专题02 二次函数的图像和性质-原卷版

专题02二次函数的图像和性质★知识点1：y=ax2a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a>0向上0y轴x>0时，y随x的增大而增大；x<0时，y随x的增大而减小；x=0时，y有最小值0．a<0向下0y轴x>0时，y随x的增大而减小；x<0时，y随x的增大而增大；x=0时，y有最大值0．典例分析【例1】（2023秋·海南省直辖县级单位·九年级统考期末）关于抛物线，下列说法错误的是（

）A．图象关于直线对称 B．抛物线开口向下C．随着的增大而减小 D．图象的顶点为原点【例2】（2022秋·天津宝坻·九年级校考期中）已知如图各抛物线所对应的函数解析式分别为①②③④则比较a、b、c、d的大小为（

）A． B． C． D．【即学即练】1．（2023·浙江·九年级假期作业）已知二次函数有最大值，则a的值为（）A． B． C． D．02．（2023·全国·九年级假期作业）对于函数，下列说法正确的是（）A．y的值总为正B．图像开口向下C．图像顶点在原点D．y随x的增大而增大★知识点2：y=ax2a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a>0向上0y轴x>0时，y随x的增大而增大；x<0时，y随x的增大而减小；x=0时，y有最小值c．a<0向下0y轴x>0时，y随x的增大而减小；x<0时，y随x的增大而增大；x=0时，y有最大值c．典例分析【例1】（2023秋·浙江·九年级专题练习）关于二次函数的图象，下列说法中，正确的是（）．A．对称轴为直线B．顶点坐标为C．可以由二次函数的图象向左平移1个单位得到D．在y轴的左侧，图象上升，在y轴的右侧，图象下降【例2】（2022秋·安徽滁州·九年级校考期中）对于二次函数，下列说法，不正确的是（）A．抛物线的开口向下 B．当时，随的增大而减小C．图象是轴对称图形 D．当时，有最大值即学即练1．（2022秋·广东广州·九年级校考阶段练习）已知都在函数图象上，则的大小关系为（

）．A． B． C． D．2．（2023·浙江·九年级假期作业）关于二次函数的图像，下列说法错误的是（

）A．抛物线开口向下B．对称轴为直线C．顶点坐标为D．当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大★知识点3：y=ax-a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a>0向上hX=hx>h时，y随x的增大而增大；x<h时，y随x的增大而减小；x=h时，y有最小值0．a<0向下hX=hx>h时，y随x的增大而减小；x<h时，y随x的增大而增大；x=h时，y有最大值0．典例分析【例1】（2023·浙江·九年级假期作业）二次函数的图像的对称轴是（）A．直线 B．直线 C．直线 D．直线【例2】．（2023·浙江·九年级假期作业）设函数，，．直线的图象与函数，，的图象分别交于点，，，（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则即学即练1．（2023秋·安徽六安·九年级校考期末）将抛物线向右平移3个单位，再向上平移1个单位，则平移后的抛物线的解析式是（

）A．B．C．D．2．（2023·浙江·九年级假期作业）已知某二次函数，当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小，则该二次函数的解析式可以是（

）A． B． C． D．★知识点4y=ax-a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a>0向上hX=hx>h时，y随x的增大而增大；x<h时，y随x的增大而减小；x=h时，y有最小值k．a<0向下hX=hx>h时，y随x的增大而减小；x<h时，y随x的增大而增大；x=h时，y有最大值k．【例1】（2023秋·湖南长沙·九年级统考期末）关于抛物线的特征，下列说法错误的是（

）A．开口向上 B．对称轴为直线C．顶点坐标是 D．当时，随的增大而增大【例2】（2023·安徽·九年级专题练习）二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象经过（

）

A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限C．第二、三、四象限 D．第一、三、四象限即学即练1．（2023·陕西·统考中考真题）在平面直角坐标系中，二次函数（为常数）的图像经过点，其对称轴在轴左侧，则该二次函数有（

）A．最大值 B．最大值 C．最小值 D．最小值2.（2023秋·辽宁葫芦岛·九年级统考期末）抛物线的顶点坐标为（

）A． B． C． D．★知识点5二次函数y=ax2用配方法可化成：y=ax-h2+k二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x＝﹣，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x＝﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|﹣|个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．典例分析【例1】（2023·湖南长沙·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考三模）关于二次函数的最值，说法正确的是（

