专题05 全等三角形章末重难点题型专训（原卷版）

专题05全等三角形章末重难点题型专训【题型目录】题型一全等图形的识别题型二全等三角形的概念题型三全等三角形的性质题型四全等三角形的判定题型五全等三角形的判定与性质综合题型六全等三角形中的动点问题题型七全等三角形中的旋转（翻折）问题题型八全等三角形中倍长中线模型问题题型九全等三角形中的多结论问题题型十全等三角形的综合问题【经典例题一全等图形的识别】【例1】（2022秋·八年级课时练习）百变魔尺，魅力无穷，如图是用24段魔尺（24个等腰直角三角形，把等腰直角三角形最长边看做1）围成的长为4宽为3的长方形．用该魔尺能围出不全等的长方形个数为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【变式训练】1．（2022秋·河南南阳·八年级统考期末）已知如图，、为的平分线上的两点，连接、、、；如图，、、为的平分线上的三点，连接、、、、、；如图，、、、为的平分线上的四点，连接、、、、、、、依此规律，第个图形中有全等三角形的对数是A． B． C． D．2．（2022秋·八年级课时练习）如图中有6个条形方格图，图上由实线围成的图形与（1）是全等形的有__________．3．（2022秋·全国·八年级专题练习）如图，沿着方格线，把下列图形分割成四个全等的图形．【经典例题二全等三角形的概念】【例2】（2023·全国·八年级假期作业）已知，且与是对应角，和是对应角，则下列说法中正确的是（

）A．与是对应边 B．与是对应边C．与是对应边 D．不能确定的对应边【变式训练】1．（2022秋·全国·八年级专题练习）罗同学学习了全等三角形后，利用全等三角形绘制出了下面系列图案，第（1）个图案由2个全等三角形组成，第（2）个图案由4个全等三角形组成，第（3）个图案由7个全等三角形组成，第（4）个图案由12个全等三角形组成，则第（6）个图案中全等三角形的个数为（

）A．25 B．38 C．70 D．1352．（2022春·黑龙江大庆·七年级统考期末）如图，△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB，AC边翻折180°形成的.若∠BAC＝145°，则∠α＝____.3．（2022春·上海杨浦·七年级统考期末）如图，在中，已知，，，试把下面运用“叠合法”说明和全等的过程补充完整：说理过程：把放到上，使点A与点重合，因为，所以可以使，并使点C和在AB（）同一侧，这时点A与重合，点B与重合，由于，因此，；由于，因此，；于是点C（射线AC与BC的交点）与点（射线与的交点）重合，这样

．【经典例题三全等三角形的性质】【例3】（2023春·全国·七年级专题练习）如图，，点B和点C是对应顶点，，记，，，当时，与之间的数量关系为（

）A． B． C． D．【变式训练】1．（2022秋·安徽合肥·八年级合肥市第四十五中学校考阶段练习）如图，在锐角中，D，E分别是边上的点，，且，交于点F．若，则的大小是（

）A．90° B．95° C．100° D．110°2．（2022秋·辽宁大连·八年级统考期中）如图，，的延长线交于F，，，，则______°．3．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，已知，点E在上，与相交于点F．(1)当，时，求线段AE的长；(2)已知，，求与的度数．【经典例题四全等三角形的判定】【例4】（2023·江苏·八年级假期作业）如图，在四边形与中，．下列条件中：①；②；③；④．添加上述条件中的其中一个，可使四边形≌四边形，上述条件中符合要求的有（）A．①②③ B．①③④ C．①④ D．①②③④【变式训练】1．（2023秋·八年级单元测试）如图，在中，，点D是底边BC上异于AC中点的一个点，，．运用以上条件（不添加辅助线）可以说明下列结论错误的是（

）A． B． C． D．2．（2022秋·北京海淀·八年级统考期末）甲乙两位同学进行一种数学游戏．游戏规则是：两人轮流对及对应的边或角添加等量条件(点，，分别是点A，B，C的对应点)，某轮添加条件后，若能判定与全等，则当轮添加条件者失败，另一人获胜．轮次行动者添加条件1甲cm2乙cm3甲…上表记录了两人游戏的部分过程，则下列说法正确的是__________(填写所有正确结论的序号)①若第3轮甲添加cm，则乙获胜；②若甲想获胜，第3轮可以添加条件；③若乙想获胜，可修改第2轮添加条件为．3．（2023·湖南岳阳·统考一模）如图，在中，，、是边上的点．请从以下三个条件：①；②；③中，选择一个合适的作为已知条件，使得．

(1)你添加的条件是______（填序号）；(2)添加了条件后，请证明．【经典例题五全等三角形的判定与性质综合】【例5】（2023春·重庆大渡口·七年级重庆市第三十七中学校校考期中）如图，在中，，和的平分线、相交于点O，交于点D，交于点E，若已知周长为20，，，则长为（

