-2023-2024学年八年级数学上学期复习备考高分秘籍【人教版】（解析版）

2023-2024学年八年级数学上学期复习备考高分秘籍【人教版】专题2.16乘法公式与几何背景大题培优专练（60题）班级：_____________姓名：_____________得分：_____________一．解答题（共60小题）1．（2022秋•浏阳市期末）完全平方公式经过适当的变形，可以解决很多数学问题．例如：若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值．解：∵a+b＝3，ab＝1，∴（a+b）2＝9，2ab＝2．∴a2+b2+2ab＝9，∴a2+b2＝7．根据上面的解题思路与方法解决下列问题：（1）若（9﹣x）（x﹣6）＝1，求（9﹣x）2+（6﹣x）2的值（2）如图，C是线段AB上的一点，分别以AC，BC为边向两边作正方形，设AB＝6，两正方形的面积和为20，求△AFC的面积．【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据完全平方公式的适当变形即可解答；（2）设AC＝a，BC＝CF＝b，根据题目表示出面积与长度，进而利用完全平方公式变形可解答．【解答】解：（1）∵（9﹣x）（x﹣6）＝1，（9﹣x）+（x﹣6）＝3∴[（9﹣x）+（x﹣6）]2＝9，2（9﹣x）（x﹣6）＝2，∴（9﹣x）2+（x﹣6）2+2（9﹣x）（x﹣6）＝（9﹣x）2+（6﹣x）2+2（9﹣x）（x﹣6）＝9，∴（9﹣x）2+（6﹣x）2＝9﹣2＝7；（2）设AC＝a，BC＝CF＝b，∴a+b＝6，a2+b2＝20，∴（a+b）2＝36，∴a2+b2+2ab＝36，∴ab＝8，∴S△ACF=12ab=12【点评】本题考查了完全平方公式的变形，根据已知条件表示出完全公式中的项是解题的关键．2．（2022秋•花都区期末）对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．（1）如图1所示的大正方形，是由两个正方形和两个形状大小完全相同的长方形拼成的．用两种不同的方法计算图中阴影部分的面积，可以得到的数学等式是a2+b2＝（a+b）2﹣2ab；（2）如图2所示的大正方形，是由四个三边长分别为a、b、c的全等的直角三角形（a、b为直角边）和一个正方形拼成，试通过两种不同的方法计算中间正方形的面积，并探究a、b、c之间满足怎样的等量关系；（3）利用（1）（2）的结论，如果直角三角形两直角边满足a+b＝17，ab＝60，求斜边c的值．【答案】（1）a2+b2＝（a+b）2﹣2ab；（2）c2＝a2+b2；（3）13．【分析】（1）阴影部分是两个正方形的面积和，阴影部分也可以看出大正方形的面积减去两个长方形的面积即可得出答案；（2）中间的是边长为c的正方形，因此面积为c2，也可以从边长为（a+b）正方形面积减去四个直角三角形的面积即可；（3）利用（2）中的结论，代入计算即可．【解答】解（1）方法一：阴影部分是两个正方形的面积和，即a2+b2；方法二：阴影部分也可以看作边长为（a+b）的面积，减去两个长为a，宽为b的长方形面积，即（a+b）2﹣2ab，由两种方法看出a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，故答案为：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab；（2）中间正方形的边长为c，因此面积为c2，也可以看作从边长为（a+b）的面积减去四个两条直角边分别a、b的面积，即c2＝（a+b）2﹣2ab，也就是c2＝a2+b2，所以c2＝a2+b2；（3）∵a+b＝17，ab＝60，∴c2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝172﹣2×60＝169，∴c＝13，答：斜边的长为13．【点评】本题考查平方差公式的几何背景，掌握平方差公式的结构特征是正确应用的前提，将公式进行适当的变形是解决问题的关键．3．（2023春•靖江市期末）完全平方公式经过适当的变形，可以解决很多数学问题．例如：若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值．解：∵a+b＝3，ab＝1，∴（a+b）2＝9，2ab＝2．∴a2+b2+2ab＝9，∴a2+b2＝7．根据上面的解题思路与方法解决下列问题：（1）若m+n＝3，mn＝1，则（m﹣n）2＝5；（2）如图，C是线段AB上的一点，分别以AC，BC为边向两侧作正方形BCFG与正方形ACDE，设AB＝6，两正方形的面积和为20，求△AFC的面积．【答案】（1）5，（2）4．【分析】（1）先求出m2+n2，再求（m﹣n）2即可；（2）设正方形BCFG与正方形ACDE的边长分别为m，n，将AB＝6，两正方形的面积和为20，求△AFC的面积都转化为m，n的表达式，再求解即可，【解答】解：（1）∵m+n＝3，mn＝1，∴（m+n）2＝9，2mn＝2．∴m2+n2+2mn＝9，∴m2+n2＝7，∴（m﹣n）2＝m2+n2﹣2mn＝7﹣2＝5；故答案为：5．（2）设正方形BCFG与正方形ACDE的边长分别为m，n，∵AB＝6，∴m+n＝6，∵两正方形的面积和为20，∴m2+n2＝20，∵（m+n）2＝36，∴m2+n2+2mn＝36，∴20+2mn＝36，∴mn＝8，∴△AFC的面积=12mn=12【点评】本题主要考查了学生的模仿能力和转化能力．4．（2023春•临泉县期末）有一张边长为a厘米的正方形桌面，因为实际需要，需将正方形边长增加b厘米，木工师傅设计了如图所示的三种方案：善于观察思考的小明发现：利用图形面积关系这三种方案都能验证公式：a2+2ab+b2＝（a+b）2．对于方案一，小明是这样验证的：因为大正方形的面积可以看成：a2+ab+ab+b2＝a2+2ab+b2，又可以看成（a+b）2，所以a2+2ab+b2＝（a+b）2．解答下列问题：（1）公式验证：请根据方案二、方案三，分别写出公式的验证过程．方案二：a2+2ab+b2（a+b）2；方案三：a2+2ab+b2（a+b）2；（2）公式应用，已知实数a，b均为正数，且a﹣b＝2，ab＝3，求a+b的值．【答案】（1）a2+2ab+b2（a+b）2，a2+2ab+b2（a+b）2；（2）4．【分析】（1）方案二根据“大正方形的面积＝一个小正方形的面积+两个矩形的面积”即可得出答案；方案三根据“大正方形的面积＝一个小正方形面积+两个直角梯形的面积”即可得出答案；（2）先将a﹣b＝2的两边平方从而求出a2+b2＝10，然后在计算（a+b）2即可得出答案．【解答】解：（1）方案二：∵大正方形是由一个小正方形面积和两个矩形组成，∴大正方形的面积为：a2+ab+b（a+b）＝a2+2ab+b2，又∵大正方形的边长为（a+b），∴大正方形的面积为：（a+b）2，∴a2+2ab+b2＝（a+b）2方案三：∵大正方形是由一个小正方形面积和两个直角梯形组成，∴大正方形的面积为：a2+2×12（a+a+b）•b＝a2+2ab+b又∵大正方形的边长为（a+b），∴大正方形的面积为：（a+b）2，∴a2+2ab+b2＝（a+b）2．故答案为：a2+2ab+b2＝（a+b）2；a2+2ab+b2（a+b）2．（2）∵a﹣b＝2，ab＝3，∴（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，∴4＝a2+b2﹣2×3，∴a2+b2＝10，∴（a+b）2＝a2+2ab+b2＝10+2×3＝16，∵a，b均为正数，∴a+b＝4．【点评】此题主要考查了几何背景下的乘法公式，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握图形的面积计算公式和乘法公式的结构特征．5．（2023春•吴兴区校级期末）如图为某社区的一块方形空地，由四块长为a，宽为b的长方形空地与一块小正方形水池拼接而成，为创建生态社区、小明为空地设计了甲、乙两种绿化方案，其中阴影部分都用于绿化，已知S甲、S乙分别表示图甲、乙中绿化的面积．（1）S甲＝2ab，S乙＝2ab﹣b2（用a，b的代数式表示）；（2）当S甲-S【答案】（1）2ab；2ab﹣b2；（2）S甲【分析】（1）S甲为四个直角三角形的面积和；S乙为大正方形的面积减四个小直角三角形的面积减小正方形的面积；（2）根据已知以及（1）的结论求得b=a2，代入【解答】解：（1）S甲S乙＝a2+2ab+b2﹣ab﹣ab﹣b2﹣a2+2ab﹣b2＝2ab﹣b2，故答案为：2ab；2ab﹣b2；（2）解：∵S甲∴2ab-(2ab-b解得b=a∴S甲【点评】本题考查了整式运算的应用，分式的约分化简，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．6．（2023春•诸暨市期末）阅读理解以下材料内容：完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2适当的变形，可以解决很多的数学问题．例：若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值．解：∵a+b＝3，ab＝1，∴（a+b）2＝9，2ab＝2．∴（a+b）2＝a2+2ab+b2．∴a2+b2＝7．