）A．最小值为 B．最小值为 C．最大值为 D．最大值为【例2】（2021·浙江杭州·校考一模）已知函数，若使y＝k成立的x值恰好有三个，则k的值为（）A．0 B．1 C．2 D．3即学即练1．（2023·河南驻马店·统考一模）下列关于二次函数的图象和性质的叙述中，正确的是（

）A．点在函数图象上 B．开口方向向上C．对称轴是直线 D．当时，随的增大而减小2．（2023·全国·九年级专题练习）已知二次函数（其中，c为常数），则该函数的图象可能为（

）A．

B．

C．D．

★知识点6:二次函数的图像与各系数的符号关系字母的符号图象的特征aa>0开口向上a<0开口向下bb=0对称轴为y轴ab>0（a与b同号）对称轴在y轴左侧ab<0（a与b异号）对称轴在y轴右侧cc=0经过原点c>0与y轴正半轴相交c<0与y轴负半轴相交b2–4acb2–4ac=0与x轴有唯一交点（顶点）b2–4ac>0与x轴有两个交点b2–4ac<0与x轴没有交点典例分析【例1】（2022秋·吉林松原·九年级校联考期中）二次函数的图象如图所示，下列说法正确的是（

）

A． B． C． D．【例2】（2022秋·山西吕梁·九年级校考阶段练习）已知二次函数的图象如图所示，该函数对称轴为，且经过点下列结论中不正确的是（

）

A．B．函数最大值为C．当时， D．．即学即练1.（2020秋·广东广州·九年级广州市第二中学校考阶段练习）已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：①a，b同号；②当和时，函数值相等；③；④时，．其中正确的个数为（

）

A．1 B．2 C．3 D．42．（2023·贵州·统考中考真题）已知，二次数的图象如图所示，则点所在的象限是（

）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限★知识点7:一次函数与二次函数图像的综合判断典例分析【例1】．（2023秋·全国·九年级专题练习）下列图象中，当时，函数与的图象是（）A．B．C．D．【例2】（2023·安徽·九年级专题练习）已知二次函数和一次函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（

）A．B．C．D．即学即练1.（2023秋·浙江·九年级专题练习）同一坐标系中，二次函数与一次函数的图象可能是（

）A．

B．

C．

D．

2．（2022秋·安徽铜陵·九年级统考期末）一次函数与二次函数在同一坐标系内的图象可能为（）A．

B．

C．

D．

★知识点8:反比例函数与二次函数图像的综合判断典例分析【例1】（2023·山东东营·统考二模）二次函数（）的图象如图所示，则一次函数（）与反比例函数（）在同一平面直角坐标系中的图象大致是（

）A．B． C． D．【例2】（2023·辽宁朝阳·校考一模）二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一坐标系内的大致图象是（

）A．B．C．D．即学即练1．（2023·贵州铜仁·校考一模）函数与在同一直角坐标系中的图象大致是（）A．B．C．D．2．（2022秋·新疆昌吉·九年级校考期末）二次函数的图象如图，反比例函数与正比例函数在同一坐标系内的大致图象是（

）．A．B．C．D．★知识点9:根据图像判断式子的符号常用公式及方法：二次函数三种表达式：表达式顶点坐标对称轴一般式顶点式交点式韦达定理：若二次函数图象与x轴有两个交点且交点坐标为（，0）和（，0），则，。赋值法：在二次函数中，令，则；令，则；令，则；令，则；利用图象上对应点的位置来判断含有、、的关系式的正确性。典例分析【例1】（2023·全国·九年级专题练习）某二次函数的部分图象如图所示，下列结论中一定成立的有（

）①；②；③；④．

A．个 B．个 C．个 D．个【例2】（2020秋·广东东莞·九年级校联考期中）二次函数图象如图，下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（）

A．②③④ B．①②④ C．②③ D．①②③④即学即练1（2023·安徽芜湖·芜湖市第二十九中学校考二模）如图所示，点A，B，C是抛物线（为任意实数）上三点，则下列结论：①；②函数最大值大于4；③；其中正确的有（

