一类带有积分边界条件的非线性分数阶微分方程边值问题的正解

一类带有积分边界条件的非线性分数阶微分方程边值问题的正解

【引言】

分数阶微积分是传统整数阶微积分的扩展，其应用领域涵盖了科学、工程以及金融经济等多个领域。近年来，研究者们对于分数阶微分方程的边值问题进行了广泛的研究，其中包括带有积分边界条件的非线性分数阶微分方程的边值问题。本文将讨论一类这样的问题并给出其正解。

【正文】

设函数$u(x)$是区间$[0,1]$上的未知函数，考虑带有积分边界条件的分数阶微分方程边值问题：

$$

\left\{

\begin{aligned}

&D^\alphau(x)=f(x,u(x),u'(x)),\quad0<x<1,\\

&I_cu(x)=\int_0^1g(x,u(x))\,dx=c.

\end{aligned}

\right.

\tag{1}

$$

其中$D^\alphau(x)$表示Caputo分数阶导数，$f(x,u(x),u'(x))$和$g(x,u(x))$是给定的已知函数，$c$是常数。

为了求解边值问题(1)，我们首先需要引入辅助函数。考虑以下积分变分问题：

$$

J(u)=\int_0^1F(x,u(x),u'(x))\,dx+\lambda\left(\int_0^1g(x,u(x))\,dx-c\right),

\tag{2}

$$

其中$F(x,u(x),u'(x))=\int_0^xf(s,u(s),u'(s))\,ds$，$\lambda$是拉格朗日乘子。

通过计算变分导数，即对函数$u(x)$变分求导，我们可得边值问题(1)对应的欧拉-拉格朗日方程为：

$$

\frac{\partialF}{\partialu}-\frac{d}{dx}\left(\frac{\partialF}{\partialu'}\right)+\lambdag(x,u)=0.

\tag{3}

$$

接下来，我们对欧拉-拉格朗日方程(3)进行求解。首先，对于给定的$f(x,u,v)$和$g(x,u)$函数，我们可以通过数值方法得到$F(x,u,u')$的逼近值，例如使用龙格-库塔法。然后，我们将逼近值代入方程(3)中进行求解。最后，对于经过计算得到的$u(x)$，我们可以验证其是否满足边值条件$I_cu(x)=c$。

【实例】

为了更好地理解上述分数阶微分方程边值问题的求解过程，以下给出一个具体的例子。考虑如下边值问题：

$$

\left\{

\begin{aligned}

&D^\alphau(x)=x^2+u(x),\quad0<x<1,\\

&I_2u(x)=\int_0^1x^3u(x)\,dx=2.

\end{aligned}

\right.

\tag{4}

$$

先计算辅助函数$F(x,u(x),u'(x))=\int_0^x(s^2+u(s))\,ds$，然后代入方程(3)中进行求解。得到该例子的欧拉-拉格朗日方程为：

$$

\frac{d}{dx}\left(x^2+u\right)-\left(2x+\frac{d}{dx}u\right)+\lambdax^3u=0.

\tag{5}

$$

对于方程(5)的求解，我们可以使用求解常微分方程的方法。首先，通过将方程(5)改写为$2x+\frac{d}{dx}u=\left(x^2+u\right)+\lambdax^3u$，我们可以将其分解为两个一阶方程的组合形式。令$v=u'$，则可得到以下方程组：

$$

\left\{

\begin{aligned}

&u'=v,\\

&v'=\left(x^2+u\right)+\lambdax^3u-2x.

\end{aligned}

\right.

\tag{6}

$$

进一步，我们可以使用数值方法（如龙格-库塔法）求解方程组(6)，得到近似解$(u(x),v(x))$。最后，我们验证$I_2u(x)=2$是否成立，若满足条件，则得到了边值问题(4)的正解。

【结论】

本文讨论了一类带有积分边界条件的非线性分数阶微分方程边值问题，并给出了其正解的求解思路。通过引入辅助函数，得到欧拉-拉格朗日方程