根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：（1）若x+y＝4，x2+y2＝10，求xy的值；应用以上知识进行思维拓展；（2）如图，点C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，若AB＝6，两正方形的面积和S1+S2＝18，求图中阴影部分面积．【答案】（1）3；（2）9【分析】（1）先求（x+y）2的值，再求xy的值；（2）先设AC＝x，BC＝y，再将已知及所求都用x，y表示后进行求解．【解答】解：（1）∵x+y＝4，∴（x+y）2＝16，∴x2+y2+2xy＝16∵x2+y2＝10，∴xy＝（16﹣10）÷2＝3；（2）设AC＝x，BC＝y，∵AB＝6，∴x+y＝6，∵两正方形的面积和S1+S2＝18，∴x2+y2＝18，∴阴影部分面积=12xy=12[（x+y）2﹣（x2+y2）]=12[6【点评】本题考查学生对完全平方公式的熟练计算，以及转化求解的能力．7．（2023春•淮安区校级期末）如图，将边长为（a+b）的正方形剪出两个边长分别为a，b的正方形（阴影部分）．观察图形，解答下列问题：（1）根据题意，用两种不同的方法表示阴影部分的面积，即用两个不同的代数式表示阴影部分的面积．方法1：a2+b2，方法2：（a+b）2﹣2ab；（2）从中你得到什么等式？a2+b2＝（a+b）2﹣2ab；（3）运用你发现的结论，解决下列问题：①已知x+y＝6，12xy=3，求x2+y②已知（2019﹣x）2+（x﹣2022）2＝49，求（2019﹣x）（x﹣2022）的值．【答案】（1）a2+b2，（a+b）2﹣2ab；（2）a2+b2＝（a+b）2﹣2ab；（3）①24；②﹣20．【分析】（1）方法1可采用两个正方形的面积和，方法2可以用大正方形的面积减去两个长方形的面积；（2）由（1）中两种方法表示的面积是相等的，从而得出结论；（3）①由（2）的结论，代入计算即可；②设a＝2019﹣x，b＝x﹣2022，则a2+b2＝49，a+b＝﹣3，然后利用(2019-x)(x-2022)=ab=(a+b)2【解答】解：（1）方法1，阴影部分的面积是两个正方形的面积和，即a2+b2，方法2，从边长为（a+b）的大正方形面积减去两个长为a，宽为b的长方形面积，即（a+b）2﹣2ab，故答案为：a2+b2，（a+b）2﹣2ab；（2）在（1）两种方法表示面积相等可得，a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，故答案为：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab；（3）①∵12∴xy＝6，又∵x+y＝6，∴x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝62﹣2×6＝36﹣12＝24；②设a＝2019﹣x，b＝x﹣2022，则a2+b2＝49，a+b＝﹣3，∴(2019-x)(x-2022)=ab==(-3)＝﹣20，答：（2019﹣x）（x﹣2022）的值为﹣20．【点评】本题考查完全平方公式的几何背景，解题的关键是掌握完全平方公式的结构特征是正确应用的前提，用不同方法表示同一部分的面积是得出关系式的关键．8．（2023春•安乡县期末）通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积可以得到一个恒等式图将一个边长为a+b的正方形图形分割成四部分（两个正方形和两个长方形），请观察图形，解答下列问题：（1）根据图中条件，用两种方法表示该图形的总面积，可得如下公式：（a+b）2＝a2+2ab+b2；（2）如果图中的a、b（a＞b＞0）满足a2+b2＝70，ab＝15，求a+b的值；（3）已知（x+9）2+（x﹣1）2＝124，求（x+9）（x﹣1）．【答案】（1）（a+b）2＝a2+2ab+b2；（2）10；（3）12．【分析】（1）依据该图形的总面积为（a+b）2或a2+2ab+b2可得结果；（2）由（1）题结果可得（a+b）2＝a2+2ab+b2，将a2+b2＝70，ab＝15可求得（a+b）2即a+b的值；（3）设x+9＝a，x﹣1＝b，则a﹣b＝（x+9）﹣（x﹣1）＝10，依据（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab代入计算可求得ab＝12即可求出（x+9）（x﹣1）．【解答】解：（1）该图形的总面积为：（a+b）2或a2+2ab+b2故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2；（2）由（1）题结果可得（a+b）2＝a2+2ab+b2，∴当a2+b2＝70，ab＝15时，（a+b）2＝70+2×15＝100，∴a+b=100（3）设x+9＝a，x﹣1＝b，∴a﹣b＝（x+9）﹣（x﹣1）＝10，则（x+9）2+（x﹣1）2＝a2+b2，∵（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab，a﹣b＝10，a2+b2＝124，∴100＝124﹣2ab，∴ab＝12，∴（x+9）（x﹣1）＝12．【点评】本题考查了完全平方公式的证明及应用；解题的关键是熟练掌握完全平方公式．9．（2022秋•邻水县期末）某市有一块长为（3a+b）m，宽为（2a+b）m的长方形空地，规划部门计划这块地在中间留出一块边长为（a+b）m的正方形地来修建雕像，剩余部分进行绿化．（1）绿化部分的面积是多少平方米（用含a，b的式子表示）？（2）若a，b满足（x+1）（x+3）＝x2+ax+b，求绿化部分的面积．【答案】（1）5a2+3ab；（2）116．【分析】（1）根据绿化面积与长方形空地总面积以及雕像面积之间的关系列式计算即可；（2）将左边根据完全平方公式展开后，可得a、b的值，再代入计算即可．【解答】解：（1）由绿化面积＝长方形空地总面积﹣雕像面积可得：（3a+b）（2a+b）﹣（a+b）2＝6a2+3ab+2ab+b2﹣（a2+2ab+b2）＝6a2+5ab+b2﹣a2﹣2ab﹣b2＝5a2+3ab，答：绿化部分的面积是（5a2+3ab）m2；（2）由于（x+1）（x+3）＝x2+ax+b，即x2+4x+3＝x2+ax+b，所以a＝4，b＝3，所以5a2+3ab＝5×42+3×4×3＝116．答：绿化部分的面积是116m2．【点评】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的前提．10．（2022秋•沙坪坝区期末）“筑牢民生之基，增强百姓幸福感”，沙坪坝区如火如荼地进行着社区环境的改善，提升老百姓的生活品质．如图，某小区内有一块长为（3a﹣b）米，宽为（2a+b）米的长方形地块，小区计划在中间留一块边长为（a+b）米的正方形地块修建一座假山，然后将剩余阴影部分进行绿化．（1）求绿化部分的面积（用含a，b的代数式表示）；（2）当a＝3，b＝1时，求绿化部分的面积．【答案】（1）（5a2﹣ab﹣2b2）平方米；（2）40平方米．【分析】（1）绿化面积＝矩形面积﹣正方形面积，利用多项式乘多项式法则，及完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果；（2）将a与b的值代入计算即可求出值．【解答】解：（1）依题意得：（3a﹣b）（2a+b）﹣（a+b）2＝6a2+3ab﹣2ab﹣b2﹣a2﹣2ab﹣b2＝（5a2﹣ab﹣2b2）平方米．答：绿化面积是（5a2﹣ab﹣2b2）平方米；（2）当a＝3，b＝1时，5a2﹣ab﹣2b2＝5×32﹣3×1﹣2×12＝45﹣3﹣2＝40（平方米）．答：绿化面积是40平方米．【点评】此题考查了多项式乘多项式，以及整式的混合运算﹣化简求值，弄清题意列出相应的式子是解本题的关键．11．（2023春•清远期末）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2经过适当的变形，可以解决很多数学问题，例如：若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值．解：∵a+b＝3，ab＝1，∴（a+b）2＝9，2ab＝2，∴a2+b2+2ab＝9，∴a2+b2＝7．根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：（1）①若x+y＝8，x2+y2＝34，则xy＝15；②若2a﹣b＝3，ab＝2，则2a+b＝±5．（2）如图，C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，两个正方形的边长分别是m和n，且AB＝8，如果这两个正方形的面积和S1+S2＝20，求△AFC的面积．【答案】（1）①15；②±5；（2）11．【分析】（1）①根据完全平方公式得出（x+y）2﹣2xy＝x2+y2，整体代入求值即可；②将（2a+b）2利用完全平方公式转化为（2a﹣b）2+8ab，再整体代入求出（2a+b）2，最后求出2a+b的值；（2）设AC＝m，CF＝n，可得m+n＝8，m2+n2＝44，求出12mn【解答】解：（1）①∵（x+y）2﹣2xy＝x2+y2，x+y＝8，x2+y2＝34，∴82﹣2xy＝34．