专题05 二次函数的新定义问题专训（原卷版）

专题05二次函数的新定义问题专训【精选最新40道二次函数的新定义问题专训】1．（2023秋·湖北武汉·九年级校考阶段练习）我们定义：若点在某一个函数的图象上，且点的横纵坐标相等，我们称点为这个函数的“好点”若关于的二次函数对于任意的常数，恒有两个“好点”，则的取值范围为（

）A． B． C． D．2．（2021秋·广东广州·九年级校考阶段练习）在平面直角坐标系中，对于点和，给出如下定义：若，则称点为点的“可控变点”．例如：点的“可控变点”为点，点的“可控变点”为点．若点在函数的图像上，则其“可控变点”的纵坐标关于的函数图象大致正确的是（

）A． B．

C．

D．

3．（2023·山东济南·统考中考真题）定义：在平面直角坐标系中，对于点，当点满足时，称点是点的“倍增点”，已知点，有下列结论：①点，都是点的“倍增点”；②若直线上的点A是点的“倍增点”，则点的坐标为；③抛物线上存在两个点是点的“倍增点”；④若点是点的“倍增点”，则的最小值是．其中，正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．44．（2023·湖南岳阳·统考中考真题）若一个点的坐标满足，我们将这样的点定义为“倍值点”．若关于的二次函数（为常数，）总有两个不同的倍值点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．5．（2023秋·江苏·九年级专题练习）定义表示不超过实数x的最大整数，如，，，，．函数的图象如图所示，则方程的根的个数有（）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个6．（2023·广西·统考一模）定义：如果两个函数图象上至少存在一对点是关于原点对称的，我们则称这两个函数互为“守望函数”，这对点称为“守望点”．例如：点在函数上，点在函数上，点P与点Q关于原点对称，此时函数和互为“守望函数”，点P与点Q则为一对“守望点”．已知函数和互为“守望函数”，则n的最大值为（）A． B． C． D．7．（2023·山东济南·山东大学附属中学校考一模）对于任意的实数m、n，定义符号的含义为m，n之间的最大值，如，．定义一个新函数：，则时，x的取值范围为（

）A．或 B．或 C． D．或8．（2023春·四川乐山·九年级统考期中）我们定义一种新函数：形如的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了“鹊桥”函数的图像（如图所示），并写出下列结论：①图像与坐标轴的交点为，和；②图像具有对称性，对称轴是直线；③当或时，函数值随的增大而增大；④当或时，函数的最小值是0；⑤当时，函数的最大值是4；⑥若点在该图像上，则当时，可以找到4个不同的点．其中正确结论的个数是（

）A．6 B．5 C．4 D．39．（2023·福建龙岩·统考模拟预测）定义符号含义为：当时；当时．如：，．则的最大值是（）A． B． C．1 D．010．（2022·湖南岳阳·统考二模）定义：我们将某函数图象在x轴上方的部分沿x轴翻折，其余部分不变，从而形成新图象的过程称为“非正变换”．已知抛物线y＝﹣x2﹣2x＋3的图象如图所示，则将其进行“非正变换”后得到的图象与直线y＝x＋m有四个交点时m的范围是（

）A． B． C． D．11．（2023秋·江西宜春·九年级校考阶段练习）定义为函数的“特征数”．如函数的特征数为，函数的特征数为，若特征数为的函数图象与x轴只有一个交点，则a的值为．12．（2023·四川乐山·统考中考真题）定义：若x，y满足且（t为常数），则称点为“和谐点”．（1）若是“和谐点”，则．（2）若双曲线存在“和谐点”，则k的取值范围为．13．（2023·四川成都·校考三模）在平面直角坐标系中，对封闭图形和不重合的两点，给出如下定义：点关于点的中心对称点为，若点在图形内（包含边界），则称图形为点经点投射的“靶区”．如图，拋物线与轴的交点A，位于原点两侧（点A在点的左侧），且，则抛物线的函数表达式为，记轴上方的拋物线与轴所围成的封闭图形为，点为轴上一动点，若直线上存在点，使得图形为点经点投射的“靶区”，则的取值范围是．

