专题03 轴对称（15大考点）原卷版

专题03轴对称考点类型考点一遍过考点1：轴对称图形的识别典例1：（2022·辽宁抚顺·九年级统考学业考试）下列四个标志中，是轴对称图形的是（）A．

B．

C．

D．

【变式1】（2023秋·八年级课时练习）下列汉字中，能看成轴对称图形的是（

）A．

B．

C．

D．

【变式2】（2023秋·全国·八年级专题练习）下列图形中，不是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【变式3】（2023秋·江苏·八年级专题练习）下列四幅照片中，主体建筑的构图不对称的是（）A．

B．

C．

D．

考点2：生活中的轴对称典例2：（2022秋·河南濮阳·八年级统考阶段练习）数学在我们的生活中无处不在，就连小小的台球桌上都有数学问题，如图所示，∠1=∠2，若∠3=35°，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证∠1为（

）

A．65° B．60° C．55° D．50°【变式1】（2023春·四川乐山·七年级统考期末）如图是一个台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔．若一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），则该球最后将落入的球袋是（

）

A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋【变式2】（2023·江西·统考中考真题）如图，平面镜MN放置在水平地面CD上，墙面PD⊥CD于点D，一束光线AO照射到镜面MN上，反射光线为OB，点B在PD上，若∠AOC=35°，则∠OBD的度数为（

）

A．35° B．45° C．55° D．65°【变式3】（2023春·江西·九年级专题练习）如图，弹性小球从点P出发，沿所示方向运动，每当小球碰到长方形的边时反弹，反弹时入射角等于反射角(即：∠1=∠2，∠3=∠4)．小球从P点出发第1次碰到长方形边上的点记为A点，第2次碰到长方形边上的点记为B点，……第2020次碰到长方形边上的点为图中的()A．A点 B．B点 C．C点 D．D点考点3：轴对称的性质与应用典例3：（2022秋·福建福州·八年级统考期中）如图，△ABC与△A'B'C'关于直线A．△AA'P是等腰三角形 B．C．△ABC与△A'B'C'周长相等 D．直线【变式1】（2023春·山东枣庄·七年级校考阶段练习）如图，△ABC和△A'B'C'关于直线对称，下列结论中：①△ABC≌△A'B'C'；②∠BAC'

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【变式2】（2023秋·八年级课时练习）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=55°，AD⊥BC，垂足为D，△ADB与△ADB'关于直线AD对称，点B的对称点是点B'，则

A．10° B．20° C．30° D．40°【变式3】（2023秋·江苏·八年级专题练习）如图，点P是∠AOB内部一点，点P'，P″分别是点P关于OA，OB的对称点，且P'P″

A．5cm B．6cm C．7cm D考点4：线段垂直平分线的应用典例4：（2023·山东济南·校考三模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，分别以边A、B为圆心，大于12AB的长为半径画弧，两弧分别交于F、G两点，连接F、G分别交于AB于E、BC于D，连接AD，若CD=3，则BC

A．6 B．63 C．9 D．【变式1】（2023春·全国·八年级专题练习）电信部门要再S区修建一座手机信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条高速公路OC，OD的距离也必须相等，则发射塔应建在（

）A．∠COD的平分线上任意某点处 B．线段AB的垂直平分线上任意某点处C．∠COD的平分线和线段AB的交点处 D．∠COD的平分线和线段AB垂直平分线的交点处【变式2】（2022秋·江苏南京·八年级校考阶段练习）已知△ABCAC<BC，用尺规作图的方法在BC上确定一点P，使PA+PC=BC，则符合要求的作图痕迹是（

A．

B．

C．

D．

【变式3】（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，A，B，C为三个居民小区，在三个小区之间建有一个超市，如果超市恰好在AC，BC两边垂直平分线的交点处，那么超市（

）

A．距离A较近 B．距离B较近C．距离C较近 D．与A，B，C三点的距离相同【变式4】（2023秋·八年级课时练习）某同学做了一个如图所示的风筝，其中∠EDH=∠FDH，ED=FD．则下列结论不一定正确的是（

）

A．EH=FH B．∠DEH=∠DFHC．EF垂直平分DH D．点E与点F关于直线DH对称【变式5】（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，将长方形纸片沿AC折叠后点B落在点E处，则下列关于线段BE与AC的关系描述正确的是（