∴xy＝15．故答案为：15．②∵（2a+b）2＝（2a﹣b）2+8ab，2a﹣b＝3，ab＝2，∴（2a+b）2＝32+8×2＝25．∴2a+b＝±5．故答案为：±5．（2）设AC＝m，CF＝n，∵AB＝8，∴m+n＝8．又∵S1+S2＝20，∴m2+n2＝20．由完全平方公式可得，（m+n）2＝m2+2mn+n2，∴82＝20+2mn．∴mn＝22．∴S△AFC=12mn＝答：△AFC的面积为11．【点评】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确应用的关键．12．（2023春•西湖区期末）已知实数x，y满足：x+y＝7，xy＝12．（1）求x2+y2的值；（2）将长方形ABCD和长方形CEFG按照如图方式放置，其中B，C，G三点在同一条直线上，点E在x边CD上，连接BD，BF，已知AD＝x，AB＝nx，FG＝y，EF＝ny，阴影部分的面积为14，求n的值．【答案】（1）25；（2）85【分析】（1）将x+y＝7两侧平方，利用xy＝12可得x2+y2的值；（2）将阴影部分面积表示用代数式表示出来，代入已知条件即可求出n值．【解答】解：（1）∵x+y＝7．xy＝12．∴x2+y2+2xy＝49，∴x2+y2＝49﹣2×12＝25．（2）由图示可知，阴影部分的面积等于长方形ABCD面积的一半加长方形CEFG的面积减去△BGF的面积，即S阴=12nx2+ny2-12y（x+整理得：12n（x2+y2）-12xy∴12n×25-12×解得n=8【点评】本题考查了完全平方公式的几何背景，数形结合是破解本题的最佳方法．13．（2023春•承德期末）如图1，两个边长为a和b的正方形如图摆放，其阴影面积为S1；如图2，两个边长为b的正方形和一个边长为a的正方形如图摆放，其阴影面积为S2；如图3，两个边长为a和b的正方形如图摆放，其阴影面积为S3；解答问题：①用含a、b的代数式分别表示S1、S2；②若a+b＝10，ab＝22，求S1+S2的值；③当S1+S2＝32时，求图3中阴影部分的面积S3．【答案】①S1＝a2﹣b2；S2＝2b2﹣ab；②34；③16．【分析】①根据图（1）、图（2）中各个部分面积与阴影部分面积之间的关系进行解答即可；②将S1+S2转化为a2+b2﹣ab＝（a+b）2﹣3ab，再整体代入计算即可；③用代数式表示S3，再根据S1+S2＝32，即a2+b2﹣ab＝32整体代入计算即可．【解答】解：①如图（1），阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即S1＝a2﹣b2；图（2）中，阴影部分的面积为2个边长为b的正方形的面积减去于个长为a宽为b的长方形的面积，即S2＝2b2﹣ab；②∵a+b＝10，ab＝22，∴S1+S2＝a2﹣b2+2b2﹣ab＝a2+b2﹣ab＝（a+b）2﹣3ab＝100﹣66＝34；③如图（3），阴影部分的面积S3＝a2+b2-12a2-12b（=12a2+12=12（a2+b2﹣∵S1+S2＝32，即a2+b2﹣ab＝32，∴S3=12×32【点评】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的前提，用代数式表示S1、S2、S3是正确解答的关键．14．（2022秋•松原期末）一个图形通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，利用这种方法解答下列问题．（1）通过计算图①中阴影部分的面积可以得到的数学等式是（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2；（2）如图②，点E、G分别是正方形ABCD的边AD、AB上的点，且DE＝k，BG＝k+1（k为常数，且k＞0），分别以GF、AG为边作正方形GFIH和正方形AGJK，设正方形ABCD的边长为x．①求AE﹣AG的值；②若长方形AEFG的面积是2116【答案】（1）（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2；（2）①1；②52【分析】（1）根据阴影部分的面积可以直接用正方形的面积求，也可以用大正方形的面积减去两个长方形的面积，加上一个小正方形的面积求，再根据面积相等即可得到等式；（2）①用含x和k的代数式分别表示AE、AG即可得出答案；②根据长方形AEFG的面积是2116求出AE+AG，由阴影部分的面积＝（AE+AG）（AE﹣AG【解答】解：（1）阴影部分的面积＝（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故答案为：（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2；（2）①由题意得：AE＝x﹣k，AG＝x﹣（k+1）＝x﹣k﹣1，∴AE﹣AG＝（x﹣k）﹣（x﹣k﹣1）＝x﹣k﹣x+k+1＝1，即AE﹣AG的值是1；②∵长方形AEFG的面积是2116∴AE•AG=21∵（AE﹣AG）2＝AE2﹣2AE•AG+AG2，∴AE2+AG2＝（AE﹣AG）2+2AE•AG＝1+21∵（AE+AG）2＝AE2+2AE•AG+AG2，∴（AE+AG）2=29∴AE+AG=5∴阴影部分的面积＝正方形GFIH的面积﹣正方形AGJK的面积＝AE2﹣AG2＝（AE+AG）（AE﹣AG）=5=5【点评】本题考查了完全平方公式的几何背景，熟练掌握正方形、长方形面积的求法，灵活应用完全平方公式是解题的关键．15．（2022秋•汉川市期末）如图1是一个长为2x，宽为2y的长方形，按图中虚线用剪刀平均分成四个完全相同的小长方形，然后按图2的方式拼成一个正方形．（1）试用含x，y的式子表示图2中阴影部分的面积（要求：用两种不同的方法）；（2）若x+y＝5，xy＝3，求（x﹣y）2的值．【答案】（1）（x﹣y）2或者（x+y）2﹣4xy；（2）13．【分析】（1）面积的求解方法：第一种，直接求出阴影部分（正方形）的边长，再求解面积；第二种，先求出大正方形的边长，再就出其面积，用该面积减去四个小长方形的面积即可；（2）根据（1）中的面积相等得到相应的等式，再据此等式即可作答．【解答】解：（1）由图可知小长方形的长为：x，宽为y，第一种方法：则阴影部分的边长为：x﹣y，即阴影部分的面积为：S阴影第二种方法：即大正方形的边长为：x+y，则大正方形的面积为：S大正方形由图可知小长方形的面积为：S小长方形＝x×y＝xy，则阴影部分的面积为：S阴影即阴影部分的面积为：（x﹣y）2或者（x+y）2﹣4xy；（2）根据（1）中阴影部分的面积不变，可得：（x+y）2﹣4xy＝（x﹣y）2，∵x+y＝5，xy＝3，∴（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy＝52﹣4×3＝13，即值为13．【点评】本题考查了列代数式，根据式子的值求解代数式的值的知识．解题的关键是根据阴影部分的面积不变得出等式（x+y）2﹣4xy＝（x﹣y）2．16．（2023春•甘州区校级期末）学习整式的乘法时可以发现：用两种不同的方法表示同一个图形的面积，可以得到一个等式，进而可以利用得到的等式解决问题．（1）如图（1），是由边长为a，b的正方形和长为a、宽为b的长方形拼成的大正方形，由图（1）可得等式：（a+b）2＝a2+2ab+b2；（2）知识迁移：①如图（2）是用2个小正方体和6个小长方体拼成的一个大正方体，类比（1），用不同的方法表示这个大正方体的体积，则可得等式：（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3；②已知a+b＝7，a2b＝50，ab2＝20，利用①中所得等式，求代数式a3+b3的值．【答案】（1）（a+b）2＝a2+2ab+b2；（2）①（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3；②133．【分析】（1）从整体和部分两个方面分别用代数式表示它们的面积即可；（2）①从整体和部分两个方面用代数式表示大正方体体积即可得出答案；②利用①中的结论代入计算即可．【解答】解：（1）由图（1）可知，大正方形的边长为a+b，因此这个正方形的面积为（a+b）2；而这个大正方形由四个部分拼成的，这四个部分的面积和为a2+2aab+b2，因此有（a+b）2＝a2+2ab+b2，故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2；（2）①由拼图可知，大立方体的边长为a+b，因此这个大正方体的体积为（a+b）3；这个大立方体是由6个部分拼成的，这6个部分的体积和为a3+3a2b+3ab2+b3，因此有（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3，故答案为：（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3；②由①得，a3+b3＝（a+b）3﹣3a2b﹣3ab2＝343﹣3×50﹣3×20＝133，答：代数式a3+b3的值为133．【点评】本题考查完全平方公式的几何背景，认识立体图形，掌握完全平方公式的结构特征是解决问题的前提．17．