14．（2023春·湖北·九年级专题练习）定义为函数的特征数，下面给出特征数为的函数的一些结论：①当时，函数图象的顶点坐标是；②当时，函数图象截x轴所得的线段长度大于；③当时，函数在时，y随x的增大而减小；④当时，函数图象经过同一个点．其中正确的结论是．（填序号）15．（2023·四川成都·校考三模）定义：函数图象上到两坐标轴的距离都不大于的点叫做这个函数图象的“阶方点”，例如，点是函数图象的“阶方点”；点是函数图象的“2阶方点”．在①；②；③三点中，是反比例函数图象的“1阶方点”的有（填序号）；若关于的二次函数图象的“阶方点”一定存在，则的取值范围是．16．（2023春·安徽·九年级专题练习）新定义：在平面直角坐标系中，对于点和点，若满足时，；时，，则称点是点的限变点．例如：点的限变点是，则点的限变点是．若点在二次函数的图象上，则当时，其限变点的纵坐标的取值范围是．17．（2023·上海静安·校考一模）定义：把二次函数与（a≠0，m、n是常数）称作互为“旋转函数”．如果二次函数与（b、c是常数）互为“旋转函数”，写出点的坐标．18．（2023秋·湖南娄底·九年级统考期末）给出定义：抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，连接、，若满足，则称这样的抛物线称为“相似抛物线”，如图，二次函数的图象是“相似抛物线”，且，则此抛物线的对称轴为．19．（2022秋·北京西城·九年级北京十四中校考期中）对某一个函数给出如下定义：如果存在实数M，对于任意的函数值y，都满足，那么称这个函数是有上界函数．在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的上确界．例如，图中的函数是有上界函数，其上确界是2．如果函数是以3为上确界的有上界函数，则实数．20．（2022春·九年级课时练习）对某一个函数给出如下定义：若存在实数M＞0，对于任意的函数值y，都满足﹣M＜y＜M，在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，如图中的函数是有界函数，其边界值是1．（1）判断函数y＝（x＞0）是否为有界函数（填“是”或“否”）；（2）将函数y＝x2（﹣1≤x≤m，m≥0）的图象向下平移m个单位，得到的函数的边界值是t，若≤t≤1则m的取值范围是．21．（2023·江苏南通·统考二模）定义：在平面直角坐标系中，对于某函数图象上的一点P，先向右平移1个单位长度，再向上平移个单位长度得到点Q，若点Q也在该函数图象上，则称点P为该函数图象的“n倍平点”．(1)函数①；②；③中，其图象存在“2倍平点”的是_______（填序号）；(2)若反比例函数，图象恰有1个“n倍平点”，求n的值；(3)求函数图象的“3倍平点”的坐标．22．（2023·贵州遵义·统考三模）定义：二次项系数之和为1，对称轴相同，且图象与y轴交点也相同的两个二次函数互为友好同轴二次函数．例如：的友好同轴二次函数为．(1)函数的对称轴为__________．其友好同轴二次函数为__________．(2)已知二次函数（其中且且），其友好同轴二次函数记为．①若函数的图象与函数的图象交于A、B两点（点A的横坐标小于点B的横坐标），求线段的长；②当时，函数的最大值与最小值的差为8，求a的值．23．（2021春·贵州贵阳·九年级贵阳市第二实验中学校考阶段练习）定义：同时经过x轴上两点，的两条抛物线称为同弦抛物线．如抛物线：与抛物线：是都经过，的同弦抛物线．(1)任意写出一条抛物线的同弦抛物线．(2)已知抛物线是的同弦抛物线，且过点，求抛物线对应函数的最大值或最小值．24．（2023春·江苏盐城·九年级校考期中）定义：在平面直角坐标系xOy中，称两个不同的点和为“反射对称点”、如：点（1，3）和（-3，-1）是一对“反射对称点”．(1)下列函数：①；②；③，其中图像上存在，“反射对称点”的是________（填序号）(2)直线与反比例函数的图像在第一象限内交于点P，点P和点Q为一对“反射对称点”，若，求k的值；(3)抛物线上是否存在一对“反射对称点”？如果存在，求出这一对“反射对称点”所连线段的中点坐标；如果不存在，请说明理由．25．（2023春·湖南长沙·九年级长沙市实验中学校考期中）对某一个函数给出如下定义：对于任意的函数值y，都满足，且在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的上边界值；对于任意的函数值y，都满足，且在所有满足条件的N中，其最大值称为这个函数的下边界值；若一个函数既有上边界值又有下边界值，则称这个函数是有界函数，其上边界与下边界的差称为边界差．例如，图中的函数上边界值是，下边界值是．所以这个函数是“有界函数”，边界差为．(1)在下列关于x的函数中，是“有界函数”的，请在相应题目后面的括号中打“√”，不是“有界函数”的打“×”．①（_________）；②（___________）；③（_________）(2)若函数（为常数，且），当时，这个函数的边界差为2，求的值；(3)若关于x的函数（为常数）经过点，当时，其边界差为1，求t的值．26．（2023·山西运城·山西省运城中学校校考三模）阅读与理解定义新运算：若，则；若，则；(1)已知，求；(2)已知，令，求y，并思考的函数图象与一次函数的图象是否相交，请说明理由．27．（2023春·江苏苏州·八年级星海实验中学校考期中）【阅读理解】把一个函数图象上每个点的纵坐标变为原来的倒数（原函数图象上纵坐标为0的点除外）、横坐标不变，可以得到另一个函数的图象，我们称这个过程为倒数变换．