）

A．AC=BE B．AC和BE相互垂直平分C．AC⊥BE且AC=BE D．AC⊥BE且AC平分BE【变式6】（2023秋·全国·八年级专题练习）下列条件中，不能判定直线CD是线段AB（C，D不在线段AB上）的垂直平分线的是（）A．CA=CB，DA=DB B．CA=CB，CD⊥ABC．CA=DA，CB=DB D．CA=CB，CD平分AB【变式7】（2023秋·广东深圳·九年级校联考开学考试）如图，在△ABC中，BC=2，∠BAC=90°，AB的垂直平分线交BC于点E，AC的垂直平分线交BC于点F，则△AEF的周长为（

）

A．2 B．1 C．4 D．3【变式8】（2023秋·重庆沙坪坝·八年级重庆一中校考开学考试）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，连接AE．若AD=4，△ABC的周长为24，则△ACE的周长为（

）

A．12 B．16 C．18 D．20考点5：坐标系中的轴对称——求坐标典例5：（2022秋·河南驻马店·八年级校考期中）剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美．如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，如果图中点E的坐标为2m,-n，其关于y轴对称的点F的坐标3-n,-m+1，则m-n2022的值为（

A．32022 B．-1 C．1 D．【变式1】（2023春·湖北襄阳·九年级校联考阶段练习）已知点Pa+1,2a-3关于x轴的对称点在第一象限，则a的取值范围是（

A．a<-1 B．-1<a<32 C．-3【变式2】（2022秋·福建龙岩·八年级校考期中）平面直角坐标系中的点P2-m,12m关于x轴的对称点在第四象限，则A．

B．

C．

D．

【变式3】（2023春·河北邯郸·八年级校联考期中）在平面直角坐标系中，已知A(4,3)．A'与A关于直线x=1对称．则A'的坐标为（A．-4,3 B．4,-1 C．-2,1 D．-2,3考点6：轴对称变换——坐标规律典例6：（2022秋·全国·八年级专题练习）如图，在平面直角坐标系xOy中，Rt△OA1C1，Rt△OA2C2，Rt△OA3C3，Rt△OA4CA．0 B．3×2332017 C．【变式1】（2022秋·浙江·八年级专题练习）在平面直角坐标系中，若干个等腰直角三角形按如图所示的规律摆放．点P从原点O出发，沿着“O→A1→A2→A3→A4…”的路线运动(每秒一条直角边)，已知A1坐标为1,1,A22,0A．2020,0 B．2019,1 C．1010,0 D．2020,-1【变式2】（2022·河南·九年级专题练习）在平面直角坐标系中，正方形的顶点坐标分别为A1,1,B1,-1,C-1,-1,D-1,1，y轴上有一点P0,2，作点P关于点A的对称点P1，作点P1关于点B的对称点P2，作点P2关于点C的对称点P3，作点P3关于点D的对称点P4，作点P4关于点A．0,2 B．2,0 C．0,-2 D．-2,0【变式3】（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图1，已知△ABD和△ACD关于直线AD对称；在射线AD上取点E，连接BE，CE，如图2，在射线AD上取点F，连接BF，CF，如图

A．10 B．15 C．21 D．28考点7：轴对称变换——作图典例7：（2022秋·贵州遵义·八年级统考期末）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）ABC的顶点B，C的坐标分别为（﹣2，1），（﹣1，3）．（1）请你在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系并标出原点；（2）写出点A的坐标，并作出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′，然后写出A′，B′，C′的坐标；（3）小芳在（2）中的操作时来了灵感，并发现了其中的规律：若将（2）中作轴对称图记作第1次操作（变换），那么从△ABC开始顺次沿y轴、x轴进行循环往复的轴对称变换，则原来的点A经过第2021次变换后所得的坐标是_______（请直接写出坐标）．【变式1】（2023秋·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨工业大学附属中学校校考开学考试）如图，在平面直角坐标系中有一个△ABC，顶点A-1，3，B

(1)将△ABC向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，作出平移后的△A(2)画出△A1B1C(3)若网格上的每个小正方形的边长为1，则△A2B【变式2】（2022秋·福建龙岩·八年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A-3,5，B-2,1，(1)若△ABC和△A1B1C1关于x轴成轴对称，画出(2)在y轴上求作一点P，使得PA+PB的值最小，请在图中画出P点．【变式3】（2023秋·江苏淮安·七年级淮安市徐杨中学校考阶段练习）如图，在8×8正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上.