（2023春•金凤区校级期末）数学活动课上，老师准备了如图1的一个长为4b，宽为a（a＞b）的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按如图2所示的形状拼成一个大正方形．（1）图2中的阴影部分正方形的边长是a﹣b（用含a，b的代数式表示）；（2）观察图1，图2，请写出（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的等量关系是：（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2；（3）已知（m+n）2＝25，（m﹣n）2＝16，求m2+n2的值．【答案】（1）a﹣b；（2）（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2；（3）412【分析】（1）根据图2即可得到答案；（2）大正方形的面积减去4个长方形的面积等于小正方形的面积，由此列等式即可；（3）根据（m+n）2+（m﹣n）2＝2（m2+n2）可得答案．【解答】解：（1）由图2可知阴影部分正方形的边长是a﹣b，故答案为：a﹣b；（2）大正方形的面积为：（a+b）2，小正方形的面积为：（a﹣b）2，长方形的面积为：ab，由图2可知，大正方形的面积减去4个长方形的面积等于小正方形的面积，因此（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2，故答案为：（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2；（3）∵（m+n）2＝25，（m﹣n）2＝16，∴（m+n）2+（m﹣n）2＝25+16＝41，又∵（m+n）2+（m﹣n）2＝m2+2mn+n2+m2﹣2mn+n2＝2（m2+n2），∴2（m2+n2）＝41，∴m2【点评】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式及其变形是解题的关键．18．（2023春•金华期末）如图，用四块完全相同的小长方形拼成一个“回形”正方形．（1）用不同代数式表示图中的阴影部分的面积，可得等式4ab＝（a+b）2﹣（a﹣b）2．（2）利用（1）中的结论解决下列问题：①已知m+n＝5，mn=94，求m﹣②若（x﹣2023）2+（2009﹣x）2＝130，求（x﹣2023）（2009﹣x）值．【答案】（1）4ab＝（a+b）2﹣（a﹣b）2；（2）①±4；②33．【分析】（1）阴影部分的面积等于4个长方形的面积之和，也等于大正方形的面积与中心空白正方形的面积之差，据此即可作答；（2）①利用（1）的等式即可作答；②（x﹣2023）2+（2009﹣x）2＝（x﹣2023）2+（x﹣2009）2，进而可得（x﹣2023）2+（2009﹣x）2＝[（x﹣2023）﹣（x﹣2009）]2+2（x﹣2023）（x﹣2009），则有（x﹣2023）2+（2009﹣x）2＝130，问题随之得解．【解答】解：（1）∵阴影部分的面积等于4个长方形的面积之和，也等于大正方形的面积与中心空白正方形的面积之差，∴4ab＝（a+b）2﹣（a﹣b）2，即所得等式为：4ab＝（a+b）2﹣（a﹣b）2；故答案为：4ab＝（a+b）2﹣（a﹣b）2；（2）①根据（1）有4mn＝（m+n）2﹣（m﹣n）2，∵m+n＝5，mn=9∴4×9∴（m﹣n）2＝16，∴m﹣n＝±4；②（x﹣2023）2+（2009﹣x）2＝（x﹣2023）2+（x﹣2009）2，∵（x﹣2023）2+（2009﹣x）2＝[（x﹣2023）﹣（x﹣2009）]2+2（x﹣2023）（x﹣2009），∴（x﹣2023）2+（2009﹣x）2＝142+2（x﹣2023）（x﹣2009），∵（x﹣2023）2+（2009﹣x）2＝130，∴130＝142+2（x﹣2023）（x﹣2009），∴（x﹣2023）（x﹣2009）＝﹣33，∴（x﹣2023）（2009﹣x）＝33．【点评】本题主要考查了完全平方公式的几何应用，准确熟练的计算，且通过变形得到（x﹣2023）2+（2009﹣x）2＝[（x﹣2023）﹣（x﹣2009）]2+2（x﹣2023）（x﹣2009），是解答本题的关键．19．（2023春•福山区期末）如图1，将一个长为4a，宽为2b的长方形，沿图中虚线均匀分成4个小长方形，然后按图2形状拼成一个正方形．（1）图2的空白部分的边长是多少？（用含a、b的式子表示）（2）若2a+b＝7，且ab＝3，求图2中的空白正方形的面积．（3）观察图2，用等式表示出（2a﹣b）2，ab和（2a+b）2的数量关系．【答案】见试题解答内容【分析】（1）观察由已知图形，得到四个小长方形的长为2a，宽为b，那么图2中的空白部分的正方形的边长是小长方形的长减去小长方形的宽．（2）通过观察图形，大正方形的边长为小长方形的长和宽的和．图2中空白部分的正方形的面积为大正方形的面积减去四个小长方形的面积．（3）通过观察图形知：（2a+b）2﹣（2a﹣b）2＝8ab．分别表示的是大正方形、空白部分的正方形及4个小长方形的面积．【解答】解：（1）图2的空白部分的边长是2a﹣b（2）由图21﹣2可知，小正方形的面积＝大正方形的面积﹣4个小长方形的面积，∵大正方形的边长＝2a+b＝7，∴大正方形的面积＝（2a+b）2＝49，又∵4个小长方形的面积之和＝大长方形的面积＝4a×2b＝8ab＝8×3＝24，∴小正方形的面积＝（2a﹣b）2＝49﹣24＝25（3）由图2可以看出，大正方形面积＝空白部分的正方形的面积+四个小长方形的面积即：（2a+b）2﹣（2a﹣b）2＝8ab．【点评】此题考查了学生观察、分析图形解答问题的综合能力，以及对列代数式、代数式求值的理解与掌握．关键是通过观察图形找出各图形之间的关系．20．（2023春•渠县校级期末）把完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b2适当的变形，可解决很多数学问题．例如：若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值．解：因为a+b＝3，ab＝1；所以（a+b）2＝9，2ab＝2：所以a2+b2+2ab＝9，2ab＝2；得a2+b2＝7．根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：（1）请直接写出下列问题答案：①若2m+n＝3，mn＝1，则2m﹣n＝±1；②若（2﹣m）（5﹣m）＝3，则（2﹣m）2+（5﹣m）2＝15．（3）如图，点C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，AB＝5，两正方形的面积和S1+S2＝15，求图中阴影部分面积．【答案】（1）±1；（2）15；（3）5．【分析】（1）根据公式变形（2m﹣n）2＝（2m+n）2﹣8mn代入计算，再求2m﹣n的值；（2）设a＝2﹣m，b＝5﹣m，则a﹣b＝﹣3，ab＝（2﹣m）（5﹣m）＝3，由（2﹣m）2+（5﹣m）2＝a2+b2＝（a﹣b）2+2ab再代入计算即可；（3）设AC＝p，BC＝q，则p+q＝AB＝5，S1+S2＝p2+q2＝15，求出pq即可．【解答】解：（1）∵2m+n＝3，mn＝1，∴（2m﹣n）2＝（2m+n）2﹣8mn＝9﹣8＝1，∴2m﹣n＝±1，故答案为：±1；（2）设a＝2﹣m，b＝5﹣m，则a﹣b＝﹣3，ab＝（2﹣m）（5﹣m）＝3，所以（2﹣m）2+（5﹣m）2＝a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝9+6＝15，故答案为：15；（3）设AC＝p，BC＝q，则p+q＝AB＝5，S1+S2＝p2+q2＝15，所以S阴影部分＝pq=(p+q=25-15＝5，答：阴影部分的面积为5．【点评】本题考查完全平方公式的几何背景，多项式乘多项式，掌握完全平方公式的结构特征以及多项式乘多项式的计算法则是解决问题的前提．21．（2023春•大竹县校级期末）把几个图形拼成一个新的图形，再通过图形面积的计算，常常可以得到一些有用的式子，或可以求出一些不规则图形的面积．（1）如图1，是将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为a+b+c的正方形．①若用不同的方法计算这个边长为a+b+c的正方形面积，就可以得到一个等式，这个等式可以为（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac．②因式分解：a2+4b2+9c2+4ab+12bc+6ca．（2）如图2，是将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，B，C，G三点在同一直线上，连接BD和BF，若两正方形的边长满足a+b＝6，ab＝8，请求出阴影部分的面积．【答案】见试题解答内容【分析】（1）①此题根据面积的不同求解方法，可得到不同的表示方法．一种可以是3个正方形的面积和6个矩形的面积，种是大正方形的面积，可得等式（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；②分组分解得出答案即可；（2）利用S阴影＝正方形ABCD的面积+正方形ECGF的面积﹣三角形BGF的面积﹣三角形ABD的面积求解．