高考数学大一轮复习 第七篇 立体几何与空间向量 第5节 直线、平面垂直的判定与性质习题 理试题

第5节直线、平面垂直的判定与性质【选题明细表】知识点、方法题号与垂直相关的命题判断1,2,4,5,6,9直线与平面垂直14平面与平面垂直13线面角、二面角7综合问题3,8,10,11,12基础对点练(时间:30分钟)1.(2016·上海六校联考)已知m和n是两条不同的直线,α和β是两个不重合的平面,下面给出的条件中一定能推出m⊥β的是(C)(A)α⊥β且m⊂α (B)α⊥β且m∥α(C)m∥n且n⊥β (D)m⊥n且α∥β解析:由线线平行性质的传递性和线面垂直的判定定理,可知C正确.2.(2015·福州质检)“直线l垂直于平面α”的一个必要不充分条件是(D)(A)直线l与平面α内的任意一条直线垂直(B)过直线l的任意一个平面与平面α垂直(C)存在平行于直线l的直线与平面α垂直(D)经过直线l的某一个平面与平面α垂直解析:若直线l垂直于平面α,则经过直线l的某一个平面与平面α垂直,当经过直线l的某一个平面与平面α垂直时,直线l垂直于平面α不一定成立,所以“经过直线l的某一个平面与平面α垂直”是“直线l垂直于平面α”的必要不充分条件.3.如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,P为△ABC所在平面外一点,PA⊥平面ABC,则四面体P-ABC中共有直角三角形个数为(A)(A)4 (B)3(C)2 (D)1解析:由PA⊥平面ABC可得△PAC,△PAB是直角三角形,且PA⊥BC.又∠ABC=90°,所以△ABC是直角三角形,且BC⊥平面PAB,所以BC⊥PB,即△PBC为直角三角形,故四面体P-ABC中共有4个直角三角形.4.(2016·山东青岛质检)设a,b是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则能得出a⊥b的是(C)(A)a⊥α,b∥β,α⊥β (B)a⊥α,b⊥β,α∥β(C)a⊂α,b⊥β,α∥β (D)a⊂α,b∥β,α⊥β解析:对于C项,由α∥β,a⊂α可得a∥β,又b⊥β,得a⊥b,故选C.5.(2016·吉林实验中学模拟)设a,b,c是空间的三条直线,α,β是空间的两个平面,则下列命题中,逆命题不成立的是(B)(A)当c⊥α时,若c⊥β,则α∥β(B)当b⊂α时,若b⊥β,则α⊥β(C)当b⊂α,且c是a在α内的射影时,若b⊥c,则a⊥b(D)当b⊂α,且c⊄α时,若c∥α,则b∥c解析:A的逆命题为当c⊥α时,若α∥β,则c⊥β.由线面垂直的性质知c⊥β,故A正确;B的逆命题为当b⊂α时,若α⊥β,则b⊥β,显然错误,故B错误;C的逆命题为当b⊂α,且c是a在α内的射影时,若a⊥b,则b⊥c.由三垂线逆定理知b⊥c,故C正确;D的逆命题为当b⊂α,且c⊄α时,若b∥c,则c∥α.由线面平行判定定理可得c∥α,故D正确.6.(2016·江门模拟)如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB1,BC1(A)EF⊥BB1(B)EF∥平面ACC1A(C)EF⊥BD(D)EF⊥平面BCC1B1解析:连接B1C(图略),△AB1C中,E,F分别为AB1,B1C7.把等腰直角△ABC沿斜边上的高AD折成直二面角B-AD-C,则BD与平面ABC所成角的正切值为(B)(A)2 (B)22(C)1 (D)3解析:在面ADC中,过D作DE⊥AC,交AC于点E.连接BE,二面角B-AD-C为直二面角,所以BD⊥平面ADC,BD⊥AC.又因为DE∩BD=D,所以AC⊥平面BDE.所以平面BDE⊥平面ABC,故∠DBE是BD与平面ABC所成角,由翻折不变性可知DE=12AB=2在Rt△BDE中,tan∠DBE=DEBD=22(亦可由射影法cos∠BED=S射S原=S8.(2016·江西上饶质检)已知m,n是两条不相同的直线,α,β是两个不重合的平面,现有以下说法:①若α∥β,n⊂α,m⊂β,则m∥n;②若m⊥α,m⊥β,n⊥α,则n⊥β;③若m⊥n,m⊥α,n⊥β,则α⊥β;④若m∥α,n∥β,α⊥β,则m⊥n;⑤若α⊥β,m⊂α,n⊂β,则m⊥n.其中正确说法的序号为.

解析:对于①,注意到分别位于两个平行平面内的两条直线未必平行,可能是异面直线,因此①不正确;对于②,由定理“垂直于同一直线的两个平面平行”得知α,β平行;由定理“若一条直线垂直于两个平行平面中的一个,则它也垂直于另一个平面”得知,n⊥β,因此②正确;对于③,由定理“由空间一点向一个二面角的两个半平面分别引垂线,则这两条垂线所成的角与该二面角相等或互补”得知,③正确;对于④,分别平行于两个垂直平面的两条直线未必垂直,因此④不正确;对于⑤,m与n有可能平行,因此⑤不正确.综上所述,其中正确的说法有②③.答案:②③9.导学号18702378如图,PA⊥☉O所在平面,AB是☉O的直径,C是☉O上一点,AE⊥PC,AF⊥PB,给出下列结论:①AE⊥BC;②EF⊥PB;③AF⊥BC;④AE⊥平面PBC,其中真命题的序号是.