）

A．②③ B．②③ C．①③ D．①②2（2022秋·江苏盐城·九年级东台市三仓镇中学校联考阶段练习）如图，二次函数的图象与轴的一个交点为，对称轴为直线，给出下列结论：；；；．其中正确的是（

）A． B． C． D．★知识点10:求对称轴典例分析【例1】（2023秋·全国·九年级专题练习）已知抛物线经过A，B两点，则它的对称轴是（）A．直线 B．直线 C．直线 D．无法确定【例2】（2022秋·安徽安庆·九年级统考期末）已知二次函数的图像上有两点和，则当时，二次函数的值是（

）A．−1 B．0 C．1 D．2即学即练1.（2023·浙江杭州·统考一模）坐标平面上有一水平线与二次函数的图形，其中为一正数，且与二次函数图象相交于、两点，其位置如图所示．若：：，则的长度为()A．17 B．19 C．21 D．242.（2023·湖南株洲·统考一模）已知抛物线（a，h是常数）与y轴的交点为A，点A与点B关于抛物线的对称轴对称，抛物线中的自变量x与函数值y的部分对应值如表：x…0134……6…下列结论正确的是（

）A．抛物线的对称轴是直线 B．当时，y随x的增大而增大C．将抛物线向上平移1个单位后经过原点D．点A的坐标是，点B的坐标是★知识点11:根据对称性求函数值典例分析【例1】（2023·浙江温州·校考三模）已知二次函数的图象过两点，下列选项正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【例2】（2023秋·九年级单元测试）已知二次函数（a为常数，且）的图象上有三点，，，则，，的大小关系为（

）A． B． C． D．即学即练1.（2022春·浙江·九年级校考阶段练习）若点，，为二次函数的图像上的三点，则的大小关系是（）A． B． C． D．2.（2022秋·北京·九年级北京铁路二中校考期中）已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如表：x…-10123y…105212…则当时，x的取值范围是（

）A． B． C．或 D．或★知识点12:y=ax典例分析【例1】（2023·河北保定·统考二模）在平面直角坐标系中，点，当线段最短时，的值为（

）A．2 B．3 C．4 D．0【例2】（2023秋·浙江·九年级专题练习）已知二次方程的两根为和5，则对于二次函数，下列叙述正确的是（

）A．当时，函数的最大值是9． B．当时，函数的最大值是9．C．当时，函数的最小值是． D．当时，函数的最小值是．即学即练1.（2023·江苏南通·统考二模）若实数a，b，c满足，则c的最小值是（

）A．6 B．7 C．8 D．92.（2022秋·九年级单元测试）二次函数有最小值，则的值为（

）A． B． C． D．★知识点13:根据对称性求最短路径典例分析【例1】（2022春·九年级课时练习）如图，直线yx+3分别与x轴，y轴交于点A、点B，抛物线y=x2+2x﹣2与y轴交于点C，点E在抛物线y=x2+2x﹣2的对称轴上移动，点F在直线AB上移动，CE+EF的最小值是（）A．4 B．4.6 C．5.2 D．5.6【例2】（2022秋·广西百色·九年级统考期中）如图，抛物线与轴交于点，与轴的负半轴交于点，点是对称轴上的一个动点，连接，，则的最小值为（

）A．2 B． C． D．即学即练1.（2022春·九年级课时练习）如图，在抛物线上有，两点，其横坐标分别为1，2；在轴上有一动点，当最小时，则点的坐标是（

）A．（0.0） B．（0，） C．（0，2） D．（0，）2.（2022春·九年级课时练习）如图，抛物线y＝ax2+bx+c交x轴分别于点A（﹣3，0），B（1，0），交y轴正半轴于点D，抛物线顶点为C．下列结论①2a﹣b＝0；②a+b+c＝0；③当m≠﹣1时，a﹣b＞am2+bm；④当△ABC是等腰直角三角形时，a＝；⑤若D（0，3），则抛物线的对称轴直线x＝﹣1上的动点P与B、D两点围成的△PBD周长最小值为3，其中，正确的个数为（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个★知识点14:二次函数的平移典例分析【例1】（2023秋·浙江·九年级专题练习）抛物线是由抛物线平移得到的，下列平移正确的是（）A．向上平移2个单位长度 B．向下平移2个单位长度C．向左平移2个单位长度 D．向右平移2个单位长度【例2】（2022秋·安徽芜湖·九年级校考阶段练习）如果一种变换是将抛物线向右平移2个单位或向上平移1个单位，我们把这种变换称为抛物线的简单变换．已知抛物线经过两次简单变换后的一条抛物线是，则原抛物线的解析式不可能是（

