高考数学二轮复习 第2部分 大专题综合测5 解析几何（含解析）试题

5解析几何时间120分钟，满分150分。一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2015·郑州市质检)“a＝1”是“直线ax＋y＋1＝0与直线(a＋2)x－3y－2＝0垂直”的()A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件[答案]B[解析]两直线垂直的充要条件为a(a＋2)－3＝0，解得a＝－3或a＝1，故选B．2．(文)已知圆O的方程是x2＋y2－8x－2y＋10＝0，则过点M(3,0)的最短弦所在的直线方程是()A．x＋y－3＝0 B．x－y－3＝0C．2x－y－6＝0 D．2x＋y－6＝0[答案]A[解析]圆O的方程是x2＋y2－8x－2y＋10＝0，即(x－4)2＋(y－1)2＝7，圆心O(4,1)，设过点M(3,0)的最短弦所在的直线为l，∵kOM＝1，∴kl＝－1，∴l的方程为：y＝－1·(x－3)，即x＋y－3＝0.(理)已知动圆C经过点F(0,1)并且与直线y＝－1相切，若直线3x－4y＋20＝0与圆C有公共点，则圆C的面积()A．有最大值为π B．有最小值为πC．有最大值为4π D．有最小值为4π[答案]D[解析]如图所示，由圆C经过点F(0,1)，并且与直线y＝－1相切，可得点C的轨迹为抛物线x2＝4y，显然以抛物线x2＝4y上任一点为圆心可作出任意大的圆与直线3x－4y＋20＝0相交，且此圆可无限大，即圆C的面积不存在最大值，设圆C与3x－4y＋20＝0相切于点A，其圆心为(x0，y0)，则由AC＝PC可得d＝eq\f(3x0－4y0＋20,5)＝y0＋1(点C在直线3x－4y＋20＝0的右方)，即eq\f(3x0－x\o\al(2,0)＋20,5)＝eq\f(1,4)xeq\o\al(2,0)＋1，解得x0＝－2或x0＝eq\f(10,3)(舍去)，当x0＝－2时，圆心C坐标为(－2,1)，此时圆C的半径为2，即可得圆C的面积的最小值为4π，故应选D．3．(文)(2015·江西上饶三模)已知点M(－6,5)在双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)上，双曲线C的焦距为12，则它的渐近线方程为()A．y＝±eq\f(\r(5),2)x B．y＝±eq\f(2\r(5),5)xC．y＝±eq\f(2,3)x D．y＝±eq\f(3,2)x[答案]A[解析]由条件知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(36,a2)－\f(25,b2)＝1，,a2＋b2＝c2，,c＝6，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝4，,b＝2\r(5)，,c＝6.))∴渐近线方程为y＝±eq\f(\r(5),2)x.(理)(2015·新课标Ⅱ理，11)已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为()A.eq\r(5) B．2C.eq\r(3) D．eq\r(2)[答案]D[解析]考查双曲线的标准方程和简单几何性质．设双曲线方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，如图所示，|AB|＝|BM|，∠ABM＝120°，过点M作MN⊥x轴，垂足为N，在Rt△BMN中，|BN|＝a，|MN|＝eq\r(3)a，故点M的坐标为M(2a，eq\r(3)a)，代入双曲线方程得a2＝b2＝c2－a2，即c2＝2a2，所以e＝eq\r(2)，故选D．4．抛物线C的顶点为原点，焦点在x轴上，直线x－y＝0与抛物线C交于A、B两点，若P(1,1)为线段AB的中点，则抛物线C的方程为()A．y＝2x2 B．y2＝2xC．x2＝2y D．y2＝－2x[答案]B[解析]设A(x1，y1)，B(x2，y2)，抛物线方程为y2＝2px，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y\o\al(2,1)＝2px1,y\o\al(2,2)＝2px2))，两式相减可得2p＝eq\f(y1－y2,x1－x2)×(y1＋y2)＝kAB×2＝2，即可得p＝1，∴抛物线C的方程为y2＝2x，故应选B．5．(文)(2015·新课标Ⅰ文，5)已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为eq\f(1,2)，E的右焦点与抛物线C：y2＝8x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|＝()A．3 B．6C．9 D．12[答案]B[解析]抛物线y2＝8x的焦点坐标为(2,0)．因为E的右焦点与抛物线焦点重合，所以椭圆中c＝2，离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，所以a＝4，所以b2＝a2－c2＝16－4，则椭圆方程为eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1，因为抛物线的准线方程为x＝－2，当x＝－2时，y＝±3，则|AB|＝2×3＝6.故本题正确答案为B．(理)过原点O作直线l交椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)于点A、B，椭圆的右焦点为F2，离心率为e.若以AB为直径的圆过点F2，且sin∠ABF2＝e，则e＝()A.eq\f(1,2) B．eq\f(\r(2),2)C.eq\f(\r(2),3) D．eq\f(\r(3),2)[答案]B[解析]记椭圆的左焦点为F1，依题意得|AB|＝2c，四边形AF1BF2为矩形，sin∠ABF2＝eq\f(|AF2|,|AB|)＝eq\f(|AF2|,2c)＝e，|AF2|＝2ce，|AF1|2＝(2a－|AF2|)2＝(2a－2ce)2，|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2，(2a－2ce)2＋(2ce)2＝(2c)2，由此解得e＝eq\f(\r(2),2)，选B．6．半径不等的两定圆O1、O2没有公共点，且圆心不重合，动圆O与定圆O1和定圆O2都内切，则圆心O的轨迹是()A．双曲线的一支 B．椭圆C．双曲线的一支或椭圆 D．双曲线或椭圆[答案]C[解析]设⊙O1、⊙O2、⊙O的半径分别为r1、r2、R，且r1>r2>0，当⊙O1与⊙O2外离时，由条件知⊙O1与⊙O2都内切于⊙O，∴|OO1|＝R－r1，|OO2|＝R－r2，∴|OO2|－|OO1|＝r1－r2,0<r1－r2<|O1O2|，∴点O的轨迹是以O1、O2为焦点的双曲线靠近O1点的一支；当⊙O2内含于⊙O1时，应有⊙O内切于⊙O1，⊙O2内切于⊙O，∴|OO1|＝r1－R，|OO2|＝R－r2，∴|OO1|＋|OO2|＝r1－r2，∵O1与O2不重合，且r1>r2，∴r1－r2>|O1O2|，∴点O的轨迹为以O1、O2为焦点的椭圆，故选C.7．(文)已知方程eq\f(x2,2－k)＋eq\f(y2,2k－1)＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是()A．(eq\f(1,2)，2) B．(1，＋∞)C．(1,2) D．(eq\f(1,2)，1)[答案]C[解析]由题意可得，2k－1>2－k>0，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2k－1>2－k，,2－k>0，))解得1<k<2，故选C.(理)(2014·广东文，8)若实数k满足0<k<5，则曲线eq\f(x2,16)－eq\f(y2,5－k)＝1与曲线eq\f(x2,16－k)－eq\f(y2,5)＝1的()A．实半轴长相等 B．虚半轴长相等C．离心率相等 D．焦距相等[答案]D[解析]∵0<k<5，∴两方程都表示双曲线，由双曲线中c2＝a2＋b2得其焦距相等，选D．8．(2014·大纲全国理，6)已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1、F2，离心率为eq\f(\r(3),3)，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4eq\r(3)，则C的方程为()A.eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1 B．