专题02 全等三角形常见七大必考模型专训（原卷版）

专题02全等三角形常见七大必考模型专训【模型目录】模型一平移模型模型二轴对称模型模型三旋转模型模型四一线三等角模型模型五垂直模型模型六手拉手模型模型七半角模型【经典模型一平移模型】【模型解读】把△ABC沿着某一条直线l平行移动，所得到△DEF与△ABC称为平移型全等三角形，图①，图②是常见的平移型全等三角线．【常见模型】【例1】（2023春·全国·八年级期中）如图所示的是重叠的两个直角三角形，将其中一个直角三角形沿BC方向平移得到△DEF．若cm，cm，cm，则图中阴影部分面积为（

）A．47cm2 B．48cm2 C．49cm2 D．50cm2【变式训练】1．（2021春·陕西咸阳·八年级统考期末）如图，将沿方向平移得到，使点的对应点恰好落在边的中点上，点的对应点在的延长线上，连接，、交于点．下列结论一定正确的是（）A． B． C． D．、互相平分2．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，点，，，在一条直线上，若将的边沿方向平移，平移过程中始终满足下列条件：，于点，于点，且．则当点，不重合时，与的关系是______．3．（2023秋·山东聊城·八年级校考期末）如图（1），，，点C是上一点，且，．(1)试判断与的位置关系，并说明理由．(2)如图（2），若把沿直线向左平移，使的顶点C与B重合，此时第（1）问中与的位置关系还成立吗？说明理由．（注意字母的变化）．【经典模型二轴对称模型】【模型解读】将原图形沿着某一条直线折叠后，直线两边的部分能够完全重合，这两个三角形称之为轴对称型全等三角形，此类图形中要注意期隐含条件，即公共边或公共角相等．【常见模型】【例2】（2023秋·八年级单元测试）如图，已知，，增加下列条件：①；②；③；④．其中能使的条件有(

)A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【变式训练】1．（2022秋·安徽滁州·八年级校考阶段练习）如图，已知，与交于点，，分别与，交于点，，连接，则下列结论中错误的是（）A． B．C． D．2．（2023秋·八年级课时练习）在①，②，③这三个条件中选择一个，补充在下面的问题中，并完成问题的解答．问题：如图，在中，，点在边上，点在边上，连接，，与相交于点．若________________，求证：．3．（2023春·广东佛山·七年级校联考阶段练习）如图所示，、分别为，的角平分线，两线交于点．

(1)若，，则______；(2)若，则______；(3)若，用表示的，写出详细的步骤（不用写理论依据）；(4)，，，三条线段之间有怎样的数量关系？写出结果，并说明理由（不用写理论依据）．【经典模型三旋转模型】【模型解读】将三角形绕着公共顶点旋转一定角度后，两个三角形能够完全重合，则称这两个三角形为旋转型三角形，识别旋转型三角形时，涉及对顶角相等、等角加（减）公共角的条件．【常见模型】【例3】（2023·浙江·八年级假期作业）如图，在中，，，D、E是斜边上两点，且，若，，，则与的面积之和为（

）A．36 B．21 C．30 D．22【变式训练】1．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，在中，，、是斜边上两点，且，将绕点顺时针旋转90°后，得到，连接．以下结论：①；②；③；④．其中正确的是（

）A．②④ B．①④ C．②③ D．①③2．（2022秋·浙江·八年级专题练习）如图，五边形中，，则这个五边形的面积等于__________．3．（2023·全国·九年级专题练习）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务：从正方形的一个顶点引出夹角为的两条射线，并连接它们与该顶点的两对边的交点构成的基本平面几何模型称为半角模型．半角模型可证出多个几何结论，例如：如图1，在正方形中，以为顶点的，、与、边分别交于、两点．易证得．大致证明思路：如图2，将绕点顺时针旋转，得到，由可得、、三点共线，，进而可证明，故．任务：如图3，在四边形中，，，，以为顶点的，、与、边分别交于、两点．请参照阅读材料中的解题方法，你认为结论是否依然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．【经典模型四一线三等角模型】【模型解读】基本图形如下：此类图形通常告诉BD⊥DE，AB⊥AC，CE⊥DE，那么一定有∠B＝∠CAE．【常见模型】【例4】（2023·江苏·八年级假期作业）如图，AC＝CE，∠ACE＝90°，AB⊥BD，ED⊥BD，AB＝6cm，DE＝2cm，则BD等于（）A．6cm B．8cm C．10cm D．4cm【变式训练】1．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，在△ABC中，AB＝AC＝9，点E在边AC上，AE的中垂线交BC于点D，若∠ADE＝∠B，CD＝3BD，则CE等于（）A．3 B．2 C． D．2．（2023·江苏·八年级假期作业）如图所示，中，．直线l经过点A，过点B作于点E，过点C作于点F．若，则__________．