(1)请在图中作出△ABC关于直线l成轴对称△(2)在直线l上找一点P，使得PC'考点8：网格中的轴对称设计典例8：（2023春·河北保定·七年级统考期末）将正方形网格图中的某两个白色方格涂上颜色，使整个图形有四条对称轴．正确的涂色位置是（

）A．①② B．①④ C．②③ D．①③【变式1】（2023秋·江苏·八年级专题练习）如图，在由小正方形组成的网格图中再涂黑一个小正方形，使它与原来涂黑的小正方形组成的新图案为轴对称图形，则涂法有（

）

A．2种 B．3种 C．4种 D．5种【变式2】（2023秋·江苏·八年级专题练习）图1，图2均是由大小相等的的正方形组成的，现在图2中添加一个同样大小的正方形，若所得图形与图1不全等，则添加的正方形是（）A．① B．② C．③ D．④【变式3】（2023春·河北邯郸·八年级校联考期中）嘉嘉和淇淇下棋，嘉嘉执圆子，淇淇执方子．棋盘中心方子的位置用（1，0）表示，右下角方子的位置用（2，－1）表示．嘉嘉将第4枚圆子放入棋盘后，所有棋子构成一个轴对称图形．则嘉嘉放的位置是（

）A．（1，2） B．（1，1） C．（－1，1） D．（－2，1）考点9：最短路径问题——将军饮马典例9：（2022秋·广东江门·八年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，AC=BC，AB=6，△ABC的面积为12，CD⊥AB于点D，直线EF垂直平分BC交AB于点E，交BC于点F，P是线段EF上的一个动点，分别连接BP，PD，则△PBD的周长的最小值是（

）

A．6 B．7 C．10 D．12【变式1】（2022秋·河南驻马店·八年级统考期中）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF分别交AB、AC边于点E、F，点K为EF上一动点，则BK+CK的最小值是以下哪条线段的长度（

A．EF B．AB C．AC D．BC【变式2】（2023春·山西运城·七年级统考期末）小王准备在红旗街道旁建一个送奶站，向居民区A，B提供牛奶，要使A，B两小区到送奶站的距离之和最小，则送奶站C的位置应该在（）．

B．

C．

D．

【变式3】（2023春·山东济南·七年级济南育英中学校考阶段练习）如图，在五边形ABCDE中，∠BAE=120°，∠B=∠E=90°，AB=BC，AE=DE，在BC、DE上分别找到一点M、N，使得△AMN的周长最小，则∠AMN+∠ANM的度数为（

A．100° B．110° C．120° D．130°【变式4】（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，在四边形ABCD中，∠C=α°，∠B=∠D=90°，E，F分别是BC，DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为（

）A．α B．2α C．180-α D．180-2α【变式5】（2022秋·全国·八年级专题练习）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=7，BD是△ABC的角平分线，点P，点N分别是BD，AC边上的动点，点M在BC上，且BM=1，则PM+PN的最小值为（

）A．3 B．23 C．3.5 D．考点10：等腰三角形的性质——求角、周长典例10：（2023春·福建宁德·八年级统考期中）如图，已知△ABC，按以下步骤作图：①分别以B、C为圆心12BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M、N，连接CD．若∠B=30°，∠A=55°，则∠ACD=（

A．65° B．60° C．55° D．45°【变式1】（2023秋·重庆沙坪坝·八年级重庆八中校考开学考试）如图，已知△ABC≌△A'BC'，AA'

A．40° B．35° C．50° D．20°【变式2】（2023秋·全国·八年级专题练习）在△ABC和△A'B'C'中，A．30° B．n° C．n°或180°-n° D．30°或150°【变式3】（2023秋·北京丰台·九年级北京丰台二中校考开学考试）如图，在▱ABCD中，AB=4，BC=7，∠ABC的平分线BE交AD于点

A．1 B．2 C．3 D．4【变式4】（2023春·陕西咸阳·八年级统考期中）如图，在△ABC中，∠ABC的平分线交AC于点D，AD=6，过点D作DE∥BC交AB于点E，若△AED的周长为16，则边AB的长为（）