eq\f(x2,3)＋y2＝1C.eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,8)＝1 D．eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,4)＝1[答案]A[解析]根据条件可知eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),3)，且4a＝4eq\r(3)，∴a＝eq\r(3)，c＝1，b2＝2，椭圆的方程为eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1.9．(文)已知P点是x2＋y2＝a2＋b2与双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)在第一象限内的交点，F1、F2分别是C的左、右焦点，且满足|PF1|＝3|PF2|，则双曲线的离心率e为()A．2 B．eq\f(\r(6),2)C.eq\f(\r(10),2) D．eq\f(\r(5),2)[答案]C[解析]设|PF2|＝x，则|PF1|＝3x，∴|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2＝10x2＝4c2，∴c＝eq\f(\r(10),2)x，由双曲线的定义知，2a＝|PF1|－|PF2|＝2x，∴a＝x，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(10),2)，故选C.(理)已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，点A在双曲线上，且AF2⊥x轴，若eq\f(|AF1|,|AF2|)＝eq\f(5,3)，则双曲线的离心率等于()A．2 B．3C.eq\r(2) D．eq\r(3)[答案]A[解析]设|AF2|＝3x，则|AF1|＝5x，∴|F1F2|＝4x，∴c＝2x，由双曲线的定义知，2a＝|AF1|－|AF2|＝2x，∴a＝x，∴e＝eq\f(c,a)＝2.10．(文)过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l与抛物线在第一象限的交点为A，直线l与抛物线的准线的交点为B，点A在抛物线的准线上的射影为C，若eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(FB,\s\up6(→))，eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝36，则抛物线的方程为()A．y2＝6x B．y2＝3xC．y2＝12x D．y2＝2eq\r(3)x[答案]D[解析]∵F(eq\f(p,2)，0)，设A(x0，y0)，y0>0，则C(－eq\f(p,2)，y0)，B(p－x0，－y0)，由条件知p－x0＝－eq\f(p,2)，∴x0＝eq\f(3p,2)，∴yeq\o\al(2,0)＝2p·eq\f(3p,2)＝3p2，∴y0＝eq\r(3)p，∴B(－eq\f(p,2)，－eq\r(3)p)，A(eq\f(3p,2)，eq\r(3)p)，C(－eq\f(p,2)，eq\r(3)p)，∴eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝(2p,2eq\r(3)p)·(0,2eq\r(3)p)＝12p2＝36，∴p＝eq\r(3)，∴抛物线方程为y2＝2eq\r(3)x.(理)过双曲线M：x2－eq\f(y2,b2)＝1的左顶点A作斜率为2的直线l，若l与双曲线M的两条渐近线分别相交于点B、C，且eq\o(BC,\s\up6(→))＝2eq\o(AB,\s\up6(→))，则双曲线M的离心率是()A.eq\r(5) B．eq\r(10)C.eq\r(17) D．eq\r(37)[答案]C[解析]由条件知A(－1,0)，∴l：y＝2(x＋1)，双曲线渐近线方程为y＝±bx，∵eq\o(BC,\s\up6(→))＝2eq\o(AB,\s\up6(→))，∴B在A，C之间，∴由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝2x＋1，,y＝－bx，))得B(－eq\f(2,b＋2)，eq\f(2b,b＋2))，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝2x＋1，,y＝bx，))得C(eq\f(2,b－2)，eq\f(2b,b－2))，再由eq\o(BC,\s\up6(→))＝2eq\o(AB,\s\up6(→))得b＝4，∴e＝eq\r(17).11．若抛物线y2＝2px上恒有关于直线x＋y－1＝0对称的两点A、B，则p的取值范围是()A．(－eq\f(2,3)，0) B．(0，eq\f(3,2))C．(0，eq\f(2,3)) D．(－∞，0)∪(eq\f(2,3)，＋∞)[答案]C[解析]设直线AB：y＝x＋b，代入y2＝2px中消去x得，y2－2py＋2pb＝0，∴y1＋y2＝2p，x1＋x2＝y1＋y2－2b＝2p－2b，由条件知线段AB的中点(eq\f(x1＋x2,2)，eq\f(y1＋y2,2))，即(p－b，p)在直线x＋y－1＝0上，∴b＝2p－1，Δ＝4p2－8pb＝4p2－8p(2p－1)＝－12p2＋8p>0，∴0<p<eq\f(2,3).12．(2015·郑州市质检)已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的两焦点分别是F1，F2，过F1的直线交椭圆于P，Q两点，若|PF2|＝|F1F2|，且2|PF1|＝3|QF1|，则椭圆的离心率为()A.eq\f(3,5) B．eq\f(4,5)C.eq\f(3,4) D．eq\f(3\r(2),5)[答案]A[解析]由已知得|PF2|＝|F1F2|＝2∴|PF1|＝2a－|PF2|＝2a－2c，|QF1|＝eq\f(2,3)|PF1|＝eq\f(4,3)(a－c)，|QF2|＝2a－|QF1|＝2a－eq\f(2,3)(2a－2c)＝eq\f(2,3)a＋eq\f(4,3)c|PQ|＝eq\f(10,3)(a－c)在△PF1F2和△PF2Q中，由余弦定理得：cos∠F2PQ＝eq\f(|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2,2|PF1|·|PF2|)＝eq\f(|PQ|2＋|PF2|2－|QF2|2,2|PQ|·|PF2|)即eq\f(2a－2c2＋2c2－2c2,22a－2c·2c)＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,3)a－\f(10,3)c))2＋2c2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)a＋\f(4c,3)))2,2\f(10,3)a－\f(10,3)c·2c)整理得5c2－8ac＋3a2＝0，即5e2－8e＋3＝0，∴e＝eq\f(3,5)或e＝1(舍)．二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，将正确答案填在题中横线上)13．(文)已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)与抛物线y2＝8x有公共焦点，且双曲线上的点到坐标原点的最短距离为1，则该双曲线的离心率为________．[答案]2[解析]∵抛物线y2＝8x的焦点为(2,0)，∴双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)中c＝2，又a＝1，∴e＝eq\f(c,a)＝2.(理)过双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一个焦点作一条渐近线的垂线，垂足恰好落在曲线eq\f(x2,b2)＋eq\f(y2,a2)＝1上，则双曲线的离心率为________．