专题05 二次函数最值问题分类训练（面积最值、周长最值、线段和的最值）（原卷版）

专题05二次函数最值问题分类训练面积最值、周长最值、线段和的最值【类型一面积最值】1．如图1，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为4,0，与y轴交于C0,-4点，点

(1)求这个二次函数的表达式；(2)当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大并求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积．2．如图1，已知二次函数y=ax2+32x+ca≠0的图象与y轴交于点A0,4，与x轴交于点B，C，点(1)请直接写出二次函数y=ax(2)判断△ABC的形状，并说明理由；(3)如图2，若点N在线段BC上运动(不与点B，C重合)，过点N作NM∥AC，交AB于点M，当△AMN面积最大时，求此时点(4)若点N在x轴上运动，当以点A，N，C为顶点的三角形是等腰三角形时，请写出此时点N的坐标．3．综合与探究如图，抛物线y=-x2+bx+c的顶点为D1,4与x轴交于A和B两点，交

(1)求抛物线的函数表达式及点A、B、C的坐标；(2)如图1，点P是直线BC上方的抛物线上的动点，当△BCP面积最大时，求点P的横坐标；(3)如图2，若点M是坐标轴上一点，点N为平面内一点，是否存在这样的点，使以B、D、M、N为顶点的四边形是以BD为对角线的矩形？若存在，请直接写出点N的坐标，若不存在，请说明理由．4．如图甲，直线y=-x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y=x2+bx+c与x轴的另一个交点为A

(1)求该抛物线的解析式；(2)在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使以C、P、M为顶点的三角形为等腰三角形?若存在，请求出所符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由；(3)当0<x<3时，在抛物线上求一点E，使△CBE的面积有最大值（图乙、丙供画图探究），并求出最大面积及E点的坐标．5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线C1：y=ax2+bx与直线l：y=-ax交于点A(3,-3)，交

(1)求抛物线C1的函数表达式和点B(2)将抛物线C1先向右平移3个单位，再向下平移3个单位，得到平移后的抛物线C2，直线l与抛物线交于点D．若点P是抛物线上A，B之间（包含端点）的一点，作PQ∥y轴交抛物线于点Q，设点①用含有m的代数式表示线段PQ的长；②连接DP，DQ，当m为何值时，△DPQ的面积最大，并求出最大值．6．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=-x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C0,3，A点在原点的左侧，B点的坐标为3,0，点

(1)求这个二次函数的表达式．(2)连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP'C，那么是否存在点P，使四边形PO(3)当点P运动到什么位置时，使△BPC的面积最大，求出点P的坐标和△BPC的面积最大值．7．如图所示，已知抛物线C：y=ax2+bx+c的对称轴为x=-3，且经过点A-1,0，C0,-5

(1)求抛物线C的解析式；(2)如图所示，若点M是直线BC上方抛物线C上的一动点，连接MB，MC，设所得△MBC的面积为S，请结合图象求(3)在（2）的条件下，将抛物线C向右平移4个单位长度得到新抛物线C1，点N是x轴上方抛物线C1上一点，当△MBC的面积S最大时，在x轴是否存在一点P，使得以点A，P，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点8．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b与二次函数，y=-x2+mx+n交于点A

(1)求一次函数y=kx+b和二次函数y=-x(2)点P是二次函数图象上一点，且位于直线AB上方，过点P作y轴的平行线，交直线AB于点Q，求当△PAB面积最大时，点P的坐标．(3)点M在二次函数图象上，点N在二次函数图象的对称轴上，若以点A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，求点M的坐标．9．已知二次函数y=-x2+bx+c的图象过点A

(1)求b、c的值；(2)如图，二次函数的图象与y轴交于点B，二次函数图象的对称轴与直线AB交于点P，求P点的坐标；(3)在第一象限内的抛物线上有一点Q，当△QAB的面积最大时，求点Q的坐标．10．如图，抛物线y=12x2+bx+c与x轴交于A4,0，B-1,0两点，直线y=-12

(1)求出抛物线与直线的解析式；(2)已知点K为线段AD上一动点，过点K作y轴的平行线交抛物线于点H，连接DH、AH，求△AHD的最大面积；(3)若点M是x轴上的一动点，点N是抛物线上一动点，当以点E、B、M、N四点为顶点的四边形是平行四边形时，请你直接写出符合条件的点N的坐标．11．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为3，0，与y轴交于C

(1)求这个二次函数的表达式．(2)连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP'C，那么是否存在点P(3)当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积．12．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线x=2，点A

(1)求该抛物线的表达式及顶点坐标；(2)在直线BC的下方的抛物线上存在一点M，使得△BCM的面积最大，请求出点M的坐标(3)点F是抛物线上的动点，点D是抛物线顶点坐标，作EF∥AD交x轴于点E，是否存在点F，使得以A、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出所有符合条件的点13．如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A-1,0，B3,0两点，过点A

