专题02 圆中的重要模型-圆弧的中点模型（原卷版）

专题02圆中的重要模型-圆弧的中点模型当圆中出现弧的中点时，我们要注意考虑几个方面：三角形的中位线，垂径定理，圆周角定理，弦，弧，圆心角，圆周角的关系等等。其关系复杂，在理解其做辅助线的方法和分析技巧的基础之上，还要注意各知识点之间的联系，才是形成稳固的解题思路以及推导模式的最佳选择，以便于最后才能突破复杂的综合题型以及压轴题型。当圆中出现弦的中点或弧的中点时，我们联想到的是利用垂径定理以及圆周角定理进行思路的突破，这样的解决方式比较直接，而且能够提高大家解题的效率模型1、与垂径定理相关的中点模型图1图2图31）如图1，已知点P是中点，连接OP，则OP⊥AB．2）如图2，已知过点P作MN∥AB，则MN是圆O的切线．3）如图3，变换条件：连接BP、AP，若∠BPN=∠A，则MN是圆O切线．例1．（2023陕西中考数学试卷）陕西饮食文化源远流长，“老碗面”是陕西地方特色美食之一．图②是从正面看到的一个“老碗”（图①）的形状示意图．是的一部分，是的中点，连接，与弦交于点，连接，．已知cm，碗深，则的半径为（

）

A．13cm B．16cm C．17cm D．26cm例2．（2023·湖北十堰·九年级校考期中）如图，是的直径，C是上一点，D是的中点，交于点E，过点D作交的延长线于点F．

(1)求证：是的切线；(2)若，，求的面积．例3．（2023春·福建福州·九年级统考期中）如图，点在以为直径的半圆上（点不与，两点重合），点是的中点、于点，连接交于点，连接，过点作半圆的切线交的延长线于点．(1)求证：；(2)求证：；(3)连接，，若∶∶，求的值．例4．（2023·广东佛山·校联考一模）如图，在中，为的直径，点E在上，D为的中点，连接并延长交于点C．连接，在的延长线上取一点F，连接，使．(1)求证：为的切线；(2)若，，求的直径．模型2、与圆周角定理相关的中点模型（母子型）图1图2图31）如图1，已知点P是中点，点C是圆上一点，则∠PCA=∠PCB．2）如图2，已知点P是半圆中点，则∠PCA=∠PCB=45°．3）如图3，已知点P是中点，则∠PBA=∠PCA=∠PCB=∠PAB．可得：△PDA∽△PAC；△PDB∽△PBC．可得：△CAP∽△CDB；△CAD∽△CPB．例1．（2023·广东九年级期中）如图，四边形内接于，为的直径，点C为的中点，若，则的度数是（）

A． B． C． D．例2．（2023·广东惠州·统考一模）如图，在中，弦相交于点E，点B是劣弧中点，延长到点F，使，连接(1)求证：；(2)若，求证：是的切线；(3)若，，求的长.例3．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）如图，是的直径，为延长线上一点，切于，是的中点，交于，(1)求证：；(2)若，，求的长．

例4．（2023·江苏南京·校联考三模）如图，在四边形中，连接，作的外接圆交于点，连接，交于点，．(1)若，求证：是的切线；(2)若，求的半径；(3)若，为的中点，则的长为______．

模型3、垂径定理与圆周角定理结合的中点模型如图，AB是直径，点P是中点，过点P作PH⊥AB交AB于点H，则△ADP∽△APC．以下作图可证明：∠PAC=∠APH，即可得△PAD是等腰三角形．例1．（2023·河北沧州·模拟预测）如图，，是的直径，过点作，垂足为点，与交于点，连接，，交于点．甲、乙给出了如下说法：甲：若添加条件，则；乙：若添加条件是劣弧的中点，则．下列说法正确的是（

）A．甲对，乙不对 B．甲不对，乙对 C．甲、乙两人都对 D．甲、乙两人都不对例2．（2023·安徽合肥·统考三模）如图，是半圆的直径，是弦，点是的中点，点是的中点，连接、分别交于点和点，连接，则下列结论中错误的是（

）

A． B． C． D．例3．（2023·山东济南·统考中考真题）如图，，为的直径，为上一点，过点的切线与的延长线交于点，，点是的中点，弦，相交于点．(1)求的度数；(2)若，求直径的长．例4．（2023·浙江舟山·统考三模）如图1，在中，直径于点F，点E为上一点，点C为弧的中点，连接，交于点G．