[答案]eq\r(2)[解析]不妨设双曲线的一个焦点为(c,0)，(c>0)，一条渐近线方程为y＝eq\f(b,a)x，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y－0＝－\f(a,b)x－c,y＝\f(b,a)x))得垂足的坐标为(eq\f(a2,c)，eq\f(ab,c))，把此点坐标代入方程eq\f(x2,b2)＋eq\f(y2,a2)＝1，得eq\f(a4,b2c2)＋eq\f(a2b2,a2c2)＝1，化简，并由c2＝a2＋b2得a＝b，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\r(2).14．(文)设抛物线x2＝4y的焦点为F，经过点P(1,4)的直线l与抛物线相交于A、B两点，且点P恰为AB的中点，则|eq\o(AF,\s\up6(→))|＋|eq\o(BF,\s\up6(→))|＝________.[答案]10[解析]设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知x1＋x2＝2，且xeq\o\al(2,1)＝4y1，xeq\o\al(2,2)＝4y2，两式相减整理得，eq\f(y1－y2,x1－x2)＝eq\f(x1＋x2,4)＝eq\f(1,2)，所以直线AB的方程为x－2y＋7＝0，将x＝2y－7代入x2＝4y整理得4y2－32y＋49＝0，所以y1＋y2＝8，又由抛物线定义得|eq\o(AF,\s\up6(→))|＋|eq\o(BF,\s\up6(→))|＝y1＋y2＋2＝10.(理)椭圆Γ：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，焦距为2c，若直线y＝eq\r(3)(x＋c)与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于________．[答案]eq\r(3)－1[解析]本题考查了椭圆离心率的求解．如图，由题意易知F1M⊥F2M且|MF1|＝c，|MF2|＝eq\r(3)c，∴2a＝(eq\r(3)＋1)c，∴eq\f(c,a)＝eq\f(2,\r(3)＋1)＝eq\r(3)－1.15．(2015·潍坊市模拟)抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点O是坐标原点，过点O、F的圆与抛物线C的准线相切，且该圆的面积为36π，则抛物线方程为________．[答案]y2＝16x[解析]由圆的面积为36π，得圆的半径r＝6，圆心到准线的距离为eq\f(p,2)＋eq\f(p,4)＝6，得p＝8，所以抛物线方程为y2＝16x.16．(文)(2015·兰州市诊断)椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，若椭圆C的离心率等于eq\f(1,2)，且它的一个顶点恰好是抛物线x2＝8eq\r(3)y的焦点，则椭圆C的标准方程为________．[答案]eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1[解析]由题设知抛物线的焦点为(0,2eq\r(3))，所以椭圆中b＝2eq\r(3).因为e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，所以a＝2c，又因为a2－b2＝c2，联立解得c＝2，a＝4，所以椭圆C的标准方程为eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1.(理)(2014·安徽理，14)若F1、F2分别是椭圆E：x2＋eq\f(y2,b2)＝1(0<b<1)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A、B两点．若|AF1|＝3|F1B|，AF2⊥x轴，则椭圆E的方程为________．[答案]x2＋eq\f(3,2)y2＝1[解析]如图，由题意，A点横坐标为c，∴c2＋eq\f(y2,b2)＝1，又b2＋c2＝1，∴y2＝b4，∴|AF2|＝b2，又∵|AF1|＝3|BF1|，∴B点坐标为(－eq\f(5,3)c，－eq\f(1,3)b2)，代入椭圆方程得，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(5,3)c2＋\f(－\f(1,3)b22,b2)＝1，,b2＝1－c2，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(c2＝\f(1,3)，,b2＝\f(2,3)))方程为x2＋eq\f(3,2)y2＝1.三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本题满分10分)(2015·唐山市二模)已知抛物线E：x2＝4y，m，n是过点A(a，－1)且倾斜角互补的两条直线，其中m与E有唯一公共点B，n与E相交于不同的两点C，D．(1)求m的斜率k的取值范围；(2)当n过E的焦点时，求B到n的距离．[解析](1)m：y＋1＝k(x－a)，n：y＋1＝－k(x－a)，分别代入x2＝4y，得x2－4kx＋4ka＋4＝0①，x2＋4kx－4ka＋4＝0②，由Δ1＝0得k2－ka－1＝0，由Δ2＞0得k2＋ka－1＞0，故有2k2－2＞0，得k2＞1，即k＜－1或k＞1.(2)E的焦点F(0,1)，kAF＝eq\f(－2,a)＝－k，所以ak＝2.∴k2＝ka＋1＝3，B(2k，k2)，所以B到n的距离d＝eq\f(|3k2－ak＋1|,\r(1＋k2))＝eq\f(|3k2－1|,\r(1＋k2))＝4.18．(本题满分12分)(2015·石家庄市一模)在平面直角坐标系xOy中，一动圆经过点(1,0)且与直线x＝－1相切，设该动圆圆心的轨迹为曲线E.(1)求曲线E的方程；(2)已知点A(5,0)，倾斜角为eq\f(π,4)的直线l与线段OA相交(不经过点O或点A)且与曲线E交于M、N两点，求△AMN面积的最大值，及此时直线l的方程．[解析](1)由题意可知圆心到点(1,0)的距离等于到直线x＝－1的距离，由抛物线的定义可知，圆心的轨迹方程：y2＝4x.(2)解法一：由题意，可设l的方程为y＝x－m，其中0＜m＜5由方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x－m,y2＝4x))，消去y，得x2－(2m＋4)x＋m2＝0①当0＜m＜5时，方程①的判别式Δ＝(2m＋4)2－4m2＝16(1＋m)＞0成立．设M(x1，y1)，N(x2，y2)则x1＋x2＝4＋2m，x1·x2＝m2，∴|MN|＝eq\r(2)|x1－x2|＝4eq\r(2＋2m)又因为点A到直线l的距离为d＝eq\f(5－m,\r(2))∴S△AMN＝2(5－m)eq\r(1＋m)＝2eq\r(m3－9m2＋15m＋25).令f(m)＝m3－9m2＋15m＋25，(0<m<5)，f′(m)＝3m2－18m＋15＝3(m－1)(m所以函数f(m)在(0,1)上单调递增，在(1,5)上单调递减．当m＝1时，f(m)有最大值32，故当直线l的方程为y＝x－1时，△AMN的最大面积为8eq\r(2).解法二：由题意，可设l与x轴相交于B(m,0),l的方程为x＝y＋m，其中0＜m＜5由方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝y＋m,y2＝4x))，消去x，得y2－4y－4m＝0①∵直线l与抛物线有两个不同交点M、N，∴方程①的判别式Δ＝(－4)2＋16m＝16(1＋m)＞0必成立，设M(x1，y1)，N(x2，y2)则y1＋y2＝4，y1·y2＝－4m.∴S△＝eq\f(1,2)(5－m)|y1－y2|＝eq\f(1,2)(5－m)eq\r(y1＋y22－4y1y2)＝2(5－m)eq\r(1＋m)＝2eq\r(m3－9m2＋15m＋25).令f(m)＝m3－9m2＋15m＋25，(0<m<5)，f′(m)＝3m2－18m＋15＝3(m－1)(m所以函数f(m)在(0,1)上单调递增，在(1,5)上单调递减．当m＝1时，f(m)有最大值32，故当直线l的方程为y＝x－1时，△AMN的最大面积为8eq\r(2).19．(本题满分12分)(文)设点P是曲线C：x2＝2py(p>0)上的动点，点P到点(0,1)的距离和它到焦点F的距离之和的最小值为eq\f(5,4).