专题07 轴对称中的最值模型问题（将军饮马）专训（原卷版）

专题07轴对称中的最值模型问题（将军饮马）专训【题型目录】题型一求两条线段和的最小值题型二求两条线段差的最大值题型三求三条线段和的最小值（双动点问题）题型四最值问题的实际应用【知识梳理】将军饮马中最短路径问题四大模型一两定点在直线的异侧问题1作法图形原理在直线l上找一点P,使得PA+PB的和最小。连接AB，与直线l的交点P即为所求。两点之间，线段最短，此时PA+PB的和最小。二两定点在直线的同侧问题2：将军饮马作法图形原理在直线l上找一点P,使得PA+PB的和最小。作B关于直线l的对称点C，连AC，与直线l的交点P即为所求。化折为直；两点之间，线段最短，此时PA+PB的和AC最小。三两动点一定点问题问题3：两个动点作法图形原理点P在锐角∠AOB的内部，在OA边上找一点C,在OB边上找一点D,,使得PC+PD+CD的和最小。作P关于OA的对称点P1，作P关于OB的对称点P2，连接P1P2。两点之间，线段最短，此时PC+PD+CD的和最小。四造桥选址问题问题4：造桥选址作法图形原理直线m∥n，在m，n上分别求点M、N，使MN⊥m，MN⊥n，且AM+MN+BN的和最小。将点A乡向下平移MN的长度得A1，连A1B，交n于点N，过N作NM⊥m于M。两点之间，线段最短，此时AM+MN+BN的最小值为A1B+MN。注意：本专题部分题目涉及勾股定理，各位同学可以先行学习第3章后再完成该专题训练．勾股定理公式：a2+b2=c2【经典例题一求两条线段和的最小值】【例1】（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·八年级校考阶段练习）如图，在ABC中，，，，是中点，垂直平分，交于点，交于点，在上确定一点，使最小，则这个最小值为（

）A．10 B．11 C．12 D．13【变式训练】1．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，中，，，，于点D，是的垂直平分线，交于点E，交于点F，在上确定一点P，使最小，则这个最小值为()

A． B．4 C． D．52．（2022秋·江苏泰州·八年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，AB=AC=13，BC=10，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，且BE=，MN垂直平分AB，交AB于点M，交AC于点N，在MN上有一点P，使PB+PD最小，则这个最小值=________．3．（2023春·全国·七年级专题练习）（1）唐朝诗人李顾的诗古从军行开头两句：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题：如图所示，诗中大意是将军从山脚下的点出发，带着马走到河边点饮水后，再回到点宿营，请问将军怎样走才能使总路程最短？请你通过画图，在图中找出点，使的值最小，不说明理由；（2）实践应用，如图，点为内一点，请在射线、上分别找到两点、，使的周长最小，不说明理由；（3）实践应用：如图，在中，，，，，平分，、分别是、边上的动点，求的最小值．【经典例题二求两条线段差的最大值】【例2】如图，点，在直线的同侧，到的距离，到的距离，已知，是直线上的一个动点，记的最小值为，的最大值为，则的值为（

）A．160 B．150 C．140 D．130【变式训练】1．如图，在等边中，E是边的中点，P是的中线上的动点，且，则的最大值是________．【经典例题三求三条线段和的最小值（双动点问题）】【例3】（2021秋·重庆荣昌·八年级校考阶段练习）如图，∠AOB＝30º，∠AOB内有一定点P，且OP＝12，在OA上有一动点Q，OB上有一动点R．若△PQR周长最小，则最小周长是(

)A．6 B．12 C．16 D．20【变式训练】1．（2022秋·湖北黄石·八年级统考期中）如图，中，，，的面积为21，于D，EF是AB边的中垂线，点P是EF上一动点，周长的最小是等于（

）A．7 B．8 C．9 D．102．（2021秋·浙江·八年级期中）如图，，内有一定点P，且．在上有一动点Q，上有一动点R．若周长最小，则最小周长是________．3．（2020秋·江苏苏州·八年级校考阶段练习）最短路径问题：例：如图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B到它的距离之和最短．解：只有A、C、B在一直线上时，才能使AC+BC最小．作点A关于直线“街道”的对称点A′，然后连接A′B，交“街道”于点C，则点C就是所求的点．应用：已知：如图A是锐角∠MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小.（1）借助直角三角板在下图中找出符合条件的点B和C．（2）若∠MON=30°，OA=10,求三角形的最小周长．【经典例题四最值问题的实际应用】【例4】（2023春·四川成都·七年级统考期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，的三个顶点都在格点上．

(1)求出的面积；(2)画出关于直线对称的；(3)在直线上画出点，使得的值最小．【变式训练】1．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，已知，两点在直线的同一侧，根据题意，用尺规作图．

(1)在（图①）直线上找出一点，使；(2)在（图②）直线上找出一点，使的值最小；(3)在（图③）直线上找出一点，使的值最大．2．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，在中，已知，的垂直平分线交于点N，交于点M，连接．(1)若，则的度数是___________度；(2)若．的周长是，①求的长度；②若点P为直线上一点，请你直接写出周长的最小值．3．（2023秋·重庆沙坪坝·七年级重庆八中校考期末）如图，已知点A，B，C，D是不在同一直线上的四个点，请按要求画出图形．(1)作线段和射线；(2)用无刻度的直尺和圆规在射线上作；(3)在平面内作一点P，使得的和最短．【重难点训练】1．（2023春·陕西西安·七年级交大附中分校校考期末）图，已知A村庄与B村庄相距，A村庄的土地灌溉点在C点处，B村庄的土地灌溉点在D处．已知，现要在线段之间选一点建一水站E，使得水站E分别到灌溉点C与灌溉点D的距离之和最短，最短距离是（