）A． B．C． D．即学即练1.（2023秋·安徽滁州·九年级校考期末）抛物线经过平移得到，则平移方法是（）A．向右平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度B．向右平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度C．向左平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度D．向左平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度2.（2023秋·新疆和田·九年级统考期末）将抛物线向右平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的抛物线是（

）A．B． C． D．★知识点15:二次函数的综合典例分析【例1】（2022秋·山西晋中·九年级校考阶段练习）综合与探究如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过、两点，与轴交于另一点．

(1)求抛物线的解析式；(2)点是抛物线的顶点，连接、，求的面积．【例2】（2023·全国·九年级假期作业）如图，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点．

(1)求该抛物线的解析式及顶点坐标；(2)若P是线段上一动点，过P作y轴的平行线交抛物线于点H，交于点N．设．的面积为S，求S关于t的函数解析式，若S有最大值，请求出S的最大值；若没有，请说明理由．即学即练1.（2023·全国·九年级假期作业）如图，已知抛物线的对称轴为直线，且与y轴的交点坐标为，直线l与x轴相交于点C．

(1)求该抛物线的表达式；(2)如图，点P是该抛物线对称轴右侧图象上一动点，过点P作轴，，垂足分别为A，B．设点P的横坐标为m．当四边形为正方形时，求m的值．2.（2023·浙江·九年级假期作业）如图，抛物线经过点，，点是直线上的动点，过点作轴的垂线交抛物线于点．设点的横坐标为．

(1)求抛物线的解析式；(2)若点在第一象限，连接，当线段最长时，求的面积；(3)是否存在这样的点，使以点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．1．（2023·上海·九年级假期作业）抛物线，，共有的性质是（

）A．开口向上 B．对称轴都是y轴 C．都有最高点 D．顶点相同2．（2022秋·安徽六安·九年级校考期末）关于二次函数，下列说法错误的是（

）A．顶点坐标为 B．有最大值C．与轴无交点 D．对称轴是直线3．（2023秋·江苏淮安·九年级统考期末）对于二次函数，下列说法不正确的是（

）A．图像开口向下 B．图像的对称轴是直线C．函数最大值为0 D．y随x的增大而增大4．（2022秋·湖南益阳·九年级校考期中）抛物线上有三点，分别是；；那这三点中纵坐标的大小关系为（

）A． B． C． D．5．（2023·陕西西安·校考模拟预测）已知函数，当时，y有最大值a，最小值b，则的值为（

）A．13 B．5 C．11 D．146．（2023秋·辽宁葫芦岛·九年级统考期末）如图，正方形是边长为6，点从点A出发以的速度沿运动，动点从点A出发以的速度沿向点运动，两点均到达点停止运动．设点的运动时间是，的面积是，则能正确反应关于的函数图象是（

）

A．

B．

C．

D．

7．（2022秋·湖北荆州·九年级校考期中）已知、、是二次函数图象上的三点，则、、的大小关系为（

）A． B． C． D．8．（2023·辽宁营口·统考中考真题）如图．抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C．下列说法：①；②抛物线的对称轴为直线；③当时，；④当时，y随x的增大而增大；⑤（m为任意实数）其中正确的个数是（

）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个9．（2023·全国·九年级专题练习）如图是一次函数的图象，则二次函数的图象可能为（）A． B． C． D．10．（2023·上海·九年级假期作业）如图，在同一直角坐标系中抛物线与双曲线交于，，三点，则满足的自变量x的取值范围是（

）

A．或 B．或C．或或 D．或或11．（2023·全国·九年级专题练习）已知二次函数和，，则下列说法正确的是（

）A．当时， B．当时，C．当时， D．当时12．（2023·全国·九年级专题练习）二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为．下列结论正确的是（

）

A． B．C． D．若是抛物线上两点，则13．（2023·新疆·统考一模）若二次函数的图象过不同的五点，，，，，则，，的大小关系是（

）A． B． C． D．14．（2023·浙江·九年级假期作业）已知二次函数的图像如图所示，下列四个命题：①；②；