(1)求曲线C的方程；(2)若点P的横坐标为1，过P作斜率为k(k≠0)的直线交C于点Q，交x轴于点M，过点Q且与PQ垂直的直线与C交于另一点N，问是否存在实数k，使得直线MN与曲线C相切？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．[解析](1)依题意知1＋eq\f(p,2)＝eq\f(5,4)，解得p＝eq\f(1,2).所以曲线C的方程为x2＝y.(2)由题意直线PQ的方程为：y＝k(x－1)＋1，则点M(1－eq\f(1,k)，0)．联立方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx－1＋1,y＝x2))，消去y得x2－kx＋k－1＝0，得Q(k－1，(k－1)2)．所以得直线QN的方程为y－(k－1)2＝－eq\f(1,k)(x－k＋1)．代入曲线方程y＝x2中，得x2＋eq\f(1,k)x－1＋eq\f(1,k)－(1－k)2＝0.解得N(1－eq\f(1,k)－k，(1－k－eq\f(1,k))2)．所以直线MN的斜率kMN＝eq\f(1－k－\f(1,k)2,1－\f(1,k)－k－1－\f(1,k))＝－eq\f(1－k－\f(1,k)2,k).过点N的切线的斜率k′＝2(1－k－eq\f(1,k))．由题意有－eq\f(1－k－\f(1,k)2,k)＝2(1－k－eq\f(1,k))．解得k＝eq\f(－1±\r(5),2).故存在实数k＝eq\f(－1±\r(5),2)使命题成立．(理)(2015·郑州市质检)设椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，F1，F2为左、右焦点，B为短轴端点，且S△BF1F2＝4，离心率为eq\f(\r(2),2)，O为坐标原点．(1)求椭圆C的方程；(2)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆C恰有两个交点M、N，且满足|eq\o(OM,\s\up6(→))＋eq\o(ON,\s\up6(→))|＝|eq\o(OM,\s\up6(→))－eq\o(ON,\s\up6(→))|？若存在，求出该圆的方程；若不存在，说明理由．[解析](1)因为椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，由题意得S△BF1F2＝eq\f(1,2)×2c×b＝4，e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),2)，a2＝b2＋c2，所以解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝8，,b2＝4.))所以椭圆C的方程为eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,4)＝1.(2)假设存在圆心在原点的圆x2＋y2＝r2，使得该圆的任意一条切线与椭圆C恒有两个交点M，N，因为|eq\o(OM,\s\up6(→))＋eq\o(ON,\s\up6(→))|＝|eq\o(OM,\s\up6(→))－eq\o(ON,\s\up6(→))|，所以有eq\o(OM,\s\up6(→))·eq\o(ON,\s\up6(→))＝0，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，当切线斜率存在时，设该圆的切线方程为y＝kx＋m，由方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋m,\f(x2,8)＋\f(y2,4)＝1))得x2＋2(kx＋m)2＝8，即(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－8＝0，则Δ＝16k2m2－4(1＋2k2)(2m2－8)＝8(8k2－m2＋4)>0，即8k2－m2＋4>0，x1,2＝eq\f(－4km±\r(16k2m2－41＋2k22m2－8),21＋2k2)∴x1＋x2＝－eq\f(4km,1＋2k2)，x1x2＝eq\f(2m2－8,1＋2k2)；y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝eq\f(k22m2－8,1＋2k2)－eq\f(4k2m2,1＋2k2)＋m2＝eq\f(m2－8k2,1＋2k2)，要使eq\o(OM,\s\up6(→))·eq\o(ON,\s\up6(→))＝0，需x1x2＋y1y2＝0，即eq\f(2m2－8,1＋2k2)＋eq\f(m2－8k2,1＋2k2)＝0，所以3m2－8k2－8＝0，所以k2＝eq\f(3m2－8,8)≥0，又8k2－m2＋4>0，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2>2,3m2≥8))，所以m2≥eq\f(8,3)，即m≥eq\f(2\r(6),3)或m≤－eq\f(2\r(6),3)，因为直线y＝kx＋m为圆的一条切线，所以圆的半径为r＝eq\f(|m|,\r(1＋k2))，r2＝eq\f(m2,1＋k2)＝eq\f(m2,1＋\f(3m2－8,8))＝eq\f(8,3)，r＝eq\f(2\r(6),3)，所求的圆为x2＋y2＝eq\f(8,3)，此时圆的切线y＝kx＋m都满足m≥eq\f(2\r(6),3)或m≤－eq\f(2\r(6),3)，而当切线的斜率不存在时，切线为x＝±eq\f(2\r(6),3)与椭圆eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,4)＝1的两个交点为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(6),3)，±\f(2\r(6),3)))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(6),3)，±\f(2\r(6),3)))满足eq\o(OM,\s\up6(→))·eq\o(ON,\s\up6(→))＝0，综上，存在圆心在原点的圆x2＋y2＝eq\f(8,3)满足条件．20．(本题满分12分)(2015·北京文，20)已知椭圆C：x2＋3y2＝3.过点D(1,0)且不过点E(2,1)的直线与椭圆C交于A，B两点，直线AE与直线x＝3交于点M.(1)求椭圆C的离心率；(2)若AB垂直于x轴，求直线BM的斜率；(3)试判断直线BM与直线DE的位置关系，并说明理由．[分析]本题主要考查椭圆的标准方程及其几何性质、直线的斜率、两直线的位置关系等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力．第一问，先将椭圆方程化为标准方程，得到a，b，c的值，再利用e＝eq\f(c,a)计算离心率；第二问，由直线AB的特殊位置，设出A，B点坐标和直线AE的方程，由直线AE与x＝3相交于M点，得到M点坐标，利用点B、点M的坐标，求直线BM的斜率；第三问，分直线AB的斜率存在和不存在两种情况进行讨论，第一种情况，直接分析即可得出结论，第二种情况，先设出直线AB和直线AE的方程，将椭圆方程与直线AB的方程联立，消参，得到x1＋x2和x1x2，代入到kBM＝1中，只需计算出等于0即可证明kBM＝kDE，即两直线平行．[解析](1)椭圆C的标准方程为eq\f(x2,3)＋y2＝1.所以a＝eq\r(3)，b＝1，c＝eq\r(2).所以椭圆C的离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(6),3).(2)因为AB过点D(1,0)且垂直于x轴，所以可设A(1，y1)，B(1，－y1)．直线AE的方程为y－1＝(1－y1)(x－2)．令x＝3，得M(3,2－y1)．所以直线BM的斜率kBM＝eq\f(2－y1＋y1,3－1)＝1.(3)直线BM与直线DE平行．证明如下：当直线AB的斜率不存在时，由(2)可知kBM＝1.又因为直线DE的斜率kDE＝eq\f(1－0,2－1)＝1，所以BM∥DE.当直线AB的斜率存在时，设其方程为y＝k(x－1)(k≠1)．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则直线AE的方程为y－1＝eq\f(y1－1,x1－2)(x－2)．