）

A．10 B．17 C．14 D．132．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，等腰中，，垂直平分，交于点E，交于点F，点G是线段上的一动点，若的面积是，，则的周长最小值是（）A． B． C． D．3．（2023春·江苏镇江·八年级统考期中）如图，在正方形中，，动点是正方形内一点，满足，则点到、两点距离之和的最小值为（

）A．8 B．10 C． D．4．（2023秋·河北沧州·八年级统考期末）如图，等边三角形的边长为4，是边上的中线，M是上的动点，E是上的一点，若，当取得最小值时，则的度数为（

）A． B． C． D．5．（2023春·黑龙江绥化·九年级绥化市第八中学校校考期中）如图，在矩形中，，，动点满足，则点到、两点距离之和的最小值为（

）

A． B． C． D．6．（2023·安徽合肥·统考一模）如图，在中，，，是下方的一动点，记，的面积分别记为，．若，则线段长的最小值是（

）A．3 B． C． D．7．（2023春·湖北黄冈·九年级专题练习）如图，在中，，，，平分，点分别是，边上的动点，则的最小值是（

）A．4 B．5 C．6 D．78．（2023秋·福建厦门·八年级统考期末）如图，在四边形中，，，E，F分别是，上的点，当的周长最小时，的度数为（

）A． B． C． D．9．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，，，分别是边，上的定点，，分别是边，上的动点，记，，当最小时，则关于，的数量关系正确的是（）A． B． C． D．10．（2023春·八年级课时练习）如图，点在等边的边上，，射线，垂足为点，点是射线上一动点，点是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为（

）A．7 B．8 C．9 D．1011．（2023春·河南驻马店·七年级驻马店市第二初级中学校考期末）如图，在三角形中，，三角形的面积是，的垂直平分线分别交，边于点，点．若点为边的中点，为线段上一个动点，则三角形周长的最小值是______．

12．（2023秋·河北石家庄·八年级校考期末）如图，，点M、N分别在射线、上，，的面积为12，P是直线上的动点，点P关于对称的点为，点P关于对称的点为，当点P在直线上运动时，的面积最小值为______．

13．（2022秋·广西贵港·八年级统考期中）如图，，点P为内一点，．点M、N分别在上．当△PMN周长最小时，下列结论：①等于；②等于；③等于；④周长最小值是5：⑤周长最小值是10；⑥周长最小值是15．其中正确结论的序号是___________．14．（2023秋·福建南平·八年级统考期末）如图，，点M，N分别是边，上的定点，点P，Q分别是边，上的动点，记，，当最小时，则α与β的数量关系为____________．15．（2023秋·山西吕梁·八年级统考期末）为贯彻国家城乡建设一体化和要致富先修路的理念，某市决定修建道路和一座桥，方便张庄A和李庄B的群众出行到河岸a．张庄A和李庄B位于一条河流的同一侧，河的两岸是平行的直线，经测量，张庄A和李庄B到河岸b的距离分别为，，且，如图所示．现要求：建造的桥长要最短，然后考虑两村庄到河流另一侧桥头的路程之和最短，则这座桥应建造在C，D间距离C______m处．（河岸边上的点到河对岸的距离都相等）16．（2023春·广东佛山·八年级校考期中）如图，等边和等边的边长都是4，点在同一条直线上，点P在线段上，则的最小值为__________．17．（2022秋·河南南阳·八年级校联考阶段练习）如图，在中，平分交于点，点，分别是和上的动点，当，时，的最小值等于_____．

的垂直平分线分别交，于点、，若点为底边的中点，点为线段上一动点，则的周长的最小值为_____．19．（2023秋·八年级课时练习）如图，在四边形中，，，，分别是，上的点，当的周长最小时，求的度数．

20．（2023春·广东佛山·八年级校考期中）如图，已知≌，将沿所在的直线折叠至的位置，点B的对应点为，连结．

(1)直接填空：与的位置关系是__________；(2)点P、Q分别是线段、上的两个动点（不与点A、B、C重合），已知的面积为36，，求的最小值；(3)试探索：的内角满足什么条件时，是直角三角形？21．（2022秋·辽宁营口·八年级校考期中）如图，在和中，，，与相交于点O，限用尺规完成以下作图：(1)在图1中作线段的垂直平分线；(2)在图2中，在线段上找到一点N,使的值最小．22．（2022秋·广东广州·八年级校考期末）如图，在中，．(1)作的垂直平分线交于点，交于点（保留作图痕迹）．(2)连接，若，的周长是．①求的长；②在直线上是否存在点，使的值最小，若存在，标出点的位置并求的最小值，若不存在，说明理由．23．（2022秋·湖北宜昌·八年级校考期中）已知，村庄和村庄都位于笔直的小河l同侧，要在河边建一引水站，使它到村庄，需铺设的水管长度之和最小．(1)请画出引水站的位置，并连接（包括画图痕迹）；(2)若不计杂料，所用水管之和为