3．（2023·江苏·八年级假期作业）如图1，，垂足分别为D，E．(1)若，求的长．(2)在其它条件不变的前提下，将所在直线变换到的外部（如图2），请你猜想三者之间的数量关系，并证明你的结论；(3)如图3，将（1）中的条件改为：在中，，D，C，E三点在同一条直线上，并且有，其中α为任意钝角，那么（2）中你的猜想是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．【经典模型五垂直模型】【模型解读】模型主体为两个直角三角形，且两条斜边互相垂直．【常见模型】【例5】（2023·浙江·八年级假期作业）如下图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D．DE=6cm，AD=9cm，则BE的长是（

）A．6cm B．1.5cm C．3cm D．4.5cm【变式训练】1．（2023·全国·八年级假期作业）如图，，，于点E，于点D，，，则的长是（

）A．8 B．4 C．3 D．22．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，在中，以为腰作等腰直角三角形和等腰直角三角形．连接为边上的高线，延长交于点N，下列结论：（1）；（2）；（3）；（4），其中正确的结论有____________(填序号)．3．（2023·全国·八年级假期作业）已知，中，，，直线m过点A，且于D，于E，当直线m绕点A旋转至图1位置时，我们可以发现．(1)当直线m绕点A旋转至图2位置时，问：与、的关系如何？请予证明；(2)直线m在绕点A旋转一周的过程中，、、存在哪几种不同的数量关系？（直接写出，不必证明）【经典模型六手拉手模型】【模型分析】将两个三角形绕着公共顶点（即头）旋转某一角度后能完全重合，则这两个三角形构成手拉手全等，也叫旋转型全等，常用“边角边”判定定理证明全等．【模型图示】公共顶点A记为“头”，每个三角形另两个顶点逆时针顺序数的第一个顶点记为“左手”，第二个顶点记为“右手”．对应操作：左手拉左手（即连结BD），右手拉右手（即连结CE），得．【常见模型】（等腰）（等边）（等腰直角）【例6】（2023春·上海·七年级专题练习）如图，C为线段AE上一动点（不与点，重合），在AE同侧分别作等边三角形ABC和等边三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ．以下结论错误的是（

）A．∠AOB=60° B．AP=BQC．PQ∥AE D．DE=DP【变式训练】1．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，在△OAB和△OCD中，OA=OB，OC=OD，OA＞OC，∠AOB=∠COD=40°，连接AC，BD交于点M，连接OM，下列结论：①△AOC≌△BOD；②AC=BD；③∠AMB=40°；④MO平分∠BMC．其中正确的个数为（）A．4 B．3 C．2 D．12．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，是边长为5的等边三角形，，．E、F分别在AB、AC上，且，则三角形AEF的周长为______．3．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，是一个锐角三角形，分别以、为边向外作等边三角形、，连接、交于点，连接．(1)求证：≌；(2)求的度数；(3)求证：平分．【经典模型七半角模型】【模型分析】过等腰三角形顶点两条射线，使两条射线的夹角为等腰三角形顶角的一半这样的模型称为半角模型．【常见模型】常见的图形为正方形，正三角形，等腰直角三角形等，解题思路一般是将半角两边的三角形通过旋转到一边合并成新的三角形，从而进行等量代换，然后证明与半角形成的三角形全等，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系．半角模型（题中出现角度之间的半角关系）利用旋转——证全等——得到相关结论．【例7】（2023秋·江苏扬州·八年级校考期末）综合与实践（1）如图1，在正方形ABCD中，点M、N分别在AD、CD上，若∠MBN＝45°，则MN，AM，CN的数量关系为．（2）如图2，在四边形ABCD中，BC∥AD，AB＝BC，∠A+∠C＝180°，点M、N分别在AD、CD上，若∠MBN＝∠ABC，试探索线段MN、AM、CN有怎样的数量关系？请写出猜想，并给予证明．（3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC+∠ADC＝180°，点M、N分别在DA、CD的延长线上，若∠MBN＝∠ABC，试探究线段MN、AM、CN的数量关系为．【变式训练】1．（2023春·上海·七年级专题练习）（1）如图1，在四边形ABCD中，，，E、F分别是边BC、CD上的点，且．求证：；（2）如图2，在四边形ABCD中，，，E、F分别是边BC、CD上的点，且，请直接写出EF、BE、FD之间的数量关系；（3）如图3，在四边形ABCD中，，，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．2．（2023春·广东佛山·八年级校考期中）已知：边长为4的正方形ABCD，∠EAF的两边分别与射线CB、DC相交于点E、F，且∠EAF＝45°，连接EF．求证：EF＝BE+DF．思路分析：(1)如图1，∵正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠B＝∠ADC＝90°，∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADE'，则F、D、E'在一条直线上，∠E'AF＝度，……根据定理，可证：△AEF≌△AE'F．∴EF＝BE+DF．类比探究：(2)如图2，当点E在线段CB的延长线上，探究EF、BE、DF之间存在的数量关系，并写出证明过程；拓展应用：(3)如图3，在△ABC中，AB＝AC，D、E在BC上，∠BAC＝2∠DAE．若S△ABC＝14，S△ADE＝6，求线段BD、DE、EC围成的三角形的面积．3．（2023春·重庆南岸·八年级重庆市南坪中学校校考阶段练习）（1）如图1，在四边形中，，，E、F分别是边、上的点，若，可求得、、之间的数量关系为________．（只思考解题思路，完成填空即可，不必书写证明过程）（2）如图2，在四边形中，，，E、F分别是边、延长线上的点，若，判断、、之间的数量关系还成立吗，若成立，请完成证明，若不成立，请说明理由．【重难点训练】1．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，在中，为边上的中线．