令x＝3，得点M(3，eq\f(y1＋x1－3,x1－2))．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋3y2＝3，,y＝kx－1))得(1＋3k2)x2－6k2x＋3k2－3＝0.所以x1＋x2＝eq\f(6k2,1＋3k2)，x1x2＝eq\f(3k2－3,1＋3k2).直线BM的斜率kBM＝eq\f(\f(y1＋x1－3,x1－2)－y2,3－x2).因为kBM－1＝eq\f(kx1－1＋x1－3－kx2－1x1－2－3－x2x1－2,3－x2x1－2)＝eq\f(k－1[－x1x2＋2x1＋x2－3],3－x2x1－2)＝eq\f(k－1[\f(－3k2＋3,1＋3k2)＋\f(12k2,1＋3k2)－3],3－x2x1－2)＝0，所以kBM＝1＝kDE.所以BM∥DE.综上可知，直线BM与直线DE平行．21．(本题满分12分)(文)(2015·南昌市一模)已知圆E：x2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(1,2)))2＝eq\f(9,4)经过椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点F1，F2，且与椭圆C在第一象限的交点为A，且F1，E，A三点共线，直线l交椭圆C于M，N两点，且eq\o(MN,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))(λ≠0)．(1)求椭圆C的方程；(2)当三角形AMN的面积取到最大值时，求直线l的方程．[解析](1)如图，圆E经过椭圆C的左、右焦点F1，F2，∵F1，E，A三点共线，∴F1A为圆E的直径，∴AF2⊥F1F2，∴F2(c,0)在圆上，∴c2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－\f(1,2)))2＝eq\f(9,4)，∵c>0，∴c＝eq\r(2)，|AF2|2＝|AF1|2－|F1F2|2＝9－8＝1，∴|AF2|＝1,2a＝|AF1|＋|AF2|＝3＋1＝4，∴∵a2＝b2＋c2，解得b＝eq\r(2)，∴椭圆C的方程eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1.(2)点A的坐标(eq\r(2)，1)，∵eq\o(MN,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))(λ≠0)，所以直线l的斜率为eq\f(\r(2),2)，故设直线l的方程为y＝eq\f(\r(2),2)x＋m由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\f(\r(2),2)x＋m，,\f(x2,4)＋\f(y2,2)＝1，))消去y得，x2＋eq\r(2)mx＋m2－2＝0，设M(x1，y1)，N(x2，y2)∴x1＋x2＝－eq\r(2)m，x1x2＝m2－2，Δ＝2m2－4m2＋8>0，∴－2<m<2，|MN|＝eq\r(1＋k2)|x2－x1|＝eq\r(1＋\f(1,2))eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝eq\r(12－3m2)，点A到直线l的距离d＝eq\f(\r(6)|m|,3)，S△AMN＝eq\f(1,2)|MN|·d＝eq\f(1,2)eq\r(12－3m2)×eq\f(\r(6),3)|m|＝eq\f(\r(2),2)eq\r(4－m2m2)≤eq\f(\r(2),2)×eq\f(4－m2＋m2,2)＝eq\r(2)，当且仅当4－m2＝m2，即m＝±eq\r(2)时，S△AMN取到最大值eq\r(2)，直线l的方程为y＝eq\f(\r(2),2)x±eq\r(2).(理)(2014·上海八校调研)已知点F1、F2为双曲线C：x2－eq\f(y2,b2)＝1(b>0)的左、右焦点，过F2作垂直于x轴的直线，在x轴上方交双曲线C于点M，且∠MF1F2＝30°.圆O的方程是x2＋y2＝b2.(1)求双曲线C的方程；(2)过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为P1、P2，求eq\o(PP1,\s\up6(→))·eq\o(PP2,\s\up6(→))的值；(3)过圆O上任意一点Q(x0，y0)作圆O的切线l交双曲线C于A、B两点，AB的中点为M，求证：|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝2|eq\o(OM,\s\up6(→))|.[解析](1)设F2、M的坐标分别为(eq\r(1＋b2)，0)，(eq\r(1＋b2)，y0)，因为点M在双曲线C上，所以1＋b2－eq\f(y\o\al(2,0),b2)＝1，即y0＝±b2，所以|MF2|＝b2，在Rt△MF2F1中，∠MF1F2＝30°，|MF2|＝b2，所以|MF1|＝2b2，由双曲线的定义可知|MF1|－|MF2|＝b2＝2，故双曲线C的方程为x2－eq\f(y2,2)＝1.(2)由条件可知两条渐近线方程为l1：eq\r(2)x－y＝0，l2：eq\r(2)x＋y＝0.设双曲线C上的点P(x0，y0)，两渐近线的夹角为θ，y＝eq\r(2)x的倾斜角为α，则cosθ＝cos(π－2α)＝eq\f(sin2α－cos2α,sin2α＋cos2α)＝eq\f(2－1,2＋1)＝eq\f(1,3).点P到两条渐近线的距离分别为|PP1|＝eq\f(|\r(2)x0－y0|,\r(3))，|PP2|＝eq\f(|\r(2)x0＋y0|,\r(3))，因为P(x0，y0)在双曲线C：x2－eq\f(y2,2)＝1上，所以2xeq\o\al(2,0)－yeq\o\al(2,0)＝2，所以eq\o(PP1,\s\up6(→))·eq\o(PP2,\s\up6(→))＝eq\f(|\r(2)x0－y0|,\r(3))·eq\f(|\r(2)x0＋y0|,\r(3))cos(π－θ)＝eq\f(|2x\o\al(2,0)－y\o\al(2,0)|,3)·(－eq\f(1,3))＝－eq\f(2,9).(3)证明：由题意，要证|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝2|eq\o(OM,\s\up6(→))|，即证OA⊥OB．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，切线l的方程为x0x＋y0y＝2.①当y0≠0时，切线l的方程代入双曲线C的方程中，化简得(2yeq\o\al(2,0)－xeq\o\al(2,0))x2＋4x0x－(2yeq\o\al(2,0)＋4)＝0，所以x1＋x2＝－eq\f(4x0,2y\o\al(2,0)－x\o\al(2,0))，x1x2＝－eq\f(2y\o\al(2,0)＋4,2y\o\al(2,0)－x\o\al(2,0))，又y1y2＝eq\f(2－x0x1,y0)·eq\f(2－x0x2,y0)＝eq\f(1,y\o\al(2,0))[4－x0(x1＋x2)＋xeq\o\al(2,0)x1x2]＝eq\f(8－2x\o\al(2,0),2y\o\al(2,0)－x\o\al(2,0))，所以eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝x1x2＋y1y2＝－eq\f(2y\o\al(2,0)＋4,2y\o\al(2,0)－x\o\al(2,0))＋eq\f(8－2x\o\al(2,0),2y\o\al(2,0)－x\o\al(2,0))＝eq\f(4－2x\o\al(2,0)＋y\o\al(2,0),2y\o\al(2,0)－x\o\al(2,0))＝0；②当y0＝0时，易知上述结论也成立，即eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝x1x2＋y1y2＝0.综上所述，OA⊥OB，所以|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝2|eq\o(OM,\s\up6(→))|.22．