【解答】解：（1）①这个等式可以为（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；故答案为：（a+b+c），a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；②a2+4b2+9c2+4ab+12bc+6ca＝（a+2b）2+6c（a+2b）+9c2＝（a+2b+3c）2．（2）∵a+b＝6，ab＝8，∴S阴影＝a2+b2-12（a+b）•b-12a2=12a2+12b2-12ab=12（a+b【点评】本题考查了因式分解的实际运用，解题的关键是注意图形的分割与拼合，会用不同的方法表示同一图形的面积．22．（2023春•大埔县校级期末）将完全平方公式作适当变形，可以用来解决很多数学问题．（1）观察图1，写出代数式（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的等量关系：（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab；（2）若x+y＝6，xy＝4，则x2+y2＝28；（x﹣y）2＝20；（3）如图2，边长为5的正方形ABCD中放置两个长和宽分别为m，n（m＜5，n＜5）的长方形，若长方形的周长为12，面积为8.5，求图中阴影部分的面积S1+S2+S3的值．【答案】（1）（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab；（2）28，20；（3）S1+S2+S3＝10．【分析】（1）由图1的阴影部分的面积的两种不同表示，可求解；（2）由完全平方公式可求解；（3）由面积和差关系和完全平方公式可求解．【解答】解：（1）图1的阴影部分面积＝（a+b）2﹣4ab，图1的阴影部分面积＝（a﹣b）2，∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab，故答案为：（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab；（2）∵x+y＝6，xy＝4，∴（x+y）2＝36＝x2+y2+2xy，∴x2+y2＝36﹣2xy＝36﹣8＝28，∵（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy，∴（x﹣y）2＝36﹣16＝20，故答案为：28，20；（3）∵长方形的周长为12，面积为8.5，∴m+n＝6，m•n＝8.5，∵S1+S2+S3＝（5﹣m）2+（n+m﹣5）2+（5﹣n）2＝25+m2﹣10m+1+25+n2﹣10n＝m2+n2﹣10（m+n）+51＝（m+n）2﹣2mn﹣60+51＝36﹣17﹣9＝10，∴S1+S2+S3＝10．【点评】本题考查了完全平方公式的应用，掌握公式变形是解题的关键．23．（2023春•岑溪市期末）从边长为a的正方形减掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．（1）上述过程所揭示的乘法公式是a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．（2）若9x2﹣16y2＝30，3x+4y＝6，求3x﹣4y的值．（3）计算：(1-1【答案】（1）a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；（2）5；（3）101200【分析】（1）根据图形面积相等即可求解；（2）根据平方差公式进行计算即可求解；（3）根据平方差公式进行计算即可求解．【解答】解：（1）上述过程所揭示的乘法公式是a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）（2）9x2﹣16y2＝30∴（3x+4y）（3x﹣4y）＝30∵3x+4y＝6∴3x﹣4y＝5（3）原式=(1-=1=1=101【点评】本题考查了平方差公式与几何图形面积，根据平方差公式进行计算，熟练掌握平方差公式是解题的关键．24．（2022秋•罗定市期末）（1）如图1，若大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，则阴影部分的面积是a2﹣b2；若将图1中的阴影部分裁剪下来，重新拼成如图2的一个长方形，则它的长为a+b；宽为a﹣b；面积为（a+b）（a﹣b）．（2）由（1）可以得到一个公式：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．（3）利用你得到的公式计算：20222﹣2024×2020．【答案】（1）a2﹣b2，a+b，a﹣b，（a+b）（a﹣b）；（2）（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；（3）4．【分析】（1）利用正方形的面积公式，图1阴影部分的面积为大正方形的面积﹣小正方形的面积，图2长方形的长为a+b，宽为a﹣b，利用长方形的面积公式可得结论；（2）由（1）建立等量关系即可；（3）根据平方差公式进行计算即可．【解答】解：（1）根据题意可得：图1阴影部分的面积=S图2长方形的长为：a+b，图2长方形的宽为：a﹣b，∴面积为：（a+b）（a﹣b），故答案为：a2﹣b2，a+b，a﹣b，（a+b）（a﹣b）；（2）由（1）可得：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，故答案为：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；（3）20222﹣2024×2020＝20222﹣（2022+2）（2022﹣2）＝20222﹣（20222﹣4）＝20222﹣20222+4＝4．【点评】本题主要考查平方差公式的推导，利用面积建立等量关系是解答此题的关键．25．（2023春•阜南县校级期末）长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2），回答下列问题：（1）观察并说明上述操作能验证的等式．（2）已知x2﹣9y2＝24，x﹣3y＝4，求x+3y的值．【答案】（1）a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；（2）6．【分析】（1）观察图1可得阴影部分的面积是a2﹣b2，再观察图2可得长方形的宽为（a﹣b），长为（a+b），面积为（a+b）（a﹣b），然后根据图1中阴影部分的面积与图2中长方形的面积相等可得出答案；（2）先利用（1）的结论将x2﹣9y2＝24转化为（x+3y）（x﹣3y）＝24，然后再将x﹣3y＝4整体代入即可求出x+3y的值．【解答】解：由图1得：阴影部分的面积为：a2﹣b2，由图2得，长方形的宽为（a﹣b），长为（a+b），∴图2中，长方形的面积为：（a+b）（a﹣b），由图1，图2得：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），∴上述操作能验证的等式是：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．（2）∵x2﹣9y2＝24，∴x2﹣（3y）2＝24，即（x+3y）（x﹣3y）＝24，又∵x﹣3y＝4，∴x+3y＝6．【点评】此题主要考查了平方差公式的几何背景，分别表示出图1中阴影部分的面积和图2中长方形的面积是解答（1）的关键；灵活运用平方差公式是解答（2）的关键．26．（2023春•东昌府区校级期末）如图，在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成一个矩形．（1）通过计算两个图形的面积（阴影部分的面积），可以验证的等式是：B．A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）C．a2+ab＝a（a+b）D．a2﹣b2＝（a﹣b）2（2）应用你从（1）选出的等式，完成下列各题：①已知：a+b＝7，a2﹣b2＝28，求a﹣b的值；②计算：(1-1【答案】（1）B；（2）a﹣b＝4；（3）10112021【分析】（1）表示出两个图中阴影的面积可得答案；（2）由已知和平方差公式可得答案；（3）先用平方差公式，再约分即可．【解答】解：（1）第一个图形面积为a2﹣b2，第二个图形的面积为（a+b）（a﹣b），∴可以验证的等式是：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），故答案为：B；（2）①∵a+b＝7，a2﹣b2＝28，∴（a+b）（a﹣b）＝28，即7（a﹣b）＝28，∴a﹣b＝4；②原式＝（1-12）×（1+12）×（1-13）×（1+13）×（1-14）×（1=12×=1=1011【点评】本题考查平方差公式的几何背景，解题的关键是掌握平方差公式并能灵活应用．27．（2023春•威宁县期末）从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．（1）上述操作能验证的等式是A．（请选择正确的选项）A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）B．