）A． B．3 C． D．4【变式训练】1．（2023·全国·八年级假期作业）如图，在和中，，是的中点，，垂足为点，且．若，则的长为(

)A．2cm B． C． D．2．（2023春·陕西西安·七年级西安市曲江第一中学校考期中）如图，在中，分别以为边向外作和，使，，，连接，为边上的高线，延长交于点N，下列结论：（1）；（2）；（3）；（4），其中正确的结论有____（填序号）．3．（2023·江苏·八年级假期作业）问题：已知中，，点D是内的一点，且，．探究与度数的比值．请你完成以下探究过程：先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明．

(1)当时，依问题中的条件补全上图；观察图形，与的数量关系为；当推出时，可进一步推出的度数为；可得到与度数的比值为；(2)当时，请你画出图形，研究与度数的比值是否与（1）中的结论相同，写出你的猜想并加以证明．【经典例题六全等三角形中的动点问题】【例6】（2022春·七年级单元测试）现有一块如图所示的绿草地，经测量，，，，，点E是边的中点，小狗汪汪从点B出发沿以的速度向点C跑，同时小狗妞妞从点C出发沿向点D跑．要使与全等，则妞妞的运动速度为（

）

A． B． C．或 D．无法确定【变式训练】1．（2023秋·湖南株洲·八年级统考期末）如图，，，，点在线段上以1cm/s的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动，它们运动的时间为，当点的运动速度为（

）cm/s时，在某一时刻，、、三点构成的三角形与、、三点构成的三角形全等．A．1或 B．1或 C．2或 D．12．（2023春·江苏苏州·七年级苏州工业园区星湾学校校考阶段练习）如图，中，，，．点P从A点出发沿路径向终点运动，终点为B点；点Q从B点出发沿路径向终点运动，终点为A点．点P和Q分别以每秒1和3的运动速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动，在某时刻，分别过P和Q作于E、作于F，当点P运动______秒时，以P、E、C为顶点的三角形和以Q、F、C为顶点的三角形全等．3．（2023春·陕西西安·七年级校考阶段练习）在直角三角形中，，直线l过点C．

(1)当时，①如图1，分别过点A和B作直线l于点D，直线l于点E．求证：；②如图2，过点A作直线l于点D，点B与点F关于直线l对称，连接交直线l于E，连接．求证：．(2)当，时，如图3，点B与点F关于直线l对称，连接、．点M从A点出发，以每秒1cm的速度沿路径运动，终点为C，点N以每秒的速度沿路径运动，终点为F，分别过点M、N作直线l于点D，直线l于点E，点M、N同时开始运动，各自达到相应的终点时停止运动，设运动时间为t秒．当与全等时，求t的值．【经典例题七全等三角形中的旋转（翻折）问题】【例7】（2022秋·福建厦门·九年级厦门双十中学校考期中）如图所示的正方形中，点在边上，把绕点顺时针旋转得到，．旋转角的度数是（

）A．110° B．90° C．70° D．20°【变式训练】1．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，将△ABC绕点A逆时针旋转60°，得到△ADE，连接BE，则∠BED的度数为（）A．100° B．120° C．135° D．150°2．（2023春·七年级课时练习）如图，在纸片中，，，且，P为BC上一点，将纸片沿AP剪开，并将、分别沿AB、AC向外翻折至、，连接DE，则面积的最小值为______．3．（2022秋·湖北黄冈·九年级统考期末）（1）如图1，在四边形中，，，，、分别是、上的点且，直接写出图中线段、、之间的数量关系，不必证明．（2）如图2，若在四边形中，，，、分别是、上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由；（3）如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以45海里/小时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东的方向以65海里/小时的速度前进，2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E、F处，且，试求此时两舰艇之间的距离．【经典例题八全等三角形中倍长中线模型问题】【例8】（2023春·黑龙江绥化·七年级绥化市第八中学校校考期中）如图，在中，，，是边上的中线，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式训练】1．（2022秋·山东日照·八年级期中）在△ABC中，AB＝5，AC＝3，AD为BC边的中线，则AD的长的取值范围(

)A． B． C． D．2．（2022秋·江苏南通·八年级校联考阶段练习）已知，△ABC中，AB=10，BC=15，D为AC的中点，则中线BD的取值范围为___________.3．（2023春·广东佛山·七年级校考期中）【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图，中，，，求边上的中线的取值范围，经过组内合作交流．小明得到了如下的解决方法：延长到点，使请根据小明的方法思考：