(本题满分12分)(文)已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的短轴长为2，且与抛物线y2＝4eq\r(3)x有共同的一个焦点，椭圆C的左顶点为A，右顶点为B，点P是椭圆C上位于x轴上方的动点，直线AP、BP与直线y＝3分别交于G、H两点．(1)求椭圆C的方程；(2)求线段GH的长度的最小值；(3)在线段GH的长度取得最小值时，椭圆C上是否存在一点T，使得△TPA的面积为1，若存在求出点T的坐标，若不存在，说明理由．[解析](1)由已知得，抛物线的焦点为(eq\r(3)，0)，则c＝eq\r(3)，又b＝1，由a2－b2＝c2，可得a2＝4.故椭圆C的方程为eq\f(x2,4)＋y2＝1.(2)直线AP的斜率k显然存在，且k>0，故可设直线AP的方程为y＝k(x＋2)，从而G(eq\f(3,k)－2,3)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋2，,\f(x2,4)＋y2＝1.))得(1＋4k2)x2＋16k2x＋16k2－4＝0.设P(x1，y1)，则(－2)x1＝eq\f(16k2－4,1＋4k2)，所以x1＝eq\f(2－8k2,1＋4k2)，从而y1＝eq\f(4k,1＋4k2).即P(eq\f(2－8k2,1＋4k2)，eq\f(4k,1＋4k2))，又B(2,0)，则直线PB的斜率为－eq\f(1,4k).由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝－\f(1,4k)x－2，,y＝3.))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－12k＋2，,y＝3.))所以H(－12k＋2,3)．故|GH|＝|eq\f(3,k)－2＋12k－2|＝|eq\f(3,k)＋12k－4|.又k>0，eq\f(3,k)＋12k≥2eq\r(\f(3,k)·12k)＝12.当且仅当eq\f(3,k)＝12k，即k＝eq\f(1,2)时等号成立．所以当k＝eq\f(1,2)时，线段GH的长度取最小值8.(3)由(2)可知，当GH的长度取最小值时，k＝eq\f(1,2).则直线AP的方程为x－2y＋2＝0，此时P(0,1)，|AP|＝eq\r(5).若椭圆C上存在点T，使得△TPA的面积等于1，则点T到直线AP的距离等于eq\f(2\r(5),5)，所以T在平行于AP且与AP距离等于eq\f(2\r(5),5)的直线l上．设直线l：y＝eq\f(1,2)x＋t.则由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\f(1,2)x＋t，,\f(x2,4)＋y2＝1.))得x2＋2tx＋2t2－2＝0.Δ＝4t2－8(t2－1)≥0.即t2≤2.由平行线间的距离公式，得eq\f(|2－2t|,5\r())＝eq\f(2\r(5),5)，解得t＝0或t＝2(舍去)．可求得T(eq\r(2)，eq\f(\r(2),2))或T(－eq\r(2)，－eq\f(\r(2),2))．(理)设椭圆C1：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1、F2，下顶点为A，线段OA的中点为B(O为坐标原点)，如图．若抛物线C2：y＝x2－1与y轴的交点为B，且经过F1、F2点．(1)求椭圆C1的方程；(2)设M(0，－eq\f(4,5))，N为抛物线C2上的一动点，过点N作抛物线C2的切线交椭圆C1于P、Q两点，求△MPQ面积的最大值．[解析](1)由题意可知B(0，－1)，则A(0，－2)，故b＝2.令y＝0得x2－1＝0即x＝±1，则F1(－1,0)，F2(1,0)，故c＝1.所以a2＝b2＋c2＝5，于是椭圆C1的方程为：eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,4)＝1.(2)设N(t，t2－1)，由于y′＝2x知直线PQ的方程为：y－(t2－1)＝2t(x－t)．即y＝2tx－t2－1.代入椭圆方程整理得：4(1＋5t2)x2－20t(t2＋1)x＋5(t2＋1)2－20＝0，Δ＝400t2(t2＋1)2－80(1＋5t2)[(t2＋1)2－4]＝80(－t4＋18t2＋3)，x1＋x2＝eq\f(5tt2＋1,1＋5t2)，x1x2＝eq\f(5t2＋12－20,41＋5t2)，故|PQ|＝eq\r(1＋4t2)|x1－x2|＝eq\r(1＋4t2)·eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝eq\f(\r(5)·\r(1＋4t2)·\r(－t4＋18t2＋3),1＋5t2).设点M到直线PQ的距离为d，则d＝eq\f(|\f(4,5)－t2－1|,\r(1＋4t2))＝eq\f(|t2＋\f(1,5)|,\r(1＋4t2)).所以，△MPQ的面积S＝eq\f(1,2)|PQ|·d＝eq\f(1,2)eq\f(\r(5)·\r(1＋4t2)·\r(－t4＋18t2＋3),1＋5t2)·eq\f(t2＋\f(1,5),\r(1＋4t2))＝eq\f(\r(5),10)eq\r(－t4＋18t2＋3)＝eq\f(\r(5),10)eq\r(－t2－92＋84)≤eq\f(\r(5),10)eq\r(84)＝eq\f(\r(105),5).当t＝±3时取到“＝”，经检验此时Δ>0，满足题意．综上可知，△MPQ的面积的最大值为eq\f(\r(105),5).[方法点拨]1.涉及直线与二次曲线有两个交点时，一般方法是设出直线的方程与曲线方程联立，用根与系数的关系“整体代入设而不求”和用判别式处理，中点弦问题还可用点差法解决．2．涉及圆锥曲线的焦点弦、焦点三角形问题，常结合定义，正余弦定理等知识解决．3．涉及垂直问题可结合向量的数量积解决．反馈练习一、选择题1．(文)“a＝2”是“直线ax＋2y＝0平行于直线x＋y＝1”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件[答案]C[解析]若a＝2，则直线ax＋2y＝0平行于直线x＋y＝1，反之也成立，即“a＝2”是“直线ax＋2y＝0平行于直线x＋y＝1”的充要条件，故应选C.(理)若直线2tx＋3y＋2＝0与直线x＋6ty－2＝0平行，则实数t等于()A.eq\f(1,2)或－eq\f(1,2)B．eq\f(1,2)C．－eq\f(1,2) D．eq\f(1,4)[答案]B[解析]由条件知，eq\f(2t,1)＝eq\f(3,6t)≠eq\f(2,－2)，∴t＝eq\f(1,2).2．(文)若直线l1：x－ay＋1＝0与直线l2：(a＋4)x＋(2a－1)y－5＝0互相垂直(a<0)，则直线l1A．45° B．135°C．60° D．30°或135°[答案]B[解析]∵l1⊥l2，∴1×(a＋4)－a(2a∴a＝－1或2，∵a<0，∴a＝1，∴l1的方程为x＋y＋1＝0，∴l1的倾斜角为135°.(理)若曲线y＝2x2的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则切线l的方程为()A．x＋4y＋3＝0 B．x＋4y－9＝0C．4x－y＋3＝0 D．4x－y－2＝0[答案]D[解析]y′＝4x，直线x＋4y－8＝0的斜率k＝－eq\f(1,4)，令4x＝4得x＝1，∴切点(1,2)，∴切线l：y－2＝4(x－1)，即4x－y－2＝0，故选D．3．(2015·东北三省四市第二次联考)已知直线y＝2eq\r(2)(x－1)与抛物线C：y2＝4x交于A，B两点，点M(－1，m)，若eq\o(MA,\s\up6(→))·eq\o(MB,\s\up6(→))＝0，则m＝()A.eq\r(2) B．eq\f(\r(2),2)C.eq\f(1,2) D．0[答案]B[解析]求出点A，B的坐标，利用数量积的坐标运算建立方程求解．联立直线y＝2eq\r(2)(x－1)和抛物线C：y2＝4x，解得A(2,2eq\r(2))，B(eq\f(1,2)，－eq\r(2))，所以eq\o(MA,\s\up6(→))·eq\o(MB,\s\up6(→))＝(3,2eq\r(2)－m)·(eq\f(3,2)，－eq\r(2)－m)＝eq\f(9,2)＋(2eq\r(2)－m)(－eq\r(2)－m)＝0，化简得m2－eq\r(2)m＋eq\f(1,2)＝0，∴m＝eq\f(\r(2),2)，故选B．[点评]当A、B坐标互换时，求得m的另一个值，但结合选项知只能选B．4．