(1)按要求作图：延长到点E，使；连接．(2)求证：．(3)求证：．(4)若，，求的取值范围．2．（2023春·全国·七年级专题练习）（1）方法学习：数学兴趣小组活动时，张老师提出了如下问题：如图1，在中，，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图2），①延长到M，使得②连接，通过三角形全等把、、转化在中；③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是；方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系．（2）请你写出图2中与的数量关系和位置关系，并加以证明．（3）深入思考：如图3，是的中线，，，，请直接利用（2）的结论，试判断线段与的数量关系，并加以证明．3．（2023春·全国·七年级专题练习）在△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB，直线MN经过点A，且CD⊥MN于D，BE⊥MN于E．(1)当直线MN绕点A旋转到图1的位置时，度；(2)求证：DE=CD+BE；(3)当直线MN绕点A旋转到图2的位置时，试问DE、CD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．4．（2022秋·陕西延安·八年级统考期末）【问题提出】（1）如图①，在四边形中，，，E、F分别是边BC、CD上的点，且.求证：；【问题探究】（2）如图②，在四边形中，，，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立?若成立，请说明理由；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并说明理由.5．（2022秋·江苏·八年级专题练习）（1）问题发现：如图1，和均为等腰直角三角形，，连接，，点、、在同一条直线上，则的度数为__________，线段、之间的数量关系__________；（2）拓展探究：如图2，和均为等腰直角三角形，，连接，，点、、不在一条直线上，请判断线段、之间的数量关系和位置关系，并说明理由．（3）解决问题：如图3，和均为等腰三角形，，则直线和的夹角为__________．（请用含的式子表示）6．（2023·全国·八年级假期作业）（1）如图1，已知中，90°，，直线经过点直线，直线，垂足分别为点．求证：．（2）如图2，将（1）中的条件改为：在中，三点都在直线上，并且有．请写出三条线段的数量关系，并说明理由．7．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，已知中，，，是过的一条直线，且，在，的同侧，于，于．（1）证明：；（2）试说明：；（3）若直线绕点旋转到图位置（此时，在，的异侧）时，其余条件不变，问与，的关系如何？请证明；（4）若直线绕点旋转到图位置（此时，在，的同侧）时其余条件不变，问与，的关系如何？请直接写出结果，不需说明理由．8．（2020秋·福建三明·八年级统考期中）如图1，△ABC和△ABD中，∠BAC＝∠ABD＝90°，点C和点D在AB的异侧，点E为AD边上的一点，且AC＝AE，连接CE交直线AB于点G，过点A作AF⊥AD交直线CE于点F．（Ⅰ）求证：△AGE≌△AFC；（Ⅱ）若AB＝AC，求证：AD＝AF+BD；（Ⅲ）如图2，若AB＝AC，点C和点D在AB的同侧，题目其他条件不变，直接写出线段AD，AF，BD的数量关系．9．（2023春·陕西西安·八年级统考阶段练习）（1）问题解决：如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝α，∠BCD＝180°﹣α，BD平分∠ABC．①如图1，若α＝90°，根据教材中一个重要性质直接可得AD＝CD，这个性质是；②在图2中，求证：AD＝CD；（2）拓展探究：根据（1）的解题经验，请解决如下问题：如图3，在等腰△ABC中，∠BAC＝100°，BD平分∠ABC，求证BD+AD＝BC．10．（2021秋·山东德州·八年级统考期中）某中学八年级学生在学习等腰三角形的相关知识时时，经历了以下学习过程：（1）【探究发现】如图1，在中，若平分，时，可以得出，为中点，请用所学知识证明此结论．（2）【学以致用】如果和等腰有一个公共的顶点，如图2，若顶点与顶点也重合，且，试探究线段和的数量关系，并证明．（3）【拓展应用】如图3，在（2）的前提下，若顶点