(1)求抛物线的解析式；(2)若点P是直线AC下方抛物线y=x2+bx+c的一个动点，当△PAC面积最大时，求点P(3)若点M是抛物线上的动点，在抛物线y=x2+bx+c的对称轴上是否存在点D，使得以点A，C，D，M14．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=-x2+bx+c的图象与x轴交于A，B点，与y轴交于点C0,3，点A在原点的左侧，点B的坐标为3,0，点

(1)求这个二次函数的解析式；(2)当点P运动到什么位置时，△BPC的面积最大？请求出点P的坐标和△BPC面积的最大值．(3)连接PO，PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP'C，那么是否存在点P，使四边形PO15．如图①，抛物线y=ax2+bx-9与x轴交于点A-3,0，B6,0，与y轴交于点C，连接AC，BC.(1)求抛物线的表达式；(2)点Q在抛物线上，若以点A，C，P，Q为顶点，AC为一边的四边形为平行四边形时，求点Q的坐标；(3)如图②，当点Pm,0从点A出发沿x轴向点B运动时（点P与点A，B不重合），自点P分别作PE∥BC，交AC于点E，作PD⊥BC，垂足为点D．当m为何值时，△PED【类型二周长最值】16．已知二次函数图象的顶点坐标为M1，0，直线y=x+m与该二次函数的图象交于A，B两点，其中A点的坐标为3，4(1)求m的值及这个二次函数的解析式；(2)在x轴上找一点Q，使△QAB的周长最小，求出此时Q点坐标；17．如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于点A-3，0，B(1)直接写出抛物线的函数表达式；(2)如图，抛物线的对称轴上是否存在点F，使得△BCF周长最小，若存在求点F坐标，并求周长的最小值；若不存在，请说明理由18．已知二次函数图象的顶点坐标为M（1，0），直线y=x+m与该二次函数的图象交于A，B两点，其中A点的坐标为（3，4(1)求m的值及这个二次函数的解析式；(2)在x轴上找一点Q，使△QAB的周长最小，并求出此时Q点坐标；(3)若P（a，0）是x轴上的一个动点，过P作x轴的垂线分别与直线AB和二次函数的图象交于D、E两点．设线段DE的长为h，当0<a<319．如图，二次函数的图像与x轴交于A-3,0和B1,0两点，交y轴与点C0,3，点C，D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图像过点B(1)求二次函数解析式；(2)求出顶点坐标和点D的坐标；(3)二次函数的对称轴上是否存在的一点M，使△BCM的周长最小？若存在，求出M点坐标；若不存在，请说明理由．(4)若Q是线段BD上任意一点，过点Q作PQ⊥x轴交抛物线于点P，则点P坐标为多少时，PQ最长？20．综合与探究：已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象的顶点为D-1,4，与x轴交于B，A两点，与(1)求二次函数的表达式；(2)在抛物线的对称轴上有一点E，使得△ACE的周长最小，求出点E的坐标；(3)若点N在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点P，使得以A、B、N、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．21．如图，抛物线y=-35x2+bx+c与x轴交于点A和点B(5,0)，与y(1)求抛物线的解析式；(2)请在抛物线的对称轴上找一点P，使△ACP的周长最小，并求此时点P(3)当S△BCE=222．如图，已知抛物线y=ax2+bx-4（a≠0）与x轴交于A，B两点，（点A在点B左侧），与y轴交于点C，点A的坐标为（-2，0）且对称轴直线x=1，直线AD交抛物线于点D（2(1)求抛物线的解析式；(2)点P是线段AB上的一动点（点P和点A，B不重台），过点P作PE∥AD交BD于E，连接DP，当△DPE的面积最大时，求点P的坐标；(3)在抛物线上对称轴上是否存在一点M，使△MAC的周长最小，若存在，请求出M的坐标．23．如图，抛物线y=x2-bx+c交x轴于点A（1，0），交y轴交于点B，对称轴是直线x(1)求抛物线的解析式；(2)若在抛物线上存在一点D，使△ACD的面积为8，请求出点D的坐标．(3)点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P，使△PAB的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．24．如图，抛物线y=ax2+bx-3(a≠0)与x轴交于点A(-1,0)，点B(3,0)，与y(1)求抛物线的表达式；(2)在对称轴上找一点Q，使△ACQ的周长最小，求点Q的坐标；(3)点P是抛物线对称轴上的一点，点M是对称轴左侧抛物线上的一点，当△PMB是以PB为腰的等腰直角三角形时，请直接写出所有点M的坐标．25．如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A(2，0)，B(-6，0)两点．(1)求该抛物线的解析式；(2)若抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．(3)在坐标平面内是否存在一点P，使得Q、B、A、P围成的图形是平行四边形，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．26．如图1，二次函数y=ax2+bx+3（a≠0）的图象与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，tan(1)求二次函数的解析式；(2)如图2，点P是直线BC上方抛物线上一点，PD∥y轴交BC于点D，PE∥BC交x轴于点E，求PD+BE的最大值；(3)在（2）的条件下，当PD+BE取最大值时，点M在该抛物线的对称轴上，满足△BPM的周长最小，点N为该坐标平面内一点，是否存在以点A，B，M，N为顶点的平行四边形，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．27．如图，已知抛物线y＝ax2+4x+c经过A（2，0）、B（0，﹣6）两点，其对称轴与x轴交于点C．(1)求该抛物线和直线BC的解析式；(2)设抛物线与直线BC相交于点D，求△ABD的面积；(3)在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAB的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．28．如图，已知抛物线y=ax2-4x+c与坐标轴交于点A（-1，0）和点B（0，-5），与x轴的另一个交点为点C．(1)求该抛物线的解析式；(2)分别求出抛物线的对称轴和点C的坐标；(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得△ABP的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．29．在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2-2x+3与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C(1)请直接写出点A，C，D的坐标；(2)如图（1），在x轴上找一点E，使得△CDE的周长最小，求点E的坐标；(3)如图（2），点P为抛物线对称轴上的动点，使得△ACP为等腰三角形？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．30．直线y＝12x﹣2与x、y轴分别交于点A、C．抛物线的图象经过A、C和点B（1，0(1)求抛物线的解析式和顶点G的坐标；(2)在直线y＝﹣1上是否存在点P，使得△PBG的周长最小？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．(3)在直线AC上方的抛物线上有一动点D，当D与直线AC的距离DE最大时，求出点D的坐标，并求出最大距离是多少？【类型三线段和的最值】31．如图，抛物线y=ax2+x+6的图象与直线y=kx+b(1)求抛物线和直线的解析式；(2)若点拋物线与x轴的交点分别为点M、N，抛物线的对称轴上是否存在一点P，使PA+PM的值最小？如果有，请求出这个最小值，如果没有，请说明理由．(3)直线y=kx+b与x轴交于点B，点Q是x轴上一动点，请你写出使△QAB是等腰三角形的所有点Q的横坐标．32．如图，抛物线y=ax-h2+4a≠0与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．已知点A的坐标是