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2C．a2+ab＝a（a+b）（2）若x2﹣y2＝24，x+y＝8，求x﹣y的值；（3）用简便方法计算：20222﹣2021×2023．【答案】（1）A．（2）3．（3）20222﹣2021×2023＝20222﹣（2022﹣1）（2022+1）＝20222﹣20222+1＝1．【分析】（1）利用正方形面积公式可得出选项．（2）将x2﹣y2＝24化成平方差形式，结合x+y＝8便可算出．（3）构造平方差公式进行解决问题．【解答】解：（1）由题意可知图1剩下的面积为：a2﹣b2，图2的面积为：（a+b）（a﹣b），则可知：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．（2）∵x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）＝24，x+y＝8，∴x﹣y＝24÷8＝3．故答案为：3．（3）20222﹣2021×2023＝20222﹣（2022﹣1）（2022+1）＝20222﹣20222+1＝1．【点评】本题考查完全平方公式与平方差公式，学会构造平方差公式便可解决问题．28．（2023春•抚州期末）（1）课本再现：如图1，2是“数形结合”的典型实例，应用“等积法”验证乘法公式．图1验证的是（a+b）2＝a2+2ab+b2，图2验证的是（a+b）（a﹣b）＝a2⋅b2；（2）应用公式计算：①已知x+y＝5，xy＝﹣1，求x2+y2的值；②求20222﹣2021×2023的值．【答案】（1）（a+b）2＝a2+2ab+b2；（a+b）（a﹣b）＝a2⋅b2．（2）①27；②1．【分析】（1）根据面积的不同算法得到平方差公式，根据正方形面积公式和构成正方形的图形面积之和相等得到完全平方公式；（2）①利用x2+y2＝（x+y）2⋅2xy计算即可；②将20222﹣2021×2023的﹣2021×2023转化成﹣（2022⋅1）（2022+1）利用平方差公式化简即可．【解答】解：（1）（a+b）2＝a2+2ab+b2，（a+b）（a﹣b）＝a2⋅b2；故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2；（a+b）（a﹣b）＝a2⋅b2．（2）①∵x+y＝5，xy＝﹣1，∴x2+y2＝（x+y）2⋅2xy＝52﹣2（﹣1）＝27．②原式＝20222﹣（2022⋅1）（2022+1）＝20222﹣（20222﹣1）＝1．【点评】本题考查了平方差公式和完全平方公式的几何背景，29．（2023春•清远期末）如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）．（1）根据上述操作利用阴影部分的面积关系得到的等式：C（选择正确的一个）A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2；B．a2+ab＝a（a+b）；C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），D．（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab（2）请应用（1）中的等式，解答下列问题：（1）计算：2022×2024﹣20232；（2）计算：3（22+1）（24+1）（28+1）…（264+1）+1．【答案】（1）C；（2）①﹣1，2128．【分析】（1）根据图1图2阴影面积相等，验证平方差公式即可；（2）利用平方差公式进行简便运算即可．【解答】解：（1）根据图1知：S阴影＝a2﹣b2.根据图2知：S阴影＝（a+b）（a﹣b），∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），故选：C．（2）①原式＝（2023﹣1）（2023+1）﹣20232＝20232﹣12﹣20232＝﹣1．②原式＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（264+1）+1＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）…（264+1）+1＝（24﹣1）（24+1）（28+1）…（264+1）+1＝（2128﹣1）+1＝2128．【点评】本题考查了平方差公式的几何背景，灵活平方差公式的应用是整式计算的基础，需熟练掌握．30．（2023春•黄岛区校级期末）（1）如图，阴影部分是在一个边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形后得到的图形，将阴影部分通过割、拼形成新的图形，下列四种割拼方法，能够验证平方差公式是①②③④；（填序号）（2）利用公式计算：①（-12x-y）（y-12x）＝14②已知x2﹣4y2＝18，x﹣2y＝3，则x+2y＝6；③（3+1）×（32+1）×（34+1）×（38+1）×（316+1）×…×（31024+1）．【答案】（1）①②③④；（2）①14x2﹣y2.②6；③3【分析】（1）逐项利用面积相等验证平方差公式即可；（2）①提取负号，将多项式乘多项式变成平方差公式的模型整理即可；②利用平方差公式将x2﹣4y2＝18变成（x+2y）（x﹣2y）＝18，代入x﹣2y＝3，即可求出x+2y；③将式子前乘12（3﹣1【解答】解：（1）①②③④都能够验证平方差公式．验证如下：①S左＝a2﹣b2，S右＝（a+b）（a﹣b），∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；②S左＝a2﹣b2，S右是四个梯形面积，即4×12×（a+b）（a﹣b）＝（a+b）（a∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；③S左＝a2﹣b2，S右是两个梯形面积，即2×12×（a+b）（a﹣b）＝（a+b）（a∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；④S左＝a2﹣b2，S右是两个梯形面积，即2×12×（a+b）（a﹣b）＝（a+b）（a∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；故答案为：①②③④．（2）①（-12x-y）（y-12x）＝﹣（y+12x）（y-1故答案为：14x2﹣y2②∵x2﹣4y2＝18，∴（x+2y）（x﹣2y）＝18，∵∵x﹣2y＝3，∴x+2y＝6．故答案为：6．③（3+1）×（32+1）×（34+1）×（38+1）×（316+1）×…×（31024+1）=12（3﹣1）×（3+1）×（32+1）×（34+1）×（38+1）×（316+1）×…×（31024=12（32048﹣=3【点评】本题考查了平方差公式的几何背景，两个数的平方差等于这两个数的和乘这两个数的差．31．（2023春•淄博期末）如图，图1为边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形．（1）设图1中阴影部分面积为S1，图2中阴影部分面积为S2，请用含a、b的代数式表示：S1＝a2﹣b2，S2＝（a+b）（a﹣b）（只需表示，不必化简）；（2）以上结果可以验证哪个乘法公式？请写出这个乘法公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；（3）运用（2）中得到的公式，计算：20232﹣2024×2022．【答案】（1）a2﹣b2，（a+b）（a﹣b）；（2）1．【分析】（1）结合图形写出此题结果；（2）结合（1）题结果，可得乘法公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；（3）将2021×2023变形为（2022+1）×（2022﹣1），再运用平方差公式进行计算．【解答】解：（1）由题意得，S1＝a2﹣b2，S2＝（a+b）（a﹣b），故答案为：a2﹣b2，（a+b）（a﹣b）；（2）由（1）题结果，可得乘法公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，故答案为：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；（3）20232﹣2024×2022＝20232﹣（2023﹣1）×（2023+1）＝20222﹣20232+1＝1．【点评】此题考查了平方差乘法公式几何背景问题的解决能力，关键是能准确列式、计算、归纳．32．（2023春•银川校级期末）如图（1），从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形，然后将剩余部分拼成一个长方形，如图（2）．（1）上述操作能验证的等式是A.（请选择正确的选项）A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；B．a2﹣ab2＝a（a+b）（a﹣b）；C．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2．