解析:①AE⊂平面PAC,BC⊥AC,BC⊥PA⇒AE⊥BC,故①正确,②AE⊥PC,AE⊥BC,PB⊂平面PBC⇒AE⊥PB,AF⊥PB,EF⊂平面AEF⇒EF⊥PB,故②正确,③若AF⊥BC⇒AF⊥平面PBC,由①知AE⊥平面PBC,则AF∥AE,是不可能的,故③错误,由①可知④正确.答案:①②④10.导学号18702379(2015·陕西卷)如图1,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠BAD=π2,AB=BC=12AD=a,E是AD的中点,O是AC与BE的交点.将△ABE沿BE折起到图2中△A1BE的位置,得到四棱锥A1(1)证明:CD⊥平面A1OC;(2)当平面A1BE⊥平面BCDE时,四棱锥A1BCDE的体积为362,求a的值.(1)证明:在图1中,因为AB=BC=12AD=a,E是AD的中点,∠BAD=π2,AD所以BE⊥AC,BE∥CD,即在图2中,BE⊥A1O,BE⊥OC,且OA1∩OC=C,从而BE⊥平面A1OC,又CD∥BE,所以CD⊥平面A1OC.(2)解:由已知,平面A1BE⊥平面BCDE,且平面A1BE∩平面BCDE=BE,又由(1)知A1O⊥BE,所以A1O⊥平面BCDE,即A1O是四棱锥A1-BCDE的高.由图1知,A1O=22AB=22a,平行四边形BCDE的面积S=BC·AB=a从而四棱锥A1BCDE的体积为V=13×S×A1O=13×a2×22a=26a3,由26能力提升练(时间:15分钟)11.(2016·四川绵阳诊断)已知l,m,n是三条不同的直线,α,β是不同的平面,则α⊥β的一个充分条件是(D)(A)l⊂α,m⊂β,且l⊥m(B)l⊂α,m⊂β,n⊂β,且l⊥m,l⊥n(C)m⊂α,n⊂β,m∥n,且l⊥m(D)l⊂α,l∥m,且m⊥β解析:对于A,l⊂α,m⊂β,且l⊥m,如图(1),α,β不垂直;对于B,l⊂α,m⊂β,n⊂β,且l⊥m,l⊥n,如图(2),α,β不垂直;对于C,m⊂α,n⊂β,m∥n,且l⊥m,直线l没有确定,则α,β的关系也不能确定;对于D,l⊂α,l∥m,且m⊥β,则必有l⊥β,根据面面垂直的判定定理知α⊥β.12.(2016·天津质检)如图,以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕,把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后,某学生得出下列四个结论:①BD⊥AC;②△BAC是等边三角形;③三棱锥D-ABC是正三棱锥;④平面ADC⊥平面ABC.其中正确的是(B)(A)①②④ (B)①②③(C)②③④ (D)①③④解析:由题意知BD⊥平面ADC,故BD⊥AC,①正确;AD为等腰直角三角形斜边BC上的高,平面ABD⊥平面ACD,所以AB=AC=BC,△BAC是等边三角形,②正确;易知DA=DB=DC,又由②知③正确;由①知④错误.13.导学号18702381如图所示,在四棱锥PABCD中,PA⊥底面ABCD,且底面各边都相等,M是PC上的一动点,当点M满足时,平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)

解析:连接AC,则AC⊥BD,因为PA⊥底面ABCD,所以PA⊥BD.又PA∩AC=A,所以BD⊥平面PAC,所以BD⊥PC.所以当DM⊥PC(或BM⊥PC)时,即有PC⊥平面MBD.而PC⊂平面PCD,所以平面MBD⊥平面PCD.答案:DM⊥PC(或BM⊥PC)14.导学号18702382(2016·贵州七校联考)如图,几何体EF-ABCD中,CDEF为边长为2的正方形,ABCD为直角梯形,AB∥CD,AD⊥DC,AD=2,AB=4,∠ADF=90°.(1)求证:AC⊥FB;(2)求几何体EF-ABCD的体积.(1)证明:由题意得,AD⊥DC,AD⊥DF,且DC∩DF=D,所以AD⊥平面CDEF,所以AD⊥FC.因为四边形CDEF为正方形,所以DC⊥FC,因为DC∩AD=D,所以FC⊥平面ABCD,所以FC⊥AC.又因为四边形ABCD为直角梯形,AB∥CD,AD⊥DC,AD=2,AB=4,所以AC=22,BC=22,则有AC2+BC2=AB2,所以AC⊥BC,又BC∩FC=C,所以AC⊥平面FCB,所以AC⊥FB.(2)解:连接EC,过B作CD的垂线,垂足为N,易知BN⊥平面CDEF,且BN=2.因为VEFABCD=V=13S梯形ABCD·DE+13S△EFC=163所以几何体EFABCD的体积为163好题天天练1.导学号18702384已知直线l⊥平面α,直线m⊂平面β.给出下列命题:①α∥β⇒l⊥m;②α⊥β⇒l∥m;③l∥m⇒α⊥β;④l⊥m⇒α∥β.其中正确命题的序号是.

解析:由面面平行的性质和线面垂直的定义知①正确;l⊥α,α⊥β⇒l∥β或l⊂β,l与m平行、相交、异面都有可能,故②错;由线面垂直的定义和面面垂直的判定知③正确;l⊥α,l⊥m⇒m⊂α或m∥α,又m⊂β,所以α,β可能平行或相交,故④错误.答案:①③2.导学号18702385如图,在三棱柱ABCA1B1C1中,侧棱AA1⊥底面AB