【知识运用】如图1，将的图象经过倒数变换后可得到的图象（部分）．特别地，因为图象上纵坐标为0的点是原点，所以该点不作变换，因此的图象上也没有纵坐标为0的点．小明在求的图象与的交点时速用了开平方的定义：，得，解得，则图象交点坐标为或．【拓展延伸】请根据上述阅读材料完成：(1)请在图2的平面直角坐标系中画出的图象和它经过倒数变换后的图象．(2)设函数的图象和它经过倒数变换后的图象的交点为A，B（点A在左边），直接写出其坐标．A______，B______；(3)设，且，求m．28．（2023春·广东深圳·九年级统考阶段练习）【定义】若抛物线与一水平直线交于两点，我们把这两点间线段的长称为抛物线关于这条直线的跨径，抛物线的顶点到该直线的距离称为抛物线关于这条直线的矢高，矢高与跨径的比值称为抛物线关于这条直线的矢跨比．如图1，抛物线的顶点为，轴于点，它与轴交于点，，则的长为抛物线关于轴的跨径，的长为抛物线关于轴的矢高，的值为抛物线关于轴的矢跨比．【特例】如图2，已知抛物线与轴交于点，（点在点右侧）；①抛物线关于轴的矢高是______，跨径是______，矢跨比是______；②有一抛物线经过点，与抛物线开口方向与大小一样，且矢高是抛物线关于轴的矢高的，求它关于轴的矢跨比；【推广】结合抛物线的平移规律可以发现，两条开口方向与大小一样的抛物线，若第一条抛物线的矢高是第二条抛物线关于同一直线的矢高的（）倍，则第一条抛物线的跨径是第二条抛物线关于同一直线的跨径的______倍（用含的代数式表示）；【应用】如图3是某地一座三拱桥梁建筑示意图，其中主跨与边跨的拱轴线为开口方向与大小一样的抛物线，它们关于水平钢梁所在直线的跨径分别为420米与280米，已知主跨的矢跨比为，则边跨的矢跨比是______．29．（2023春·湖南长沙·九年级校联考期中）定义：若一次函数与反比例函数满足，则我们把函数称为一次函数与反比例函数的“守正创新函数”．(1)一次函数与反比例函数是否存在“守正创新函数”？如果存在，写出其“守正创新函数”；如果不存在，请说明理由；(2)若一次函数与反比例函数存在“守正创新函数”，且该“守正创新函数”的图像与直线有唯一交点，求的值；(3)若一次函数与反比例函数的“守正创新函数”的图像与轴有两个交点分别是，，其中，点，求的面积的变化范围．30．（2023·江苏宿迁·统考二模）定义：若一个函数图象上存在到坐标轴距离相等的点，则称该点为这个函数图象的“等距点”．例如，点和是函数图象的“等距点”．(1)判断函数的图象是否存在“等距点”？如果存在，求出“等距点”的坐标；如果不存在，说明理由；(2)设函数图象的“等距点”为A、B，函数图象的“等距点”为C，若的面积为时，求函数的表达式；(3)若函数图象恰存在2个“等距点”，试求出m的取值范围．31．（2023春·江苏盐城·九年级校考阶段练习）定义：点是轴上一点，将函数的图像位于直线右侧部分，以轴为对称轴翻折，得到新的函数l′的图像，我们称函数是函数的相关函数，函数的图像记作，函数的图像未翻折部分记作，图像和合起来记作图像．例如：函数l的表达式为，当时，它的相关函数的表达式为．(1)如图，函数的表达式为，当时，它的相关函数的表达式为；(2)函数l的表达式为，当时，图像上某点的纵坐标为，求该点的横坐标；(3)函数的表达式为．①已知点的坐标分别为、，当，且图像与线段只有一个共点时，结合函数图像，求的取值范围；②若，点是图像上任意一点，当时，的最大值始终保持不变，求的取值范围（直接写出结果）．32．（2023春·四川自贡·九年级校联考阶段练习）在平面直角坐标系中，对于和点，给出如下定义：若，则称点为点的限变点．例如：点的限变点的坐标是，点的限变点的坐标是．(1)点的限变点的坐标是；(2)判断点中，哪一个点是函数图象上某一个点的限变点？并说明理由；(3)若点在函数的图象上，其限变点的纵坐标的取值范围是，求的取值范围．33．（2023春·江苏泰州·九年级泰州市姜堰区第四中学校考阶段练习）二次函数的图象是抛物线，定义一种变换，先作这条抛物线关于原点对称的抛物线，再将得到的对称抛物线向上平移m（）个单位，得到新的抛物线，我们称叫做二次函数的m阶变换．(1)二次函数的顶点关于原点的对称点为___________，这个抛物线的2阶变换的解析式为___________；(2)若二次函数M的5阶变换的关系式为．①二次函数M的解析式为___________；②若二次函数M的顶点为点A，与x轴相交的两个交点中右侧交点为点B，动点P在抛物线y5上，过点P作于点H，请求出最小时，点P的坐标．34．（2023秋·江苏南通·九年级统考期末）定义：平面直角坐标系中，若点绕原点顺时针旋转，恰好落在函数图象上，则称点为函数图象的“直旋点”．例如，点是函数图象的“直旋点”．(1)在①，②，③三点中，是一次函数图象的“直旋点”的有_____（填序号）；(2)若点为反比例函数图象的“直旋点”，求的值；(3)二次函数与轴交于两点（A在的左侧），与轴交于点，点是二次函数图象的“直旋点”且在直线上，求点坐标．35．（2023·湖南怀化·统考三模）定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图像的“等值点”．例如，点是函数的图象的“等值点”．(1)分別判断函数，的图象上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐标；(2)设函数（），的图象的“等值点”分别为点，，过点作轴，垂足为．当的面积为3时，求的值：(3)若函数（）的图象记为，将其沿直线翻折后的图象记为．当，两部分组成的图象上恰有2个“等值点”时，直接写出的取值范围．36．（2023·浙江金华·统考一模）定义：在平面直角坐标系中，直线与某函数图象交点记为点P，作该函数图象中，点P及点P右侧部分关于直线的轴对称图形，与原函数图象上的点P及点P右侧部分共同构成一个新函数的图象，称这个新函数为原函数关于直线的“迭代函数”．例如：图1是函数的图象，则它关于直线的“迭代函数”的图象如图2所示，可以得出它的“迭代函数”的解析式为．