（2）已知a2﹣b2＝28，a+b＝7，求a-b3（3）运用你从（1）中选择的等式进行简便计算：9992﹣9982．【答案】（1）A；（2）43（3）1997．【分析】（1）图1剩余部分的面积拼成了图2的长方形，所以面积相等，根据面积相等列出等式即可；（2）根据（1）的公式进行计算；（3）根据（1）的公式进行计算．【解答】解：（1）图1得剩余部分的面积为：a2﹣b2，图2把剩余部分拼成一个长方形，长为（a+b），宽为（a﹣b），面积为（a+b）（a﹣b），∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．故答案为：A．（2）∵a2﹣b2＝28，a+b＝7，∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝7（a﹣b）＝28，∴a﹣b＝4，∴a-b3（3）原式＝（999+998）（999﹣998）＝1997×1＝1997．【点评】本题考查了平方差公式，根据拼前拼后的面积相等列出等式是解题的关键．33．（2023春•碑林区校级期末）数形结合是数学学习中经常使用的数学方法之一，在研究代数问题时，我们常常可以通过构造几何图形，用面积直观地推导公式．（1）观察如图，通过如图中阴影部分面积的表示可以得到我们熟悉的数学公式a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．（2）请你借助下面的正方形，画出能说明下列完全平方公式的图形，并在图上标注清楚相应的字母．（只画出图形，不写推理过程）（3）有两个大小不同的正方形A和B，现将A，B并列放置后构造新的正方形得到图①，其阴影部分的面积为20：将B放在A的内部得到图②，其阴影部分（正方形）的面积为9，求正方形A、B的面积之差．【答案】（1）a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；（2）详见解答；（3）21．【分析】（1）用代数式表示图1，图2中阴影部分的面积即可；（2）用代数式长图形中各个部分面积，由面积之间的关系得出结论；（3）【解答】解：（1）图1中阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即a2﹣b2，拼成的图2是长为（a+b），宽为（a﹣b）的长方形，因此面积为（a+b）（a﹣b），所以a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），故答案为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；（2）用两种方法分别用代数式图中阴影正方形的面积即可表示（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，（3）设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，由图①中阴影部分的面积为20可得，（a+b）2﹣（a2+b2）＝20，即ab＝10，图②中阴影部分是边长为（a﹣b）的正方形，面积为（a﹣b）2，图②中阴影部分（正方形）的面积为9，即（a﹣b）2＝9，∴a﹣b＝3（a＞b），又∵ab＝10，∴a＝5，b＝2，∴正方形A、B的面积之差为a2﹣b2＝21．【点评】本题考查完全平方公式、平方差公式的几何背景，用代数式表示图形中各个部分的面积是正确解答的前提．34．（2023春•七星关区期末）探究活动：（1）如图①，可以求出阴影部分的面积是a2﹣b2（写成两数平方差的形式）；（2）如图②，若将图①中阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，面积是（a+b）（a﹣b）（写成多项式乘法的形式）；（3）比较图①，图②阴影部分的面积，可以得到公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．知识应用：运用你得到的公式解决以下问题：（4）计算：（Ⅰ）（a+b﹣2c）（a+b+2c）；（Ⅱ）（2a+b﹣3c）（﹣2a+b+3c）．【答案】（1）a2﹣b2；（2）（a+b）（a﹣b）；（3）a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；（4）（Ⅰ）a2+2ab+b2﹣4c2；（Ⅱ）b2﹣4a2+12ac﹣9c2．【分析】（1）图①的面积为两个正方形的面积差，即a2﹣b2；（2）拼成的长方形的长为（a+b），宽为（a﹣b）可表示面积；（3）由（1）（2）所表示的面积相等，可得等式；（4）应用平方差公式进行计算即可．【解答】解：（1）阴影部分的面积为两个正方形的面积差，即a2﹣b2；故答案为：a2﹣b2；（2）拼成的长方形的长为（a+b），宽为（a﹣b），所以面积为（a+b）（a﹣b）；故答案为：（a+b）（a﹣b）；（3）由（1）（2）可得，a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；故答案为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；（4）（Ⅰ）（a+b﹣2c）（a+b+2c）＝[（a+b）﹣2c][（a+b）+2c]＝（a+b）2﹣（2c）2＝a2+2ab+b2﹣4c2；（Ⅱ）（2a+b﹣3c）（﹣2a+b+3c）＝[b+（2a﹣3c）][b﹣（2a﹣3c）]＝b2﹣（2a﹣3c）2＝b2﹣4a2+12ac﹣9c2．【点评】本题考查平方差公式，掌握平方差公式的结构特征是正确应用的前提．35．（2023春•高州市期末）如图1所示，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，如图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形．（1）请你分别表示出这两个图形中阴影部分的面积：a2﹣b2，（a+b）（a﹣b）；；（只需表示，不必化简）；（2）请问以上结果可以验证哪个乘法公式？a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；（3）试利用这个公式计算：①（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）+1．②（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）．③20232﹣2024×2022．【答案】（1）a2﹣b2，（a+b）（a﹣b）；（2）a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；（3）①232；②332-12；【分析】（1）用两种方法部分用代数式表示阴影部分的面积即可；（2）由图1，图2面积相等得出答案；（3）①题，配上原式（2﹣1）后，连续使用平方差公式即可；②题，配上原式（3﹣1）后，连续使用平方差公式即可；③题连续使用平方差公式即可．【解答】解：图1中阴影部分的面积为a2﹣b2，图2阴影部分是长为（a+b），宽为（a﹣b）的长方形，因此面积为（a+b）（a﹣b），故答案为：a2﹣b2，（a+b）（a﹣b）；（2）由图1，图2中阴影部分的面积相等可得，a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），故答案为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；（3）①原式＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）+1，＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）+1，＝（216﹣1）（216+1）+1，＝232﹣1+1＝232；②原式==1=1=3③原式＝20232﹣（2023+1）×（2023﹣1）＝20232﹣（20232﹣1）＝1．【点评】本题考查平方差公式的几何背景，用不同的方法用代数式表示阴影部分的面积是得出公式的前提，配上适当的因式利用平方差公式是正确解答的关键．36．（2023春•成都期末）如图，在边长为m的正方形纸片中剪去一个边长为n的小正方形纸片（m＞n），把剩余的部分拼成一个长方形纸片．（1）如图1，通过计算两个纸片中阴影部分的面积，可得等式C（填选项前面的字母）；A．m2+2mn+n2＝（m+n）2B．m2﹣2mn+n2＝（m﹣n）2C．m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）D．