（1）求得的取值范围是___________；【问题解决】请利用上述方法（倍长中线）解决下列三个问题如图，已知，，，为的中点．

（2）如图1，若，，共线，求证：平分；（3）如图2，若，，不共线，求证：；（4）如图3，若点在上，记锐角，且，则的度数是___________（用含的代数式表示）．【经典例题九全等三角形中的多结论问题】【例9】1（2023秋·湖南衡阳·八年级统考期末）如图，在中，是边上的高，，，．连接，交的延长线于点E，连接，．则下列结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的有（）A．①②③ B．①②③④ C．①②③⑤ D．①②③④⑤【变式训练】1．（2023春·八年级课时练习）如图，在直角三角形中，，的角平分线相交于点O，过点O作交的延长线于点F，交于点G，下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（

）A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③④2．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，于点，于点，与交于点，连接并延长交于点，延长至点，若平分，平分，则下列结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的结论有______（写序号）．3．（2022秋·全国·八年级专题练习）如图，在中，和的平分线、相交于点，交于点，交于点，过点作于点，则下列三个结论：①；②当时，；③若，，则．其中正确的是______．【经典例题十全等三角形的综合问题】【例10】（2022秋·辽宁葫芦岛·八年级统考期中）如图，、是的角平分线，、相交于点F，已知，则下列说法中正确的个数是（

）①；②；③；④．A．1 B．2 C．3 D．4【变式训练】1．（2022秋·浙江宁波·八年级统考阶段练习）如图，在中，，，垂足分别为、，、交于点，已知，，则的长是（

）A． B．1 C．3 D．22．（2023秋·河北邯郸·八年级校考期末）如图，在中，，，，为边上的高，在直线上.（1）若，则_____________°；（2）若点从点出发，在直线上以每秒2cm的速度向一个⽅向移动，过点作的垂线交直线于点，当点运动____________秒时，.3．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第一一三中学校校考期中）如图1，是中边上的高，点D是上一点，连接交于点F，．(1)求证：；(2)若，求证：；(3)如图2，在（2）的条件下，延长至点G，连接，，若，，求线段的长．（注：不能应用等腰三角形的相关性质和判定）【重难点训练】1．（2023春·辽宁沈阳·七年级沈阳市第一二六中学校考阶段练习）如图，抗日战争期间，为了炸毁敌人的碉堡，需要测出我军阵地与敌人碉堡的距离．我军战士想到一个办法，他先面向碉堡的方向站好，然后调整帽子，使视线通过帽檐正好落在碉堡的底部点B；然后转过身保持刚才的姿势，这时视线落在了我军阵地的点E上；最后，他用步测的办法量出自己与E点的距离，从而推算出我军阵地与敌人碉堡的距离，这里判定的理由可以是（

）

A． B． C． D．2．（2023·河北保定·统考二模）如图，要判断一张纸带的两边a，b是否相互平行，提供了如下两种折叠与测量方案：

方案I：沿图中虚线折叠并展开，测量发现．

方案II：先沿折叠，展开后再沿折叠，测得．对于方案I，II，下列说法正确的是（

）A．I可行，II不可行 B．I不可行，II可行C．I，II都不可行 D．I，II都可行3．（2023春·陕西西安·八年级陕西师大附中校考阶段练习）如图，的周长为26，点D，E都在边上，的平分线垂直于，垂足为Q，的平分线垂直于，垂足为P．若，则的长为（

）A．2 B．3 C．6 D．84．（2022秋·贵州铜仁·八年级统考期中）如图，点C在线段上，于点B，于点D．，且，，点P以的速度沿向终点E运动，同时点Q以的速度从点E开始，在线段上往返运动（即沿运动），当点P到达终点时，点P，Q同时停止运动．过点P，Q分别作的垂线，垂足为M，N．设运动时间为，当以P，C，M为顶点的三角形与全等时，t的值不可能是（

）A．15 B．1 C． D．5．（2023春·全国·七年级期末）如图，在和中，，，，，连接，交于点，连接．下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的个数为（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个6．（2023·江苏·八年级假期作业）在中，，是边上的中线，则的取值范围是__．7．（2023·江苏·八年级假期作业）如图所示，分别是锐角和中边的高，且，若要使，可补充的条件是___________（只需要填写一个你认为适当的条件即可）

8．（2023秋·湖南益阳·八年级校联考期末）如图，在矩形中，cm，cm，点从点B出发，以cm/s的速度沿边向点运动，到达点停止，同时，点从点出发，以cm/s的速度沿边向点运动，到达点停止，规定其中一个动点停止运动时，另一个动点也随之停止运动．当为____________时，与全等．9．（2023·全国·八年级假期作业）如图，点在上，于点，交于点，，．若，则________________．10．（2022春·山东菏泽·七年级统考期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，两锐角的角平分线交于点P，点E、F分别在边BC、AC上，且都不与点C重合，若∠EPF＝