(1)写出函数关于直线的“迭代函数”的解析式为_________．(2)若函数关于直线的“迭代函数”图象经过，则_________．(3)以如正方形的顶点分别为：，其中．①若函数关于直线的“迭代函数”的图象与正方形的边有3个公共点，则______；②若，函数关于直线的“迭代函数”的图象与正方形有4个公共点，则n的取值范围为______．37．（2023·内蒙古赤峰·统考中考真题）定义：在平面直角坐标系中，当点N在图形M的内部，或在图形M上，且点N的横坐标和纵坐标相等时，则称点N为图形M的“梦之点”．

(1)如图①，矩形的顶点坐标分别是，，，，在点，，中，是矩形“梦之点”的是___________；(2)点是反比例函数图象上的一个“梦之点”，则该函数图象上的另一个“梦之点”H的坐标是___________，直线的解析式是___________．当时，x的取值范围是___________．(3)如图②，已知点A，B是抛物线上的“梦之点”，点C是抛物线的顶点，连接，，，判断的形状，并说明理由．38．（2023·江西新余·统考一模）定义：在平面直角坐标系中，抛物线与轴的交点坐标为，那么我们把经过点且平行于轴的直线称为这条抛物线的极限分割线．【特例感知】(1)抛物线的极限分割线与这条抛物线的交点坐标为______．【深入探究】(2)经过点和的抛物线与轴交于点，它的极限