(2015·广东理，7)已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的离心率e＝eq\f(5,4)，且其右焦点为F2(5,0)，则双曲线C的方程为()A.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,3)＝1 B．eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1C.eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1 D．eq\f(x2,3)－eq\f(y2,4)＝1[答案]C[解析]本题考查双曲线的标准方程及其简单几何性质，属于容易题．因为所求双曲线的右焦点为F2(5,0)且离心率为e＝eq\f(c,a)＝eq\f(5,4)，所以c＝5，a＝4，b2＝c2－a2＝9，所以所求双曲线方程为eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1，故选C.5．(文)(2014·天津理，5)已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一条渐近线平行于直线l：y＝2x＋10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为()A.eq\f(x2,5)－eq\f(y2,20)＝1 B．eq\f(x2,20)－eq\f(y2,5)＝1C.eq\f(3x2,25)－eq\f(3y2,100)＝1 D．eq\f(3x2,100)－eq\f(3y2,25)＝1[答案]A[解析]由于一个焦点在直线y＝2x＋10上，则一个焦点为(－5,0)，又由渐近线平行于直线y＝2x＋10.则eq\f(b,a)＝2，结合a2＋b2＝c2，c＝5得，∴a2＝5，b2＝20，双曲线标准方程为eq\f(x2,5)－eq\f(y2,20)＝1，选A.(理)(2014·江西文，9)过双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的右顶点作x轴的垂线，与C的一条渐近线相交于A.若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A、O两点(O为坐标原点)，则双曲线C的方程为()A.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1 B．eq\f(x2,7)－eq\f(y2,9)＝1C.eq\f(x2,8)－eq\f(y2,8)＝1 D．eq\f(x2,12)－eq\f(y2,4)＝1[答案]A[解析]如图设双曲线的右焦点F，右顶点B，设渐近线OA方程为y＝eq\f(b,a)x，由题意知，以F为圆心，4为半径的圆过点O，A，∴|FA|＝|FO|＝r＝4.∵AB⊥x轴，A为AB与渐近线y＝eq\f(b,a)x的交点，∴可求得A点坐标为A(a，b)．∴在Rt△ABO中，|OA|＝eq\r(OB2＋AB2)＝eq\r(a2＋b2)＝c＝|OF|＝4，∴△OAF为等边三角形且边长为4，B为OF的中点，从而解得|OB|＝a＝2，|AB|＝b＝2eq\r(3)，∴双曲线的方程为eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1，故选A.6．(文)已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的两条渐近线与抛物线y2＝2px(p>0)的准线分别交于A、B两点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为eq\r(3)，则p＝()A．1 B．eq\f(3,2)C．2 D．3[答案]C[解析]∵e＝eq\f(c,a)＝2，∴b2＝c2－a2＝3a2，∴eq\f(b,a)＝eq\r(3)，双曲线的两条渐近线方程为y＝±eq\r(3)x，不妨设A(－eq\f(p,2)，eq\f(\r(3)p,2))，B(－eq\f(p,2)，－eq\f(\r(3)p,2))，则AB＝eq\r(3)p，又三角形的高为eq\f(p,2)，则S△AOB＝eq\f(1,2)×eq\f(p,2)×eq\r(3)p＝eq\r(3)，∴p2＝4，又p>0，∴p＝2.(理)已知点F1、F2分别为双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P为双曲线左支上的任意一点，若eq\f(|PF2|2,|PF1|)的最小值为9a，则双曲线的离心率为()A．2 B．5C．3 D．2或5[答案]B[解析]由双曲线定义得|PF2|＝2a＋|PF1∴eq\f(|PF2|2,|PF1|)＝eq\f(2a＋|PF1|2,|PF1|)＝|PF1|＋eq\f(4a2,|PF1|)＋4a，其中|PF1|≥c－a.当c－a≤2a时，y＝x＋eq\f(4a2,x)在[c－a，＋∞)上为减函数，没有最小值，故c－a>2a，即c>3a⇒e>3，y＝x＋eq\f(4a2,x)在[c－a，＋∞)上为增函数，故f(x)min＝f(c－a)＝c－a＋eq\f(4a2,c－a)＋4a＝9a，化简得10a2－7ac＋c2＝0，两边同除以a2可得e2－7e＋10＝0，解得e＝5或e＝2(舍去)．7．(2015·邯郸市二模)已知点P为椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1上一点，点F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，点I为△PF1F2的内心，若△PIF1和△PIF2的面积和为1，则△IF1F2的面积为()A.eq\f(1,4) B．eq\f(1,2)C．1 D．2[答案]B[解析]由椭圆方程知，a＝2，c＝1，设内心到三边距离为d，则由椭圆定义及条件知，S△PIF1＋S△PIF2＝eq\f(1,2)|PF1|·d＋eq\f(1,2)|PF2|·d＝eq\f(1,2)(|PF1|＋|PF2|)·d＝2d＝1，∴d＝eq\f(1,2)，∴S△IF1F2＝eq\f(1,2)|F1F2|·d＝cd＝eq\f(1,2).8．抛物线y＝x2(－2≤x≤2)绕y轴旋转一周形成一个如图所示的旋转体，在此旋转体内水平放入一个正方体，使正方体的一个面恰好与旋转体的开口面平齐，则此正方体的棱长是()A．1 B．2C．2eq\r(2) D．4[答案]B[解析]当x＝2时，y＝4，设正方体的棱长为a，由题意知(eq\f(\r(2),2)a,4－a)在抛物线y＝x2上，∴4－a＝eq\f(1,2)a2，∴a＝2.9．(文)已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，O为坐标原点，以OF为直径的圆与双曲线的一条渐近线相交于O，A两点，若△AOF的面积为b2，则双曲线的离心率等于()A.eq\r(3) B．eq\r(5)C.eq\f(3,2) D．eq\f(\r(5),2)[答案]D[解析]∵A在以OF为直径的圆上，∴AO⊥AF，∴AF：y＝－eq\f(a,b)(x－c)与y＝eq\f(b,a)x联立解得x＝eq\f(a2c,a2＋b2)，y＝eq\f(abc,a2＋b2)，∵△AOF的面积为b2，∴eq\f(1,2)·c·eq\f(abc,a2＋b2)＝b2，∴e＝eq\f(\r(5),2).(理)过双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一个焦点作实轴的垂线，交双曲线于A、B两点，若线段AB的长度恰等于焦距，则双曲线的离心率为()A.eq\f(\r(5)＋1,2) B．eq\f(\r(10),2)C.eq\f(\r(17)＋1,4) D．eq\f(\r(22),4)[答案]A[解析]依题意得eq\f(2b2,a)＝2c，c2－ac－a2＝0，即e2－e－1＝0，(e－eq\f(1,2))2＝eq\f(5,4)，又e>1，因此e－eq\f(1,2)＝eq\f(\r(5),2)，e＝eq\f(\r(5)＋1,2)，故选A.10．(2015·洛阳市期末)若直线l：ax＋by＋1＝0(a≥0，b≥0)始终平分圆M：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0的周长，则a2＋b2－2a－2bA.eq\f(4,5) B．eq\f(9,5)C．