m2﹣mn＝m（m﹣n）（2）请利用（1）中所选的结论，解答以下问题：①如图2，大正方形ABCD的面积为S1，小正方形CEFG的面积为S2，且S1﹣S2＝30，求不规则四边形BGED的面积；②计算：（1-122）×（1-132）×（1-1【答案】（1）C；（2）①15；②10122023【分析】（1）用代数式表示图1中阴影部分的面积即可；（2）①设两个正方形的边长分别为a、b，用含有a、b的代数式表示不规则四边形BGED的面积即可；②利用平方差公式将原式化为（1-12）×（1+12）（1-13）×（1+13）×（1-14）×（1+14）×…×（1-1【解答】解：（1）图1中，阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即m2﹣n2，拼成长为（m+n），宽为（m﹣n）的长方形，因此面积为（m+n）（m﹣n），因此m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n），故选：C；（2）①设正方形ABCD的边长为a，正方形CEFG的边长为b，则S1＝a2，S2＝b2，∵S1﹣S2＝30，∴a2﹣b2＝30，∴S不规则四边形BGED＝S△BDG+S△EDG=12DG•BC+1=12DG•（BC+=12（a﹣b）（a+=12（a2﹣b=1＝15，答：不规则四边形BGED的面积为15；②原式＝（1-12）×（1+12）×（1-13）×（1+13）×（1-14）×（1+14）×…×（=1=1=1012【点评】本题考查平方差公式的几何背景，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的前提．37．（2023春•会同县期末）如图1，从边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形，把剩下的阴影部分拼成如图2所示的长方形．（1）上述操作能验证的公式是a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；（2）请应用这个公式完成下列各题：①已知4a2﹣b2＝24，2a+b＝6，则2a﹣b＝4；②计算：(1-1【答案】（1）a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；（2）①4；②10122023【分析】（1）根据阴影部分面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，即可得到答案；（2）①利用（1）所得公式即可得到答案；②利用（1）所得公式将原式进行变形即可得到答案．【解答】解：（1）根据题意可知，能验证的公式是a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），故答案为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；（2）①∵4a2﹣b2＝24，∴（2a+b）（2a﹣b）＝24，∵2a+b＝6，∴2a﹣b＝4，故答案为：4；②(1-=(1-1=1=1=1012【点评】本题考查了平方差公式与几何图形，平方差公式的应用，解题关键是熟练掌握平方差公式a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．38．（2023春•怀远县校级期末）实践与探究，如图1，边长为a的大正方形有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）．（1）上述操作能验证的公式是B（请选择正确的一个）．A．a2+ab＝a（a+b）B．a2﹣b2＝（a﹣b）（a+b）C．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2（2）请应用上面的公式完成下列各题：①已知4a2﹣b2＝24，2a+b＝6，则2a﹣b＝4；②计算：82﹣72+62﹣52+42﹣32+22﹣1；③计算：（2n）2﹣（2n﹣1）2+（2n﹣2）2﹣（2n﹣3）2+⋯+42﹣32+22﹣1（n≥1）．【答案】（1）B；（2）①4；②36；③2n2+n．【分析】（1）根据阴影部分写出两个图形中阴影部分面积的代数式，再得出二者相等的结论；（2）使用（1）得出的公式对本题中的平方差进行因式分解即可求得结果．【解答】解：（1）图一中的阴影部分面积为：a2﹣b2，图二中阴影部分面积为：（a+b）（a﹣b），而这两者面积相等，所以有：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．故选：B．（2）①4a2﹣b2＝（2a+b）（2a﹣b）＝24，又2a+b＝6，∴2a﹣b＝4．②82﹣72+62﹣52+42﹣32+22﹣1＝（8+7）（8﹣7）+（6+5）（6﹣5）+（4+3）（4﹣3）+（2+1）（2﹣1）＝8+7+6+5+4+3+2+1＝4×9＝36．③（2n）2﹣（2n﹣1）2+（2n﹣2）2﹣（2n﹣3）2+⋯+42﹣32+22﹣1（n≥1）＝（2n+2n﹣1）（2n﹣2n+1）+（2n﹣2+2n﹣3）（2n﹣2+2n+3）+……+（4+3）（4﹣3）+（2+1）（2﹣1）＝2n+2n﹣1+2n﹣2+2n﹣3+⋯+4+3+2+1=(2n+1)2n＝2n2+n．故答案为：B，4．【点评】本题考查平方差公式的证明与使用，考查求和公式，掌握这些是本题关键．39．（2023春•拱墅区期末）在一次研究性学习中，同学们对乘法公式进行了研究．（1）如图，大正方形的边长为（a+b），直接写出下列结果．①中间小正方形的边长；②用含a，b的等式表示：大正方形面积与小正方形面积的差等于图中一个长方形面积的4倍．（2）当x+y＝6，x﹣y＝﹣4．求x•y的值．（3）若当x﹣2y＝P，xy＝Q时，（x+2y）2的值唯一确定，用含P、Q的代数式表示．【答案】（1）①a﹣b；②（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab；（2）xy＝5；（3）（x+2y）2＝P2+8Q．【分析】（1）①由拼图可直接得出答案；②用图形中面积之间的关系可得出结论；（2）利用（1）中的结论可得（x+y）2﹣（x﹣y）2＝4xy，代入计算即可；（3）用（x+2y）2﹣（x﹣2y）2＝8xy，代入即可得出结论．【解答】解：（1）①由拼图可知，中间小正方形的边长为a﹣b；②大正方形的面积为（a+b）2，小正方形的面积为（a﹣b）2，每个小长方形的长为a，宽为b，因此面积为ab，所以（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab，即大正方形面积与小正方形面积的差等于图中一个长方形面积的4倍；（2）当x+y＝6，x﹣y＝﹣4时，∵（x+y）2﹣（x﹣y）2＝4xy，即36﹣16＝4xy，∴xy＝5；（3）由（1）可知，（x+2y）2﹣（x﹣2y）2＝8xy，∴（x+2y）2﹣P2＝8Q，即（x+2y）2＝P2+8Q．【点评】本题考查完全平方公式、平方差公式，掌握完全平方公式、平方差公式的结构特征是正确解答的前提．40．（2023春•邗江区期末）（1）【知识生成】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式，例如：从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形如图1，然后将剩余部分拼成一个长方形如图2．图1中阴影部分面积为a2﹣b2，图2中阴影部分面积为（a+b）（a﹣b），请写出这个乘法公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；（2）【知识应用】应用（1）中的公式，完成下面任务：若m是不为0的有理数，已知P＝（m2+2m+1）（m2﹣2m+1），Q＝（m2+m+1）（m2﹣m+1），比较P、Q大小．（3）【知识迁移】事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式，图3表示的是一个边长为x的正方体挖去一个小正方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图3中图形的变化关系，写出一个代数恒等式x3﹣x＝x（x+1）（x﹣1）．【答案】（1）a2﹣b2，（a+b）（a﹣b），a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；（2）P＜Q；（3）x3﹣x＝x（x+1）（x﹣1）．【分析】（1）分别用代数式表示图1、图2中阴影部分的面积即可；（2）利用平方差公式，计算P﹣Q的差即可；（3）分别用代数式表示图3中左图、右图的体积即可．【解答】解：（1）图1中阴影部分的面积可以看作是两个正方形的面积差，即a2﹣b2，图2是长为a+b，宽为a﹣b的长方形，因此面积为（a+b）（a﹣b），因此有a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），故答案为：a2﹣b2，（a+b）（a﹣b），a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；（2）P﹣Q＝（m2+2m+1）（m2﹣2m+1）﹣（m2+m+1）（m2﹣m+1）＝（m2+1）2﹣4m2﹣（m2+1）2+m2＝﹣3m2，∵m是不为0的有理数，∴﹣3m2＜0，即P﹣Q＜0，∴P＜Q；（3）图3左图的体积为x•x•x﹣1×1×x＝x3﹣x，图3右图是长为x+1，宽为x，高为x﹣1的长方体，因此体积为（x+1）•x•（x﹣1），因此有x3﹣x＝x（x+1）（x﹣1），故答案为：x3﹣x＝x（x+1）（x﹣1）．【点评】本题考查平方差公式的几何背景，掌握平方差公式的结构特征是正确应用的前提，利用代数式表示图形的面积和体积是正确解答的关键．41．