高考数学大一轮复习 第二篇 函数 导数及其应用 第6节 二次函数与幂函数习题 理试题

第6节二次函数与幂函数【选题明细表】知识点、方法题号幂函数图象与性质1,5,6,7,9二次函数图象与性质2,3,4,8,10,12,13,14,15,16二次函数、幂函数综合11基础对点练(时间:30分钟)1.(2016·河南南阳模拟)已知幂函数f(x)=k·xα的图象过点(12,22),则k+(A)12 (B)1 (C)3解析:因为f(x)=k·xα是幂函数,所以k=1.又f(x)的图象过点(12,22所以(12)α=2所以α=12所以k+α=1+12=32.设abc>0,二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象可能是(D)解析:对于选项A,C都有-所以abc<0,故排除A,C;对于选项B,D,都有-b2即ab<0,则当c<0时,abc>0.选D.3.函数f(x)=ax2-(a-1)x-3在区间[-1,+∞)上是增函数,则实数a的取值范围是(D)(A)(-∞,13] (B)(-∞(C)(0,13] (D)[0,1解析:由于函数f(x)=ax2-(a-1)x-3在区间[-1,+∞)上是增函数,所以实数a应满足a>0由此得0≤a≤134.(2016·湖北宜昌二模)函数f(x)=-2x2+6x(-2≤x≤2)的值域是(C)(A)[-20,4] (B)(-20,4) (C)[-20,92] (D)(-20,9解析:由函数f(x)=-2x2+6x可知,二次函数f(x)的图象开口向下,对称轴为x=32,当-2≤x<32时,函数f(x)单调递增,当32≤函数的最大值为f(32)=9又f(-2)=-20,f(2)=4.故选C.5.(2016·湖北荆州高三上学期期末)幂函数y=xα,当α取不同的正数时,在区间[0,1]上它们的图象是一组美丽的曲线(如图),设点A(1,0),B(0,1),连接AB,线段AB恰好被其中的两个幂函数y=xa,y=xb的图象三等分,即有BM=MN=NA,那么a-1b(A)0 (B)1 (C)12解析:因为BM=MN=NA,点A(1,0),B(0,1),所以M(13,23),N(23,分别代入y=xa,y=xb,得a=log2313,b=log所以a-1b=log2316.(2016·四川绵阳市高考诊断)已知函数f(x)=x2-m是定义在区间[-3-m,m2-m]上的奇函数,则下列成立的是(A)(A)f(m)<f(0) (B)f(m)=f(0)(C)f(m)>f(0) (D)f(m)与f(0)大小不确定解析:因为函数f(x)是奇函数,所以-3-m+m2-m=0,解得m=3或-1.当m=3时,函数f(x)=x-1,定义域不是[-6,6],不合题意;当m=-1时,函数f(x)=x3在定义域[-2,2]上单调递增,又m<0,所以f(m)<f(0).故选A.7.已知二次函数f(x)=ax2+2x+c(x∈R)的值域为[0,+∞),则a+c的最小值是(A)(A)2 (B)42 (C)4 (D)22解析:由题二次函数f(x)=ax2+2x+c(x∈R)的值域为[0,+∞),所以a>0,Δ=4-4ac≤0,所以a>0,c>0,ac≥1,所以a+c≥2ac≥2,当且仅当a=c=1时取等号.故选A.8.(2015·合肥模拟)已知二次函数f(x)=ax2+bx+1(a,b∈R),x∈R,若函数f(x)的最小值为f(-1)=0,则f(x)=.

解析:由题意知f(-1所以f(x)=x2+2x+1.答案:x2+2x+19.若y=xa2-.

解析:因为函数在(0,+∞)内是减函数,所以a2-4a-5<0.所以-1<a<5,则整数a=0,1,2,3,4.又函数是偶函数,所以a2-4a-5是偶数,所以整数a的值可以是1,3.答案:1或310.已知关于x的方程x2-2mx+m-3=0的两个实数根x1,x2满足x1∈(-1,0),x2∈(3,+∞),则实数m的取值范围是.

解析:由题意可知f所以m即m所以65答案:(65,3能力提升练(时间:15分钟)11.函数y=x-x1解析:函数y=x-x13为奇函数.排除C,D;当x>0时,由x-x13>0,即x12.导学号18702066已知函数f(x)=ax2+bx+c,且a>b>c,a+b+c=0,则(B)(A)∀x∈(0,1),都有f(x)>0(B)∀x∈(0,1),都有f(x)<0(C)∃x0∈(0,1),都有f(x0)=0(D)∃x0∈(0,1),都有f(x0)>0解析:由a>b>c,a+b+c=0可知a>0,c<0,抛物线开口向上,因为f(0)=c<0,f(1)=a+b+c=0,即1是方程ax2+bx+c=0的一个根,所以∀x∈(0,1),都有f(x)<0.故选B.13.导学号18702067函数f(x)的定义域为(-∞,1)∪(1,+∞),且f(x+1)为奇函数,当x>1时,f(x)=2x2-12x+16,则直线y=2与函数f(x)图象的所有交点的横坐标之和是(D)(A)1 (B)2 (C)4 (D)5解析:f(x+1)为奇函数,函数图象关于(0,0)对称,函数f(x)的图象关于(1,0)对称.当x>1时,f(x)=2x2-12x+16.当x<1时,由f(x)=-f(2-x)知2-x>1,从而可求f(x)=-2x2-4x.令2x2-12x+16=2可得x1+x2=6,令-2x2-4x=2可得x3=-1.横坐标之和为5.故选D.14.(2016·衡水中学高二上第二次调研)已知正实数x,y满足xy+2x+y=4,则x+y的最小值为.

解析:因为x,y为正实数,且xy+2x+y=4,设x+y=k>0,则y=k-x代入已知式子得x(k-x)+2x+k-x-4=0,整理得x2-(k+1)x-k+4=0,关于x的方程有解,所以Δ=[-(k+1)]2-4×(4-k)≥0,解之得k≤-3-26或k≥26-3,又因为k>0,所以k≥26-3,即x+y的最小值为26-3.答案:26-315.导学号18702068已知函数f(x)=ax2+2ax+4(0<a<3),若x1<x2,x1+x2=1-a,则f(x1)与f(x2)的大小关系是.

解析:法一由题意知,函数f(x)的图象开口向上,对称轴为x=-1,则当0<a<3时,x1+x22=1又x1<x2,故x1比x2离对称轴近,所以f(x1)<f(x2).法二f(x1)-f(x2)=ax12+2ax1-(ax2=a(x1+x2)(x1-x2)+2a(x1-x2)=(x1-x2)[a(x1+x2)+2a]=(x1-x2)(3a-a2)<0.答案:f(x1)<f(x2)16.导学号18702070若x∈[1,16],则y=log2x2·log2x16.

解析:y=log2x2·log2=(log2x-1)(log2x-4)=(log2x)2-5log2x+4.设t=log2x.因为1≤x≤16,所以0≤t≤4.所以y=t2-5t+4=(t-52)2-9所以当t=52时,y有最小值-9此时由log2x=52知x=42当t=0时,y有最大值4,此时由log2x=0知x=1.故f(x)的最大值是4,最小值是-94答案:[-94,4好题天天练1.导学号18702071若函数f(x)=1+3x+(A)-49 (B)[-49(C)(-∞,-49] (D)[-49解题关键:换元转化法.解析:由题意得1+3x+a·9x≥0的解集为(-∞,1],即[(13)x]2+(13)x+a≥0的解集为(-令t=(13)x,则t≥1即方