A．10 B．8 C．6 D．16【变式5】（2023秋·辽宁铁岭·八年级统考期末）在△ABC中，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，过点D作直线EF平行于BC，分别交AB，AC于点E、F，若BE=2，CF=3，则线段EF的长是（

）A．6 B．5 C．4 D．3【变式6】（2023春·八年级课时练习）如图，在长方形ABCD中，AD=5，将长方形沿BD折叠，点A落在点E处，DE与BC交于点F，且BF=3，则EF的长为（

）A．1 B．2 C．2.5 D．3【变式7】（2023春·安徽·九年级专题练习）如图，四边形ABCD，连接AC，作AE垂直CD于E，若AB=AC，∠BAC=∠CAE=20°，∠BCD的度数为（

）

A．160° B．150° C．135° D．120°考点11：等腰三角形的性质——三线合一典例11：（2023秋·八年级课时练习）如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=50°，点D是底边BC的中点，AE=AD，求∠CDE的度数．

【变式1】（2023秋·陕西榆林·八年级校考开学考试）如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、F，连接OB，OC．

(1)试说明：BO=AO；(2)若∠CAD=25°，求∠BOF的度数．【变式2】（2023秋·江苏·八年级专题练习）如图，点D、E在△ABC的边BC上，AB=AC．

(1)若AD=AE，求证：BD=CE；(2)若BD=CE，F为DE的中点，如图②，求证：AF⊥BC．【变式3】（2023秋·江苏·八年级专题练习）如图所示，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，试说明AD与EF的关系．【变式4】（2023春·福建三明·八年级统考期中）命题：等腰三角形底边中点到两腰的距离相等.请你依据所给图形，写出已知，求证，并证明它是定理.已知：______求证：______证明：【变式5】（2022秋·新疆阿勒泰·八年级校考期末）如图，在ΔABC中，AB=AC,∠BAC平分线AD与∠ABC的平分线相交于点E，过点E向AB作垂线EF，DE与EF相等吗？说明你的理由【变式6】（2022秋·北京海淀·八年级北京二十中校考阶段练习）如图：在△ABC中，AB=AC，D为BC边的中点，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．(1)求证：DE=DF；(2)若∠A=60°,BE=2，求△ABC的周长．【变式7】（2022秋·福建南平·八年级统考期中）如图①，在△ABD和△ACD中，若AB＝AC，∠ABD＝∠ACD．（1）如图①，求证：AD平分∠BAC；（2）如图②，连接BC，延长AD交BC于点E．求证：AE⊥BC．考点12：等腰三角形的判定与性质——平行+角平分典例12：（2022秋·福建南平·八年级统考期中）如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，那么下列结论：①△BDF和△CEF都是等腰三角形；②DE=BD+CE；③△ADE的周长等于AB与AC的和；④BF=CF．其中正确的有（

）

A．① B．①② C．①②③ D．①②③④【变式1】（2022秋·山东德州·七年级阶段练习）如图，AB∥CD，∠1=58°，FG平分∠EFD，则∠FGB的度数等于（

）A．29° B．151° C．122° D．109°【变式2】（2023春·上海·七年级专题练习）如图，∠B、∠C的平分线相交于F，过点F作DE∥BC，交AB于D，交AC于E，那么下列结论正确的是(①△BDF、△CEF都是等腰三角形；②DE=BD+CE；③△ADE的周长为AB+AC；④BD=CE．A．③④ B．①② C．①②③ D．②③④【变式3】（2022秋·福建福州·八年级统考期中）如图，△ABC的两个内角的平分线BO，CO相交于点O，过点O作MN∥BC分别交AB，AC于点M，N，若△AMN的周长为15，BC=8，则△ABC的周长为（A．15 B．19 C．23 D．31【变式4】（2023·浙江嘉兴·校考一模）如图，在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且MN平分∠AMC，若AN=1，则BC的长为（）A．4 B．6 C．43 D．【变式5】（2022秋·福建南平·八年级统考期中）如图，在△ABC中，∠B、∠C的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，下列结论：①△BDF，△ADE都是等腰三角形；②DE＝BD＋CE；③△ADE的周长等于AB＋AC；④BF＝CF；⑤若∠A＝80°，则∠BFC＝130°，其中正确的有（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个考点13：等边三角形的性质——30°角直角三角形典例13：（2023春·福建三明·八年级校考阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD平分∠ABC，则S△BCDS