(1)求抛物线对应的函数表达式；(2)在对称轴上找一点P，使PA+PC的值最小．求点P的坐标和PA+PC的最小值．33．在平面直角坐标系中，抛物线y=-12x2+2x+3与x轴交于A、B两点（A在B左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，过点B作BC(1)如图1，点P为第一象限内的抛物线上一动点，当△PAE面积最大时，在对称轴上找一点M，在y轴上找一点N，使得OM+MN+NP最小，求此时点M的坐标及OM+MN+NP的最小值；(2)如图2，平移抛物线，使抛物线的顶点D在射线AD上移动，点D平移后的对应点为D'，点A的对应点A'，设原抛物线的对称轴与x轴交于点F，将△FBC沿BC翻折，使点F落在点F′处，在平面上找一点G，使得以A'、D'、F'、G为顶点的四边形为菱形．直接写出D′的坐标．34．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝－33x2＋233x＋3与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，对称轴与（1）求直线BC的解析式；（2）如图2，点P为直线BC上方抛物线上一点，连接PB、PC．当△PBC的面积最大时，在线段BC上找一点E(不与B、C重合)，使PE+12BE的值最小，求点P的坐标和PE+12（3）如图3，点G是线段CB的中点，将抛物线y＝－33x2＋233x＋3沿x轴正方向平移得到新抛物线y'，y′经过点D，y'的顶点为F．在抛物线y'35．如图1，抛物线y=-12x2-32x+2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点D为线段AC的中点，直线(1)如图1，点P是直线BE上方抛物线上一动点，连接PD，PF，当△PDF的面积最大时，在线段BE上找一点G，使得PG﹣1010EG的值最小，求出PG﹣1010(2)如图2，点M为抛物线上一点，点N在抛物线的对称轴上，点K为平面内一点，当以点A、M、N、K为顶点的四边形是正方形时，直接写出点N的坐标．

36．如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于A（3，0）、B两点，与y轴交于点C（0，3

（1）求抛物线的函数关系式；（2）若P是抛物线上且位于直线AC上方的一动点，求△ACP的面积的最大值及此时点P（3）在线段OC上是否存在一点M，使BM+22CM37．如图，二次函数y＝﹣16x2+32x+6与x轴相交A，B两点，与y轴相交于点（1）若点E为线段BC上一动点，过点E作x轴的垂线与抛物线交于点P，垂足为F，当PE﹣2EF取得最大值时，在抛物线y的对称轴上找点M，在x轴上找点N，使得PM+MN+22NB的和最小，若存在，求出该最小值及点N（2）在（1）的条件下，若点P′为点P关于x轴的对称点，将抛物线y沿射线BP′的方向平移得到新的抛物线y′，当y′经过点A时停止平移，将△BCN沿CN边翻折，点B的对应点为点B′，B′C与x轴交于点K，若抛物线y′的对称轴上有点R，在平画内有点S，是否存在点R、S使得以K、B′、R、S为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出点S的坐标；若不存在，请说明理由．38．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=-13x2+233x+3与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