(1)求证：；(2)如图2，过点C作的切线交BA的延长线于点Q，若，，求的长度；(3)在（2）的基础上，点P为上任一点，连接，的比值是否发生改变？若不变，求出比值；若变化，说明变化规律．模型4、与托勒密定理相关的中点模型图1图21）同侧型:条件：如图5，A为弧BC中点，D为圆上等腰三角形底边下方一点，结论：BD+CD=2AD×cosθ；特别地：1）当三角形为等边三角形时（即θ=60°）；结论：BD+CD=AD2）当三角形为等腰直角三角形时（即θ=90°）；结论：BD+CD=AD3）当三角形为120°的等腰直角三角形时（即θ=120°）；结论：BD+CD=AD2）异侧型:条件：如图5，A为弧BC中点，D为圆上等腰三角形底边下方一点，结论：BD-CD=2AD×cosθ；特别地：1）当三角形为等边三角形时（即θ=60°）；结论：BD-CD=AD2）当三角形为等腰直角三角形时（即θ=90°）；结论：BD-CD=AD3）当三角形为120°的等腰直角三角形时（即θ=120°）；结论：BD-CD=AD例1．（2023·浙江·九年级期中）如图，为圆内接四边形的对角线，且点D为的中点；(1)如图1，若、直接写出与的数量关系；(2)如图2、若、平分，，求的长度．例2．（2023·云南红河·统考二模）如图，在中，为的直径，过点C作射线，，点B为弧的中点，连接，，．点P为弧上的一个动点（不与B，C重合），连接，，，．(1)若，判断射线与的位置关系；(2)求证：．

例3．（2023·山西阳泉·九年级统考期末）阅读下列材料，并完成相应的任务.任务：（1）上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别指什么？依据1：

依据2：（2）当圆内接四边形ABCD是矩形时，托勒密定理就是我们非常熟知的一个定理：（请写出定理名称）.（3）如图（3），四边形ABCD内接于⊙O，AB=3，AD=5，∠BAD=60°，点C是弧BD的中点，求AC的长.课后专项训练1．（2023·山西晋中·校考模拟预测）如图，是的直径，点、在上，点为弧的中点，若，则的大小为（

）A． B． C． D．2．（2022秋·安徽·九年级校联考开学考试）如图，已知点均在上，为的直径，弦的延长线与弦的延长线交于点，连接．则下列命题为假命题的是（

）

A．若点是的中点，则B．若，则C．若，则D．若半径平分弦，则四边形是平行四边形3．（2023·江苏·九年级假期作业）如图，的顶点A、B、C均在上，点A是中点，则下列结论正确的是（）

A．B．C．D．4．（2023春·广东深圳·九年级校考期中）如图，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于点，与相交于点，则下列结论：①；②若，则；③若点为的中点，则；④．其中一定正确的个数是（

）

A．1 B．2 C．3 D．45．（2023·陕西西安·校考三模）如图，是的直径，为上的点，是的中点，连接，，若，则的度数是（

）

A． B． C． D．6．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，点A是优弧的中点，过点B作的垂线交于点E，与圆交于点D．若，且，则圆的半径为（

）

A． B．3 C． D．7．（2023·重庆江津·校考二模）如图，为的直径，且，为弧的中点，四边形为平行四边形，是的切线，则图中阴影部分的面积为（不取近似值）．

8．（2023·湖南岳阳·统考二模）如图，是的直径，且，点D，E在上，连接，连接并延长，交的切线于点C．①若，则弧的长度为（结果保留）；②若E是弧的中点，与相交于点F，，则．

9．（2023春·江西赣州·八年级校联考期末）如图，是的直径，是弦，与交于点．的切线交的延长线于点，且．(1)求证：点是弧的中点．(2)连接，取的中点，连接．若，求的长．

10．（2023·贵州黔东南·统考二模）如图，是的直径，是弦，是弧的中点，与交于点，是的切线，交的延长线于点．(1)写出图中一对相似三角形；(2)求证：；(3)若，，求的长．

11．（2023·辽宁鞍山·统考二模）如图，在中，以为直径作，恰好经过点，点为半圆中点，连接，过作交延长线于点．(1)求证：为切线；(2)若，，求的半径长．

12.（2022·山东九年级期中）如图，是的外接圆，的平分线交于点，交于点，过点作直线．（1）判断直线与的位置关系，并说明理由；（2）若，，，求的长．13.（2023·重庆九年级期末）如图，为外接圆的直径，且．（1）求证：与相切于点；（2）若，，，求的长．14.（2023·浙江九年级期中）如图，四边形内接于，，点在的延长线上，且．（1）求证：是的切线；（2）若，当，时，求的长．15.（2022·德阳）如图，在直角三角形中，，点是的内心，的延长线和三角形的外接圆相交于点，连结．（1）求证：；（2）过点作的平行线交、的延长线分别于点、，已知，圆的直径为5．①求证：为圆的切线；②求的长．16．（2023·湖北恩施·统考二模）如图，以为直径的经过的边的中点，与边交于点为的中点，且直线与的延长线交于点．(1)求证：是的切线；(2)若点为的中点，，求的长；(3)求证：．

17．（2023·云南文山·统考二模）如图，A、B、C、