A．14 B．13 C．12【变式1】（2023春·福建三明·八年级统考阶段练习）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，∠B=30°，AD⊥BC于点D，CE是∠ACB的平分线，CE交AD于点P．若AB=12，则AP的长为(

)

A．6 B．5 C．4 D．3【变式2】（2023春·福建三明·八年级统考期中）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E，AC=6，则CD的长为（

）

A．1 B．2 C．3 D．4【变式3】（2023春·福建宁德·八年级统考期中）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°，若BD=3，则AD的长度为（

）A．6 B．9 C．12 D．15【变式4】（2022秋·福建莆田·八年级校考期末）在Rt△ABC中，∠C=30°，斜边AC的长为10，则AB的长为（

A．12 B．20 C．10 D．5【变式5】（2022秋·福建福州·八年级校考期中）已知，如图，△ABC是等边三角形，AE＝CD，BQ⊥AD于Q，BE交AD于点P，下列说法：①AE＋BD＝AB，②∠APE＝∠C，③AQ＝BQ，④BP＝2PQ，其中一定正确的个数有（

）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个考点14：等边三角形的判定与性质综合典例14：（2022秋·福建福州·八年级校考期中）如图（1），在△ABC中，已知AB=BC=CA=4cm，AD⊥BC于D，点P、Q分别从B、C两点同时出发，其中点P沿BC向终点C运动，速度为1cm/s；点Q沿CA、AB向终点B运动，速度为2cm/s

(1)当x=时，PQ⊥AC；(2)当0<x<2时，求出使PQ∥AB的(3)当2<x<4时，①是否存在x，使△BPQ是直角三角形？若存在，请求出x的值，若不存在，请说明理由；②设PQ与AD交于点O，探索：OP与OQ的关系，并说明理由．【变式1】（2022秋·福建莆田·八年级统考期末）如图，在△ABC中，∠B=90°，点D在边BC的延长线上，线段AC，CD的垂直平分线交于点E，连接AE,CE,DE,AD．(1)若∠BAC=60°，求证：△ADE是等边三角形；(2)求∠AED与∠ACB之间的数量关系．【变式2】（2022秋·福建泉州·八年级校考期末）如图，点D在等边△ABC的外部，E为BC边上的一点，AD=CD，DE交AC于点F，AB∥(1)判断△CEF的形状，并说明理由；(2)若BC=10，CF=4，求DE的长．【变式3】（2022秋·福建福州·八年级校考期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=3(1)求AB的长；(2)点D在CB的延长线上，点M在∠ABD的平分线上，连接DM，AM，①求证：△ADM是等边三角形；②BM-BD的值是否为定值，如果是，请求出定值；如果不是，请说明理由．【变式4】（2022秋·福建龙岩·八年级校联考阶段练习）如图，在△ABC中，AB=AC，D为AC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，且DE=DF，连接BD，点G在BC的延长线上，且CD=CG．(1)求证：△ABC是等边三角形；(2)若BF=3，求CG的长．【变式5】（2022秋·福建厦门·八年级福建省厦门集美中学校考期中）如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠AOB=110°，∠BOC=α，△BOC≌△ADC，∠OCD=60°，连接OD．(1)求证：△OCD是等边三角形；(2)当α=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；(3)探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？(直接写出答案，一个即可）．考点15：等腰与等边的手拉手模型典例15：（2023·全国·八年级专题练习）问题发现：如图1，已知C为线段AB上一点，分别以线段AC，BC为直角边作等腰直角三角形，∠ACD=90°，CA=CD，CB=CE，连接AE，BD，线段AE，BD之间的数量关系为______；位置关系为_______．拓展探究：如图2，把Rt△ACD绕点C逆时针旋转，线段AE，BD交于点F，则AE与BD【变式1】（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图，AB=AC，AE=AD，∠CAB=∠EAD=α．（1）求证：△AEC≅△ADB；（2）若α=90°，试判断BD与CE的数量及位置关系并证明；（3）若∠CAB=∠EAD=α，求∠CFA的度数．【变式2】（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图，B，C，E三点在一条