2 D．eq\f(9,4)[答案]B[解析]由题意知直线经过圆心(－2，－1)，∴2a＋b－1＝0，∴(a－1)2＋(b－1)2的最小值为(1,1)到直线2a＋b－1＝0的距离的平方，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,\r(5))))2＝eq\f(4,5)，∴a2＋b2－2a－2b＋3的最小值为eq\f(4,5)＋1＝eq\f(9,5).11．(2014·唐山市二模)已知椭圆C1：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)与圆C2：x2＋y2＝b2，若在椭圆C1上存在点P，使得由点P所作的圆C2的两条切线互相垂直，则椭圆C1的离心率的取值范围是()A．[eq\f(1,2)，1) B．[eq\f(\r(2),2)，eq\f(\r(3),2)]C．[eq\f(\r(2),2)，1) D．[eq\f(\r(3),2)，1)[答案]C[解析]如图，设切点为A、B，则OA⊥PA，OB⊥PB，∵∠APB＝90°，连接OP，则∠APO＝45°，∴AO＝PA＝b，OP＝eq\r(2)b，∴a≥eq\r(2)b，∴a2≤2c2，∴eq\f(c2,a2)≥eq\f(1,2)，∴e≥eq\f(\r(2),2)，又∵e<1，∴eq\f(\r(2),2)≤e<1.12．(2015·河南八市质量监测)已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，过点F的直线l交抛物线于A，B两点，若A(3，y0)且AF＝4，则△OAB的面积为()A.eq\f(2\r(3),3) B．eq\r(3)C.eq\f(4\r(3),3) D．eq\f(5\r(3),3)[答案]C[解析]由条件及抛物线的定义知，4＝3＋eq\f(p,2)，∴p＝2，∴抛物线方程为y2＝4x，∴A(3,2eq\r(3))，kAF＝eq\r(3)，∴lAB：y＝eq\r(3)(x－1)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝4x,y＝\r(3)x－1))可得3(x－1)2－4x＝0，解得x1＝3，x2＝eq\f(1,3)，所以y1＝2eq\r(3)，y2＝－eq\f(2\r(3),3)，∴S△AOB＝eq\f(1,2)|OF|·|y1－y2|＝eq\f(1,2)×1×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(3)＋\f(2\r(3),3)))＝eq\f(4\r(3),3).二、填空题13．已知圆C：(x＋1)2＋y2＝8.若点Q(x，y)是圆C上一点，则x＋y的取值范围为________．[答案][－5,3][分析]设x＋y＝t，则Q是⊙C与直线x＋y＝t的公共点，则问题转化为直线与⊙C有公共点时，求参数t的取值范围问题．[解析]设x＋y＝t，∵Q(x，y)是⊙C上任意一点，∴直线与圆相交或相切，∴eq\f(|－1＋0－t|,\r(2))≤2eq\r(2)，∴－5≤t≤3.14．已知圆C的圆心与抛物线y2＝4x的焦点F关于直线y＝x对称，直线4x－3y－2＝0与圆C相交于A、B两点，且|AB|＝6，则圆C的方程为________．[答案]x2＋(y－1)2＝10[分析]由圆心C与F关于直线y＝x对称可求得C点坐标，再由弦长|AB|＝6可求得圆的半径，进而可得圆的方程．[解析]抛物线y2＝4x的焦点F(1,0)关于直线y＝x的对称点C(0,1)是圆心，C到直线4x－3y－2＝0的距离d＝eq\f(|4×0－3×1－2|,5)＝1，又圆截直线4x－3y－2＝0的弦长为6，∴圆的半径r＝eq\r(12＋32)＝eq\r(10).∴圆方程为x2＋(y－1)2＝10.15．(文)已知直线eq\r(2)ax＋by＝1(其中a、b为非零实数)与圆x2＋y2＝1相交于A、B两点，O为坐标原点，且△AOB为直角三角形，则eq\f(1,a2)＋eq\f(2,b2)的最小值为________．[答案]4[解析]∵△AOB为等腰直角三角形，⊙O的半径为1，∴O到直线eq\r(2)ax＋by－1＝0的距离为eq\f(\r(2),2)，即eq\f(1,\r(2a2＋b2))＝eq\f(\r(2),2)，∴2a2＋b2＝2，∴eq\f(1,a2)＋eq\f(2,b2)＝(eq\f(1,a2)＋eq\f(2,b2))(eq\f(2a2＋b2,2))＝2＋eq\f(2a2,b2)＋eq\f(b2,2a2)≥4，等号在eq\f(2a2,b2)＝eq\f(b2,2a2)，即b2＝2a2＝1时成立，∴所求最小值为4.(理)过抛物线y2＝4x的焦点F作一条倾斜角为α，长度不超过8的弦，弦所在的直线与圆x2＋y2＝eq\f(3,4)有公共点，则α的取值范围是________．[答案][eq\f(π,4)，eq\f(π,3)]∪[eq\f(2π,3)，eq\f(3π,4)][解析]F(1,0)，直线AB：y＝tanα(x－1)，由条件知，圆心(0,0)到直线AB的距离d＝eq\f(|tanα|,\r(1＋tan2α))≤eq\f(\r(3),2)，∴－eq\r(3)≤tanα≤eq\r(3).(1)将y＝k(x－1)代入y2＝4x中消去y得，k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，∴x1＋x2＝eq\f(2k2＋4,k2)，y1＋y2＝k(x1＋x2－2)＝eq\f(4,k)，∴AB的中点坐标为P(eq\f(k2＋2,k2)，eq\f(2,k))，∵|AB|≤8，∴P到准线的距离eq\f(k2＋2,k2)＋1≤4，∴|k|≥1，∴|tanα|≥1，(2)由(1)(2)得eq\f(π,4)≤α≤eq\f(π,3)或eq\f(2π,3)≤α≤eq\f(3π,4).16．(文)(2014·吉林市质检)已知点F为抛物线y2＝－8x的焦点，O为原点，点P是抛物线准线上一动点，A在抛物线上，且|AF|＝4，则|PA|＋|PO|的最小值是________．[答案]2eq\r(13)[分析]设O关于直线x＝2的对称点为O′，则|PA|＋|PO|＝|PA|＋|PO′|，故当P、A、O′三点共线时取到最小值．[解析]如图，∵|AF|＝4，∴A到准线距离为4，又准线方程为x＝2，∴A(－2,4)，作点O关于直线x＝2的对称点O′，则O′的坐标为(4,0)，连接AO′与直线x＝2相交于点P，则点P为所求，|PA|＋|PO|＝|PA|＋|PO′|＝|AO′|＝2eq\r(13).(理)已知直线l1：x－y＋5＝0，和l2：x＋4＝0，抛物线C：y2＝16x，P是C上一动点，则P到l1与l2距离之和的最小值为________．[分析]观察抛物线C与直线l2的系数可以发现，l2为C的准线，由抛物线的定义可将P到l2的距离转化为P到焦点F的距离，则问题变为P到F的距离与P到l1的距离之和最小，画出图形易见，当PF⊥l1时，“距离之和”取到最小值．[答案]eq\f(9\r(2),2)[解析]在同一坐标系中画出直线l1、l2和曲线C如图．P在C上任意一点，由抛物线的定义知，|PF|＝d2，∴d1＋d2＝d1＋|PF|，显见当PF⊥l1，即P为P1点时d1＋d2＝|FM|，此时距离之和取到最小值，∵|FM|＝eq\f(9\r(2),2)，∴所求最小值为eq\f(9\r(2),2).[点评]当问题涉及抛物线上动点到焦点(或准线)的距离，或双曲线(椭圆)上动点到两焦点距离时，应考虑定义是否能发挥作用．三、解答题17．(文)已知圆C1：x2＋y2＝r2截直线x＋y－eq\f(\r(2),2)＝0所得的弦长为eq\r(3).抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦点在圆C1上．(1)求抛物线C2的方程；(2)过点A(－1,0)的直线l与抛物线C2交于B、C两点，又分别过B、C两点作抛物线C2的切线，当两条切线互相垂直时，求直线l的方程．[解析](1)易求得圆心到直线的距离为eq\f(1,2)，所以半径r＝eq\r(\f(1,2)2＋\f(\r(3),2)2)＝1.∴圆C1：x2＋y2＝1.抛物线的焦点(0，eq\f(p,2))在圆x2＋y2＝1上，得p＝2，所以x2＝4y.(2)设所求直线的方程为y＝k(x＋1)，B(x1，y1)，C(x2，y2)．将直线方程代入抛物线方程可得x2－4kx－4k＝0，∴x1x2＝－4k.因为抛物线y＝eq\f(x2,4)，所以y′＝eq\